장음표시 사용
251쪽
riendi, quet dicta sunt, sequens est in parabola cubica. Quoniam ex schol. a. proposit. a. huius,qualium
C E, est 6, talium D E, est 4. Ergo qualium CE, est s, talium DE, erit 6. Tota CD, I s. & DF, qui erat tertia pars DC, 33 FE, r ; & FC, Io. Cum autem parallelogrammum DR, sit sesquitertium semiparabolet; ipsa erit sesquialtera trianguli. Unde diuidendo, figura A PC, erit dimidia trianguli ADCEt consequenter ex supradictis, quarum Fri est is talium EG, erit a. Sed talium DF, eratis, & tota DC, as. Ergo talium D G, erit ου,εc G C, 7. Eodem modo procedemus in alijs par bolis , in quibus semper inueniemus GT, magis accedere ad R. C, ut dictum est . Sed cum talis methodus inueniendi tale centrum aequilibrii non contineat aliquam determinatam progressio
252쪽
a 3 a DE INFINITIS PARABOLIS ETC. nem, ideo de tali methodo amplius verba non sa-cimus. A
Si quis vero scire cupiat in qua propol tione sec tur hH, a centro grati iratis figurς APQ id ei licebit inuenire operando congruenter ut nos statim faciemus in paraonia cubica, in qua, Quoniam ducta Sh, parallela DC, est DA, ad AS, ut cubus DC, ad cubum S he cubus autem DC, quia DC, est 337 1i & cubus. D G, seu SE, quia D G, est 8, ut dictum est, est sis. Ergo DA, ad AS, erit ut 337 . ad 3 Ιχ. Ergoper conue dionem rationis, erit AD, ad D S, seu ad Gh, ut 3373. ad 2863. Verum in triangulo hDC, ut DC, ad CG, nempe ut I s. ad 7. se AD, ad HG. Ergo qualium AD, est is, talium H G, erit T. Ergo qualium,AD, est 3 373, talium GH, ei itI373. Sed talium erat tota Gh, a 863. Ergo talium erit ΚΗ, i 288. Pariter quoniam qualium AM, est Α, talium MD, cst 3i Ergo qualium AM, est i L. talium)M D, erit 9 . & tota A D, at . Sed talium & DL, est T. Ergo DL, erit 7. L M, a.
M A, I a. in eadem mensura. Quoniam autem parallelogrammum est sesquitertium semiparabolae,& semiparabola sesquialteia trianguli, & Α PC, subdupla trianguli,si N, sit centrum squilibrij APRquarum L M, erit a, talium M N, erit 6. Ergo reliqua
253쪽
liqua N A, erit 3, qualium tota D A, est aa. Ergo qualium D A, est 3373, talium AN, erit ia83, cum quindecim vigesimisprimis. Sed talium A S, erat siet. Ergo talium reliqua S N, seu Κ Q, erit 773, cum l3. Vigesimis primis. Talium autem erat tota kH, I 288. Ergo talium erit RH, sl 8, cum 6. vigesimisprimis. Eodem modo licet discurete in reliquis. Sed cum non contineant aliquam seriem,
254쪽
Omlibet infinitorum tritaeorum centrum grauitatu reperme.
ESto quodlibet nil ineum B M C, cuius opor
teat centrum grauitatis reperim. Sit ei circumscriptum parali clograminum A M, & BM, silc diui datur in N, ut BN, sit ad NM, vi numerus parabolae unitate anctus ad unitatem. Ergo N, erit centrum aequilibrii trilines accepti secundum B M, ex schol. I. proposit. a. huius. Ducatur NOP, parallela B A. Ergo in ipsa erit centrum grauitaxis trilinei BM C. Diameter B A, semiparabolae diuidatur bifariam in Q, & in D, ut B D, sit ad D A, ut numerus parabola: unitate auctus ad numerum parabolae. Deinde fiat ut unitas ad numerum parabolae, sic D Q, ad QR, &per R, ducatur RGI , parallela AC, secans N P, in G. Dico G, esse centrum grauitatis trilinei B M C. Quoniam enim est centrum aequilibrij parallelogrammi AM, accepti secundum AB,& D, est centrum aequilibrijsemiparabolae ABC, ex schol. i. secundae huius,&Dinad Qtti facta est ut unitas ad numerum parabolae ; nempe reciproce ut trilineum B M C, ad semuparabolam AB C. Ergo R, erit centrum aequili-bsij trilinei BM C. Ergo in R T, erit centrum grauitatis talis trilinei. Scd & in N P. Ergo in puncto
255쪽
LIBER TERTIUS. A IG. Repertum est ergo centrum grauitatiS praedicti trilinei. Quod erat faciendum.
