De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

261쪽

. . . LIBER TERTIUS. set proposit. 8. lib. prim. talia segmenta sunt ad par bolam ADC, utvltima proportionalium inuenta L, ad summam reliquarum ;&ut talis proportionalis ad talem summam sic facta in P U, ad U T. Er-- go vi P V, ad V T, sic talia segmenta ad AD C. Ergo conuertendo, erit reciproce ut T V, ad V P, sic parabola A D C, ad segmenta A H D, D E C. Verum T , est centrum segmentorum; P, parabolae AD C. Ergo V, erit centrum toti tis frusti

Ex supradicta nostra methodo uniuersali inu niendi centrum grauitatis omnium segmentorum

parabolarum inclusorum inter duas lineas basi parallelas, potest deduci id, quod particulariter Archim. lib. i. AEquip. proposit. is. &alij ostendunt. Nempe V, centrum grauitatis trapezij AHkC, cuius opposita latera AC, Hk, sunt parallela sic diuidere T P, mediam tertiam partem D F, ut TV, si ad V P, ut A F, ad H D: & ut dupla A E, cum H D, ad duplam H D, cum A E, sic D V, ad V E. Quod vero res sic se habeat statim patebit. QuOniam enim in trapezio, PE, est tertia pars DE, quia ADC, est triangulum, & QP, ex ostensis, aequatur s D, quae est tertia pars BD, & BS, est duae tertiae partes eiusdem BD s ergo Sin, aequa lis DP, erit duae tertiae partes DE. Cum ve-Hh ro

262쪽

x a DE INFINITIS PAR B G ETC.

ro χῖ, sit tertia pars eiusdem DE quia factum est ut BD, ad DE, sic SD, tertia pars BD, ad DR . Ergo Sit, erit tertia pars DE. Item cum factum si ut A O, ad H D, nempe ut E in ad D B, sic SR, nempe tertia pars DE, ad RT. Ergo RT, erit tertia pars B D; nempe squalis SD. Tunc punctum R, vel cadit in D, vel supra,vel infra,sed semper supra Τ, ut clare patet. Si cadit in D Quod tunc accidit quando punctum D, secat bifariam . BE) cum TR, aequetur SD; erit TD, tertia pars DE. Si vero cadit supra quod accidit quando E D, maior D B) quoniam T R, est aequalis SD;communi

263쪽

LIBER TERTIVI. a 41mnni ablata RD, supponitur enim R, supra D, licet stultor non exprisserit remanet S R, tertia pars D E, aequalis D T. Si vero tandem R, cadit inter T, D, nempe quando BP, et maior D Eὶ . Tunc, quoniam T R, arquatur SD; communi addita DR. Ergo TD, aequabitur S Rι nempe tertiae parti D E. Patet ergo semper DT, esse tertiam partem D E: sed etiam, per nostram regulam, I P, quae est tertia pars DE,sic diuiditur in A, ut TV, sit ad V P, vi Α Ε, ad H D. Ergo statim admodum, quo facit Archimedes, concludemus esse DU, ad V E, ve

dupla A E, cum H D, ad duplam H D, cum A E.

SCHOLIUM II

sed ex si aperioribus propositionibus quam plurima possumus assignare. Nam primo circum scriptσsegnento AHkC, parallelogrammo GC, reu lutoque hoc cum segmento vel circa AC, vel circa H k; possumus assignare rationem cylindri ex GC, ad solidum ex segmento AHEC, reuoluto vel circa AC, vel circa HK. Nam ex conuerso secundae partis propost. 8. p. habemus rationem paralllelogrammi adsigntentum;& ex hac habemus rationem D V, ad v E, & consequenter dimidiae D E , ad alter tram ipsarum DU, VE . Ex quibIsrationibus componitur, ex filios prim. Proposit. 3. huius , ratio cralindri ex GC, ad alterutrum solidorum rotundorum H h a ex

264쪽

a DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

ex segmento cirea AC, vel HE. Ratio ergo cylindri ex GC, ad alterutrum solidorum ex A H k C , siue circa A C , sue circa HE, Componetur ex ratione dimidiae DE, ad alterutram ipsorum D U, V E, & ex ratione magnitudinis, quae ad A E, H D, & caeteraS tot proportionales quotus est numerus parabolae se habeat ut

numerus parabolae unitate auctus ad numerum par.ibalae , ad A E , H D , & caeteras tot proportionales quotus est numerus parabolae unitate auctuS.

