De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

발행: 1659년

분량: 428페이지

출처: archive.org

분류: 수학

321쪽

LIBAR TERTIUS.

PROPOSITIO XXVII.

Si cuilibet pontoni minori Areuli sit eireumfer tum rectan-gμlum, quod eum ipse luatur circa chordam nimis. Erit cylindrus e x rectangulo ad idtim expretione, me autecedens propositionis autecedentis , ad parast lepipedumsub intercepta inter cordam, cie centrum grauitatis portionis ιn recta ulum contentum subsemidiametro,

sub excessu ipsius supra si inuicteram interceptae inter

centrum circuli, centrum grauitatis sectoris, in cum parallelepipedo sub eadem intercepta inter cordam, ω centrumgrauitatis porrimis , in rectangulum, cuius num lasMssit aris porrionis, EDdse aialtera intercenta inter ιentra c. no, sis strauitatis fictoris.

Eixo portio minor circuli ABC, cum sibi ir

cumscripto rectangulo FC, & cum suo sectore ABC E ; sit autem H, centrum grauitatis sectoris ABC E, Eh, sit sesquialtera E Η, L, vero sit centrum grauitatis portionis, & intelligamus ambas figuras rotari circa AC. Dico cylindrum ex FC, esse ad solidumis portione ut parallelepipedum sub quadrato DB, in Eli, ad parallelep, pedum sub LD, & sub rectangulo EBE, Vna eum parallelepipedo sub eadem L D, in rectangulum DB, k E. Quoniam enim ex schol. pia, pro post. 3. huius, cylindrus ex parallelogrammo ad solidum ex po

tione

322쪽

3ox DE INFINπIS PARABOLIS ET

tione habet rationem compositam ex ratione reis ctanguli FD, ad portionem ,& ex ratione BD, ad D Lr ratio vero rectanguli ad portionem componitur ex ratione rectanguli ad seriorem, & huius ad portionem. Ergo & ratio cylindri ad solidum componetur ex ijsdem rationibus. Atratio rectanguli FD, ad sectorem ABC E, componitur ex ratione A D, ad circumferentiam AB, & ex ratione DB, ad EB; & ut deducitur ex proposita a 4. huius. est ut AD, ad circumserentiam AB, sic Κ E, ad E B ; unde ratio rectanguli F D, ad sectorem componitur ex ratione hE, ad EB, &ex ratione DB, ad EB; nempe rectangulum Finest adsectorem virectangulum Eh, DB, ad quadratum B E. Pariter sector est ad portionem ut quadratum BE, ad excessum ipsius supra rectangulum D Eh, ex conuersione rationis proposit. 13. huius. Ergo ratio FD, ad portionem A B l, componetur ex ratione rectanguli Eh, DB, ad quadratum B E; & huius ad excessum eiusdem supra rectangulum DEk; nempe FD, erit ad AB ut rectangulum BD, Eh, ad excessum quadrati EB, supra rectangulum D Eh. Cum ergo talis excessas sit rectangulum kB E, cum rectangulo hE,

Dd quia q adratum BE , aequatur rectangulis kBE, k EB, quod rectangulum ΚΕΒ, diuiditur in rectangula kED, & kE, Dd. Ergo F D, erit ad ABC, ut rectangulum Κ E, DB, ad rectangula EbE; kE, DB. Ergo

323쪽

LIBER TERTIUS. 3os

Ergo a primo ad ultimum, ratio cylindri ex F C, circa A C, ad solidum ex ABC, circa AC, componetur ex ratione rectanguli BD, EE, ad rectangula ΚBE; SE, DB, & ex ratione B D, ad D L. Sed ex ijsdem rationibus componitur ratio paralle lepipedi sub rectangulo BD, NE, in BD; nempe sub quadrato BD, in KE, ad duo parallelepipeda, quorum altitudo sit DL, bases vero rectangula IBE BD, ΚΕ. Ergo cylindrus est ad solidum ut illud parallelepipedum,ad hqc parallelepipeda. Quod erat ostendendum. Sed etiam in hac propositione facile possumus deducere, rationem cylindri ex eodem rectangulo circa FG, ad annulum strictum ex eadem portione circa pG. Hanc autem faciliter patebit,esse ea

324쪽

3o4 DE INFINITIS PARABOLIS ETC. lepipeda,quorum altitudo sit B L, bases vero prae

dicta vectangula. .

