De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

발행: 1659년

분량: 428페이지

출처: archive.org

분류: 수학

231쪽

non IE, secans EP, in L. Erunt itaque BF, EP, DN, inter se parallelae, quia iungunt aequales, S parallelas. Ob eandem rationem, erunt parallelae BD, IK ; Κ FN; Di, kF. Rumniam vero DI, bifariam istat BF, & ideo bifa.riam quoque secabit onmes in trianguloe DBF, ipώ- 'si BF, arquidistantes, quae sunt drametri parallelogrammorum in solido A B C F, plano A G, parallelorum , ut clare Paled. Ergo i D, transmii per centrum grauitatis uniu sciliusque illorum s ae proinde in eadem In, eric centrum grauitatis trunci simistri A BCF.': Hoc supponatur esse M. Eodem modo ostendemus in F Κ, esse dentium grauitatis truta serieri . cuin om/ L: medi vi

Punctum

dricii ergo si ab M, per f, productitur 11 L pist

vsque ad Fh, cui incidat in H, erit H centrum grauitatis trunci dexterivi Elicitur ex Archi. p. 'atqui p. proposit. 8. Quia ergo triangula Mi L,LFI k, sunt similia, propter parallelas DI, EF. ideo ut M L, ad L H, ita lL, ad L h. Sed veM L, ad L H, sic reciproce truncus dexter , ad truncum sinistrum, ex eodem Archi. ibidem proposit. 6. &7. Ergo & ut FP, ad PN, sc recipio-ce truncuS dexter , ad truncum sinistrum. Quod

232쪽

Vt diximus supra, haec propositio est uniuersali Lsima, adeo ut coMprehendat omnes figuras circa diametru m. Quamuis autem supposuerimus planum transire per A C , & pes F, , nihilominus idem concludetur. etiam ii planum seςans transeat per O G, & per B ; truncus enim dexter, erit ad tru cum sinistrum reciproce ut =P, ad P N. Cylindricus enim sectus sive 'no, siue altero modo , se persecatur in trunco , quumn dexteri , sicuti & . nistri, sunt inter se qualeS, Notetur autem , Monmodo hanet propositionem veram esse , sed etiam eius conuersam, ut ait Caualerius ibidem in corollario ; nimirum , quod centrum grauitatis figurae circa diametrum sic diametrum secar ut parips

PROPOSITIO II.

entr- grauitatis figurae proposito I x. secundi δείνι, sic

Histiust eius axim, erat pars ad terticem, sit ad reluquam erat parastelogrammum cucumsmptumsigurae ad

ipsam figuram. SIt quaelibet talis figura ABD, cuius diameter B E, centrum grauitatis O . Dico esse ut

233쪽

LIBER TERTIUS BD, ad O E, sic

parallelogram n mFD , ad fig ira nΑ B D . Hoc facit patet ; quia ex praedicta proposit parallelogrammum cs D, est ad figu

ram , Ut truncuS

dexter ad truncum sinistrum . Sed ex proposit. anteced. Vt truncus dexter L ad truncum sinistrum , sic,BO, ad O E. Ergo Vt BO, ad OE, sic F D , ad A B D . Quod &c.

Cum ergo ex dictis in primo, & secundo libro, tam infinitae parabolae , quam in finita trilinea, sint

figurae

234쪽

ai DE INFINITIS PARABOLIs Erc.

figurae praedictae conditionis; ergo centra grauitatis, seu aequilibri j ipsarum, secabunt earum axes in pMdEU ratione. Hanc propositionem probat etiam aualerius, loco supra citato, particulariter inparibdiis, & trilineis s ex quibus, &ex quadratura infinit sis parabolarum , & infinitorum trilineorum, deducit in primo corollario id, quod etia in nos possumus deducere. Nimirum in primo trili-ned , centriim grauitatis eius duplicati ad partes di, metri , seu centrum aequilibrij eiusdem, sic secare eius diametrum , ut pars ad verticem , sit ad reliqu*m , it a. ad i. In secundol, ut I. ad i. In tertio ut 4. aes i. & sic deinceps in in pnitum aucto antecede lite unitate, & retenta unitate pro consequente.

Ita prima vero parabola sic diuidit diametrum , ut par ad verti cym, sit ad reliquam ut 1. ad l. in secun , Vt 3. alii 2. In tertia ut η. ad 3. & sic in infinitum, auctis semper tam artecedente , quam consequentevnitate. unde in triliteo, est pars diametri

ad verticem terminata, ad reliquam , ut numerus trilinei unitate auctus, ad unitatem. Et componendo , tota diameter est ad eius partem ad basim terminatam , ut num Cri S parabolae binario auctus, ad x nitatem. In parabola autem, est pars diametri terminata ad verticem, ad reliquam, ut numeruS parabolae unitate auctus, ad numerum parabolata Et componendo , tota diamc ter est ad partem ad basim te minatam, ut duplus numerus parabolae unitate auctus, ad numerum parabolae .

235쪽

LIBER TERTIUS.

