장음표시 사용
311쪽
truncum sinistrum cylindri, quem alii unguIani v
cant , ut cylindrus ad sphqram. Ergo tale prisma, erit sesquialterum talis unguIae. Idem probabitur insectore minori, quia supra probatum est cylindrum sesquialterum esse solidi ex sectore. Et ut patet, t les cubationes habentur sine circuIi quadraturvi. Non sic habentur cubationes truncorum dextrorum talium cylindricorum I quae tamen etiam habentur , supposita circuli quadratura, quia supposita circuli quadratura , habentur rationes cyli drorum ex G C, in semicirculo, & ex G L, insectore minori ad annulos strictos ex semicirculo, Sex sectore minori, reuolutis circa GH. Ratio a Oo a tvm
312쪽
tem haec in semicirculo est eadem cum ratione A D semidiametri, ad excessum circumferentiae AB, supra A E. Insectore autem, est eadem cum ratione k D, ad illiinx excessum: nempe est eadem cum ratione dimidiae chordae ad excessum dimidiae circumferentiae supra tertiam partem eiusdem chordae. Nam, cum sit cylindrus ex parallelogrammo sesquialter solidi ex semicirculo, vel ex sectore circa A Gseu kL, nempe ad ipsum,ut sesquialtera FD, ad F D: solidum vero circa AC, vel' EL, sit ad soli. dum circa GH, ut DR ad FB. Ergo exaequali, erit cylindrus ex paralleIogrammo, ad solidum ex semicirculo, vel ex sectore circa G H, ut sesquialtera FD, ad FB; nempe ut AD, vel ΚD,ad excessum circumferentiae AB, supra A E.
Sector circuli, eu ad senum triangulum, it quadratom se midiametri, ad rectangulum sub altitudine ima uli, o subsesquialtera intercepta inter ceutrum circuli, ω centrumgrauitatis, sectoris . SInt sectore 3 minor Ak CD, de maior ABC D, in figQq quorum triangulum ADC, quominor excedit portionem Ah C, maior vero deficit a portione ABC, centra vero grauitatiS ipsorum sint F, L; F, quidem maioris, L, Vero minoris. Di
313쪽
gIBER TERTIUS. eo sectorem AECD, esse ad triangulum ADC, ut quadratum h D, ad rectanguluna sub G D, in sesquialteram DL: sectorem vero ABCD, esse ad idem triangulum , ut idem quadratum ad rectangulum sub GD, in sesquialteram PD.
Quoniam enim, ut deducitur ex schoI. proposit. 6. lib. 2. sector Ak CD, est aequalis triangulo, cu . ius basis est aequalis circumferentiae A ΚC, altitudo h D; dctriangulorum proportio adinvicem componitur ex ratione basium, & altitudinum . Ergo ratio sectoris A E C D, ad trianguIum ADC, componitur ex ratione circumferentiae AEC, ad AC, seu circumferentiae Ah, ad AG, & ex ratione kD, ad DG .hUerum quoniam, ex proposit. an reced patet esse ut circumferentia Ah, ad A E, sieli D, ad D L. Ergo, &vt circumferentia Ah, ad
Α G, sesquialteram A E. sic ED, ad sesquialteram
D L. Ergo & ratio sectoris ΑΚ CD, ad triangu- Ium A DC, componetur ex ratione ΚD, ad D G, ει ex ratione KD, ad sesquiaIteram D L. Sed ex ijsdem rationibus componitur ratio quadrati , D, ad rectangulum sub G D, &subsesquialtera D L. Ergo sector erit ad triangulum ut illud quadratam ad illud rectangulum . Eodem modo demonstrabitur etiam in sectore maiori . Quare patet Pro
314쪽
Ergo diuidendo, portio minor ΑΚ C, erit ad triangulum ADC, ut excessus quadrati kD, s prasesquialterum rectanguli GDL, ad ipsum sesequialterum rectangui i GDL. Componendo vero , portio maior ABC, erit ad idem triangulum, ut quadratum BD, cum sesquialtero rectanguli GDF, ad tale sesquial terum rectanguli G D F
filis pneostensis . facila adinveniemus centrum grauitatis cuiuslibet ponionis circuli : si enim inueniamus L , centrum grauitatis sectoris minoris A D K C, & O, ceutrum grauitatis trianguli ADC,& fiat ut excessus quadrati K D, supra sesquiali rum rectanguli G D L, ad idem rectangulum; nempe ut portio A . ad triangulum ADC, sic reciproce OL, ad LP. P, erit centrum grauitativportionis AKC. Pariter si FO, sic diuidatur in Q ut sit sicut quadratum BD, ad sesquialterum reclanguli GDF, nempe ut sector maior, ad triangulum, sic reciproco OQ, ad Q F. Patet inesse centrum grauitatis portionis maioris ABC. Immo patet qualiter etiam possimus habere centrum grauitatis cuiuslibet segmenti circuli resecti duabus chordis parallelis. Cum enim segmentum tala aliud
315쪽
. LIBER TERTIVS. Aaliud non sit quam differentia duarum poritonum,
ει quidem circa eundem axim cum ipus 3 patet excentris grauitatis ipsarum , licere adinvenire cen- rum grauitatis segmenei.
