장음표시 사용
271쪽
o Aiubet tra Ut centrum aequilibris inmenire
It quodlibet ex infinitis trili
zium resectum DE, hasi AC, parallela, sic AD EC; & ioporteat huiusmodi trapezij cetrum aequilibrij in diametro E C, reperire. Super basi AC, S circa diametrum E C, concipiatur trilineum AEC, eiusdem generis cum ABC; diuidaturque BC, in ' i F, EC, in G, & BF, in H, sic ut BF, ad FG, B H, ad HB; & EG, ad G C, sint ut numerus trilinei unitate auctus , ad unitatem. Ergo ex schol. a. proposit. a huius, F, G, & H, erunt centra quilibri j trilin eoru in ABC, DBE, AEC, secundum BC. Postea fiat ut BE, ad EC, sic HE, ad i. Ii a FK,
272쪽
131 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. F Κ, auferrendam ab FH, incipiendo ab F. Deinde fiat ut A L, excessus AC, supra DE, ad DE, sic Hh, ad F M. Tandem N G, sic secetur in N, ubicumque cadat punctum N, ut G N, sit ad NM,
ut tot continue proportionales in ratione CB, ad B E, quotus est numerus parabolae unitate auctus, prima maiori cxcepta , nempe CB, ad ipsam CB. Dico punctum N, esse centrum quar si tum. Huius asserti demonstratio est fere eadem cum demonstra tione proposit. Io. huiuS. Nam eodem modo demonstrabimus GF, FH, aequale Scsie . item quoniam F, est centrum aequilibrij totius trilinei ABC,& G, partis eius i, nempe trilinei AEC, &factum est ut BE, ad EC; uempe diuidendo, ex proposit. 4. lib. i. ut A B F, ad A E C, sic H E, seu et aequalis G F, reciproce, ad Fh se ergo h, erit centrum aequilibrij figulae A BE. Pariter quoniam factum est ut A L, ad DE; nempe ex proposit. 6. prim .lib diuidendo, ut A DE, ad BDE, sic reciproce Hk, ad k M ; ergo M, erit centrum aequilibrij figurae A D E. I andem , quoniam faetiim est ut tot continue proportionales in ratione CB, ad B Ei ipsa
CB, excepta) quarum numerus excedat numerum trilinei unitate, ad ipsam C B; nempe ex corol. pro
N M; ergo N, erit centrum aequilibrij trapezij AD EC;& consequcia ter grauitatis eiusdem trapezij duplicati ad partes C E . Quod erat ostenden
273쪽
Cum in serie infinitorum trapeziorum sit primum trapeZium , quod cst idem cum dimidio primi segmenti parabolici pro-
possit. io. huius; &sium hae methodi inveniendi centra grauitatiS, scu a quilibri; primi tra-
segmenti parabΟ-lici conueniant, ac sint unum,&idem, , Ut experienti v-trasque methodos patebit; sequitur, quod cum in schol. l. proposit. D. Ostensum sit methodum illam conuenire cum methodo Archimedis , & aliorum, qui repcrierunt centrum grauitatis traper ij, etiam praesens eum illa conueniat.
Sed etiam trapezij ADEC, licet centrum aequia libris
274쪽
a 1 4 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
librii compendiosius reperire. Inuentis enim H, &F, centris trilineorum A BC, QD BE, & ratione CB, ad BE, continuata in tot terminoS ut numinruS eorum excedat numerum trilinei binario, sitque mus terminus CG; si fiat ut excessus CB, fruCG, nempe BG, ad G C, sic H F, ad F MN, centrum q::Hitum . Est enim ex schol.& 2. proposit. 3. lib. prim . diuidendo ADEC, BDE, ut BG, ad GC ; nempe reciprocόHF, ad FN
Tria autem, quae dixi minin superioribus propositionibus deduci ex praedi=is, deducentur etiam in has . Nam priarq si trapezio ADEC , intelligamus circumscribi parallelogrammum OC, quod
cum trapeZio volvatur siue circa AC, siue circa DE, habebimus rationem cylindri ex parallelogrammo, ad solidum ex trapezio. Nam ex propositi p. pri lib. habemus rationem talis parallelogramini ad trapezium. Ratio ergo cylindri ex OC, ad solidum cx tra-peZio reuoluto siue circa CA, siue circa OE, erit eadem cum ratione rectanguli contenti sub dimidia E C, & sub tot C B, quotus est numerus trilinei unitate auctus , ad rectangulum sub altera ipsarum
EN, NC, secundum quod fit reuolutio, & sub CB, BE, &caeteris.tot Proportionalibus, quotuSest
275쪽
est numerus trilinei unitate auctus. Deducitpr secundo, quod si tam super parallElo. granimo, quani seper trapezio intellig antur cylindrici aequealti secti diagonaliter plano transeunt per A & per latus oppositum ipsi DF, habebimus
cubationes virorumque truncorum cylindrici super trapezio. Deducitur tertio dari rationem solidi rotundi ex trapezio circa AC, ad solidum rotund tim ex ecdemtr pezio circa DE.
