장음표시 사용
551쪽
s De ultimis rationibus continui Cap. XXXIII.
E H grad. bo: si nimirum quadratum inus 5 Oooooo ex quadraio sinus totiug Io oooooo auferatur, O reliqui numeri radix quadrata aeeipiatur , quae et 866o ais serae ultima uouxum qui experiri velit, ex quadrato sinus totius detrahat quadratum 3o graduum, remanebunt partes TSOOoOOOoooooo, quarum radix quadrata est S66o ais, ut recte computavit
Clavius : sed remanet fractio os 5 8 . Quae quidem fractio
in tanta summa respectu sinus scujus 333M partem unitatis non sequat) vix considerabilis est : attamen respectu ejusdem sinus duplicati, & in seipsum multiplicati, error non contemnendus euiergit , ut necessum sit areae productae fractionem duplicatam, viZ. 13 Iops 8, addere. Sed ex his satis elucescit,
rationes numeri hic claudicare, nec passibus aequis rationes continui consectari. Censura II. Huc quoque referamus quadraturam menset, seu Iu-
quadratura nutae, quam ClariC. Magnenus Hippocrati Coo adscribit, mepi Di, quilisque annexo Schemate accuratissime explicat, lib. de Atomis cap. i. problem, S . p g. 32 p. vi de Schema primum in Tabula a* calce Libri appens a. Titulus problematis est, Meui eum fise Iunulam quadrare. Sit circulus A B U , uieunque ducto diametro AH, ct subtendente B A, fiat cireularum F A C B, diametro AB. Erit eirculus in diametro A HApIus eireuli in subiendente A B deseripit per a. 12. Circuli enim interse rationem habent quam deseripta a diametris quadrata. Sed quadratum
ineae A H duplum est quadrati lineae A B per set primi , est enim diameter ejus quadrati quod per li eam A B eonstruitur: ergo cireulis etiam A B H duplus est potentia eireulo A FAE C. Erii ergo segmenium in subtendente A B duplum segmenii AR C in subleu dente A C, sunt enim similes figure,'fmiliter deseripia per 3i,s, Duo itaque segmenta minora, lineis B C, AC, comprehensi s si 'mantur simu aequalia sunt majori segmento A E B. Garta
itaque eirculi majoris pars aequalis est semicirculo minoris ex 2. I 2.
Clim itaque ejusdem eireuli semieireuli sunt aequales, O se ab qualibus aqualia demas, quae remanent sunt aequalia , sublato seg mento A E B, manebit menseas sitie lunula A E B F. Similiter ab altero semicirculo ACB tolle segmenia B IC, C X A, mane bit residuum triangulum A C B, aequale lunula AEBF: qrumst erat inveniendum. Ego quidem ingeniosillimi inventoris ju dicium
552쪽
Cap. XXXIII. O discreti improportionatu.
dicium & acumen tum laudo, tum admiror. veruntamen cum lunula quadrata sit figura irregularis, nullius prope usu praesertim in Arithmetica, fuerit. Siquidem dividi tantum in duas aequales partes, linea ducti per medium lunae & een tium circuli, potest. Si ergo latus quadrati, cui comparatur, partes la continere supponatur, totum quadratum is , dc ejus medietas Ja, partes continebit. Fateor lunulam, totam medietatem quadrati ad aequa te comprehendere, ejusque mediam partem capere quadrati partes 36. Sed sit ulterius hasce partes 36, in lunulae medietate alterutra, aequales &satis distinctas quaesiveris, non ibi in vesieris. Porro, quanquam Doctiss. Magnenus unam tantum apposuit lunulam quadratam in minore circulo A F CB; non tamen dubium est quin ei notissimum quoque fuit, dari aliam ostensae aequalem, nempe in altera medietate circuli: prout repraesentantur in uda & 33 Figura secundae Tabulae. Tertia Figura exhibet tres circulos, duos exteriores, A, B, alterutrum duplo majorem medio. Medius consistit ex duabus lunulis, CR, DL, & duobus arcubus, Em, F re, alterutro so graduum. Chorda eos subtendens GH est diameter circuli minoris, dc diagonalis quadrati lunularum unam (ut in prima Figura quadrantis. Ealem chorda est quoque diagonalis alterius medietatis ejusdem quadrati, quae quadrat alteram Iunulam , ut in si Figura monstratur. Lunulae & arcus in partes diametro transverso o p bisecantur , nec ulteriorem divisionem in partes, quadrati partibus proportionatas & aequales, admittunt. Secunda quoque Figura dat tres circulos,
A FB C, NA BH, N P H O. Alteruter exteriorum duplo minor est tertio. Ad probandum tetragonismum dextrae lunulae A F BE, sussiciunt verba Magnent, s quibus simplicismenisci quadraturam monstrat, ) stupra relata, ad hanc applicata. Literae enim & figurae ab iis pximae figurae non aliter differunt, quis quod a sinistro ad dextrum latus respecti.
