장음표시 사용
231쪽
non IE, secans EP, in L. Erunt itaque BF, EP, DN, inter se parallelae, quia iungunt aequales, S parallelas. Ob eandem rationem, erunt parallelae BD, IK ; Κ FN; Di, kF. Rumniam vero DI, bifariam istat BF, & ideo bifa.riam quoque secabit onmes in trianguloe DBF, ipώ- 'si BF, arquidistantes, quae sunt drametri parallelogrammorum in solido A B C F, plano A G, parallelorum , ut clare Paled. Ergo i D, transmii per centrum grauitatis uniu sciliusque illorum s ae proinde in eadem In, eric centrum grauitatis trunci simistri A BCF.': Hoc supponatur esse M. Eodem modo ostendemus in F Κ, esse dentium grauitatis truta serieri . cuin om/ L: medi vi
dricii ergo si ab M, per f, productitur 11 L pist
vsque ad Fh, cui incidat in H, erit H centrum grauitatis trunci dexterivi Elicitur ex Archi. p. 'atqui p. proposit. 8. Quia ergo triangula Mi L,LFI k, sunt similia, propter parallelas DI, EF. ideo ut M L, ad L H, ita lL, ad L h. Sed veM L, ad L H, sic reciproce truncus dexter , ad truncum sinistrum, ex eodem Archi. ibidem proposit. 6. &7. Ergo & ut FP, ad PN, sc recipio-ce truncuS dexter , ad truncum sinistrum. Quod
232쪽
Vt diximus supra, haec propositio est uniuersali Lsima, adeo ut coMprehendat omnes figuras circa diametru m. Quamuis autem supposuerimus planum transire per A C , & pes F, , nihilominus idem concludetur. etiam ii planum seςans transeat per O G, & per B ; truncus enim dexter, erit ad tru cum sinistrum reciproce ut =P, ad P N. Cylindricus enim sectus sive 'no, siue altero modo , se persecatur in trunco , quumn dexteri , sicuti & . nistri, sunt inter se qualeS, Notetur autem , Monmodo hanet propositionem veram esse , sed etiam eius conuersam, ut ait Caualerius ibidem in corollario ; nimirum , quod centrum grauitatis figurae circa diametrum sic diametrum secar ut parips
entr- grauitatis figurae proposito I x. secundi δείνι, sic
Histiust eius axim, erat pars ad terticem, sit ad reluquam erat parastelogrammum cucumsmptumsigurae ad
ipsam figuram. SIt quaelibet talis figura ABD, cuius diameter B E, centrum grauitatis O . Dico esse ut
233쪽
parallelogram n mFD , ad fig ira nΑ B D . Hoc facit patet ; quia ex praedicta proposit parallelogrammum cs D, est ad figu
dexter ad truncum sinistrum . Sed ex proposit. anteced. Vt truncus dexter L ad truncum sinistrum , sic,BO, ad O E. Ergo Vt BO, ad OE, sic F D , ad A B D . Quod &c.
Cum ergo ex dictis in primo, & secundo libro, tam infinitae parabolae , quam in finita trilinea, sint
234쪽
ai DE INFINITIS PARABOLIs Erc.
figurae praedictae conditionis; ergo centra grauitatis, seu aequilibri j ipsarum, secabunt earum axes in pMdEU ratione. Hanc propositionem probat etiam aualerius, loco supra citato, particulariter inparibdiis, & trilineis s ex quibus, &ex quadratura infinit sis parabolarum , & infinitorum trilineorum, deducit in primo corollario id, quod etia in nos possumus deducere. Nimirum in primo trili-ned , centriim grauitatis eius duplicati ad partes di, metri , seu centrum aequilibrij eiusdem, sic secare eius diametrum , ut pars ad verticem , sit ad reliqu*m , it a. ad i. In secundol, ut I. ad i. In tertio ut 4. aes i. & sic deinceps in in pnitum aucto antecede lite unitate, & retenta unitate pro consequente.
Ita prima vero parabola sic diuidit diametrum , ut par ad verti cym, sit ad reliquam ut 1. ad l. in secun , Vt 3. alii 2. In tertia ut η. ad 3. & sic in infinitum, auctis semper tam artecedente , quam consequentevnitate. unde in triliteo, est pars diametri
ad verticem terminata, ad reliquam , ut numerus trilinei unitate auctus, ad unitatem. Et componendo , tota diameter est ad eius partem ad basim terminatam , ut num Cri S parabolae binario auctus, ad x nitatem. In parabola autem, est pars diametri terminata ad verticem, ad reliquam, ut numeruS parabolae unitate auctus, ad numerum parabolata Et componendo , tota diamc ter est ad partem ad basim te minatam, ut duplus numerus parabolae unitate auctus, ad numerum parabolae .
