장음표시 사용
341쪽
deficiens a conoide desectu quocumque dato minori et pariter in parabola possunt inscribi parallelogramma deficientia a parabola defectu minori quacumque magnitudine data . Quare per deductionem ad impossibile concludetur propositum. Cum autem haec sint nimis Geometris familiaria,& nimis viris Euclideis, & Archimedeis obuia , & cum huius deductionis ad impossibile sint nonnulla exempla in secundo libro, ideo propter tedij ablationem, ex industria relinquuntur. Non dissimili Methodo patebit,quamlibet partem cylindri circumscripti conoidi, esse ad partem conoidis, quam includit, ut quaelibet pars parallel grammi circumscripti parabolae, ad portionem ip-s s sius,
342쪽
311 DE INFINITII PARABOLIS ET .sias, quam includit, dum tamen antecedentia fine proportionalia suis consequentibus. Quare proba
tum est,quod probandum erat. Notandum tamen est, cum hoc etiam probatumelle per conuersionem rationis,excessum cylindri supra conoides, esse ad ipsum tam secundum totum, quam secundum partes sicuti excessus parallelogrammi supra parabolam ad ipsam . .
Ex dictis facile eliciemus talia conoidea esse ma-Snitudines proportionaliter analogas cum ipsis parabolis, iuxta sensum definitionis prius traditae, tam secundum totum quam secundum partes proportionales. Nam cum sit v. g. conuertendo, segmentum conoidis AkLC, ad cylindrum GC, ut segmentum parabolae AKL C, ad parallelogrammum G C :& cum ut cylindrus AH, ad cylindrum HE, sic parallelogrammum AH, ad parallelogrammum HE: & pariter cum sit cyIindrus ΕΗ, ad conoides kBL, ut parallelograminum E H, ad parabolam kBL. Ergo exaequali, erit segmen tum conoidis AkLC, ad conoides ad verticem hBL, ut segmentum parabolae AEL C, ad parabolam ad verticem EB L. Eodem modo probabitur excessum cylindri supra conoides , esse magnitudinem proportionaliter analogam cum excessu parallelograminini hi pra parabolam tam secundum totum, quam se- .undum partes proportionales.
343쪽
LIBER RUARTUS. 333sCHOLIUM II.
Etiam ergo ex dictis in hac propositione, patet qualiter habeamus non modo rationem cylindr rum circumscriptorum conoidibus parabolicis,quorum exponentes sint pares, ad ipsa conoidea, sed etiam rationem cylindrorum circumscriptorum frunis eorum, plano basi parallelo resectorum. Nam ex dictis in primo lib. proposit. pri. & 8. habemuSquadraturas infinitarum parabolarum , & rationem , quam habet in qualibet parabola parallelogrammum circumscriptum segmento parabolae resectae linea basi parallela , ad ipsum segmentum. Erit ergo ri s a cylin.
344쪽
cylindrus ad primum conoides par, nempe ad quadraticum, ut a. ad i. Ad seo dum ynempe ad quadratoquadraticum, ut 3. ad 2. Ad tertiu m, nempe adcubocubicum vi q. ad 3. Et sic in infinitum . Nempe cylindrus est ad conoides tale, ut dimidium numeri
conoidis unitate auctum , ad dimidium numeri co-noidis. Quae concordant cum dictis in ultima proposit. a. libri huius, ut expetienti patebit, quia eadem est ratio praedicta cum ratione ibidem assignata nempe, quam habet numerus condidis auctus binario ad numerum con Oidis. Pariter erit rig. cylindrus GC, ad segmentum conoidis AEL C, ut magnitudo , quae ad AD, Κ Η, & caeteras tot continue in harum proportione, Vt numeruS earum aequetur numero parabolae, sit ut numerus parabolae Unitate auctus ad numerum parabolae, ad A D, k F,& caeteras tot continue proportionales, Ut earum numeruS excedat numerum parabolae unitate. Nam
sic ex proposit. 8. lib. prim . est parallelogrammum AH, ad segmentum parabolae ATLC. Et haec concordant cum dictis in scholio a. proposit. vltimae x. libri. Nam eadem est ratio hic assignata es cum ratione ibidem assignata. Eandem enim rationem in parabola habet magnitudo, quae ad AD, Κ F, &ca teras rot proportionales quotus est numerus parabole sit ut numerus parabolar,unitate auctus adnumerum parabolae, ad AD, EF, & caeteras tot proportionales quotus est numerus parabolae unitate auctus, quam habeat in conoide, cuius exponens
345쪽
sit dupIus exponentis parabolae, magnitudo, quae ad A D, E F, & caeteras tin proportionales quotus est numerus comissis, sis ut numerus con lis unitate auctus ad numerum conoidis, ad AD, E F, & cnteras tot proportionales ut numerus eam in excedas numerum conoidis binario. Quod patet ex prop0st. a. huiu
cylindrus dircum s ct bet insinitorum conicorum en a ipsum , t parallegogrammum circumscriptum trisneo, Muius exponens sit duplus exponentis coniή, ad ipsum, tam secundum totum,l q*am secundum partes proportionales
