장음표시 사용
221쪽
LIBER SEcVNDVS. a rancto binario hoc est ut rectangusum contentum sub numero parabolae aucto unitate, & subdimidio numeri parabolae aucti binario) ad rectangulum sub unitate, & sub numero parabolae aucto unitat Sed talia rectangula
propter aequale latus numerum parabolae auctum unitate, sunt ad inuicem ut dimidium numeri parabOIae aucti binario, ad unitatem , nempe ut numerus parabolg auctus binario ad binarium. Ergo&prisma erit ad truncum sinistrum cylindrici super trilineo , Ut nume u Sparabolae auctus binario , ad ipsum binarium . Quare & per
nis , prisma idem ad truncum sinistrum cylindrici super semiparabola, erit ut numerus parabolae auctus binario, ad ipsum numerum parabolae. Sed ex schol. 3. proposit. I in huius, ut tale prisma ad talem truncum sinistrum, sic cylindrus ex DF, circa AF, ad concides pyrabolicam ex B AF , circa AF. Quare , & Ἀ-C c lindrus
222쪽
1OL DE INFINITIS PARABOLIS ETC. lindrus erit ad conoidem ut numerus parabolet auctus binario, ad numerum parabolae. Quod primo probandum erat. Secunda pars probatur retenta eadem construinctione. Prisma dexter uad truncum dexterum cylindrici super trilineo, habet rationem compositam ex ratione ipsus ad cylindricum super trilineo; & huiuS ad suum truncum dexterum. Prisma ad cylindricum se per trilineo, probatum est esse ut dimidium numeri parabolae aucti unitate ad unitatem; cylindricus vero super trilineo est ad suum tru cum dcxterum, ex dictis in proposit. I a. & in schol. eiusdem squia truncus dexter huius casus est sinister illius propositionis j Vt numerus parabolae auctus binario, ad unitatem. Ergo ratio prismatis ad illum truncum dexterim componetur etiam ex praedictis rationibus. Sed ex dictis rationibus compon tur etiam ratio rectanguli contenti sub dimidio numeri parabolae aucti unitate , & sub numero parabolae aucto binario nempe rectanguli sub numero parabolae aucto unitate, & subdimidio numeri parabolae binario aucti ad quadratum unitati S ; nempe ad Vnitatem. Quare illud prisma erit ad truncum dexterum cylindrici super trilineo ut rectangulum sub numero parabolae aucto unitate, & sub dimidio numeri parabolae a licti binario, ad unitatem;
nempe Vt rectangulum contentum sub numero parabolae aucto unitate , & sub eodem numero aucto
binario squod rectangulum est duplum priori sὶ ad
223쪽
hinarium . Ergo&per conuersionem ra- Otionis , prisma erit
ad truncum dexterum cylindrici super par, bola , ut numerus re- ctanguli contenti sub nu r.ero parabolae au- Icto unitate , & sub numero parabolae au- Icto binario , ad nu Imerum minorem se Ibinario. At rursum B, ex schol. 3. proposit. 4 Il o. huius , ut prisma Iad truncum dexterum 'cylindrici super semiari parabola,sic cylindrus D A
ex D F, ad solidum ex OB AF, reuoluti, ambabus figuris circa DB. Ergo
Ex prima parte propositionis praesentis remanent probatae duae conclusiones, quae ab Archymede, &ab alijs authoribus particulariter probantur: nimirum cylindrum triplum esse coni, & duplum conοι,
224쪽
ae4 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
idemque axis cum cylindro, ut clare patet. Imo cylindrum triplum esse coni, probatur etiam ex secunda parte propositionis.
Pariter etiam in praesenti proposit. habemus m dum , quo satisfaciamus eo, in quo deficit proposita 4. huius . Nimirum habemus modum assignandi rationem, quae reperitur inter quodlibet segmentum cuiuscumque conoidis parabolici comprehensum duobus planis basi parallelis, & inter cylindrum es circumscriptum. Cum enim ibidem probatum sit frustum qiuodcumque tale, ad illud cono,
des eiusdem generis, quod includit, esse ut tot continuo proportionales in proportione semidiametri maioris basis frusti ad semidiametrum minoris basis, incipiendo a prima, quotus est numerus conoidis auctus binario, ad tot talium proportionalium incipiendo itidem a prima, quotus est numer co-noidis duabus vltimis minoribus exceptis; hoc est ad tot proportionales quotus est numerus conoidis:&cum in praesenti proposit. probatum sit conoides parabolicum esse ad cylindrum sibi circumscriptum, Vt numerus parabolae, ad numerum parabollae auctum binario; nempe ut sunt praedictae proportionales ad talem magnitudinem, qu e ad ipsas sit ut numerus parabolae binario auctus ad ipsum numerum Parabolae. Sequitur ex aequali, segmentum, seu frustum
225쪽
LIBER SE OVNDVS. aos stum esse ad cylindrum sibi circumscriptum, ut tot
proportionales in proportione praedicta, quotus est numerus conoi s binario auctus , ad magnitudinem , quae sit ad easdem proportionales, duabus vltimis minoribus exceptis, ut numerus parabolae binario auctus ad numerum parabolae . U. g. conuem
tendo, in primo conoide, frustum AH ΚC, erit ad cylindrum GC, ut AE, H D, cum tertia proportionali, ad tres A E. In secundo, ut A E, H D, cum duabus alijs harum continue proporti natibus, ad duas AE, cum duabus H D. In tetatio ut A E , H D, cum tribus proportionalibus ad magnitudinem,quae sit ad AE, H D, cum testia proportionali vi , . ad 3. Et sic in infinitum.