ve transferantur. Eo autem fine a me apponuntur, ut ostendam hanc demonstrationem ( quanquam ingeniosissimam )parum ad veram totius circuli quadraturam inveniendam contribuere. Nam reipsa quatuor arcus in ad Figura,
a, b, c, d, singulos po graduum, quos quadratum inscriptum et D nou continet, hia quadratura plane omittit. It ut re-
553쪽
3odi inimas rationibus continui Cap. XXXIII.
pectu totius circuli, curiosum hoc inventum ejus quadraturam non magis promovet quam ipsum nudum quadratum in. scriptum. Eosdem enim g arcus, quos hoc, illa quoque intactos relinquit. Nihil ergo aliud videtur esse haec demon stratio, nil ingeniosa quaedam transpositio arearum quatuor arcuum, quos quadrati circulo inscripti quatuor latera subtendunt in medium ejusdem circuli , ut ita partes areae quadrati dicti exterius trudantur, & duas lunulas farciant. Non quod ullus hic fiat motus, sed per similitudinem. Nam quatuor arcus circuli N P Η O, nempe arcus me, duobus arcubus, Em, & Fae, in tertia Figura aequales sunt; dc duo
trianguli, N H P, N C Η, inscripti circulo N P Η O secundae
Figurae, sunt aequales duabus lunulis tertiae Figurae, C R,D L. Ita ut adhuc restant quatuor arcus circuli N P Η O secundae
Figurae, viZ. arcus ii, e,d, non quadrati , tantum miro artificio inter duas lunulas inseruntur , nec speciosum hoc inventum plus totius circuli quadrat, quiam solum quadratum inscriptum exhibet. verum ne longior sim, quadratura cireuli desideratur quae iam arithmeticis quam geometricis saut
paulo minus illis D m his , operationibus subserviat ; qualis
suptia nobis (s foret exquisita datur, nempe quadratum, ut ibi describitur, medium inter quadratum inscriptum & tangens 1 cujus radix, ut dixi, est circiter sinus graduum so duplicatus, seu subtendens linea arcus graduum 1ao. Atque haec sufficiant de secundo modo quadrandi circulum. Fractunes tr. Procedo jam ad fractiones interminatas, quae evidentissime infinitum continui divisibilitatem exprimunt. Fractio
his et enim divisionis quaedam species est ; 8c quicquid competitiam p., fractioni quatenus dividit, ipsi quoque divisioni competat nebant. cesse est. verum ut rectius de natura frictionis judicemus, tria eum spectantia distinguenda sunt materia dividenda, numerator, & denomina tor. Materia dividenda est vel continuum ipsum, vel instar continui. Consideratur enim ut dividua. Fructio quippe frivola & nugatoria est, ubi materia circa quam versatur non est divisibilis: ut i puncti mathe matici. Punctum hoc simplieiter indivisibile est, & propter ea fructio eo spectans nihil, aut nihili, est. Sin materia fra ctionis sit dividua, ipsa quoque fractio alicujus momenti fuc'rit. Quare divisibile, qua tale, est propria materia fracti
554쪽
onis. ut plurimum est residuuit prioris divisionis, quod to tum complectitur, quodque a divisore, nisi in minutiores partes resolvatur, ulterius dividi nequit: vel alias, est totum id
. cujus pars aliqua, aut partes aliquae, quot numerator designat, cuivis uni distribuendae sunt. Numerator enim, facta divisione, cuivis unitati quoti suam residui portionem assignat. De numeratore non opus est hic plura attexamus. De nominator est qui potissimi im ad hanc rem facit. Ut plurimum est ipse divisor prioris divisiorus ; aut saltem est numerus qui dividuum in tot partes, quot ipse continet unitates, dividit, seu dividi supponit. viare denominator divisor est , & fra-istio, ipsa divisio , numerator materiam divisam distribuit. Constat itaque fractionem in sua ratione includere divisonem. Verum quid sibi vult altera vox addita interminata Ut fra stio ipsa divisionem denotat; iti interminata fractio divisionem sine termino, hoc est,. potentialiter infinitam, insinuat. Divisio enim quae usque dc usque sine termino seu limite