Notetur tamen in progressu demonstrationis la- perioris ostensum ess , F D, esse ad portionem, ut rectangulum kE, DR ad idem rectangulum, cum rectangulo Enk. Ex quibus deducitur, rectangulum F C, elli ad eandem portionem, ut duplum

rectangulum B eadem rectangula consequentia a

Verum aliam rationem cylindri ex FC, ad praedicta selida possumus assignare. Nimirum quod sit, ut praedictum antecedens ad parallelepipeda, quo rum altitudo fit L D, bases vero rectangula DbE; D EII kB si cylindrum reseratur ad solidum ex po tione circa A C vel quorum altitudo sit B L, bases vero eadem rectangula s si cylindrus comparetur cum soli lo ex portione circa F G . Ratio est, quia quadratum EB, non solum excedit rectangulum D E k, rectangulis EB ε E λ, D B, ut dictum est; sed etiam rectangulis DB E ; E D, k B, ut consideranti patebit. Ex dictis ergo licet a nimaduertere, qualiter etiam, supposita citculi quadratura , dentur cubationes truncorum amborum cylindrici recti super qualibet circuli portione existentis, & consueto modo diag sialiter resecti, &c.

Verum

325쪽

LIBAR TERTIUS. 3o Uerum antequam finem huic tertio libro imponamus, ut magiS, magisque appareat se unditas propositionum supra explicatarum, non erit inutile aliquid circa solida cycloidalia pronuntiare. Torri- cellius lib. pri. de motu gra schol. proposit. 8. ait. Satis si interea lectorem hic admonuisse quod si oloidis

spatium circa basim conuertatur,erit solidum ad cylindrum circumscriptum mi s. ad 8. si vero circa tangentem basi parallelam αυt7.ad 8. centrum c cloidis axe ccat Oparates sint ut T. ad s. Tria ergo pronuntiat Torricellius, quorum uno dato, reliqua nequeunt latere, ut patebit. Supponendo ergo centrum grau itat is cycloidis secare axim, ut pars ad verticem sit ad rei quam ut T. ad s. sit.

PROPOSITIO XXVIII.

Sicγcloidi primariae sit circu criptum parastelogrammum, quoi cum ipsa notetur circa basim. Erit e lindrus adfusum c cloidalem ut 8. ad 3s ero conuertantur ambo circa latus tangens,, basiparastelum. Erit cylindrus adse a . bdum it 8. ad 7. '

E x0 cyςlois primaria ABC, cum sibi circumia

scripto rectangulo GC, & cuius axis BD. Dico quod si ambo rotentur circa AC, erit cylindrus ad solidum ex cycloide quod ad imitationem antecedentium vocamus susum cycloidalem in ut 3.

Qil ad s.

326쪽

ad s. Ad annulum vero strictum ex cycloide circa GH, ut 8. ad T.. Probatur prima pars. Quia ex eodem Torricellio in appendice de cycloide ,α ex Tacquet in dissert. de motu, in. theor. ao, parallelogram munia. GC, est sesquitertium cycloidis, unde est ad ipsam vi q. ad 3. sed ex proposit. 3. huius, ratio cylindri ad fusum cycloidalem componitur ex ratione GC, ad cycloidem, S ex ratione E D, s supponen

do F, esse centrum grauitatis cycloidis in quae ratio E D, ad DF, xst ut 6, ad s. Ergo ratio cylindri ad susum componitur ex rationibus q. ad 3.& 6. ad 3. Sed ex istis rationibus componitur quoque ratio a , ad Iue. Ergo cylindrus erit ad fusum. ut Eq. ad 13. nempe ut 8. ad 3. Secunda pars facile patebit, quia ex proposit. q. huiusciuius ex cycloide,est ad annulum strictum ex eadem circa GH, ut DF, ad FB; nempe Vt ad γ. Quare ex aequali, patet etiam secundum,

327쪽

MAAR TERTIO

Ex dictis pater, qualiter habeamus cubationes truncorum cylindrici recti super eycloide existenetis resecti ut saepe dictum est.

PROPOSITIO XXIX.

