장음표시 사용
331쪽
bet punctis L, Κ, P, R, Iineis, vel planis L M, PS;k N, R V, B C, E F, parallelis, adeo ut si ut B A, ad Α L, sic E D, ad D P; vel ut B A, ad A k, sic E D, ad D R. Si quam proportionem habet segmentum L M C B, ad segmentum A M L, hanc eandem habeat segmentum P SFE, ad segmentum DS P; vel segmentum KN CB, sit ad segmentum . ANh, ut segmentum REFU , ad segmentum, D v R, & sic semper, ubicumque plana, vel solida ducta fuerint. Plana, vel solida AC B, DFE, dicentur plana, vel solida proportionaliter analoua in magRitudine.
332쪽
Si datis duabus feriebus continentibus antecedentia, conis Auent a quotcumque magnitudinum numero aequatium, sint magmturines primae seraei proportionales plagistatim magnitudinibusti cand risis sintque omnia anteceden- tia prima seriei propora 9nadia cum omnibus a decedenti suffecundae seraei. Erunt collective omnia antecedentia primae seriei ad omnia consequeotin eiusdem seraei, t omnia antecedentia ecundae feraei, ad omnia coniaequeaetiam e cras.
sInt datae duae series continentes quotcumque magnitudines ; in prima sint A, B, C, antecedentes, & D, E, F, consequentes; in secunda antecedentes sint G, Η, Κ, consequentes L,M, sitque ut A, ad D, sic G, ad L; & ut B, ad Ε, sic Η, ad M, &c. Pariter sit ut A, ad B, sic G, adH ; & ut B, ad C, sic H, ad K. Dico colligendo, A, B, C, elli ad D, E, F, ut G, H, k, ad L, M, N. Quoniam enim vi Α, ad B, sic G, ad H; erit componendo, A, cum B, ad B, ut G, cum H, ad H. Vel conuertendo, & componendo, B, cum Α, ad A, veri, cum G, ad G. Cum vero sit A, ad D, ut G, ad L. Ergo ex aequali, erit ut B, cum Α, ad D, sic H, cum G, ad L. Pariter cum sit ut B, ad E, sic H, ad M. Ergo item ex aequali, erit ut A, cum ad E, sic G, cum H, ad M. Quare etiam
333쪽
sic G, cum H, ad L, cum M. Denub,cum sit ut A, cum B, ad B, sc G, cum H, ad H; &pariter sit ut B, ad C, sic H, ad h. Ergo exae alii di componendo,erit ut A, B, C, ad C, sic G, H, Κ, ad h. Vel exaequali, conuertendo, & componen do, ut C, B, A, ad B, A, sic k, H, G, ad H, G. At ut B, A, ad Ε, D, sc H, G, ad M, L. Ergo ut QR ad D, E, sic k, H, G, ad L, M. Pariter cum sit ut C, ad F, sic Κ, ad N. Ergo rursum ex aequali , eris ut A, B, C, ad F, sic G, H, h, ad N. Ergo denuo colligendo, erit A, B, C, ad D, E, F, ut RH, h, ad L, M, N. Quod erat ostendendum. Rr PRO-
334쪽
Sit mna series continens quotcumque continue proportioua-lei A, B, Γ, sit alia series continens alias continue proportionales, D, E, F, G, H, Κ, qua sint numero duplae magnitudinum primae seriei , sed sint inpubduplicata proporti ne magnitudinum primae seriei sit autem aba magnitudo L, qua ad A, B, gr caeteras proportioraclo se
mi , mitima semper evcepta , habeat eandem ratiouemquam numerus omnium proportionalium adnumerum et/nitate minorem: item JG a D, E, ωe. duabus mst Lmis ext eptis , habeat raudem rationem quam numeruSomnium proportionalium ad numerum minorem se biva. I Io. Eris L, ad omνri proportionales primae serier, t 'Lad omnes proportiouale ecuudae seriec
Vonia H enim, D, E, F, di caeterae magni tu di- nes secundae seriei sunt subduplicatae in proportione cum magnitudinibus A, B, C, primae se rie is ergo etit ut A, ad B, sic D, ad F, &vt B, ad C, sic F, ad H. Pariter ut A, ad B, sic E, ad G, & G ad h. Vnde D, F, H, sicuti etiam E, G, k, erunt proportionales cum A, B, C. Erit ergo ut A, ad A, B, C, simul, sic tam D, ad D, P, H, simul, 3 iam Ε, ad E, G, k, simul. Quare erit etiam ut A,
ad A, B, C, simul, sic D,& E, simul ad D, E, F, G, H, k, simul. Eodem modo probabitur esse ut B, ad A, B, C, simul, sic tam F, ad D, F, H, simul, quam G,ad
335쪽
BG, ad E,G, Κ, simul; & pariter probabitur ut B, ad A, B, C, simul, sic ambas F, G, ad omne . Quare probabitur etiam Vt Α,cum B,ad A, B, C; nempe omnes proportionales primae seriei, ultima excepta, ad omnes proportionales prin seriei inic D, E, F ad D, i , F, G, H, k ; nempe omnes proportionales secundae seriei duabus vltimis exceptis, ad omneS proportionales eiusdem seriei. Verum eum L, ad A,B, R. r a sit
336쪽
sit ex hypothςs,ut numerus proportiona tum primae seriei ad nudierum unitate minorem; & cum sit ut numerus proportionali-t primae seriei adnumerum unitate minorem,sic numerus proportionalium secundae seriei ad numerum binario minorem est enim hypotinosinu merus proportionalium secumdar seriei duplus numeri proportionalium primae seriei & cum pariter sit ex hypothesi, ut numeruS proportionalium secundae seriei ad numerum binario minorem, sic M, ad D, E, F, G. Erν erit ut L, ad A, B, sc M, ad D, E, F, G. Sed etiam supra probatum in uo A, B, ad A, B, C, ut D, E, F,G, ad D, E, F, G, H, k- Ergo ex aequali, erit L, ad A, B, C, ut' M, ad D, E, F, G, Η, Κ . Quod erat
