장음표시 사용
541쪽
so De ultimis rationibus continui Cap. XXXIII.
tanthm aequales inter se proportionantur et, sed & majores atque minores. Excessus enim majoris respe stu minoris,& defectus minoris resipectu majoris, proportio quaedam est, eique perpetua & invariabilis. Non dubium ergo est quin inter sinum totum & sinus minores detur accurata proportio.s X in . i. Superest probandum, hanc proportionem non perpetuo risi nex- esse numeris adaequale explicabilem. Fateor quidem sanusquisite ew- arcuum, prout i Clari C. Clavio & aliis eliciuntur, esse magniplicassi r industrii, & absque sensibili aut conspicuo errore, calculatos,& ad praxin sussicienter comparatos: verum illi ipsi agnoscunt non esse omnimode exquisitos. Solus fere sinus arcus graduum so absque omni frae ione supputatur : caeteri magianam partem extractione radicum e quadratis ingentibus non sine magna fractione proliciuntur. Enimvero quadratum
sinus totius continet partes IoOOOooOOoo oo oo : qui nume- rus continet yyyyyyyoooOOOO numeros surdos, quorum radices exquisite extrahi non possunt , numeros vero exacte quadratos tantum 1 ooooooo : ita ut cuilibet uni numero quadrato pyyyyyy surdi resipondent. Non ergo monstri simile est, si plurimis sinuum s qui extractione radicum inveniuntur tantillum imperfectionis adhaereat. Alii sinus, iique plurimi, per solam proportionum regulam computantur. De quibus idem Clavius p. 128. sic judicat, Constat igitur suus
per regulam proportionum inventos sensitaliter non disserre a veri Fnubis, praesertim quando arcus D E,quo arcus eognitorum snuum inter se disserunt, valde exiguus est, ita ut a recta linea fix disserat. Instabo tantum sinui arcus graduum si, qui est latus quadrati quadrante inscripti, cujus diagonalis est ipsa semidiameter circuli, nempe ipse sinus totus quadrantis. Jam vero omnes fatentur, non dari proportionem numeris integris evolubilem inter quadrati latus & diagonalem ejusdem: area tamen diagonalis exacth dupla est ad aream quadrati. unde constat, proportionem inter diagonalem & latus quadrati esse in natura certam dc exquisitam, utcunque numerissa H explicari nequeat. Dices diagonalem seu sinum totum, cui latus hujus quadrati comparatur, esse numeris
comprehensum, nimirum continere 1 ooooooo partes aequavles, & latus ejusdem quadrati eidem proportionari, nempe continere partes ejusdem dimensionis io 1o68. Respondeo illi
542쪽
cap. XXXIII. S discreti improportionatu. pr
esse, sed proportionem non esse omnimode exquisitam, sed solummodo proximam quam numeri exprimere possunt. Certum est, diagonalem seu semidiametrum esse latus quadrati duplo majoris. Multiplicant itaque illam in seipsam,
cujus medietatem sumunt Sooooooooooo oo pro quadrato lateris seu radicis cujus proportionem ad diagonalem quaerunt. Atque hactenus absq; vel minimo errore procedunt.Jam vero, ut inveniant latus hujus quadrati,coguntur ejusdem extrahere radicem. Hoc aggrediuntur: inveniunt numerum oy Ios ,& una inveniunt fractionem ingentem Ii Sisii: quoniam vero fractio excedit numerum quotum, seu radicem modo inventam, hanc iterum e fractione dicta semel subducunt, &conformiter unitatem quoto addunt. Stat itaque radix inventa partium po Io68, simulque relinquitur adhuc fractio partium g io s , quae nulla arte amplius corrigibilis est. Veruntamen datus inventum in seipsum multiplicatum producit quadratum majus quam expetitur, nempeloooooOa66Q6a : quod verum eAcedit partibus assos et . unde patet, unitatem lateri seu radici extractae additam esse nimiam et, nihilominus recte eidem radici addi. Quoniam
si omittatur, & numerus yo Ioset in seipsum multiplicetur, producit tantum gyyyyy88318 8y: qui numerus plurimum deficit a justo, nempe tota fractione supra memorata partium 11 81 si1 , adeoque hic defectus triplo minimum priori excessu major est. Quare latus o Io 68 (cui unitas additur)propius ad verum quam latus o Io6 ( in quo omittitur )accedit. utcunque ex dictis constat, latus & diagonalis ejusdem quadrati quanquam geometrich exquisitissimh proportionentur , eam tamen proportionem arithmetice pariaeκν υ exprimi non posse : quod erat demonstrandum. Hoc etiam passim fatetur Clavius, & hujus sinus arcus graduum s proportionem feri exquisitam vocat, p. Isto. 6. Proximo loco deveniendum est ad dissicultatem qua- Quadratu.drandi circulum. Verum quadratura haec dupliciter accipi rararculi potest , vel pro inventione justae proportionis inter diametrum & circulum, vel pro inventione quadrati cujus area est
areae circuli aequalis. Hi modi inter se differunt, tum quod proportio diametri ad peripheriam sit tantum simplicis lineae Rrr et ad
543쪽
sa De ultimis rationibus continui Cap.XXXIII.