Quod si AH ΚC, si primum segmentum,

nempe

265쪽

nempe trapezium ordinarium. Erit cylindrus ex GC, ad alterutrum solidorum ex trapezio, ut quadratum A E , simul cum rectangulo A Ε, H D, ad rectangulum AE, FID, una cum tertia parte quadrati vel A E, vel FID, circa quam sit reuolutio, S cum subsesquialtero quadrati A E, vel H D, circa quam non fit reuolutio. Quod sic patebit. Nam ratio cylindri ex G C, ad solidum ex traperio V. g. circa A C, componitur ex ratione duplae AE , ad

AE, H D, ex 8. pri. huius, & ex ratione, dimidiae DE, ad EV. Verum, ut dimidia DE, ad EU, sic sesquialtera AE , cum sesquialtera H D, ad duplam H D, cum AE. Cum enim ex schol. anteced. sit ut D V, ad VE, sic dupla A E, cum H D, ad duplam H D, cum A F. Ergo re componendo, erit ut tripla AE , cum tripla H D, ad duplam H D, cum AE, sic DE, ad EU. Et antecedentium dimidia. Ergo ut sesquialtera A E, cum sesquialtera H D, ad duplam H D, cum A E, sic dimidia DE, ad EV. Ergo ratio cylindri ad solidum ex trapeZio circa AC, componetur quoque ex rationibus duplae AE , ad AB, H D, &sesquialterae compositae ex AE, H , ad duplam H D, cum AE. Sed ex istis rationibus componitur quoque iatio rectanguli sub dupla A E, in illam sesquialteram ; nempe rectanguli ei aequalis , sub A E, in triplam AE, & in triplam H D., ad rectangulum sub composita ex A F, HV, in duplam H &in AE. Ergo cylindrus erit ad illud solidum ve

266쪽

a 6 DE INFINITIS PARABOLIS ET . rectangulum sub Α E, in triplam AE, & in tri plana H D nempe ut triplum quadra m AE; cum triplo rectangulo A E, F D, ad rectangulum sub composita ex Α Ε, H D, in duplam H D, cum A Es nempe ad triplum rectangulum A si, res , cum duplo quadrato H D , & cum quadrato A E.

Ergo & cylindrus erit ad solidum ud tertiae partes horum planorum ad inuicem; nempe ut quadratum' Α Ε, cum rectangulo Α E, H D, ad rectangulum Α Ε, H D, cum tertia parte quadrati A E, & cum tertia parte duorum quadratorum H D nempe cum subsesquialtero quadrati H D.ὶ Eodem modo ostendetur cylindrum esse ad solidum ex trapezio circa H E, in praefata ratione, a Secundo si concipiamus tam super parallelo. grammD , quam super segmento cylindricos rectos aequeiatos sectos planotranseunte per AC, & perlatus opposituin ipsi GF; habebimus cubationem

virorumque truncorum is Nam ex schol. 3. Propo.

sit. Io sec. huius. prisma, quod est dimidium cylindrici super paralselogrammo, est ad alterutrum truncorum eylindrici super segmento, ut cylindrus

ex paralla logrammo G C, circae AC, vel GF se ad alterutrum solidorum ex segmento circa AC, vel GF.