cylindrus circumscrip us cuilibet conoidi parabiaco , mius exponens sit numerus par, en ad Esum, ratat parasteo grammum circumscriptum parabolae, cuius exponens fiebe Dbduplux numeri conuidis, MEDmparabolam, hoetam secundum rotum, quam fecuudum partes propor
ESxo quodljbet conoides parabolicum ABC, cuia
ius exponens sit numerus par, nempe sit vel quadraticum, vel quadi a loquad raticum, Vel cubo- cubicum&c; cui sit circumscriptus cylindrus EC; . t . . suppO
337쪽
supponatur autem ABC, esse etiam parabolam cum sibi circumscripto parallelogrammo E C, cuius exponens sit subduplus exponetis numeri conoidis. U. g. si conoides sit quadraticum, parabola sit i maris. Si conoides sit quadratoquadraticum , parabola sit quadratica .. Si conoides sit cubocubiculi , parabola sit cubica, &c. Dico cylindrum EC, esse ad cono idcs, A B C, ut parallelogrammum E C, ad parabolam AB C. Pariter si diametri DB, in utraque figura secentur proportionaliter in F, adeo ut DB, ad BF, in conor desit ut DB, ad BF, in parabola , &in conoi deducatur planum G H, AC, parallelum, in parabola vero linea itidem AC, pDiallela . Dico esse cylindrum ΑΗ, ad frustum
338쪽
DE INFINITIS PARABOLIS ETC. A k LC, ut parallelograminum A H, ad segmentum AhLC. Idem intelligatur de alijs partibus proportionalibus. Di ametri DB, secentur proportionaliter in punctis F, M, &c. & per illa transeant in conoide, plana A C. parallela, in parabola vero linear ; & in cylindro intelligantur cylindri G O,NC, partes cylindri; in paralleIOgrammo vero, parallelogramma ipsius partes. item in conoide intel
ligantur super basibus k L, P in cylindri L R, PS;
in parallelogrammo parallelogramma, ut in schemate. Tunc . Quoniam in conoide ut potestas AD,
congruens conoidi adsimilem potestatem P M, sic DB, ad BM; & ut DB, ad B M, in conoide, sic D B, ad B M , in parabola ;&ut DB, ad BM, in parabola, sic potestas AD, congruens parabolae ad similem potestatem P M. Ergo ut in conoide potestas AD, ipsi congruens ad similem potestatem P M, sic in parabola potestas AD, ipsi congruens ad similem potestatem P M. At proportiones pintestatum conoidis sunt duplicatae potestatum para bulae I nempe exponentes potestatum conoidis tot vicibus continent binarium, quot vicibuS exponentes potestatum parabolae continent unitatem . Ergo
S ut primae potestates conoidis ad se inuicem , sic primae potestates parabolae ad se inuicem; nempe ut quadratum AD, seu NM, in conoide ad quadratum P M , sic linea AD, seu NM, in para, bola, ad PM. Quae usque modo dicta sunt conseruentur, quia licet
339쪽
licet certi teneamus haec viris geometris clara esse, attamen libet exemplo explicare quid per superiora intellexerimus . Exemplificetur autem in conoide cubocubico, & in parabola cubica. Quoniam enim exponens, seu numerus conoidis cubocubici est s. exponens vero parabolae cubicae,& quoniam proin batum est esse ut cubocubus AD, seu NM, adcubocubum P M, sic in parabola cubus AD, seu NM, ad cubum P M. Ergo &subtriplicando proportiones, illae proportiones subtriplicatae erunt ae quales ; nempe erit ut in conoide quadratum NM, ad quadratum P M, sic in parabola latus NM, ad latus PM Sicuti enim proportio quadratorum est subtriplicata proportionis eu bocuborm ,u sic proportio
340쪽
31o DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
portio laterum est subtriplicata proportionis cub rum. Sed ad ipsam denaonstrationem redeamus.
Sed ut quadratum N M, in conoide, ad quadratum P M, sic cylindsus N C, ad cylindrum P S: &vt NM, ad PM, in parabola, sic parallelograminum N C, ad parallelogrammum PS. Ergo &vt cylindrus ad cyliii 'rum, sic pa nologrammum ad parallelogrammum'. Eodem modo ostendetur cylindrum Go, esse ad cylindrum KR, Vt parallelograminum GO, ad parallelogrammum k R. Idemque ostenderetur de omnibus alijs, si diametri in plures, pluresque partes proportionales ellant sectae . Et cum sit ut cylindrus AO, ad cylindrum NH, sic paralleIogrammum A O, ad parallelogrammum NH. Ergo, exprima huius, ut omnes cylindri antecedentes ad omnes cylindrOS consequentes, sic omnia parallelogramma antecedentia, ad omnia parallelogramma consequentia ἱ nempe
sic cylindrus GC, ad cylindros KR, PS, ut parallelogrammum GC, ad parallelogramma E R, PS. Cum autem sit etiam cylindrus EC, ad cylindrum GC, ut parallelogrammum E C, ad parallelogram-mum GC. Ergo ex aequali, cylindrus EC, erit ad omnes cylindios in conoide inscriptOS, ut parallelogrammuna ad omnia parallelogramma in parabola insti ipta. Facile autem probabitur modo Archimedeo, esse cylindrum ad conoides, ut parallelograminum ad parabolam: quia in conoide inscribstur solidum constans ex cylindris sibi superimpositis