o super basi, re circa axim maiorisportionis eirculi fiat reis ct angulum, quodsimul cum portione mauatur circa basim ipsius portionis. cγlindrus ad Iobaeum ex portione, erat mi parasielepipedum sub quariato axis portionis,Dbsesquialtera interceptae inter centrum circuli, in cenia r m grauitatis siectoris, ad parastelepipedum sub quadrato semidiametri ιn interceptam inter centrum graviatatu , ω basim portionis, ina cum paraste lepipedo βό eadem intercepta, ub rectangulo, cuius unum latuis sic altitudo conis raris, abud iero , sesequialtera intem
316쪽
mys DA INFINITIS PARABOLIS Erc.
cepta inter centrum circuli, , centrum grauitatis so
Eixo ABC, quaelibet portio circuli maior, c
ius cer rum Ε, L, centrum grauitatis, H, vero centrum graui talis ABC E, sectoris,& E sit sesquialtera E H.- raco cylindrum ex parali logrammo F C, 6rca A C, adsilidum ex portione ABC, circa AC, esse ut p*rallelepipedum sub quadrato BD, in Esi, ad factum sub quadrato BE, in L D, 'maelitia parallelepipedo subcadem D L, in rectangulum DEL. Nam ex schol. Pri. proposit. 3. huius, ratio lindri ad tale solidum
compaenitur ex ratione parallelogrammi BD, ad portionem ABC, S ex ratione BD, ad D L sportio autem constat ex sectore, & ex triangulo ue inueniendae ergo sunt rationes Illius parallelogrammi ad sectorem.& ad triangulum, ut inde compendiosus eliciatur ratio parallelogrammi ad portionem. Ex sches. proposit. 6. lib. a. sector est aequalis rectangulo, cuius unum latus BE,b aliud circumferentia AB' & cum rationes rectangulorum compOnantur ex rationibus laterum. Ergo ratio rectanguli FD, ad sectorem, componetur ex ratione DB, ad BE, &ex latione A D, ad circumferentiam AB. Verum, quoniam ex supra ostensis, cum H, sit centrum grauitatis sectoris, est ut AD, ad circumferentiam 'B, sic E , sesquialtera E H, ad EB. Ergo ratio restanguli F.D, ad sectorem, componetur ex
317쪽
ratione DB, ad B E, & ex ratione Eli, ad eandem E B ; nempe erit ad sociorem , ut rectangulum sub DB, Eli, ad quadratum EB. Pariter rectangulum FD, est ad triangu Ium AEC, ut B D, ad DE; nempe ut rectangulum sub DB, ΕΚ, ad rectanguintum D E h. Ergo colligendo ambo consequentia, erit FD, ad portionem, ut rectangulum sub B D, ΕΚ, ad quadratum BE, cum rectangulo DE h. Quare ratio cylindri ex parallelogrammo F C, ad solidam ex portione, ambobus reuolutis circa A C, Componetur ex ratione rectanguli DB, E Κ, ad quadratum BE, cum rectangulo DF Κ, & ex ratione DB, ad D L. Erit ergo cylindrus ad illud solidum ut parallelepipedum, cuius basis quadratum DB , altitudo E Κ, ad parallelepipedum sub qua--drato BE, in D L, una cum parallelepipedo sub DL, in rectangulum D E h.