SCHOLIUM II

His probatis ulterius pergit Caualeriis, ostenens in proposit. 2 o. in qua linea sit centrum graui talis cuiuslibet semiparabolae . Inquie ergo, quod

ii sit centrum grauitatis duplicati trilinei FAD,

236쪽

6 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. seu aequilibrijsolius trilinei A D E quod enim est ..centrum grauitatis duplicati est centrum aequilibrijsimpliὶ & DC, sic diuidatur in Κ, ut sit sicut A E , cum EH , ad AH, sic DE, ad EC, quod k, erit centrum aequilibrij semiparabolae; &consequenter , quod in linea ducta per k, AC,

parallela. erit centrum grauitatis seminarabolae .

Ex quibus potest concludi, quod in prima parabola , erit DK, ad ΚC, vi q. ad x. In secundavi s. ad 3. In tertia ut 6. ad 4. & sic deinceps in

infinitum, auctis utrisque terminis unitate; Vnde antecedens talis proportionis, erit numerus parabolae auctus ternario, consequens Vero erit numeruS parabolae auctus,ni*ate. EX Oibus patet, quod tu n-ctis simul ambabus partibus basis DC, ipsa erit ad

Ck, ut duplus numerus parabQlae quaternario auctus, ad numerum Hrabolae auct&D unitate. Unde in unaquaqtie stipi parabola, eius semibasis talium partium, in quas diuidituria centro uilibri j semi- - parabolae, apte explicatur per duplum riumerum parabolae quaternario auctum, & eius dimidia per numerum par bolae binario auctum. In prima enim parabola A. & a. faciunt 6, nempe dirutum numerum parabolae cum quaternario. In secunda s.& 3. faciunt s. In tertia 6, & 4, faciunt i o. qui numeri continent numerum parabolae duabus vici-hus, α quaternarium; & sic in infinitum.

237쪽

Si Hred eundem axim sint duae figurae , quae imentu/Fecvt rassius figura sit axis rotatio is sRatis MMI bH orti ex tali relatione , ad solidum alud ex eadem genitum, componetur ex ratione AP d Ruram , ω

ex ratione interceptae inter centra rotationis , ον Ira talis Munius figurae , ad similem intercUtam . alterius figura .

SInt quaelibet figurae ABD, F C D A , circa

axem BE, quarum centra grauitatis P, V, Ρ, quidem ipsius FD; O, vero ipsius ABD. Dico rationem solidi ex FD, circa DA, ads lidum ex figura ABD, circa DA, componi ex ratione F D, ad ABD, & ex ratione EP, ad EO . Et pariter rationem solidi ex F D , circa FC, ad solidum ex A B D, circa FC, componi ex ratione figurae ad figuram, & ex ratione B P, ad B o. Super figuris inteligantur cylindrici recti aequealti secti diagonaliter plano transeunte perAD, S per G k, more solito Hin planum seca'bit duos cylindricos in trundos dexteros, & sinistrus ut patet. Tunc, quoniam ratio trunci AFCDKsi, ad truncum A B D H, componitur ex ratione ijsius ad cylindricum super F D ; huius ad cylindricum super A B D; & huius ad pridictum suum truncum sinistrum: & cum sit ut praedictus truncus sin bE e ster

238쪽

rum solidorum ro-mndorum compo- sinentur ex iisdem rationibus. Uerum quoniam ex Pro

ponendo , conuenendo, truncus

sinister cylindrici super p D, est adibidm cylindrscumlli per TD, ut P E, ad BE; & cylindricus super FD, est ad cylindricum super A B D , ut FD, ad ABD;& pariter cylindri- Fcus super AB D, est ad suum truncum sinistrum ex praecitata proposit. r. componendo , ut B E, ad E U. Ergo solidum ex figura FD, ad solidum ex figura ABD, ambabus

239쪽

circa FC, ad solidum ex figura ABD, circa it Ccomponi ex supra dictis rationibus . Quars Pit propositum ni ia- uni b

Patet ergo ex dictis, quod si FD, sit parAsse gram-πum : cylindrus ex ipsn erit ad solidum ex aliςra figura in ratibne composta ex ratione parallelogram mi ad figuram, & ex ratiode dimidij axis parallel grammi ad praedictam intercepta 3 quia centrum grauitatis parallelogrammi est in medio axis. Hi aliter, ratio cylindri ad solidiim componetyr ex ratione dimidii parallelogrammi, ad alteram figuram,&'ex ratione totius axis , ad illam inter Ptam . Nam priores rationes sunt eaedem cum posterior bus, ut clare patet.

240쪽

xa o DE INFINITII PARABOLIS ETC. Vel altero modo reuolutas ratio parallelogrammi ad figuram ι & ratio EB, ad B O, vel BO; vel ratio dimidiae B E, ad Eo, vel BO. Datis enim rationibus parallelogrammi ad figuram, di dimidiae B E,

ad alteram ipsarum, 'EO, BO', statim datur ratio cylinis dri ex FD, ad alterutrum selidorum irotundorum ex figura; Parite datis rationibus evlindridum ex figura , parallelogram mi

ad figuram, si hye

subtrahatur a Ia tione cylindii ad solidum rotundum; relinquetur ratio

consequenter dabitur centrum gra uitatis figurae. Si vero dentur rationes cylindri ad solidum , de dimidiae EB, ad Bo, vel LO, quae subtrahatur a ratione cyli

SEARCH

MENU NAVIGATION