장음표시 사용
351쪽
rum trilinei unitate. Quae concordant cum dictis in schol. 3. proposit r. i q. a. lib. In hoc enim scholio ostenditur cylindrum circumscriptum frusto conico, esse ad ipsum, Ut tot diametri conici,cuius est frustum, Ut carum numerus accipiatur secundum duplum numerum conici Unitate auctum, ad tot continue proportionale quot sunt tales diametri, dc quarum prima maior sic diameter DB, secunda diameter GB, nempe diameter conici ad ver
Habemus tertio rationem, quam habet cylindrus T C, ad annulos strictos infinitos ex semiparabolis
EBA, circa BD, genitos. Nam ex propositar. lib. 1 .habemus parallelogrammum E D, esse ad semiparabolam EBA, Vt numerus parabolae unit te auctus ad numerum parabolae: cumque numerus parabolae supponatur duplus numeri annuli, sicuti etiam numerus trilinei supponitur dupIus numeri conici; erit parallelogrammum ED, ad semiparabolam EBA, ut duplus nun crus conici , seu annuli unitate auctus,ad duplum numerum conici, seu' annuli. Ergo & cylindrus EC, erit ad praedictum annulum ex EBA, circa BD, ut duplus num rus conici, scin annuli unitate auctus ad duplum numerum annuli: nempe ut numerus annuli auctus dimidia unitate, ad numerum annuli. Quae concordandcum dictis in sec. parte prop. i q. sec. libri. Haben m q. rationzm, quam habet v. g. cylindrus H C, ad frustum annuli ex portione H A ,
352쪽
3 31 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
reuoluta circa BD. Ratio est, quia cum habeamus ex proposit.' pri .lib. per conuersionem rationis, rationem parallelogrammi H D, ad portionem parabolae HNA; nempe quod sit ut DB, accepta
secundum numerum trilinei, seu parabolae unitate auctum, ad excelsum ipsius supra DB, BF, & caeteras tot proportionaleS Vt pariter earum numerus excedat numerum trilinei unitate ; erit etiam cylindrus H C, ad praedictum annulum in eadem ratio. ne : nempe erit in conico ut tot D B, quotus est duplus numerus conici unitate auctus, ad excessum ipsarum supra DB, BF, &caeteras tot proportio. nales quot sunt ipsae. Quae concordant cum schol. q. proposit. Iq. lib. a. arguendo per conuersionem
Habemus quinto rationem cuiuslibet cylindri intermedij HM, ad annulum latum ex segmento intermedio HNPL, circa BD. Quia ex proposit. ia. prim. huius, habemus rationem parallelogrammi HG, in parabola, ad segmentum H NPL.
Haec autem cum sit eadem cum ea,quam habet DB, accepta secundum numerum parabolae Unitate auctum, ad excessum ipsus supra tot numero propor tionales in rationem G B, ad BF, quarum prima inaxima, sit ultima minima proportionis DB, ad
BG, continuatae in tot terminOS, Vt numerus eorum excedat numerum patibulae Unitates erit etiam cylindrus H M, ad annulum latum ex segmento
HNPL, circa BD, ut DB, accepta secundum duplum
353쪽
duplum numerum annuli unitate auctum, ad excessum ipsius supra tot numero proportionales in ratione G B, ad BF, in conico , quarum maxima sit minima proportionis D B , ad B G, continuatae in tot terminos, ut numerus eorum sit duplus unitate auctus numeri conici , seu annuli. Habemus sexto rationem cylindri Eh, ad annulum strictum ex segmento EB NH, circa BD. Nam cum ex proposit, IO. prim. sit parallelograminum in F, ad segmentum ad diametrum EB NH, ut DB, accepta secundum numerum parabolae VALtate
354쪽
tate auctum,ad excessum ipsus supra ultimam minorem proportionalem proportionis DB, ad BF, continuatae in tot terminOS , ut numerus eorum excedad numerum parabolae unitate; ergo etiam cylindrus ΕΚ, erit ad praedictum annulum, ut DB, accepta secundum duplum numerum conici, seu annuIi unitate auctum, ad excessum ipsius supra viri mam mi norem proportionalem proportionis DB, ad BF,
continuatae in tot terminos ut numeruS eorum .
