장음표시 사용
241쪽
' LDAR τ sarrpus VHacylindri ad solidum 3 relinquetur latio parallel grammi ad figuram , & consequenter figu e quadratura. rmo ex dictis aduertatur etiam , quod sidentur proportiones parallelogrammi F D, ad figuram ABD, & dimidiae B E, ad OB, vel o E; dabuntur etiam cubationes truncorum cylindrici super figura. Nam cum, datis explicatis, detur etiam ratio cylindri ad solidum rotundum ex figura ι &cum haec ratio sit eadem ex schol. 3. proposit. Io. huius, cum ratione prismatis, nempe dimidij cylindrici super parallelogrammo ,ad alterutrum truncorum cylindrici super figura: patet dari talium trum
- iEx supradicta ergo doctrina, & ex dictis in scholijs
antecedentis proposit. patet quomodo possimus hahere rationem cylindrorum circumscriptorum omnibus fusis parabolicis: omnibus annullis strictis infinitarum parabolarum acceptis iuxta rectitudinem basis i omnibus conoidibus parabolicis r omnibus annullis strictis ortis ex rotatione semipar Myarum circa ductam per extremitatem basis diametro parallelam: omnibus solidis ex rotatione imfinitarum triIineorum circa basim: omnibus solidis
ex ijsdem reuolutis circa parallelam basi ductam per vel ticem: omnibus conicis: & olfinibus solidis ex ijsdem circa basim semiparabola,ad ipsa solida . Sed quia
242쪽
a DA INFINITIS PARAEMG ETC. quia hae rationes insuperior i libro patefactae simi,&ex dictis in praesenti eadem colligerentur , ideo scienter hoc relinquimus industriae lectoris.
axim B E, cuius centrii ingrauitatis Dico soli. dum rofundum ex figura ABD, circa AD, nempe ju -β minionis B E, centrum L, ad sui- dum ocimum ex eadem figura circa F C, ne et cui Is radius rotationis BE centrum B essis vη
243쪽
ir IRER TERTIUS. a13 dimidiam EB; S pariter ex eodem scholio, ratio cylindri ex parallalogranimo, ast *lidum ex figura circa FC, componitur ex ratione parallelogrammi ad figuram, & exratione dimidis BI, ad B O. Ergo & ratio tolidi ex figura A BD, Circa AD, ad solidum ex figura ABD, circa FC, Componetur ex ratione figurae adparallelogrammum , ¶llelogrammi adciguram Fg pportio ex his composita, est aequalitatis & ex proportionibus E O, ad dimidiam, BE, & huius dimidiae ad B O, nempe ex ratione EO, ad OBI. Ergo solidum ex figura circa AD, ad selidum ex figura circa FC, eritvet Eo, ad O B. Quoderat Ostendendum .
SVper figura ΑBD, concipiatur cylindricus ressus sectus diagonaliter planotranseunte per
AD, & per H. Quoniam ex propositor . sec di, tam truncus dexter est ad solidum ex ABD, Urca FC, quam truncus sinister ad solidum ex eadem figura circa AD, vi Η Β, ad eiret seren- am eirculi,'cuius radius BE . Ergo & truncus dexter erit ad selidum circa FC, ut truncussiύ- ster ad solidum circa A D. Quare & permutando, ut truncus dexter ad truncum sinistrum ' nempe ex proposit. a. huius. ut reciproce Bo, ad OE, sic solidum ex figura cirea FCςiad solidum ex eadem figura circa A D. Quod &co r: cin SCHO-
244쪽
Quam vero faecundae sint superiores propositiones, & quam copiosi sint fructus, quos ex ipsis colligere lice in sequentibus patebit. Interea sit.