ad aliam simplicem lineam , proportio vero areae ad aream sit totius plani seu superficiei ad alterius totius superficiem seu planum: tum quod, si detur quadratum cujus area est areae circuli aequalis, illius tamen perimetrum est eo hujus majus. Imo fieri nequit, cum circulus siti figura capacissima, quin ejus perimetrum sit minus eo quadrati, polita utriusque area aequali. Satis igitur fundatur dii inelio data.
Fr-prtio et. Prior modus quadrandi circulum eXercetur in exactat iter dia' proportione inter diametrum 8c circumferentiam circuli in-
uis venienda . Consistit autem in reductione circuli & diametriis natura ad certos partium aequalium numeros at terutri respective pro datur. prios, & sibi invicem proportionatos , ita ut datis diametripartibus, inde certo colligantur eae circuli, & contra. Quod vero datur in natura certa proportio inter diametrum & circulum, ex eo innotescit, quod quo circulus sit major, eo major proportionaliter est diameter , quo minor, eo minor. Imo
adeo rigida est haec proportio, ut impossibile plane sit dari circulum majorem alio sine diametro proportionaliter majori: ut cuilibet serio consideranti notum est. Insuper datur linea recta aequalis circulo. Datur enim major & minor gradatim , ergo aequalis. Consequentia probatur sic. Sit inter duas columnas, quarum altera stet erecta, altera inclinetur,
ea distantia, ut linea a basi unius ad basin alterius ducta sit minor ambitu circuli: at linea a capite unius ad caput alterius sit major. Fieri jam nequit quin alicubi inter columnas linea circulo dicto aequalis inveniatur. Cum enim lineae distantiarum inter bases columnarum, quo propius ascendas ad capita earundem sensim augeantur, & lineis circulo minoribus paulatim eodem majores fiant , necesse est per mediam, hoc est, per aequalem,transeant. Denique, si diameter unius circuli sit dupla, tripla,quadrupla,&c. alterius , circum ferentia quoque ejusdem est similiter dupla, tripla, aut quam vide Figuia circumfercutiae istius : ut facillime ex Schemateram pii. apposito cernere est. Septem circuli totidemque quadrata in-mam in ter se proportionata exhibentur. Extimi circuli diameter
Tabula ad eam intimi octies superat ; & smiliter toties circuli extimi bitab circumferentia eam intimi excedit. Nam ut se habet circupense. lus minimus ad quadratum sibi inscriptum, ita se habet circulus maximus ad quadratum sibi similiter inscriptum. Sed quadrati
544쪽
Cap. XXXIII. discreti improportionatis.