235쪽
His probatis ulterius pergit Caualeriis, ostenens in proposit. 2 o. in qua linea sit centrum graui talis cuiuslibet semiparabolae . Inquie ergo, quod
ii sit centrum grauitatis duplicati trilinei FAD,
236쪽
6 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. seu aequilibrijsolius trilinei A D E quod enim est ..centrum grauitatis duplicati est centrum aequilibrijsimpliὶ & DC, sic diuidatur in Κ, ut sit sicut A E , cum EH , ad AH, sic DE, ad EC, quod k, erit centrum aequilibrij semiparabolae; &consequenter , quod in linea ducta per k, AC,
parallela. erit centrum grauitatis seminarabolae .
Ex quibus potest concludi, quod in prima parabola , erit DK, ad ΚC, vi q. ad x. In secundavi s. ad 3. In tertia ut 6. ad 4. & sic deinceps in
infinitum, auctis utrisque terminis unitate; Vnde antecedens talis proportionis, erit numerus parabolae auctus ternario, consequens Vero erit numeruS parabolae auctus,ni*ate. EX Oibus patet, quod tu n-ctis simul ambabus partibus basis DC, ipsa erit ad
Ck, ut duplus numerus parabQlae quaternario auctus, ad numerum Hrabolae auct&D unitate. Unde in unaquaqtie stipi parabola, eius semibasis talium partium, in quas diuidituria centro uilibri j semi- - parabolae, apte explicatur per duplum riumerum parabolae quaternario auctum, & eius dimidia per numerum par bolae binario auctum. In prima enim parabola A. & a. faciunt 6, nempe dirutum numerum parabolae cum quaternario. In secunda s.& 3. faciunt s. In tertia 6, & 4, faciunt i o. qui numeri continent numerum parabolae duabus vici-hus, α quaternarium; & sic in infinitum.
237쪽
Si Hred eundem axim sint duae figurae , quae imentu/Fecvt rassius figura sit axis rotatio is sRatis MMI bH orti ex tali relatione , ad solidum alud ex eadem genitum, componetur ex ratione AP d Ruram , ω
ex ratione interceptae inter centra rotationis , ον Ira talis Munius figurae , ad similem intercUtam . alterius figura .
SInt quaelibet figurae ABD, F C D A , circa
axem BE, quarum centra grauitatis P, V, Ρ, quidem ipsius FD; O, vero ipsius ABD. Dico rationem solidi ex FD, circa DA, ads lidum ex figura ABD, circa DA, componi ex ratione F D, ad ABD, & ex ratione EP, ad EO . Et pariter rationem solidi ex F D , circa FC, ad solidum ex A B D, circa FC, componi ex ratione figurae ad figuram, & ex ratione B P, ad B o. Super figuris inteligantur cylindrici recti aequealti secti diagonaliter plano transeunte perAD, S per G k, more solito Hin planum seca'bit duos cylindricos in trundos dexteros, & sinistrus ut patet. Tunc, quoniam ratio trunci AFCDKsi, ad truncum A B D H, componitur ex ratione ijsius ad cylindricum super F D ; huius ad cylindricum super A B D; & huius ad pridictum suum truncum sinistrum: & cum sit ut praedictus truncus sin bE e ster
238쪽
rum solidorum ro-mndorum compo- sinentur ex iisdem rationibus. Uerum quoniam ex Pro
sinister cylindrici super p D, est adibidm cylindrscumlli per TD, ut P E, ad BE; & cylindricus super FD, est ad cylindricum super A B D , ut FD, ad ABD;& pariter cylindri- Fcus super AB D, est ad suum truncum sinistrum ex praecitata proposit. r. componendo , ut B E, ad E U. Ergo solidum ex figura FD, ad solidum ex figura ABD, ambabus
239쪽
circa FC, ad solidum ex figura ABD, circa it Ccomponi ex supra dictis rationibus . Quars Pit propositum ni ia- uni b
Patet ergo ex dictis, quod si FD, sit parAsse gram-πum : cylindrus ex ipsn erit ad solidum ex aliςra figura in ratibne composta ex ratione parallelogram mi ad figuram, & ex ratiode dimidij axis parallel grammi ad praedictam intercepta 3 quia centrum grauitatis parallelogrammi est in medio axis. Hi aliter, ratio cylindri ad solidiim componetyr ex ratione dimidii parallelogrammi, ad alteram figuram,&'ex ratione totius axis , ad illam inter Ptam . Nam priores rationes sunt eaedem cum posterior bus, ut clare patet.
240쪽
xa o DE INFINITII PARABOLIS ETC. Vel altero modo reuolutas ratio parallelogrammi ad figuram ι & ratio EB, ad B O, vel BO; vel ratio dimidiae B E, ad Eo, vel BO. Datis enim rationibus parallelogrammi ad figuram, di dimidiae B E,
ad alteram ipsarum, 'EO, BO', statim datur ratio cylinis dri ex FD, ad alterutrum selidorum irotundorum ex figura; Parite datis rationibus evlindridum ex figura , parallelogram mi
subtrahatur a Ia tione cylindii ad solidum rotundum; relinquetur ratio
consequenter dabitur centrum gra uitatis figurae. Si vero dentur rationes cylindri ad solidum , de dimidiae EB, ad Bo, vel LO, quae subtrahatur a ratione cyli