Quod si ABD, sit quaelibet ex infinitis par, bolis: solidum ex ipsa circa F C, nempe annulus strictus secundum rectitudinem basis,erit ad solidum ex eadem figura circa A D, nempe ad susum parabolicum, ut numerus parabolo auctus unitate ad numerum parabolae. Nem pe in prima parabola ut x. ad I. In secunda ut 3. ad a. &G
Si vero BCD, quodlibet infinitorum trilineorum rotetur primo circa BE, deinde circa CD: solidum ex trilineo circa BE, ad solidum ex trili- neo circa C D, erit ut numerus trilinei unitate auctus ad unitatem. it. .
Verum si semiparabola BDE, rotetur prius cim ea CD, postea circa BF, ut fiat conΟideSparabolicuiΓ:
245쪽
hesim solidum circa C D, ad solidum ei rea'Η Η, erit vinii menas parabolae ternariorum parabblae unitare astruim. Nempe in lirhfia parabola vi q. ad a. infecunda Vr s. ad 3. in fertia vies. ad 4.3ese in infinitum Rationes supradictorumcὀrothiriorum dependent ex scholijs primae huius.
cuiusicumque semiparaboti centrum νrauitatis
Cuius-vertex B, Moporteat eius centrum grauitatis re perire.
BA, D, Vt D A, ut numerus kiparabolae unitate auctus ad nume. A E R A r rum parabolae. Erisgo ex scholio i. propos t. h. huius, D, est centrum grauitatis parabolae, &consequenter centrum aequi
librij semiparabolae ABC, a ppenta secundum ΒΑ.
Ergo si ducatur DF, AC, parallelam ea erit Cen trum grauitatissemiparabolae. Pariter C A, sic se Ff cetur
246쪽
116 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
retur in E , ut CE, sit ad EA, Vt numerus p rabolae vernario auctus, ad numerum parabolae unutate auctum. Ergo ex scholio a. eiusdem proposit. E, erit centrum aequilibris semiparabolia acceptae se cundum rectitudinem A C. Ergo si ducatur EL, B A, parallela, in ipsa erit, centrum grauitatis semiparabolae. Sed & in DF. Ergo erit punctum H. Inuentum est ergoc rurum grauitatis semiparabolae. Quod&c.
Si per centrum grauitatis cuiuscumquesemiparabia, oepermermem ducatur Geu secans basim. Haec eam latiter . secabit lipars ad diametram ,sit ad reliquum it duplus numerus parabola multate li:
SInt eadem, quae in antecedenti proposit. & sieducta B H Κ. Dico A Κ, esse ad K C, ut
duplus numerus parabolae auctus unitate, ad tern rium. V. g. in prima parabola vi s. ad 3. In secunda Vt F. ad 3. In tertia ut T. ad 3. In quarta ut 9. ad 3.&sic in infinitum. Semiparabolae circumscribatur parallelogrammum AM, & EG, producatur unque ad L. Quoniam enim triangulum B HL, adverticem simile est triangulo E H k; ergo ut Linad.HE, sic BL, seu A E, ad Eh. Sed L est ad H E, ut numerus parabolae unitate auctus ad
247쪽
LIBAR TERTIUS. a1 ad numerum parabolae. Ergo & Α E, erit ad E h,
ut numerus parabolae unitate auctus ad numerum parabolae. Sed A E, ex dictis, erat ad totam EC, ut numerus parabolae unitate auctus ad numerum a parabolae auctum ternario. Ergo Α Ε, erit ad reliquam EC, ut numerus parabolae unitate auctus ad ternarium;& Eh, erit ad eandem KC, vinumerus parabolae ad ternarium . Ergo componendo ambas simul Α E, Ehς erit Ah, ad EC, ut duplus numerus parabolae unitate auctus ad ternarium. h. Quod erat ostendendum.
