장음표시 사용
201쪽
habebit rationem compostam ex ratione IC, ad GIL, & ex ratione AB, ad GA. Eodem modo ostendetur ex iisdem rationibus componi rationem parallelepipedi . cuius basis ME, altitudo Fs, ad prisma, cuius basis H M O, altitudo XII; pariter parallelepipedi, cuius basis PN, altitudo EF, ad prisma,
202쪽
prisma, cuius basis RPQ, altitudo HR. Quare,&coIligendo ut v um ad unu ta omnia ad omnia. Ergo etiam rati omnium paralleIepipedorum inscript rum in trisnco dextero, ad omnes cylindricos inscriptos in trunco sinistro componetur ex ijsdem rationibus parallelogrammi IC, ad figuram Gl L, &R , ad G A . Sed ut omnia parallelepipeda pr. dicta, ad omnes prae lictos cylindricos, sic truncus
dexter ad truncutiis nistrum, ut statim ostendetur. Quare ratio trunςi dexteri ad truncum sinistrum
componetur ex ijsdem rationibus. Sed ex ijsdem ratis nilius co ponit tir ratio parallelepipedi, cuiu&basili parallac gra pinsum IC, altitudo AB, quod idei est cum' parallela pipedo, cuius basis BD, altitudo I B, ad cylindricum, cuius basis GIL, sed A Bς, 4ltitudo G A, seu I B; & propter eandem altit dinm l B, barallelepipedum est ad cylindricum, ut Daias Uni, ad basim AB C. Ergo truncus dext 'rottaatrui cum sinistrum ut DB, ad AB C. Quoil erat ostendendum. Q d vero ut omnia parallelepipeda inscripta in
I reis codextero ad cylindricos inscriptosin trunco sinistro ita sit truncus dexter, ad truncum sinistruarii sti patebit, Sinonest, velaruncus ad truncum est in maiori ratione , ve in minori. Sit primo in maiori. Frgo aliquid trunco dextero minuS, erizad IruLail m. sinistrum in eadgna ratione. Sit elxces ius pentes V, f Licet sculptor non expresserit in sche nute .s Diuidamus AB, bifariam , S NIrsum-ώ
203쪽
deueniam ad partem S B, adora barasselepip dum,mnus hasis altitudo BS,lsin minus R&Wrpuncta divisionum fiataeonstruo iri yiquae prius dista est. Pa mensuperiplain ri Cps Lmo, P N, in altitudinibus Ah kFipFM Sin thenteco b iuus Drallelapi pedaraundo Mitriolan rcumstriapta . Horum excessus supra para epipeda in trunco inscripta, erit aequalis parallesepipedo, cuius basis I C, altitudo. B S , ut Meme consideranti pate
miam confusionem. P-hbiti re , quia ficut parallelepipedum, cuius basis I C. altitudo BS; superat parallelepipedum B T, quantitate duorum parallelepipedorum, a quorum VniuSest sis ET, seu BZ, altitudo alteriusnem est basis et altitudo I B; sic aliud parallelepipeduna circumscriptum, cuius basis T S, altituddi FE isuperaret parallelepipeduminseti ptu m, cuius sumis altitudo FS, duobus solidissi initibus prioribus . talem cessustrastariis ad parallelepipedum 8T, relinque rei nobis de ipso Firallelepipedum aequale parallem lepipedo, rus hasis ME, altitudo FS. Hoc a
tem semper continuando, tandem de parallelepipe do BT, nobis relinqueretur vltimum parallelepipodum cimmicriptum,nempe cuius basis PN, altitudo A h; quod tandem traflatum ad parallelepip
da , B Rr ipsum expleret. Redeamus ergo ad Or
diuem demonstritionis. Ergo, ex dictis,patet solida
204쪽
Ercumscripta trunco dextero superare paralleleptipeda ipso inscripta minori quantitate quam sit U. Ergo truncus dexter superabit apta solida inscripta
multo minori quantitate quam sit V. Ergo parallel pipeda in trunco dextero inscripta erunt ad truncum sinistrum adhuc in maiori ratione DB. dii ABC. Sed ut DB, ado ABC, sic probata sunt paralleIepipeda in trunco dextero inscripta, ad cylindricos inscriptos in trunco sinistro. Ergo parallelepipeda inscrupta in trunco dextero, ad truncum sinistrum erunt in maiori ratione quam ad cylindricos in ipso. inseri pios. Quod implicat. Non ergo truncu&ad muracum erit in maiori ratione .ci li: ub in i L q PIIlli lSed nec in minori. Nam tunc; ergo conuertendo truncus sinistes erit ad truncum dexterum iri maiori
ratione quam ABC, ad DB. Ergo aliquid ipso
minus erit ad truncum dexterum in eadem ratione.
