De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

301쪽

LIBER TERTIUS.

parallelogrammi, Strilineorum simul coniunctorum. Cum ergo ex proposit. I 4. lib. pri. st ut paraulelogrammam A F, ad segmentum A E B G C, se PS, quae est P L, accepta secundum numernm parabolae unitate auctum una cum tot OH, qu tus est numerus parabolae unitate auctus, ad ST, Vna cum excessu tot OH, quotus est numerus parabolae. Nn unu

302쪽

181 DE INFINITIS PARABOLIS Erc.

unitate auctus supra Q. Ergo & diuidendo , trilinea erunt ad segmentum ut PT,& ad TS, eum tot HO, quotus est numeru s parabolae, una cum e cessu OH, supra Q. Quare conuertendo, erit segmentu m A E B G C, ad trilinea E D B F G, ut T S, una cum H O, accepta secundum numerum parabolae , & cum excessu O H, supra Q, ad PT, simul cum R; nempe ex constructione , reciproce vi N Κ, d K I. Erit ergo i, centrum quaesitum. Quod&c.

In segmento ergo parabolae quadraticae,erit centrum aequilibris in basi AC, prius secta bifariam in k; deinde in V, & X, sic, ut HV, HX., sint triplae ipsarum UA, XC: denuo sic in N, ut VN, sit ad NX, ut cubus CH, ad cubum H A: tandem in A k, dimidia totius attingente minorem E A, diametro p rallelam, & sin iusdem puncto I, ubi sic diuiditur, ut N risit ad K I, ut ST,' cum dupla H O, &cum excessu ξpsius supra Q, quae iit tertia minor proportionalis ipsarum OH, H C, ad PT, una cum Q.

. . . . . ' . t L . . r. .

Sed A tria ordinaria colligentur. Solum adnotetur, rationem cylindri ex parallelogrammo ad solida ex segmento reuoluto cum ipse tam circa DA, quam circa F C, esse eandem cum ratione rectangu

li sub

303쪽

LIBER TERTIVS.. .. sit sub A h, & sub composita ex P S, & ex tot O H, quotus est numerus parabolae unitate auctus, ad rectangulum vel sub AI, vel sub I C, & sub composita ex T S, ex HO, accepta secundum numerum P rabolae, & ex excessu OH, supra Q.

PROPOSITIO XXII

AUL egmenti centrum aequibbris reperire in alterutra diametro parallela.

304쪽

ag 'INFINITIS PARAB0LII ETC. SEd oporteat segmenti AE BGC, reperire ce trum aequilib j in alterutra ipsarum A E, C G,

etiam producta si opus sit - Verum cum talis modus non dis rat a modo inuenrendi tale centrum in portione maiori parabolae, qui explicatus fuit proposit. ao huius; ideo lector ad ipsius imitationem tale centrum reperiet, ad h. bcndo congruam proportiouem segmenti ad trilinea, in antecedent. ps O posit. viam. Sicuti etiam ad modum eorum, quae dicta sunt tot vicibus ad inueniet centrum grauitatis prirdicti segmenti ; pariterque etiam agnoscet, tria solita dediseci,etiam elici in praesentiarum-

SCHOLIUM.

Quam longe, lateque pateat usus trium propc sitionum initio huius libri explicatarum, lector ex supra dicitis,. potuit animaduertere. Verum etiam alijs inseruire possunt. ipsis enim med ijs possumus reperire centra grauitatis partium circuli methodo

diuersa ab ea, qua ipsa inuenerunz acutissimi geometis Ioannes della Fa illa, Guldinus , & forsitan alij, ω varia tradere clica solida quaedam rotunda ex. circuli partibus reuolutis varie genita . Sit ergo PRO-

305쪽

LIBER' TERTIVS . x

PROPOSITIO XXIII.

n euilibet fabri eireuli minori semicireulo sit eircumscriaptum rectanguiam quod cum sectore rotetur circa suum latus transiensper centrum si roris. cylindrus ex rectangulo erit quialtersolidi ex secZore . SIt sector minor semicirculo H DE, cuius axis; BD, & cui sit circumscriptum rectangulum k N. Dico cylindrum ex k N, circa M N, esse sesquialterum solidi ex sectore HBED, circa MN. Compleatur semicirculus ABC, & ei: sit circumscriptum rectangulum; FC, & haec omnia intelligantur rotari circa A C. Sector solidus genitus a sectore HBED, erit aequalis cono, cuius basis sit squalis superficiei spharificae ipsim qus superficies eritquς-dam zona) altitudo vero aequalis semidiametro BD, ud facile elicitur ex. Archim. pri. de sphaer. & cylin

306쪽

proposit. 42. Sed ut deducitur ex eodem ibidem propoli t. 3I. & 32. etiam sphaera est squalis cono, cuius basis aequetur superficiei spharsicae, altitudo vero sit aequalis semidiametro . Ergo sphaera erit ad talem sectorem solidum, ut superficies sphaerae, ad superficiem sectoris solidi. Sed superficies sphaerae, est ad superficiem sphaericam talis sectoris solidi ut AC, ad MN, ut elicitur ex eodem Archim. supra citato proposit. qO.&qi. Ergo & ut AC, ad MN, sic sphtra ad talem sectorem solidum. Sed ut AC, ad MN, sic cylindrus ex rectangulo FC, circa AC, ad cylindrum ex rectangulo KN, circa M N. Ergo& ut cylindrus ad cylindrum, sic sphaera ad solidum exsectore. Et permutando, ut cylindrus ex F ad sphaeram, sic cylindrus ex KN, circa MN, ad solidum ex sectore H DE B, circa M N. Sed cylindrus, ex Archim. citato proposit. 3 a. est sesquialter sphaerae. Ergo& cylindrus ex k N, erit sesquialter solidi ex sectore,&c. Quod &c.