Per ea ergo, quae usque modo ostensa sunt, patet in parte ampliari posse doctrinam Andreae Tacqueet nobilis, & acutissimi Geometrae , traditam in suo opere supra citato. Cum enim lib. I. pari. a. proposit. 3 a. patefaciat, portionem cylindrici parabolici per axem baseos, & punctum in latere abscisi sani, pyramidis sibi inscriptae sesquialteram esse ; ac proinde tradat cubationem talis portionis ; haud postea nobis manifestat proportione' portionis
cylindrici per basim parabolae, & punctum in lat re, ad pyramidem sibi inscriptam. Et hoc fortassis, quia nequaquam habebat proportionem cylindri ad
226쪽
ad susum parabolicum quadraticum ; quam proportionem subtilissimus Keplerus geometris proposuit inuestigandam in sua steriometria doliorum , &quam primus omnium adinvenit Caualerius,quamque nos docuit in exercit. q. proposit. 26; quae proportio forsitam erat Tacquet necessaria scitu pro cubanda tali portione cylindrici. Uci ergo Ta quet haud vidit exercitariones Caualerij impraessas anno I 6 sicuti nec nos vidimus optasTacquet imprςssiim anno i 63 i , nisi anno i 618:) Vel si vidit , attamen Caualerianam doctrinam non approbauit, utpote per indivisibilia procedentem. Cum ergo forta ssis careret modo ipsam ostendendi more antiquorum visspe accidit,quia non omnes possunt omnia ad inuenire9 ut saetis comprobaret, quae vcr-bis exprςssit de indivisibilibus in schol. proposit, a 2. primae partis lib. i. alibi, eam libenter omisit. Si ergo Tacqupy recepisset doctrinam Caualerij per incivisibilia procedentem, potuisset non modo cubare portionem cylindrici parabolici super qua- eumque infinitarum parabolarum per basim par
bolae, & punctum in latere ; sed etiam ex ijs, qui in
eadem exercit. q. Caualeri; tradunt ipse , & Beu- grand, segmenta portionis cuiuscumque inlindrici parabolici resectae planis sectioni maximae parallelis. Imo ex doctrina tradita a Ca- ualerio potuisset etiam cubare, & portionem cylindrici super hyperbola per basim hyperbolς , &punicum in latete i & segmenta huius portionis reseciqplanis
227쪽
planis sectioni maximς parallelis supponendo tamen hyperbolet quadraturam, ut facit Caualerius ς de quibus fortassis & nos aliquando, dum assigna bimus centrum grauitatis hyperboli, dein qualinea diametro paralleIa sit centrum grauitatis semitidi
per is supposita hyperbolε quadratura, de quibus
nullus geometra, quod sciamus, usque modo loeuatus est ; quibus in ch bationibus videtur deficere opus Tacquet ; nam in suo opere de propositionibus, & cubationibus prςdictis verba non habet . Sed etiam , per a nobis ostensa, partim potest suppleri multis, & pluribus fati fiet ex dicendis imposterum. Imo multis etiam satisfiet, quibus non licet satisfacere ex traditis a Caualerio, ut patebit inferius. ει dictis autem a nobis, & ex dicendis magis habet Tacquet unde sibi satisfaciat, quam ex traditis a Ca- ualerio. Nam in parabola quadratica non est opus per indivisibilia procedere. Cum enim ea omnia, qtis circa illa solida a nobis ostensa sunt dependeanta quadratura infinitarum parabolarum s & omnia,
praeter parabolarum quadraturam, ostensa sint a nobis more antiquorum, & parabolae quadratitae habeamus pines innumeras quadraturas ab authortibus more antiquorum assignatas. Ergo ea omnia, quae a nobis ostensa sunt, in parabola quadratica tradita fuere more antiquorum; nec de ipsis potest Tac.
quet haesitare. Cum ergo veterum more teneamus
rationem cylindri ad fusum parabolicum quadraticum, di ad segmentum conoidis parabolici quadra-
228쪽
1o8 DE INFINITIS PARABOL1S ETC. tici, more etiam veterum habebimus cubationem portionis cylindrici parabolici per bas m parabolae, . di punctum in latere abscissae. Item cubationem a portionis cylindrici super segmento parabolae contento inter duas lineas basi parallelas abscissae per axim segmenti, & punctum in latere. Sed haec , icalia proprijs patebunt locis .
229쪽
Aualorius in saepe citatis exercitationibus geometriciS, exerc. I. ex
plicando naturas, passionesque infinitarum parabolarum , vlterius procedit, variaque de attanentibus ad earum centra grauitatis pro nuntiat : ex quibus plurima colligit pro sua doctrina de uniformiter difformiter grauious, &c. Sed ante Ompla , praemittit insignem quandam propositionem , &a se per indivisibilia, & ab eximio Torrieel. lio sine indivisibilibus, ostensam. Propositio Ca- ualerij est uniuersalior ι sed ut ipsemet bene aduertit, etiam propositio Torricellii ad eandem uniuem salitatem potest reduci. Propositio ergo ista, quam habet Caualerius exercit. D proposit. IT. quam N nos probabimus , demonstrationem Torricel-
230쪽
aιo DE INFINITIS PARABOLIS Erc. lij repetendo, eamque uniuersalissime proponea.do, sequens est.
Si super qualibet figura circa diametrum intestigatur cν-lindricus rectus , Iectus diagonaliter modo sepe Iupra
explicato. Truncus dexter , erit ad truncum finimum reciproce ut partes diametri figurae rescta a centro grauuatis.
diametrum FN, siue sit in alteram partem deficiens , siue in ambas, siue in nullam, sit cy- Iindricus rectus ABCGO F, Ω-ctus diagonalbter plano transeunte per AC, & per F, & sint E, P, Gutra grauitatis figurarum Oppos tarum . Dico truncum dexterum, esse ad truncum sinistrum Ieciproce ut F P, ad PN. Ducantur rectae BF,