augeri potest, est potentialiter infinita. Siquidem quemadmodum numeri integri per additionem squod semper augeri possint) infiniti ( etiamsi nunquam actu infiniti fiant dicuntur: ita fractiones ( quod per additionem perpetuo augeri queaut) potentialiter infinitae sunt, nunquam lices ad infinitatem istam actu aspirent. Infinitas autem fractionis est in potestate denominatoris, qui per additionem novae figurae aut ciphrae a dextra perpetuo augeri potest, perinde ac numerus integer. Quapropter omnes Arithmetici numeros fractos aeque ac integros per additionem esse infinitos agnoscunt.
13. In memoriam hic revoco responsum Clariss. Toleti, et aliti re-Disput. supra citata , infinitam divisionem continui non esse inirinsecam infinitatem, sed extrinsecam. Enimvero si fracti- ..hii ii sonis infinitas sit infinitas tantum per additionem, non magis finitate exesi intrinseca quit m infinitas numeri integri. utriusque e- ponitur. nim ratio in eo consistit, quod perpetuo augeri queat. Comtinuum enim divisibile in infinitum dicitur,non ob magnitudinem extensionis,sed ob naturam continuitatis, quae de se semper capax est divisionis, ut declaravimus. Dices, infinitas partes ad infinitam divisionem sustinendam requiri, quae intrinsecae sunt. Partes enim rei sunt intrinsecae, & consequenter
555쪽
De ultimis rationibus continui Cap. XXXIII.
quenter earum quoque infinitas est intrinseca. Respon deo, infinitatem hanc consistere in numero partium infinito. Numerus autem sumitur vel pro numero actuali, vel pro numero potentiali. Numerus partium potentialis est tum in- finitus, tum partibus continui proprius, intrinsecus & essen.
tialis: sed de eo non intelligitur Toletus. Est: enim de esse sentia continui habere infinitas istiusmodi partes divisibiles, in quibus ejus infinita divisibilitas suffcienter fundatur. Dices, partes ejus esse actu entia, & realiter distingui et non ergo
constituere solum numerum potentialem. Respondeo, non esse entia completa, nec complete exsistentia, aut complete
discreta , nedum esse actuali numero distili sta Quare, sint licet sussiciens fundamentum numeri actualis in intellectu,s si modo intellectus talis numeri foret capax ,) non tamen esse materialem numerum ultimo ad uatum : quemadmodum decem boves sunt decem, & tantum decem,
nec plures, nec pauciores, nemine cogitante. Partes enim adaequale conceptae unum sunt, & sibi invicem atque toti communicantur: sunt autem numerus quatenus inadaequale concipiuntur, praeciso conceptu communionis inter
se. Ubi enim partes seorsim ab invicem concipiuntur, earum unio non considerando praeciditur, & contemplamur solum distinctam, & mente quasi divisam, earum entitatem , ae sic sussiciens fiunt fundamentum in intelle sta cujusvis nu-rheri actualis: quanquam in re non magis ad eum numerum quam ad quemlibet alium determinentur. Sunt enim in potentia ad omnes numeros, & ad nullum unum prae aliis, ali ter qu)im ab intellectu & per ejus designationem restringuntur. Numerus vero partium actualis non est intrinsech infinitus, sed per additionem i, quemadmodum numerus int ger infinitus quoque dicitur. Non quod novae subind part divisione fiant aut addantur i, sed quod partes, quae fuerant antea potentiales, per infinitam divisionem successivam ad infinitum numerum actualem tendant, eundem lices nunquam attingant. Numerus enim potentialis infinitus, divisione tactuali s quae extrinseca est ) successive sine fine instituti,
tendit in numerum infinitum actualem. Quoniam vero a sinia divisionis additione infinita, actualitas hujus infinitatis de pendet, est infinitas per additionem rei extrinsecae, videli ccx divisionis s
556쪽
Cap. XXXIII. De ulti/giis rationibu3 eotitiesui,