quadrati maximi perimetrum octies minimi continet ; ut
conferendo triangulos rectangulos, quos alterutrum continet , inter se iacillime innotescit. Circumferentia itaque maximi circuli toties minimi complectitur. Verum quod dicunt aliqui, ubi diameter dupla est, circulum esse quadruplum intelligi debet de area circuli, non de longitudine simplicis circumferentiae. Circumferentia enim simplex linea est, sicut diameter, & non oritur ex multiplicatione diametri in seipsam : at area circuli est, quae ex multiplicatione duplae,triplae aut quadruplae diametri in seipsam cognoscitur, nempe quoties aream circuli simplae diametri continet. Ut si diameter majoris circuli in prima Figura octo vicibus eam minoris contineat, illius area eam hujus g vicibus continebit : Sed circumferentia interim erit tantum octupla. Inferendum est, dari in natura exquisitam proportionem inter diamet rum de peripheriam circuli. 8. Superest probandum, hanc proportionem non esse nu- Numeri, meris evolubilem. vulgo recepta proportio inter diame- non compretrum & circulum est septem ad viginti duo : vig. si diametersit pedes longa, circulus continebit ar pedes et, & contrii, si circulus contineat a a partes, diameter ejusdem dimensionis continebit. Si haec proportio plane accurata foret, non
dubium est quin quadratura circuli hoc genus sit jamdudum inventa, & quidem perfectissima ; quod numeris minutulis& facile tractabilibus exprimatur. Caeterum etiamsi ea fortasse absque crasso ac spectabili errore rem intentam consequatur: nemo tamen Mathematicorum pro regula omnibus numeris perfecta habet . utcunque sit, demonstratione non stipatur : quanquam forte neque demonstrative facithrefellatur. Quaeres, cur dixerim, certum esse Mathematicos in hac inventione nondum acquievisse. Respondeo, quod diametrum ae circulum ad partes ei conformes hactenus non reduxerint. Circulum enim gradibus, minutis, primis, fecundis, &c. ut olim adhuc dividunt: diametrum vero inminutissimas partes aliud genus concidunt, nempe socooooO : neque docent quot harum partium unum gradum aut minutum circuli adaequant. Fateor, sinuum rectorum & comple mentorum , necnon secantium atque tangentium, cujusvis
rcus, proportionem ad diametrum investigant, & propemo-
545쪽
De utimu rationibis continui Cap. XXXIII.
dum accurate assequuntur : non tamen ipsius arcus proportionem ad diametrum eadem opera quaerere praetendunt. Judicant enim sui credibile est hanc inveniri non posse. Alio quin enim non dubium est quin dudum reduxissent partes circuli ad eas diametri. Hoc enim factu obvium erat. Nam si proportio et ad eta sit ad amussim vera, multiplicata diametro vulgo recepta a ooooooo per T, numerus produeius, nempei ooooooo, steterit pro diametro proportionali: & similitet multiplicata eadem communi diametro per 22, numerus resultans, vid. ooooooo, steterit pro circulo integro illi diametro respondente. Quaelibet enim particula circuli sic divisi ejusdem dimensionis & denominationis cum partibus diametri erit. Adeoque sinubus ad hanc normam calculatis, simul invenitur magnitudo arcuum, non tantum ut sunt certae portiones circuli, s hoc enim jam factum est ;) sed &ut comparantur partibus sui diametri: nempe, comparuerit quot partes diametri arcum cujusvis sinus confecerint. Porro, si desideres numerum datum ad gradus & minuta reducere, voti compos fias, dividendo numerum totius circuli per 36o, qui gradus erunt , & dein dividendo numerum unius gradus per so, resultabunt minuta prima. Adeoque numeri secundum hanc proportionem collecti sic steterint et
Minutum secundum 33y-Minutum tertium .
Si animus sit s quod certh usius postulat) partes sinus totius
ad solitum calculum revocare, & una proportionem ejusdem ad respectivos quadrantis arcus retinere, facile poteris : vide' licet, tam sinum totum, quam arcum quadrantis, ejusdem
que gradus ae minuta, per et dividendo. Hoc enim pacto integri numeri, omissis tractionibus, proportionati sic resti
546쪽
Cap. XXXIII. Afereti improponio ib.
