De infinitis parabolis, de infinitisque solidis ex varijs rotationibus ipsarum, partiumque earundem genitis. Vna cum nonnullis ad prædictarum magnitudinum, aliarumque centra grauitatis attinentibus. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesu

361쪽

les. Dico rectangulum D E G , aequale esse quadrato LM vicissimque rectangulum kLN, aequalecsse quadrato EF. Quoniam enim ex schol. proposit. a i . lib. pii: n. quadratum B O, seu DF, arquatur qnadratis EF, L M, & pariter aequatur quadrato EF .. & rectangulo DEG; ergo quadrata EF, L M, aequabuntur rectangulo DEG,& quadrato EF . Quo ablato hinc inde . Ergo rectangulum DEG, erit aequale quadrato LM. Eodem modo ostendetur rectangulum kLN, et quari quadratoi EF. Quare patet propositum

362쪽

3 1 DE INFINITIS PARABOLIS ETC.

PROPOSITIO VJ.

Si quatuar magnitudinum p malium prima ,-tertia proponionaliter secue turm put o sitque puri primae ad pat semetris mi pa simiae sinis parti primae ad

-N H

SInt quatuor m gnitudineSproportionales, A B, prima, CD, secunda, E F, tertia, & GH, quarta, ut siti AB, ad CD, ut EF, ad GH; sintque ΑΒ, iptima,& EF, tertia sectae propo tionaliter in k, & M, ut AB, sit ad DK, Vt EF, ad F 1; pariter CD, GH, sint sicctae in L,

363쪽

ex aequali, erit diuidendo, CL, ad LD, ut G N, ad N H. Ru siim quoniam ex hypothesi conuertendo, Vt L D, ad k B, sic N H , ad M F, & pariter ex hypothesi diuidendo, & conuertendo, est ΒΚ , ad kA, ut FM, ad ME. Ergo pariter ex aequali, erit CL, ad AK, ut G N, ad LM. Conuertendoque,erit Ah, ad CL, ut EM, ad GH Quod,&C.

PROPOSITIO VII.

Excessus cylindri circumscripti conoidi parabolico quadratico supra ipsum, aequatur ipsi conoidi. aeuodbbι tue segmentum talis excessus resciri plano, mel anu b ibi parastelis , aequatur segmento eiusdem conoidis inuerae positi,ac contento Inter eadem plana.

Esto conoides parabolicum B A C, cui sit ciris

cumscriptus cylindrus H C. Dico primo, excessum cylindri supra conoides aequari conoidi. Secta diametro DA, in quotcumque parteS aequales

A E, E F, F G; G D, Sc. per puncta E, F, G, transeant plana k L, MN, OD, ipsi BDC, parallela; super

364쪽

3 INFINITIS PARABOLIS ATQsuper basi autem l E Q, intelligantur cylindri XaQR; item super basi R FS, cylindri SY, S ; p, riterque super basi FGH cylindri UZ, TQ . P

tet , in excessit cylindri supra conoides , inscriptos esse tubos, cylindricos sibi super impositos ortos ex reuolutione parallelogrammorum LX, KR, ML

circa A D: item in conoide, inscriptos esse cylindros My, S , T F, ut in schemate, tot numero quot sunt tubi inscripti in excessit. Tunc , quoniam

A F, aequatur D G; ergo ex proposit. antec. rectangulum k IL, crit aequale quadrato T G. Ergo dc a milia circularis, cuius latitudo h l, erit aequali S circulo, cuius semidiameter T G. Ergo tubus cylindricus h X l , inscriptus in excessii erit aequalis cylindro T. ., inscripto in concide, quia & bases, & altitudines horum solidorum sunt aequaleS. Eodem modo ostendetur tubum MYN, aeqiari cylindro S -: itemque tubum OL P, aequari cylindro& idem ostenderetur de omnibus alijs, quia sunt

aequales numero, dummodo tubus, qui comparatur

cum cylindro, arqualiter distet ab A , sicuti cylindrus a D. Ergo orianes tubi inscripti in excessu, erunt qquales omnibus cylindris inscriptis in conoide. Ergo & excessus erit aequalis conoidi . Nam cum per continuatam B sectionem , & subisectionem A D, partiumque ei si me m, possint, more v sitato apud geometras, inscribi in excessia tot tubi cylindrici, in conoide vero tot cylindri, ut illi quidem ab excessit, hi vero a conoide , defficiant quantitatem in oti