318쪽
198 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
' : i Ex dictis facile possumus elicere, cylindrum ex parallelogrammo FC, circa FG, esse ad annulum strictum ex portione circa FG, ut idem antecedens, ad parallelepipeda sub BL in quadratum BE, &in rectangulum D Eh . Nam ex proposit. . huius, solidum ex portione circa AC, est ad solidum ex portione circa FG, ut DL, ad L B; nempe ut parallelepipeda sub quadrato B E ; &sub rectangulo DE v, & sub altitudine DL, ad parallelepipeda subhsdem planis,&sub LB, Ergo ex riuali, patet prinpositum . Notetur tamen, in progressu praesentis proposit. probatum esse, rectangulum F esse ad portionem, ut rectangulum D B, E K, ad quadratum B E, cum rectangulo D E , . Ex quibus deducetur,totum rectangulum F C, esse ad portionem, ut duplum rectangulum DB, E K; nempe ut triplum rectangulum D B, E H, ad eadem consequentia . Vnde subtriplando terminos, erit idem parallelogrammum ad eandem portionem, ut rectangulum DB, Eri, ad tertiam partem quadrati B E, cum di
Sed rationem cylindri ex F C, ad solidum ex portione circa AC, positi mus aliter proponerς; nem PQ
319쪽
LIBER TERTIUS. assesse ut idem antecedens praesentis propositionis, ad parallelepipedum iubquadrato semidiametri B E,1n H D, interceptam inter basim portionis , ω te tium grauitatis sectoris, una cum parallelepipedo sub quadrato DE, altitudine coni,in dimidiam ΕΗ,
interceptam inter centrum circuli , & centrum grauitatis sectoris. Haec vero ratio deducetur comparando cylindrum ex FC, ad sol ida ex ectore, & ex cono circa A C. Nam ratio cylindri, ad solidum ex sectore Α Η C E, circa AC, componitur ex ratione rect anguli FD, ad sectorem nempe ut noratum est in schol. anteced. ex ratione rectanguli BD, E K, ad quadratum B E, & ex ratione B D, ad DH. Ex istis vero ration bus componitur ratio parallel
pipedi sub quadrato DB, in E S, ad parallelepip dum sub quadiato BE, in H D. Ergo cylindrus erit ad solidum ex sectote in ratione ptaedicto-Pp a rum
320쪽
3oo DE INFINITIS PARABOLIS ET . rum solidorum . Pariter idem cylindrus , est ad . Rhombum ex triansulo si EC, circι.AC, Vt quadratum BD, adier sipa teinxtila 1r i DE; nempe ut solidum sub quadratd BD, in 'ii K, ad solidum sub tertia par iii adrat in EI Auod aequatur solido subqupdrato indim Iiam EH. Ergo colligendo, cylindrus erit viambo solida, nempe ad solidum ex portione, circa A C,ivi parallelepipedum sub quadrato BD, in X E, ad parallelepipedum sub quadrato B E, in F D, v qa cum parallelepipedo sub quadrato D E, in dimidiam E H. Notetur tamen in prognella huius scholij, probatum esse cylindrum ex F C, ad solidum ex sectore circa A C, esse ut parallelepipedum sub quadrato BD, in Ek, ad parallelepipedum sub quadrato BE, in I D. Ex quo facile potest concludi, cylin
drum ex eodem parallelogrammo circa F G, esse ad solidum ex eodem sectore circa F G, ut idem antece dens,ad factum sub quadrato BE, in B H. Ex om nibus ergo dictis licuit animaduertere, qualiter supposita circuli qqadratura, dentur cubationes, truncorum omnium cylindricorum rectorum tam lai per portione ABC, quam super sectore ABCE, consueto modo resectorum.