Κd supponamus cycloidem cum circulo genitore rotari circa A C. Dico fusum cycloidalem esse ad annulum strictum ut F. ad 2. Patet faciliter, quia fusus ad illum annulum habet rationem compostam, ex s. huius,ex ratione cycloi ad circulum ; nempe ex ratione 3. ad I.&ex ratione DF, ad D E; nempe ex ratione s. ad 6.Sed ex istis ratici nibus componitur ratio is, ad 6. Ergo fusus erit ad illum annulum strictum vi I s. ad Gi nempe ut 1. assa. Quod &α

COROLLARIVM

Ergo annulus strictus ex cycloide circa G H, erie ad annulum strictum ex circulo praedicto ut T. ad a

328쪽

3o8 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

SCHOLIUM.

Torricellius in praecitato loco de motu grauium, sibiungit DemonLiratur etiam ratio solid circa axem ad λ e lindrum circumfriptum; item in qua tmea axi parastetisse centrumsemicycloidis. Patet ex dictiS, uno, vel altero dato, statim aliud innotescere. Nos in praesenti nec num,nec aliud habemus, nec tempus adest haec ipsa rimandi Plura indigesta, imniaturaque phantasiam Occupant circa cycloidem ordinariam,& alias infinitas diuersi generis illarum, quae circumseruntur;quae forsitan aliquando, si Deus vitam, sanitatem, & maius comodum praest . bit, lectori communicabimus. Interea, antequam huic tertio libro finem imponamuS, notetur, non solum, inuenta esse centra grauitatis praedictarum figurarum, quarum inuenta sunt,

sed etiam facile haberi posse centra grauitati, omisnium cylindricorum super ijsdem existentibus . Si enim linea centra grauitatis Oppositarum basium coniungens bisecetur, punctum bisectionis praestabit centrum grauitatis cylindrici. Quod indicasse lectori lassiciat.

Explicit Liber Tertius.

329쪽

DE INFINITIS

PARABOLIS, ETC

LIBER QUARTUS.

Cutissimus Caualerius in suis exemcitationibus geometricis exercit. 3, nouum modum instituit considerandi grauitatem, vel in eam habentibus, vel in eam habere conceptis. Cum enim cui ipsemet ait in praefatione eiusdem exercitationis in geometria ad sua tempora usque grauitatem non nisi uniformem in eadem quantitate agnouerit, licet in diuersis corporibus varios gradus eiusdem admiserit, ipse dein ceps Caualerius rerum pulcherrimarum indagator, caepit philosephari circa diuersa symptomata, quae tunc acciderent si eadem quantitas non supponatur uniformiter grauis, sed uniformiter cum disso mitate quadam . Inter caetera principia, quae iecit pro

330쪽

3 io DE N INITIS PARABOLIS ETC. pro liuruscespeciosi aedifiiij mole fulcienda, extane tamquam principalia definitio I a. & proposit. 9.Verum quia haec, sicuti & alia, constructa sunt incomparabili methodo indivisibilium, per quam licet a nobis regalem prospectam non intelligimus procedere iii sequentibus ide cum praecitatis principiis indigeamus pro aliquibus trasendis, sese eadem explicabimus , licet methodo a caualeriana di. uersa. Procelemus autem absque in diuisis ilibus,& grauitatem tantum uniformem in eadem quantitate considerabi mus. In piaesenti autem ex definitione Cauale rij, eliciemus, nos definitionem quandam pro nostro nam tuto, uniuersaliori tamen modo propositam. Sit ergo

DEFINITIO.

Plana, vel solida proportionaliter anal Din maj gnitudine, dicentur, in quibus ductis lynciis, vel planis, inelivel plano pro regula inseruieque, parassis,& lineam quandam,quq sit ves altitudo, vel veluti altitudo figurarum proportionaliter secantibus, se in per secabunt plana, vel solida proportionaliter, sed

in partes proportronales . - G

Verum, ut haec definitio clarius explicetur, den' tur duo plana,vel solida, veI unum planum, alterum solidum ACB,. DFE, quorum altitudines, sestveluti altitudines AB, DE, siue sint aequales, si .ue inaequales, secentur propol rionaliter in quibuslibet

SEARCH

MENU NAVIGATION