Tertio ex proposit. 4. huius, sabemus rationem solidi ex segmento circa H c, ad solidum ex eodem segmento circa AC. Imo parricularius in napezio habemus, quod solidum ex trapezio A H k C

circa

267쪽

Segmenti AH Κ C, inuentum est U, centrum grauitatis modo explicato, ut simul explicaremus ea, quae explicata sunt ; caeterum tale centrum compendiosius potest reperiri, inueniendo, ut factum est, S, & G, centra grauitatis parabolarum ABC, HBE: deinde rationem δε E, ad HD, continuando

in tot terminos, ut numerus eorum excedat numerum parabolae binatio , adeo ut ultimus minimus terminus sit Lr tandem faciendo Vt excessus AE, sis

pra L, ad L, sic S ad Q.V. V, enim erit centrum quaesitum. Nam ut excessus ΛΕ, supra L, ad L, nempe ex schol. a. proposit, 3. lib. prim. diuidendo, ut segmentum 6ΗkC, ad HBh, sic reciproce S Q, ad Q U. Ergo ex Archim. V, est centrum quaestum.

. . . a

PROPOSITIO XI.

Segmenti cuiuscumque semiparabolae contenti duasus lineis basi parastelis, centrum aequid is in basi levare.

268쪽

8 DE INFINITIS PARABaLIS ETc. Eβxo quodlibet segmentum cuiuscumque semiis parabolis ABC D, adeo ut BC, AD, sint basi parallelae; B A, sit diameter segmenti, & A D,

sit maior BC. Opoitet in AD, reperire centrum aequilibris segmenti Λ BC D. Compleatur semi parabola A ED, &tam DA, quam C B, dividantur in F, & G, ut tam DF, ad FA, quam C G , ad G B, sint ut numerus parabol e ternario auctu S adnumerum parabolae auctum unitate; & per punctum G, ducatur GH, parallela EA; ratio DA, ad BC,

continuetur in tot terminos, Ut numeruS eorum excedat numerum parabol e binario, & sit ultimus terminus L; & fiat ut differentia inter DA, & I , ad L, sic H F, ad FO. Dico O, esse centrum aequia libri j segmenti ABCD, accepti secundum AD; seu esse centrum grauitatis duplicati segmentio BGD , ad pariet fi Quoniam enim , itam

D o, quam BC, sectae sunt in punctis F,- , sicut tam .RD ad FA, quam CG , ad

ternario au tus parrabolae unitate auctum ; ergo ex schol.a. prop0sit, a.

huius, F, & G, erunt eentra aquilibrij semiparabolarum AED, BE C. Ergo & H, erit centrum aequilibrij semiparabolae BEC: idem enim est siue suspendatur ex G, siue ex H. Verum quoniam ex proposit. s. primi,semiparabola AED, est ad semiparabolam BEC, ut potestas AD, uno gradu aIrior potestate parabolae, ad similem potestatem B; nempe, Vt AD, ad L. Ergo Sc diuidendo, erit excessus

269쪽

MBER TERTIUS.

270쪽

,1 o DE INFINITIS PARABOLIS E TQ

SCHOLIVM α

Sed etiam in hac propositione, exsuperius dictis,' tria faciliter possumus assignare . Nam segmento circumscripto parallelogrammo AR; & reuoluto ipso cum stginentostae circa BA, siue circa R D : habebimus rationem cylindri ex parallelogrammo ad alterutrum solidorum ex segmento. Nam ex pro- possit. 8. p. habemus rationem parallelogrammi AR, ad ipsum segmentum. Quae autem sit talis ratio, recolenti schol.a. anteced proposit, patebit. Secundo,si tam super parallelogrammo,quam super segmento concipiamus cylindricos rectos aeque- altos sectos diagonal iter plano transeunte per A B,& per latus oppositum UR: habebimus cubationem amborum truncorum cylindrici super segmento . Ratio autem huius asserti recolenti superiora ficile innotescet. Tertio dabitur ratio solidi rotundi ex segmento reuoluto circa R D, ad solidum ex eodem segmento

reuoluto circa BA.