Sit rursum excessus penes V: & constructio, quae facta suit in trunco dextero fiat in trunco sim stto, adeon cylindricus,cuius basis G IL, altitudo G X, minus iit V. Ergo truncus sinister minus hoc cylindri co , erit ad truncum dexterum adhuc in maiori rati ne ' ABC, ad DB. At cylindrici in trunco sinistro inscripti minus deficiunt ab ipso, cylindrico cuius basis G IL, altitudo CX. Frgoecylindrici in trunco sinistro inscripti ad truncum dexterum sunt in multo maiori ratione , quam sit ea , quam habet ABC, ad DB nempe quam sit eorumdem , ad parallelepipeda in .trunco dextero inscripta Quod rursum
205쪽
rursum implicat. Ergo in omnibus, & per omnia patuit truncum dexterum , esse ad truncum sinistrum ut DB, ad ABC . Quod erat ostenden
Ex dictis ergo in praesenti propoli tione,& in proposit. I .lib. primi, ac in schol. eiusdem, insertur quod si super qualibet infinitarum parabolarum, vel ulper quolibet infinitorum trilineorum concipiatur cylindricus rectus sectus diagonaliter, ut dictum est, infertur inquam truncum dexterum, esse ad truncum sinistrum, ut parallelogrammum parabolae, seu trilianeo circumscriptum, ad ipsam parabolam, seu trilianeum . Hoc autem ostenditur etiam a Caualerio
exerc. I. proposit. r6. Sed peregregiam indivisibilium viam,& in quodam cylindrico particulari, in quo latus, seu altitudo ipsus aequetur diametro parabolae , seu trilinei. Quae proposit. ex schol. 3. proposit. I o. huius, potest ad uniuersalitatem reduci; quia cylindricorum rectorum super eadem basi existentium, cuiuscumque sint altitudinis, eodem mOdo dialonaliter resectorum, omnes trunci sunt ad inuicem in eadem ratione. Ex dictis ergo, & ex proposit. I. lib. i. habemus rationem horum truncorum ad inuicem. Truncus enim dexter cylindrici super parabola, ad truncum sinistrum , est in prima vi a ad a. In secunda, ut 3. ad a. In tertia ut ε. ad 3.&sic Α a in in-
206쪽
1M DE INFINITIS PARABOEIS ETC.
is infinitum et nempe ut numerus parabolae unitate auctus, ad numerum parabolae . Ex quibus potest cones di, quod componendo, totus cylindricus erit ad truncum sinistrum, ut duplus numerus parabolae unitate auctus, ad numerum parabolae. Nempe in s. ut 3. ad i. In secunda vi s. ad a. in tertia ut T. ad s.&sic in infinitum. i Pariter truncus dexter cylindrici super trilineo, erit ad truncum sinistrum,ut numerus trilinei unita te auctus, ad unitatem. Nempe in primo, ut a. ad a. lusecundo ut 3 ad In tertio ut ε. ad a. de inponendo, totus cylindricus erit ad truncumstrum, ut numerus arilinei binarioauctus ad ips M
Paelibet ex Horis antecedentispropst. rotetur ramanti - se circalasim,aba circas parastetim ductamper ire ..ticem. Solidum mirandum circa tangentem in merrises adselidum ratundum circa basim rit qui parastelogrami: minnicircumscriptum figurae,adibam figuram.