Esto quodlibet infinitorum trilineorum ABD,
ex cuius reuolutione circa diametrum BD, sit Ortus conicus ABC, cui sit circumscriptus cyli drus E C : item supponamus A B D , aliud esse trilineum, cuius exponens sit duplus exponentis conici ABC, sitque ei circumscriptum parallelo grammum ED. Assero cylindrum EC, esse ad conteum ABC, ut parallelogrammum ED, ad trilineum ABD, & hoc tam secundum totum , quam secundum partes proportionales, iuxta explicata in antecedenti proposita ' . ἰDiametri BD, secentur proportionaliter in
346쪽
DE INFINITIS PARAB9LIS ETC. quibuslibet punctis F, G, &c. & per illa transeant
in conico, & cylindro,plana H Fh, LG M, pia no ADC, parallela; in trilineo vero, ¶llelogrammo, H F, LG, basi AC, parallelae. In . conico autem intelligantur cylindri NO, P inscripti; in trilineo vero parallelogramma NG, PD, pariter ipsi inscripta. Tune. Quoniam BD, sectae supponuntur proportionaliter in G; ergo Vt DB, ad BG, in conico, sic DB, ad BG, in trilineo. Quare & in trilineo, ut potestas DB, elucdem gradus cum trilineo ad similem potestatem B G, sic
347쪽
fie in eonteo similis potestas DB, ad similem potestatem BG. At ut potestas DB, in trilineo eiusdem cum ipso gradu, ad similem potestatem BG,
sic ex natura parabolarum, & trilineorum, linea
AD, ad lineam P G & pariter ut in conico p testas D B, eiusdem gradus cum potestate trilinei A B D , ad similem potinatem B G, sic in conico quadratum AD, ad quadratum P G nam potestas in conico haec DB, ad BG, supponitur duplicata potestatis D B, ciusdem gladu, conici, ad similem. potestatem BG: cumque sit ut potestas
D B, eiusdem gradus conici ad similem potestatem BG, sic AD, ad PG. Erit etiam ut potestas D B, gradus duplicati ipsius conivi ad similem potestatem BG, sc quadratuni Axi, ad quadratum PG. Ergo ut intruineo, A E, seu LG, ad PG; seu ut parallelogrammum L D, ad parallelogram-mum PD, sic in conico , quadratum AD, seu quadratum L G, ad quadratum PG; seu cylindrus Lc, ad cylindrum PQ. Quae usque modo dicta sunt, patent ex exemplificatis in ante. propos. Eodem modo probabitur cylindrum H M, esse ad cylindrum No, ut parallelogrammum HG, ad parallelogramitium N G. Et eodem modo probaretur in omnibus alijs. Quare etiam ad modum antecedentis propositionis concludetur, cylindrum EC, esse ad conicum ABC, ut parallelogrammum ED, ad trilineum ABD, & hoc tam secundum totum,quam secundum partes proportionales.
348쪽
ι 18 DE INFINITIS PARABOLIS Erc.
Ergo & per conuersionem rationis, erit cylindrus EC, ad annulum strictum ortum ex reuolutione se miparabolae E BA, reuolutae circa BD, Vt parallelogrammum ED, ad semiparabolam EBA, & hoc tam secundum totum,quam secundum partes proportionales.sCΗΟ-
349쪽
Patet ergo ex dictis, conicos praedictos esse magnitudines proportionaliter analogas cum supradictis trilineis. item praedictos annulos strictos ortoSex reuolutione semiparabolarum circa ipsas tangentes in vertice, esse magnitudines proportionali-
ter analogas cum praedictis parabolis.
Patet etiam quomodo ex hac proposit. non modo habeamus rationem cylindrorum circumscriptorum infinitis conicis, & infinitis annulis praedictis, ad ipsos; sed etiam rationem cylindrorum circui scriptorum omnibus frustis praedictorum solidorum resectorum planis basi parallelis, ad ipsa. Sed haec sunt diligentius explicanda. Habemus ergo in primis rationem cylindrorum circumscriptorum infinitis conicis, ad ipsos. Nam ex dictis in propost .pri. lib. pri. habearus quadratu ras ins nitorum trilineorum ; nimirum quod paralle logramma ipsis circumscripta, sint ad ipsa ut numerus trilinei unitate auctus, ad unitatem . Ergo & cylindrus circumscriptus cuilibet conico, erit ad ipsum , ut numerus trilinei, cui s exponens sit duplus exponentis conici unitate auctas, nempe ut duplus numerus conici unitate auctus, ad unitatem. Quae
350쪽
eoncordant cum dictis in schol. 3. proposit. Iq. Ω- tundi libri. Habemus secundo rationem cylindrorum circum. scriptorum infinitis frustis conicis resectis plano b si parallelo. Nam ex proposit. 9. pri. lib. habemus, parallelogrammum L D, circumscriptum cuilibet trapezio A P G D, cil ad ipsum, ut D B, accepta secundum numerum trilinei unitate auctum, ad eandem DB, &ad G B, diametrum trilinei ad
Vercic m, una cum tot caeteriS harum continue prO- Portionalibub , ut numerus omnium excedat num rum