sit duplusi unitate auctus numeri conici , seti an
Sed non solusi ea , quae usque modo dicta sunt
verificantur, sed etiam, ex dictis, alia possunt colligi; nempe non modo eandem esse rationem cylindri E C, ad annulum strictum ex semiparabola E B A , circa B D, reuoluta, cum ratione parallelogrammi E D, ad semiparabolam E B A, cujus exponens sidduplus exponentis prioris semipat abolae, & hoc tam secundum totum, quam secundum partes propo tionales ; verum etiam completis integris parabolis, A duplicatis trilineis, parallelogrammis, conicis, Scaer. eandem esse rationem sui manifeste patet parallelogrammi ad duos trilineos, tam secundum totum, quam secundum partes proportionales, ac cylindri, ad duos conicos. Item, eandem es a rationem parallalogram .ni ad iacegram paeabolam
355쪽
tam secundum totum, quam sectin dum partes proportionales , ac totius cylindii ad annuli m stricti in ex tota parabola: S consequenter tam intum annulum esse magnitudinem proportionaliter analogam cum tota parabola, quam duos conicos inverse positos , esse magnitudines proportionaliter analogas
cum diicbus trilineis itidem inuet se positis. Ex quibus. Habemus primo, quod si diuisis SD, proportionaliter in G, & in cylindro ducto plano LGM, ADC, parallelo, in parallelogrammo vero ducta LG, AD, parallela ; habebimus rationem cylindriRM , ad annulum strictum ex maiori portione I BPL, reuoluta circa SD. Nam ex proposit. i 3. lib. i. facile deducemus, cylindrum I M, esse ad praedictum annulum, ut S G, accepta secundum duplum numerum annuli unitate ausum, ad SG, acceptam secundum duplum numerum annuli, Una cum cxcessu BG, supra ultimam minorem proportionalem proportionis S B, ad BG, continuat E in tot
termino8, ut eorum numelus excedat duplum numerum annuli binario. Patet, quia loco citato psObatum est, parallelogrammum i G, esse ad portionem maiorem parabolae R BP L, ut S G, accepta secundum numerum parabolae unitate auctum , ad SG, acceptam secundum numerum parabolae, Una cum excelui B G, supra ultimam minorem proportionalem proportionis Si , ad BG, continuatae
356쪽
in tot terminoq, ut numerus eorum excedat nume
rum parabolae binario . Habemus secundo quod si ductis plano I TV X, α linea i TV, pa allelis ut supra, secantibus pariter SD, proportionaliter in U; habebimus rationem cylindri IM, ad annulum strictum ex sePinento IT BPL, re toluto circa s D. Haec autem sic obtinebitur. Fiat vi VB, ad BG, sic SB, ad F; ratio vero S B, ad B V, continuetur in
357쪽
tot terminos Vt numerus eorum excedat duplum numerum annuli unitate, sitque ultimus minimus terminus H. Eodem modo continuetur ratio DB, ad BG, sitque ultimus minimus terminus N. Tanisdem fiat ut tot S B, quotus est duplus numerus annuli unitate auctus, ad excessum ipsarum supra N, sic F, accepta secundum duplum numerum annuli unitate attinum, ad O. Ex proposit. νε, libprim. haurietur , esse cylindrum IM, ad praedictum segmentum annuli, quod includit, ut F, cimSB, acceptis ambabus secundum duplum numerum annuli Unitate auctum, ad O , una cum excessu tot SB, quotus est duplus numerus annuli unitate auctuS supra H.