diuisionis ; & consequenter, est infinitas hoc respectu extrin-stea, & ejusdem rationis cum integro numero infinito per additionem. Quo sensu accipiendus est Toletus. i . Atque hoc fractionibus interminatis seu infinitis diluci de monstratur. Sit itaque materia fractionis massae auri pondo unum ; sit numerator 12 , denominator interminatus seu infinitus , hoc est, per additionem seu per multiplicationem perpetuo augibilis, g--putes mas dictae. Denominator in infinitum, addendo figuram aliam, atque subinde aliam aut plures, dextris, augeri potem, & consequenter, ut est fractio infinita, ita declarat materiam ejus esse in infinitum dividuam. Dices, partes, aucta in infinitum
diuisione, demum ad nullitatem reduci. Ne metuas. Nunquam ad infinitam divisionem devenire potes; neque unquam continuum ita attriveris, ut partes ejus annihilentur. Fuerint enim adhuc aliquid extra nihil, & alicujus quantulicunque pretii: pluris certe quim si ci phra Oo aut minor
numerus loco numeratoris ponatur. Imo adhuc decuplo, millecuplo, dcc. ulterius comminui possunt, addendo figuras quot volueris a dextris. Cum ergo fractio quantumvis magna nunquam materiam dividuam in nihilum redigat, constat eam esse in infinitum divisibilem : & consequenter, cum nullus detur numerus actualis qui in infinitum sit divisibilis, patet inter ultimas rationes continui & discreti, seu numeri aliualis, nullam intervenire proportionem a quod erat ostendendum.
Sed prolixior jam fui quam vellem. Alias objectiones, de motu, de inaequalitate ejusdem, viZ, de velocitate & tarditate motus, de tempore, ejusque continuo & aequali fluxu, in alium locum, si is forte se aliquando obtulerit, elucidandas reservo. Tantum hic de Minimo naturali aliquid subjungendum videtur.
557쪽
sos De minimo naturali. Cap.XXXIv.
De Minimo naturali. stub sensu i. T TOc Caput eorum potissim im gratia, qui, quod omnia
Peripate- III corpora ex minutissimis corpusculis componi agnoi sit g stant, in Atomicorum castra se secegisse plane arbitrantur, subtexendum erat. Nimirum ut ipsi, quantum ab aliorum Philosophorum sententiis recedunt,certius intelligant. Enimvero Peripatetici quoque, omnia corpora ex corpusculis, seu ex particulis corporeis,numero potentiali infinitis, hoc est, semper divisibilibus, confici, largiuntur. vertim dicunt hanc compositionem esse tantum integralem , dari alias quoque compositiones substantiales, ut essentialem & elementariam.
Partes integrantes unitas constituere corpus quatenus continuum , partes essentiales idem conficere quatenus est determinata essentia seu natura praeditum, partes denique elementarias idem quatenus mistum, & elementis quodammodo contrariis contemperatum , componere. Resolvitur
itaque mistum in elementa , puta, oleum seu sulphur, mercurium, salem, phlegma, & terram seu caput mortuum , nimirum in partes diversorum generum, quas haec analysis solas contemplatur. Deinde, solvitur in partes essentiales ; nempe in materiam primam, dc formam physicam: hoc est, in naturam seu essentiam primaevam, perpetuam, per se subsistentem, dc naturam seu essentiam adventitiam, additionalem, caducam, qua interim compositum specificatur. Demum, dirimitur continuum in partes integrantes, seu corpuscula
minora et quae divisio non solicita est sive de partibus essentialibus, sive de elementariis , quemadmodum neque priores de partibus integrantibus. Jam vero qui partes has, nempe integrantes, in corpuscula, usque dum ad minima naturalia deventum sit, dividuas admittunt, non propterea tenentur Atomicorum principiis statim subscribere et sed iis adhuc liberum est, partes sive elementarias, sive essentiales, simul agnoscere. Qipare minima naturalia & atomos quo sensu cordi
cedimus, aut negamus, opus est hae pressitis declaremus. Inprimis
558쪽
Cap. XXXIV. De minimo naturali.