Rotetur ergo figura ABC, circa basim BC,& circa AD, tangentem in vertice A. Duco selidum ex rotatione circa AD, esse ad solidum ex rotatione circa BC, ut DB, ad AB C. Nam super figura concepto cylindrico secto Vt prius. E truncus deater, erit ad truncum sinistrum ut D Rad
207쪽
ad A RC. Sed ut truncus dexter id truncum sinistrum, sic ex schol. 3. proposit. i O. huius, solidum ex figura ABC, circa AD ,. ad solidum ex eademeirca B C. f Nam truncus dexterialis sectionis, estraqualis trunco dextero eiusdem cylindrici secti pla-
208쪽
188 DE INFINITII PARABOLIS ETC. no transeunte per BC, &per G, & truncus sinister, est aequalis trunco sinistro. Ergo&ut DB, ad ABC, sic solidum ex ABC, circa AD, ad solidum ex eadem circa B C. Quod &e.
Cum ergo, ut supra dictum est, tam insanitae par holoe , quam infinita trilinea circa diametrum, sint figurae conditionis supra expositae, sequitur ex supra dictis, & ex quadratura infinitarum parabolarum,&infinitorum trilineorum a Caualerio tradita, in parabolis annulum strictum parabolae acceptum secum dum rectitudinem basis, esse ad susum parabolicum, ut numerin parabolae unitate auctiis, ad numerum parabolae: nimirum ita parabola lineari, esse ut a. ad I. In quadratica ut 3. ad a. In cubica vi q. ad 3. &sic in infinitum. Pariter in trilineis, solidum circa AD, ad solidum circa BC, erit ut numerus parabolae unitate auctus, ad ipsam unitatem. Nempe in trilineo lineari ut et ad i. in quadratico ut 3 ad I . In cubico ut m ad i. di se m infinitum.
Cum ex scholio antecedenti habeamus modum compendiosum ostendendi cylindrum triplum esse coni super eadem basi, & circa eandem diametrum
209쪽
- LIBER SELVNDVS. , L 28scum ipso, ideo placet hunc modum in praesenti su
Esto ergo rectangulum, cuius diameter AC, &triangulum A D C, roretur circa D C, ut fiat. nus ACE; rectangulumque AC, rotetur circa AB, ut fiat eylindrus FCι Conus G AC, ortus ex rotatione triadguli=B A C, circa Α Β, ess aequabiis cono A C E ; quia ambo coni oriuntur ex rota. tione simili triangulorum aequalium, &similium . Sed solidum rotundum excavatum C D A FG, ex schol. ant. est duplum coni ACE. Ergo erit d plum coni GA C. Ergo componendo cylindrus FC, erit triplus coni GA C. Quod&c.
210쪽
Caindrus circumscriptus fuse parassilico, est ad ipsum, iv xectangulum contentum sub dimidio numeri parabolae initate aucti, sty sub duplo uvamro parabolae ivstate aucto, ad quari tum numeri parabolae, Vel mi rectan-gutim Mntentum sub numero parabolae M itate aucto sub numero parabola aucto dimidia MDnitate , ad ιdem
ESto quaelibet semiparabola ABF, cuius axis.
DF, & eis ciscum scriptum parallelogra mum DF, quod cum ipsa intelligatur rotari circa AF. Dico cyliivlium Q DF, esse ad semifusum B A F , in rationibus praedictis, & ut exemplificabitur insequentibLs . Et pariter sic esse ad solidum ex eadem semiparabola circa DB. Quod enim hic dicetur de semisolidis , velificabitur etiam de int Dis solidis iuxta titulum propositionis. Tam stiper parallelogrammo , quam super semi- parabola intelligantur cylindrici h F, BA FEOC, qui intelligantur secti plano diagonaliter transeunte per AF,&per LO. Ergo uterque cylindricus diuidetur in duos truncos, quorum illi cylindrici super parallelogrammo erunt prismata aequalia. Quoniam