Sed hic libet lectori considerandum proponere
accidens quodam circa hqc solida contingens, quod lique nobis videtur admirabile, & consideratione dignum. Non est dissicultas, quod quot sunt parabolati tot sunt & trilinea,& cono idea, & conici: Velut melius fortassis loquamur, cui labet parabolae, comrespondent suum conoides, suum trilineum , & suus conicus. Quapropter, cum ad mensuranda infin ta concidea, adhibitae sint iplam et infinitar parabolat, quae tot sunt, quot sunt ipsa conoidea; utique ex analogia infinitarum parabolarum, nempe ex pro-
. portione parallelogrammicircumscripti infinitis
358쪽
3 8 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
parabolis ad ipsas, videtv r conueniens esse colligere proportionem cylindri circumscripti o vnib os cono idibus parabolicis, ad ipsa cono idea. Quod a tamen ex se perior ibus patuit haud verificari. Nam ex proportione parallelogrammi ad infinitas parabolas, non elicimus nisi proportionem cylindrorum
ad omnia conoidea, quorum exponentes sint numeri pares et adeo ut inter quaelibet duo cono idea, quorum analogia assignatur, mediet conoides. Verum enim Veroquan: utS eodem modo se videantur haberi infinitar parabolae respectu infinitorum cono id eorum, sicuti infinita trilinea respei tu infinitorum conicorum, quia ex reuolutione infinitarum parabolarum,& infinitorum trilineorum oriuntur infinita cono iis dea infiniti conici; attamen non eodem modo ex
proportione parallelogrammi ad plana , elicimus analogiam proportionis c ylindri ad solida. Nam ex proportione Omnium parallelogrammorum ad infinitas parabolas, non colligimus nisi rationem cylindrorum ad aliqua cono idea; in praesenti Vero proposit, ex proportione parallelogrammorum ad aliqua
tantum trilinea, nempe ad ea, quorum exponenteS
sunt numeri pares, elicimus analogiam proportionis infinitorum cylindro tum ad infinitos conicos. At quod usque modo videbatur admirabile, vidcbitur admirabilius , si cons cretur hanc diu crsitatem reperiri etiam in solidis gehitis ex reuolutionibus diuersi S carundem numero figurarum . Nam ex infinitis parabolis rotatis circa diametros, generantur imfinita
359쪽
finita conoidea ; ex iisdem vero rotatis circa ipsas in vertice tangentes, oriuntur infiniti annuli stricti. Modo si adhibeamus proportionem, quae reperitur inter parallelogramma & infinitas parabolas, non possumus assignare nisi rationem cylindrorum ad
cono idea, quorum exponentes sint numeri pares: at vice versa, adhibendo proportionem, quae reperitur inter parallelogramma, & parabolas, quarum exponentes sint numeri pares, elicimus proportionem
cylindrorum ad infinitos annulas praedictos . Sed haec & similia. sunt de numero illorum mirabilium, de quibus loquitur Galileus in postremis Dialogis, Dial. p. pag. apud nos, a q.
Initio huiusce operis, supposuimus infinitarum parabolarum quadraturam assignatam a Caualerio per indivisibilia. Reliqua omnia, usque modo ostensa, methodo antiquorum processere. Sed ex usque modo dictis, possumus deducere, methodo antiquOIum, quadraturam omnium illarum parabolarum, quarum exponentes constituunt progressionem duplam, ab unitate inclusiue, incipientem: nempe,quarum exponenteS sunt I, 2. q. s. a 6. 32. &c. Quod sic patebit. Nam parabolas, quarum exponenteS sunt I.& a. nempe triangulum & parabolam quadraticam, minc antiquorum quadrari, ctiam modi
ce ut geometria versatis, patet. De alijs sic pate-U u a bit.
360쪽
3 o DE INFINITIS PARABOLIS ETC.
bit. Data parabolae quadraticae quadratura, habetur ratio cylindri circumscripti conico quadratico adipsum. Habita hac, habetur etiam ratio parallelogrammi ex proposit. antec. circumscripti trilineo quadra loquadratico, cuius exponenS q. ad ipsum. Hac obtenta, obtinetur etiam ratio cylindri circumscripti conico ex ipso, ad ipsum conicum. Ex hac deducitur ratio parallelogrammi circumscripti trilineo, cuius exponens S. ad ipsum. Et consequenter ratio cylindri ad conicum. Ex qua ratione hauritur ratio parallelogrammi ad trilineum, cuius exponens IG. Et sic in infinitum.
Si parabolae quadraticae sit circumscriptum parastelogram-mum, quod cum Usafecetur duabus lineis basiparat iis,
aequaliter dictantibus, mna a evertiee, altera a basi. Rectangulum contentum sub partibus inius resectae a curua parabolica,erit aequale quadrato dimidiae alterius ordinatim applicatae ad diametrum parabolae.
Hoc idem ostenditur a nobis in nostro libello Venet ijs imprςsso, cuius titulus. Sexaginta problemata Geometrica, in appendice pro indiuisibilibus. Sit ergo parabola quadratica BAC, cui sit circum scriptum parallelogrammum H C, quod cum parabola sit sectum duabus DG, kN, ipsi BC, parallelis, tali lege, ut AF, MO, lint aequa