primis vero ipsae voces ab ambiguitate liberandae sunt.
a. Nam etiamsii tam atomus qu m minimum, ex nomi- mimum num etymo, divisioni repugnare videantur: iisdem tamen, naturale
tum ob diversum statum, nempe separatum, vel conjunctum, tum ob diversas opiniones de eorum divisibilitate atque indivisibilitate, aliqua significationis varietas obvenire potest. Minimum enim naturale in statu separato est corpusculum indivisibile , & atomus: verum in statu conjuncto, quanquam aliquando vocetur minimum, quod seorsim consideratum sit ejusdem parvitatis cum vero minimo separato , non tamen est plane indivisibile, nec eo sensu atomus. Revera minima, (nempe quae forent minima, si seorsim starent) unita in continuo, non sunt proprie minima , sed particulae ejusdem parvitatis cum minimis vere sic dieris, si seorsim starent. Sunt
enim audia accessu partium quibus continuantur ae communicantur , atque adeo propter hanc auctionem dividi in quolibet sui puncto queunt: ut suprὲ declaravimus. Quare minima naturalia sunt vel proprie, vel improprih, dicta. Minima proprie dicta ea sunt quae, Bb parvitatem, (si seorsim ab aliis stent) ulterius dividi nequeunt: improprie dicta sunt particulae, in se quidem consideratae, ejusdem parvitatis cum
minimis proprih dictis , sed divisibiles ob auctam magnitudinem ex accessu aliarum partium.
s. Similiter atomi ex ipsa divisibilitate, aut indivisibili- ne istinutate, distinguuntur. Ponuntur enim . multis simpliciter in- varia se divisibiles, hoc est, tam in statu conjuncto quam in separato. te' Supponunt enim hi in omni divisione corporum solutionem perpetuo contingere, non in medio alicujus atomi, sed in commissuris earum. Quo supposito, inferendum est, ipsas atomos adamantinas esse, & nullo modo findi posse. Pra,
terea, suas atomos pro principiis quae mutari nequeunt, quaeque omnis mutationis aliorum corporum prima fundamenta sunt, habent. Et consequenter, necessum est ponant immintabiles, atque adeo indivisibiles. Divisio enim mutatio qua dam est, ut per se notum est. Alii, loco atomorum, corpuscula exilia diversorum generum sussiciunt, quae elementa vomcant. Horum tria potissimhm genera statuunt, nempe ma terias primi, secundi, de tertii elementi. Primus enim eorum inventor Clariss . Cartesius, non vult esse reipsa atomos
559쪽
so8 De minimo naturali. Cap. XXXIV.