365쪽

minori quacumque data , facile probabitur absumdum si aliter dicatur quam nos dicimus. Excessus ergo praedictus, erit aequalis conoidi . Quare patet

primum.

Dico secundo , quod si A F, sit aequalis G D, adeo ut si conoides inuerseponeretur, segmentum B TV C, contineretur inter plana H a, kLs nihilominus excessum cylindri H L, supra conoidest A Q, aequari segmento conoidis B T V C. Nam diuidendo A E, in quotlibet partes, & GD, in tot ipsis in A E, numero aequales, & per puncta A E, G D, ductis planis B D C, parallelis ; modo supra exposito, in excessu k A L, inscriberentur tu-Xx bi

366쪽

346 DE INFINITIS PARABOLIS ATQbi cylindrici, in segmento vero B T V C, cyIindri ;tubique cylindrici essent aequales numero cylindris s&omnes tubi cylindrici probarentur aequales Omnibus cylindris, comparando semper tubum aequaliter distantem ab A , cum cylindro aequaliter distam te a D. Vnde etiam, more usitato apud geometras, per deductionem ad impossibile ostenderetur, excessum praedictum K A L, aequari segmento B T V C. Quare patet etiam secundum.

COROLLARIUM.

Ergo totus cylindrus erit duplus conoidis. Ergo conoides erit sesquialterum coni qui est tertia pars cylindri sibi circumscripti. Ergo conoides erit subsesquitertium hemisphrrij, seu hemisphaeroidis inscripti in eodem cylindro H C. Quae omnia concordant cum doctrinis Archimedis,& aliorum.

SCHOLIUM.

Patet ergo ex dictis in hac, & superioribus proposit excessum praedictum cylindri sit praconoides, ipsumque conoides, esse magnitudines proportionaliter analogas , iuxta sensum definitionis supra politae. Ad uberriorem autem doctrinam notetur, quod cum in schol. a. proposit. i s lib. a. uniuersaliter assignata sit ratio, quam habet cylindrus v g. OC, ad

367쪽

si ustum BTUC, conoidis cuiuscumque paraboliaci a se inclusi quae in conoide quadratico,Vt ex regula generali ibidem tradita elicitur, est: eadem cum ea, quam habent duae BD, cum duabus T G, nemope BC, cum T V, ad BD, T G, cum alijs duabus sequentibus in continua proportione B D, ad s G; Scum supponendo A E, GD, aequales esse) prohatum sit, excessum cylindri H L, supra i AQ, aequalem esse s gmento B TUC, & pariter cylin-dius HL, sit aequalis cylindro OC: sequitur Otiam, cylindrum H L, esse ad excessum ipsius supra conoides IAR, ut BC, T V, ad B D, T G, cum illis duabus proportionalibus. Ex quibus patet Xx a Per