PROPOSITIO XXIV. I

Si semicirculi , seu fictoris eius cuiuscumque semidiameter sic sicetu in puncto, visit sicut dimidia periphaeriasmi circuli fusectoris ad tertiam partem chordae eiusdem, sic semidiameter a Fui partem ab si in

dendam incipiendo a centro. Tale pun- . ctum erit centrum grauitatisse

micirculi , seis sectoris . Esto

307쪽

LIBER TERTIUS as EMO ABCD, vel semicirculus , vel quilibet

circuli sector, cuius centrum D, axis BD; &intelligamus esse ut AB, circumferentia, ad A E, quae sit tertia pars chordae AC, sic B D, ad DF. co F, esse centrum grauitatis semicirculi, seu s

Probatur primo in semicirculo, cui circumscribatur rectangulum GC, quod cum semicirculo r tetur circa AC. Ergo ex Archim. cita. cylindrus erit sesquialter sphaerae. Quare cum A E, sit duo Tertia AD, quia est unum tertium AC; ergo cylindrus erit ad sphaeram, ut D A, ad A E. At ratio D A, ad A E de foris sumpta circumferentia A B,)componitur rationibus DA, ad ΑΒ, circumferentiam,

308쪽

4 88 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. rentiam, & huius ad AE. Ergo & ratio cylindri

ad sphaeram componetu rex i)sdem rationibus. U rum ex schol. prim . proposit. 3. huius. ratio cylindri ad sphaeram componitur quoque ex ratione recta guli G D, ad AB C, semicirculum, & ex ratione BD, ad interceptam inter D, & centrum grauitatis semicirculi. Ergo rationes DA, ad circumferentiam AB, & huius ad AT, aequasses erunt rationibus G D, ad semicirculum, & Bo, ad interceptam inter D, & centrum grauitatis semicirculi. Verum quoniam, ut elicitur ex Archim. de circuli quadratura , di ex nobis proposit. 6. lib. a. rectangulum G D, est ad semicirculum, ut D A, ad circum serentiam RB. Ergo si hae duae rationes aequales subtrahantur, remanebunt etiam aliae duae ratio nes aquales. Ergo ratio circumferentiae AB, ad A E, aequalis erit rationi BD, ad interceptam inter D, di centrum grauitatis semicirculi. Sed ex constru-

.ctione, factum est ut circumserentia AB, ad A E, sic BD, ad DF. Ergo F, erit centrum grauitatis

semicirculi. In sectore minori, ei circumscripto rectangulo G L, erit fere eadem demon stratio. Quia in proposit. anteced. ostensum est cylindrum ex parallel grammo, G L, esse sesquialterum solidi exsectore, reuolutis ambobus circa LL, S etiam facile deducetur tam ex Archim. quam ex nobis, rectangulum

GD, esse adsectorem ut G B, seu AM, ad A E.

Vnde eodem modo concludetur F, esse centrum graui-

309쪽

grauitatis sectoris. At in sectore maiori compleatur circulus, cuius est sector, citius diameter sit Blatactorisque minoris ADCΚ, sit centrum grauitati L; &nat ut BA, dimidia periphqria sectoris maioris, ad Ak, dimidiam minoris, sic LD, ad DF. Erit ut L D, ad DF, siesector maior A B C D, adsect rem minorem A K C D, quia sector , est ad sectorem, ut circumferentia, ad circumferentiam, sed ut dimidia circumferentia ad dimidiam circumferentiam . Sod D, est centrum totius circuli, L, sectoris minoris ; ergo ex Archimede tape citato, F, erit centrum sectoris maioris. Quod vero punctum F, sic inuentum, sit idem cum puncto F, prius inuento, sic patebit. Nam quoniam per constructi9nem, est ut circumferentia ΑΒ, ad circumserentiam

310쪽

aso DE INFINITIS PARABOLIS ETC. Sed ut ostensum est supra conuertendo, ut A E, circumserentiam A P, se DL, ad DE. Ergo aequali in perturbata analogia, ut periphqria AB, ad Oh, se Α Ε, ad DF. Et permutando, ut circumserentia ΑΒ, ad A sic kD, seu BD, ad DF. Ergo patet propositum. Quod εα

Ex praesenti propos & ex proposit.q. huiUS. possumus inferre dari rationem solidi rotundi vel ex semicirculo ABC, vel ex quolibet sectore ABCD, reuoluto circa GH, ipsos tangentem in B, ad solidum ex ijsdem reuolutis circa. A C, ΚL. In semici

culo ergo,& in sectore minori, ratio talis eadem erit cum ratione BF, ad FD; seu cum ratione excessus circumferentiae A B, supra Λ E, ad A E. in sectore Vero maiori semicirculo, eadem erit cum ratione

BF, ad FG.l nsuper notetur qualiter dentur cubationes trunci sinistri cylindri recti tam super semicirculo,quam supersectore minori resecti plano transeunte, in semicirculo per AC, & per latus oppositum ipsi GH; in sectore vero minori, per Κ L, & per latus Oppo situm ipsi G H. Ratio est, quia cum in semicirculo, ex Arsihimede, cylindrus ex parallelogrammo G sit ad sphsram ex semicirculo in ratione sesquialtera I S cum ex supra dictis, sit truncus sinister cylindrici super parallelogrammo , nempe prisma , ad