, Trapezε cuiuscumque, centrum aequibbrii in basi assignare.
porteat eius centrum aequilibrii in basi A D, reperire. Compleatur trilineum AED, cuius ipsum est trapezium ; & tam A D, quam B C, sic dividantur in F, & G, ut tam AF, ad F D, quam B G, ad G C, sit ut triplus numerus trilinei Vnitate auctus, ad numerum trilinei unitate auctum. Ergo ex schol. proposit. 8 huius: tam F, quam erunt centra aequilibrij trilineorum BEC, AED:& si ipsi CG, fiat aequalis DH; etiam H, erit cem trum aequilibrij trilinei BEC, appensi secundum A D. Ratio D E, ad E C, continuetur in tot te minOS ut numerus eorum excedat numerum trilinei hinario;
276쪽
a16 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. hinario ; sitque ultimus minimus terminus h. . Ergo trilineum A E D, erit ad trilineum BE ex schol. a. proposit. 3. lib. pri. ut DE, ad K. Et diuidendo, erit trapezium ABCD, ad trilineum BEC, ut cxcelsus DE, supra Κ, ad h. Fiat ergo ut excessus D E, supra k, ad Ε, sic H F, ad F L. Dico pun-O um L, esse centrum aequilibrij trapet ij secundum AD, appensi. Quod facile patet, quia cum F, &H, snt centra aquilibrii trilineorum AED, BEC,& factum sit reciproce, ut excessus DE, supra E, ad k, nempe ut A B C D, ad B E C, sic H F, ad F L.
Ergo L, erit requisitum centrum. Quod erat inue
Si ergo per punctum L, ducatur L O, paraticla DE, & per proposit. anteced. in Veniatur M, cem trum aequilibrii trapezij appensi secundum CD, deducatur MN, parallela AD: N, erit centrum gla uitatis praedicti trapeZij. Item si trapezio circumscribatur parallelogram-mum PD, quod cum ipso reuoluatur circa C D, seu circa PA ex di istis patet primo dari rationem cylindri ex PD, ad alterutrum solidorum ex trape aio siue circa C D, siue circa P A. . Patet secundo dati cubationes truncorum cylindrici super trapegio resecti plano transeunte per CD, &perlatus oppositu in ipsi P A.
277쪽
Patet tertio dari rationem soli8i ex trapezio eirca D C, ad solidum ex trapezio circa P R
minoris portionis cuiuscumque parabolae resectae lisea Hametro parallela, centrum aequilibrij in
Eβto quaelibet semiparabola DBC, cuius muin portio se ΚHC adeo ut Hli, sit dia metro BD, parallela, & oporteat portionis kΗC, centrum aequilibrii in basi h C, reperire, hoc est sentrum grauitatis portionis pr dictae duplicatae ad K k partes
278쪽
α18 DE INFINITIS PARABOLIS EI C. partes E C. Semiparabolae circumscribatur parallelogram muti; DE; & Κ H , producatur usque ad G; & diuidatur Κ C, bifariam in L; &exproposit. i a. huius, inueniatur M, centrum aequilibrij trapezij G H C E; S fiat C N, aequalis E M. Ducatur H A, parallela DC, &sat di differentia inter tot EB, quotus est numerus parabolae unitate auctus, & inter E B, R G, & caeteras h*t continue proportionales in harum ratione quotus est numerus parabola: unitate auctus, ad has continue proportionales, i sic N L, ad LO. Dico O, esse centrum aequi/φrij portiona H E O. Cum enim L, sit centrum aeo dilibri; parallelogrammi k E, & N, trapezij H G'E C; & cum factum s t N L, ad L O, ut
excessus tot EB, quotus est numerus parabola: unit te auctus supra i EB, BG, & caeteras tot Propo tionales quot sunt ipsae, ad easdem proportionales; nempe ex secunda parte proposit. s. lib pri conuertendo , & diηidendo , sic reciproce H k C, adHGE C. ergd ex Archim. O, erit centrum qu z- si typa. Q aod&o
Uerum cum indigeamus, pro dicendis in sequenti libro, centris aequilibri j talis portionis, & aliorum segmentorum in parabola quadratica; particularius ςxplicabimus in ipsa tu nunc, & in sequentibuS, re gulas uniuersale nueniendi talia centra aequilibri l.
279쪽
Ιn parabola ergo quadratica punctum , quod est lcentrum, est in basi Κ C, portionis, prius secta bi- fariam in L, & in N, secundum centrum grauitatis excessus parallelogrammi GC, supra portionem, in eo puncto, in quo Lh, sic diuiditur, ut N L, stad NO, ut excessus triplae C D, supra C D, DE,
S harum tertiam minorem continu. proportionalem,ad has tres continue proportionales.
Si vero portioni circumscribatur parallelogranismum k A, tria colligentur . Primum est ratio cy-
280쪽
lindri ex kA, ad solidum rotundum ex portione, siue reuoluantur circa H L, siue circa AG. Haec autem eadem erit cum ratione rinanguli spb k L, &sub composita ex CD, DE , S caeteris i continue proportionalibus quotus est numerus parabolae, accepta secundum numerum parabolς Vint te auctum, ad rectangulum contentum vel sub Eo, veἰ sub OC, secundum quod fit reuolutio siue circa Hk, siue circa AC, & sub composita ex ijsdem proportionalibus, sed sic acceptis, ut CD, accipiatur se. cundum nu nerum parabolae i Dk, secundum numerum parib*ae unitate minutum ς tertia proportionalis, set tu dum numerum ainario mi- .lmo ex scholio eiusdem particularius colligitur inpar bola quadratica,, esse eylindrum ad illud solidum rotundum, ut rectangulum contentum sub K L, vel LC, & sub composita ex CD, DR , ad rectangulum contentum sub vo, vel OC, &sub composita ex dimidi js CD, D , S ex sexta parte , C. Secundum quod colligitur est, quod si super portione concipiatur cylindricus tectus, sectus diagonaliter plano transeunte per H Κ, di per latus Oppolitum ipsi AC, haberi cubationes virorumque trun
Tertium est , haberi rationem solidi ex portione circa A C, ad solidum ex portione circa nutum; & studeinceps . Rari pali ter desendet ex pio hi 3 . hb. p.