368쪽

348 DE INFINITIS PARABGLIS ETC. per conuersionem rationis, quaenam sit ratio cylindri H L, ad conoides I A Q. Sed etiam ad uberriorem scientiam, licet in cΟ-noide parabolico quadratico aliam rationem cylindri OC, ad frustum B TV C, colligere. Nimirum , quod sit ut dupla DA, ad DA, cum A G, seu ut duplum quadratum B D, ad quadrata B D, T G. Quod sic patebit. Cylindrus HL, ad cylindrum X Q, est ut quadratum in F, ad quadratum El ; nempe ut duplum quadratum k E, ad duplum quadratum EI. Cylindrus X Q, est ad cono id est A Q, ut duplum quadratum IE, ad quadratum I E. Ergo ex aequali, cylindrus H L, erit ad conoides IA ut duplum quadratum EE, ad quadratum I E. Ergo & per conuersionem rationis, cylin-dius HL, erit ad excessum ipsius supra conoides, ut duplum quadratum kE, ad excessum i plius supra quadratum ΙΕ. Quare & cylindrus OC, aequalis H L suppositis A E, G D, aequalibus erit ad segmentum B TUC, aequale praedicto cxcc siti, ut duo quadrata k E, seu BD, adcxcesium ipsorum supra quadratum IE; ncmpe ad quadrata BD, T G; quia quadrata IE, TG, squalia sunt quadrato B D. Cum autem sit ut quadratum B D, ad quadratum T G, sic DA, ad AG. Ergo & ut duo quadrata BD, ad quadrata BD, T G, sic dupla D A , ad

369쪽

PROPOSITIO VIII.

Parasielogrammum circumfrptum parabolae quadraticae,eRadgyam, ivt ylindrus circumscriptushbaerae, elapbα-roidi ad baeram, 'Deliphaeroides, tam secundum totum, qη m secundam partes proportionales',si diameter sphaei α

et baeroidis, sy bsiparabolae secentur in partes pro

portionales .

ESxo parabola ABC, cum sibi circumscripto

parallelogrammo DA, sitque eius basis C A; item sit semicirculus , vel semiellipsis C F A siue C A, diameter ipsius sit aequalis basi C A, parabolae, in Due non, nam ponitur eadem facilitatis gratia in cum sibi circumscripto rectangulo GA; & intelligamus ipsum cum semicirculo, vel semiellipsi rotari circa C A. Dico parallelogrammum D A, esse adparabolam ABC, ut cylindrus ex G A, ad sphaeram, vel sphaeroides, quod semper debet intelligi) ex CFA. Pari ter dico si CA secetur proportionaliter, &inpa abola, & parallelogrammo ducantur lineae BE, parallelae, & in sphaera ducentur plana parallela cir-- culo descripto a semidiametro E F; semper parallelogrammum, & parabolam , itemque sphaeram, &cylindrum, secari in partes proportionales. Hoc itendetur primo in semiparabola EB C, D in hemio phaerio ex C F E. Dividantur CE , semibasis parabolae, & semidiameter circuli proportionaliter in punctis

370쪽

punctis H, k,&c. & in parabola ducantur H L, K I, n, parallelae, in semicirculo vero H P, k O E Fparallelare item ducentur M T, OU, RX, S Z CA' parallelae, ut apparet in schemate. Tunc . Quoniam

lum A E C, ad rectangulum A k C, ut B E, ad O k,

euad VE ; hoc est ut parallelograminum Bk, ad paralles0grammum V k; estque ut rectangulum AE , in parabola, ad rectangulum AEC, sic rectangulum A E C, in sphaera, vel splinoide, ad rectangulum H k C; & ut rectangulum A E C, ad rectangulum AkC, sic ex Apollon, p, conic. PsOPO ut. 2 t. quadratum E F, ad quadratum k S, sed ET&vt quadratum E F, ad quadratum EZ, sic cylindrus ex parallelogramino Ein, circa CA, ad cylin dium ex ES, circa eandem. Frgo S ut parali logrammum B Κ, ad parallelogrammum V k, sic cylindrus ex E ad cylindrum ex ES. Eodem modo ostendetur, esse parallelogrammum I H, ad parallelogrammum TH, ut cylindrus ex k P, ad cylindrum ex KR; idemque ostenderetur de alijs, si adessent. Ergo ad modum superiorum facile concludemus, parallelograminum DE, esse ad parallelogramma in semiparabola inscripta, ut cylindrus ex EG, ad omnes cylindros in hemisphaerio inscri- pios. Quare etiam modo Archimedeo facile concludemus, esse D E, ad E B C, semiparabolam, ut c3 lindius ex E G, ad ipsiim hemisphaerium , seu hemisplinoides. Possumus enim in semiparabola,& in