Rotaui cuiuscumque semiparabola , dempto ab ea triangulo inscripta, centrumgrauitatis assignare .
superiori propositione, & in praesenti, & in aliqui bus ex sequentibus procedere per umodum proble malis , ob eu itandam titulorum
longitudinem, & Aprolixitatem, quae
248쪽
11 8 DE INU S PARABOLIS ETC. est in eu: tabilis si tales prc postiones proponantur. per modum Theorematis. Sit ergo quaecumque semiparabola, prima excepta, A DC, in qua sit inscriptum triangium ADC. Oportet reliquae figurae
Diuidatur C D, in punctis F, & F; in F, ut CF, sit dupla FD; in F, vero, ut CE, sit ad
E D, Vt numeruS parabolae ternario auctus, ad numerum parabolae auctum unitate. Fiat deinde rinumerus parabolae Unitate minutuS,ad numerum parabolae unitate auctum sic FE, ad EG; & per G, ducatur se H k, , parallela diametro AD, secans rectam AC, 'in H, curam th h, v A R, latus parallelogrammicircumsciupti in T. Pariter AD, s cetiar in L, ut A L, sit dupla LD; ω in M, ut Amst ad M'D. ut numerus parabolae auctus unitate,adnumerum parabolae; & fiat ut F E, ad E G. M LM, ad ris I ni N, ducatur N in , parallela D. Q secans GT, in puncto R; Dico centrum gravi tat is figurae praedictae origineoim CF, est: dut,la F D. Ergo ex schos a. pro M. 3. huius, F, eri centrum aequilibrij trianguli AjDC, iuxta renctym D C, appc nsi. λriter qupulam C E. est a
EP, ut numerus parabOIae auctus ternario, ad nu, ingruis parabolae auctum unitate; ergo ex schol. 2. et ijd. propos erit E, centrum aeqtu librij totius se- neparabolae acceptae secundum rectitudinern DC.
249쪽
LIBER TERTIVS. 22s . bolae unitate minutus ad numerum parabolae uni. tate auctum; & cum sit ut numerus parabolae unitate minutus, ad numerum parabolae vn itate auctum, sic,
ex conuerso scholij primi propos t. a. primi libri, si-
gura contenta a recta, Scurua AC, ad triangulum AC R, sed D AC PRErgo ut F ε, ad EG, uc reciproce figura AP CA, ad triangulum ADC. Ergo ex Archimede in prim aequipond. quem necesse est Iectorem ad sequentium intelligentiam peroptime callere in erit G, centrum aequilibrij fgurae A P
aeeeptae secundum DC Ergo in Gh, erit centrum grauitatis praedictae figurae . Eodem modo ostendetur L, esse centrum quilibrij trianguli ADC, secundum rectitudinem A D; & M, esse centrum aequilibrij semiparabolae secundum eandem rectitudinem; & N, esse centrum aequilibrii figurae . A PC,'
250쪽
aso DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
iuxta eandem rectitudinem s ac proinde in NP, eL
se centrum grauitatis figurae A P C. Sed & in G ICErgo in Q. Repertum est ergo,&c. Quod &c-
Sed ex dictis possumus dedueere, excessum semia parabolae supra triangulum sibi inscriptum, in nulla parabola esse parabolam eiusdem rationis cum tota, nisi in sola parabola quadrattea. Quod enim sit v ra parabola in quadratica, probatur ab Appollonio primo Conic. prop. 46. Quod vero in nulla alia sit, patet. Nam si tali s esset, eius centrum grauitatis esset in linea secante AC, bifariam, qui esset eius
diameter. Sed ΚΗ, in qua est eius centrum grauitatis , in nulla alia parabola a quadrati secat A C. bifariam. Ergo non erit vera parabola. Quod vero h H, non secet AC, bifariam , quilibet potarit e periri methodo , qua nos deincepS experiemur in parabola cubica. Experietur enim, quod quo magis progredimur versus parabolas altiorum potestatum, eo magis linea. Gh, accedit ad C R, sed tali
ter ut semper CG, sit maior dimidia D G; quia solum in triangulo A RC, CG, est dimidia G D. Centra ergo ςquilibrij infinitarum figurarum APC,, continentur omnia in linea, quq sit sexta pars DC, ordine quarta a D. Modus autem patefaciendi GT, in nulla parabola a quadratica secare A C, bifariam, & experiendi,