seu indivisibilia ; sed minima quaedam corpuscula, fallem diuisibilia, sed vel ejusdem, vel diversae magnitudinis & figurae. Etenim infinitam materiae divisibilitatem l . de Principiis Philosophiae pari. am' .XX. strenue asserit. Verba ejus sunt, Cognoscimus etiam fieri non posse, ut aliquae atomi sive materiae partes ex naturasua ivditiisebiles em stant. Chm enim, si quae sent, ne-eessario debeauet esse extensae, quantumvis parvae fingantur , posis mus adhuc unamquamque ex ims in duus aut plures minoreseogitatione dividere, ac proinde agnoscere esse diri biles. Nihil enim possumus cogitatione dividere: quin hoc ipso cognoscamus esse disi ile: atque ideo se judicaremus id ipsum esse inditii bile, judicium nostrum a cognitione dissentiret. a uinetiams singamus
Deum escere voli ille, ut aliqua materiae particula in alias mino,
res diuidi non possit , non tamen illa proprie inditii bilis erit dicenda. Dt etenim essecerit eam . nullis creaturi ditiidi posse, non derio Fbiim ejusdem di idendae saeuitatem potuit adimere , quia fieri plane non potest ut propriam suam potentiam imminuat equemadmodum supra notatum est. Atque ideo, absolute loquendo, illa disi bitu remanebit, quoniam ex natura sua est latis. Hactenus ingeniosissimus Cartesius pro nobis, non dari corpuscula simpliciter indivisibilia, probat. Verum ejus assectae a nomine
atomorum non tantopere abhorrent, nec inviti numero Philosophorum atomicorum se accenseri patiuntur. Etenim qui
atomicis principiis addicti putantur, vulgo in duas classes
dispertiuntur : una est eorum qui admittunt vacuum, altera eorum qui negant. Iis interim convenit, omnia corpora eX
particulis quibusdam,tanquam ex principiis essentialibus,componi, & inde varias suas naturas sortiri. Qui admittunt vacuum,atomos,ut simpliciter & absolute indivisibiles, defendunt :qui non admittunt, tomos quoque,sed suo sensu,nempe,ut mi nuta corpuscula indefinite seu perpetuo divisibilia, agnoscunt,
utraque enim Secta nomine atomorum sua elementa venditat. Quanquam vero ex atamatione & negatione vacui clare
distinguuntur; aliam tamen inter se discriminationem,& qui dem intimiorem, ortam a divisibilitate & indivisibilitate su Drum principiorum, merentur. Etenim qui absolutam indi visibilitatem asserunt, ut se defendant, vacuum in scenam evocare coguntur : qui divisibilitatem agnoscunt, ad suam sententiam vacuum minime requiri putant. Quare disseren
560쪽
Cap. XXXIv. De minimo naturali. i
tia quae sumitur a principiis prior est ea quae ad principiorum
defensionem aliunde adsciscitur, vel ut non necessaria rejicitur. Nemo enim in scenam naturae vacuum propter seipsum introduceret , & consequenter, non inde prima differentia inter eas Sectas sumenda est. Altera enim asserit, altera respuit vacuum, pro eXigentia principiorum quae respective defendunt. Quapropter, ne ludamur variis vocis acceptionibus, haec quoque distinguenda est. Sunt ergo atomi vel proprie, vel minus proprie , sic dictae. Illae s prout a patronis suis judicantur ) sunt prima principia naturalia, immutabilia,
ct plane inditiisibilia , ex quibus varie intertextis omnia, dacuo pilis miniss intersperso, corporum genera si species componuntur. Hae sunt minuta corpuscula, sed plane diuessibilia, atque adeo mu-iabilia , ex quibaes, tanquam ex elementis, inter se barie mixtis, omnia quoque corporum genera ct species fine tiaeuo concinnantur. Qui priores atomos tuentur, sequuntur Epicurum, & ex neotericis praecipue celeberrimum ejus interpretem Galliendum ;qui posteriores, potius Ornati C. Cartesium. His tertiam opinionem minutas materiae particulas . spectantem, vi Z. eam nonnullorum Peripateticorum, quae minima naturalia agnoscit, adjungere licet. Differentiae inter duas priores Sectas ex dictis eliciantur. Sed ultima, partim ab utrisque conjunctis, partim ab alterutra seorsim, discrepat. Ab utrisque, quod ptiores duae sententiae suas particulas seu atomos ut ipsa principia cujusvis naturae proponant: postrema vero, etsis agnoscat particulas minutas ut divisibiles, & eatenus ut partes integrantes totius, eas tamen ut ipsius naturae intima principia constitutiva nequaquam admittit. Negat enim naturas specificas corporum a sola diversa magnitudine, positura dc mgura particularum resultare: de qua re supri dictum est. Porro, ultima sententia differt a prima, quod haec ponat atot mos in statu conjuncto plane indivisibiles: ill vult esse in eo statu perpetuo divisibiles. Differt quoque ultima a prima respectu status separati. Haec enim atomos in hoc statu simpliciter indivisibiles ob carentiam partium ponit: illa, nouob c rentiam partium, sed ob alias causas, partim. supra tactas, partim infra tangendas. Insuper ultima sententia differt etiam a sententia Cartesiana. Et primo, quod haec divisibilitatem indefinitam tam in statu concncto qulim sep