B M C, accepti secundum AB, seu C M, sic secare v.
g. CM, in T, ut C T, sit ad T M,
ut triplus numerus parabolae vn itate auctus, ad numerum parabolae Unitate auctum. Quoniam enim BD, est ad DA, ut numerus parabolae unitate auctus adnumerum parabolae ; nempe ut duplus numerus parabolae binario auctus, ad duplum numerum para' bolae. Ergo qualium BA, est quadruplus numerus parabolae binario auctus, & talium AD, duplus numerus parabolae, & BQa seu Ain duplus numerus unitate auctus, Druerit unitas. Sed cum qua lium D est unitas talium QR , sit numerus parabolae . Ergo talium reliqua BR, erit numerus parabolet unitate auctus, & AR, triplus numerus parabols unitate auctus. Α R, ergo erit ad R B, seu
256쪽
13 6 DE INFINITIS PARABGLIS ETC. C L, ad T M, ut triplus numerus paraboli unitate auctus, ad numerum paraboli unitate auctum . Ex quibus potest esse corollarium quartum ad proposit. q. huius,quod si trilineum B MC, rotetur priuS circa AC, postea circa BM: solidum ex trilineo circa AC, erit ad solidum ex trilineo B M C, circa BM,
ut triplus numerus paraboli unitate a uetus, ad numerum parabolς unitate auctum. V. g. in primo trilineo vi q. ad a. In secundo ut T. ad s. in testio ut ro.
I per centrum grauitatis cuiuslibet tribuet , ω per meri cem ipsius ducatur linea secam basiis. Haec eam talia tersecabit, qui pars ad curuam sit ad rei quam
ad diametrum ut triplas numerus tribuet ad numerum trilinei auctum binario .
Esto tritio eum ut in antecedenti propositione,& per B, & G, ducatur B G V, secans basim
M C, in U. Dico C V, esse ad V M, ut triplu s numerus trilinei, ad numerum trilinei binario auctum. Nempe in primo ut 3. ad 3. In secundo ut 6. ad 4. In tertio ut 9. ad s. S sic in infinitum. Quoniam enim triangulum BR G, ad vel cem st simile triangulo TGU. Ergo BR, scu Mi, erit ad TV, ut RG, ad GT; seu ut BN, ad NM; nempe Vt numeruS
257쪽
vnitate auctu S, T V, erit unitas . Ergo reliqua CV, erit triplus numerus trilinei, & M V, erit numerus trilinei binario auctus. Quod erat osten
Ergo in trilineo quadratico, CV, erit sesquialtera V M. Ex quibus constat, propositionem a r. Lucae Valeri j lib. 3. de cent. graui: sol. in qua hoc demonstrat, esse nostrae corollarium; sicuti est corollarium piaesentis, & 6. huius propositio I 3. Archimedis i . AEqui pon. & omnium illorum, qui probant centrum grauitatis rrianguli esse in linea, quae ducta a vertice secat basim bifariam. PRO-
258쪽
a 3 8 DE INFINITIS PARABOLM EIQ
E x0 qu*libet parabola ABC, in qua sit ducta
Η k, basi parallela. Oporteat assignare cen tium grauitatis frusti AH KC. Secetur BE, in Q Vt BQ, sit ad ine, ut numerus parabolae Uni late auctuS ad numerum parabolae; in tali ratione dividantur DB, in P, & BD, in S; deinde super
259쪽
per hasi AC, & circa diametrum DB, concipiatur parabola ADC, susdem gradus cum ABC3 fiatque ut BD, ad D , .sic SD, ad QR, a ferrendam a Q S, ineipiendo a in deinde fiat ut ΑΟ, quae si differenti inter Α Ε, H ad ΗD, sic SR, ad RT. Tandem ratio A E, ad H D,
continuetur in tot ter nos, ut numerus eorum ex
cedat Unitate numerum parabolae st L, ultimus terminus; TP, autem sic secetur in V, ut PV, sit ad V T, ut L, ad reliquas proportionales. Dico V, esse centrum grauitatis, frusti AHEC. Quoniam enim BE, diuisa fuit in Q, ut BQ, sit ad
QE, ut numerus parabolae unitate auctus, ad numerum parabolae. Ergo ex schol. 1 . propos t. a. huius, Q, erit centrum grauitatis parabolae AB C. Eodem modo patebit S, & P, esse centra grauitatis parabolarum H ΒΚ, AD C. Verum qu niam eadem pars est tota EO, totius EB, . sicuti pars EP, partis E D; ergo & reliqua PQ, erit eadem pars reliquae DB, sicuti tota Eia, totiusEB. Sed & qualis pars erit E Q, ipsius EB, talis pars est etiam DS, eiusdem DB. Ergo duae PQ, DS, erunt quales. At quoniam ex prop.
q. lib. primi, ut BE , ad E D, sic parabola ABC, ad parabolam ADC. Ergo& diuidendo, ut BD, ad DE, sic ABC D, ad parabolam ADC. Sed ut BD, ad DE, sic ex constructione, SD, seu et squalis P Q , ad Q R. Ergo & vi P in, ad in , sic reciproce figura ABCD, ad parabolam
260쪽
α o DE INFINITIS PARABOLIS ETC. AD C. Sed, ex dictis, Q, est centrum grauitatis totius parabolae ABC, Ρ, parabolae A DC. Ergo ex Archimede, R ubicumque cadat erit centrum grauitatis figurae ABCD. Pariter quoniam ex proposit. 3. lib. i. diuidendo, ut AO, ad H D, sic segmenta AH D, DEC, ad parabolam H Bk;& supra factum est ut A O, ad H D, sic S R, ad RT. Ergo ut SR, ad RT, sic reciproce segmenta A H D, D k C, ad parabolam H B Κ. At R, est centrum figura: ABCD, S, parabolae HB h. Ergo
ex Archimede, Terit centrum segmentorum AHO, DKC, simul sumptorum. At quoniam ex corollar.