Gradus unus------I Ado 3. Minutum primum-- 2'IO. Minutum secundum,
Verum enimvero, quando haec omnia i Mathematicis negligantur, pro confesso est, iis judicibus, genuinam proportionem diametri ad circulum nondum inventam esse. Imo fortasse haec proportio tantum mechanice invenienda & probanda est. Ducatur itaque circulus ingens & accuratus, aut portio circuli, s nam ex portione circuli facillime colligitur totus & filo aut alia mensura flexili exacte mensurentur tum circumferentia ( vel, quod perinde est, certa pars circumferentiae ) tum diameter. Dein mensura utriusque reducatur ad partes ejusdem longitudinis ; & distincte notetur quot partes diametrum, quot circulum, conficiunt. Differentia enim numerorum proportionem inter utrumque dederit. Verum cum mensura haec materialis sit, necessum est aliquid incertitudinis, sive . semidiametri intractabili longitudine, adeoque a circuli imperfecta descriptione, sive ab inaequali mensurae applicatione, sive 3 majore vel minore tensiuranti quo mensura peragitur, sive ab alia quacunque materiae ineptitudine, aliove accidente, contrahat. Praeterea adhuc dubium est, an peripheria & diameter ejusdem magnitudinis partibus commensurabiles sint. Etenim quod diameter &circuli circumferentia nulli arte aliter qu m in puncto mathematico ad contactum adduci queant, non sunt invicem applicabiles, nihilque reliquum ess quo earum proportiones inveniantur aut probentur. Siquidem cum extensum & punctum inter se non sint proportionata, contactus in punisto nihil contribuit ad inventionem aut probationem proportionum extensorum. Punctum enim quantumvis multiplicatum nunquam extensium, aut eXtensi mensistram, producit. De- est itaque medium quo proportio inter lineam rectam & circularem ita expendatur, ut ad certos numeros reducantur. Concludo igitur, non dari arithmeticam proportionem exquisitam & demonstrabilem inter diametrum & circulum. Atque haec de primo modo quadrandi cuculum.
547쪽
De ultimis rationibu continui Cap. XXXIII.
p. Accedo ad proportionem inter aream circuli & eam quadrati. In hunc finem partem Schematis prioris, nempetres circulos totidemque quadrata, prout in secunda Figura exhibentur, resumamus. Sit igitur circulus A A extimus, C C medius, E E intimus. Quadratum B B e tribus maximum, D D medium, FF minimum. Quadrata tria manifesth inter se proportionantur. Medium D D duplo majus est minimo F F , dc maximum B B medii duplum, & minimi quadruplum est: ut eX triangulis rectangulis, quos continent, inter se collatis liquet. Circuli quoque suam proportionem inter se observant. Nam ut area quadrati maximi proportionatur areae quadrati medii, &, mediante hac, areae minimi: ita area circuli extimi proportionatur areae medii, &, ea mediante, areae minimi. . Cum enim quadratum B B non tantum sit circulo A A inscriptum, sed simul sit tangens circuli CC, erit utrique proportionatum. Similiter, cum quadratum D D sit simul circulo CC inscriptum, & circuli E E tangens, utrique proportionatum erit. Et quantum circulus A A proportione superat quadratum B B, tantum circulus C C excedit quadratum D D,& circulus E E excedit quadratum FF. Quare tres circuli& tria quadrata inter se suo modo, ut dixi, proportionantur. ut ergo quadratum maximum bis continet medium, & hoc his minimum: ita circulus extimus bis continet medium, &hic bis intimum. Haec confirmantur, quod diagonalis cujusvis quadrati fit diameter ipsius circuli, cui id quadratum inscribitur, & aequalis lateri quadrati circulum tangentis. Quare ut proportionatur diagonalis quadrato inscripto ; ita latus est quadrati tangentis, & diameter circuli minimum quadratum inscribentis. Verum ut circulus circulum , aut quadratum quadratum, ita diagonalis diagonalem, & iameter diametrum proportione excedit. Diameter autem circuli extimi est ejus intimi dupla, simulque lateris quadrati medii dupla. Etenim diametri circulorum ad hanc n'rmam compositorum alternatim dupla proportione sibi invicem: revspondent , dc similiter quadratorum circulis inscriptorum lavtera. Diagonalis vero quadrati proxime majoris, ut est diameter circuli cui id quadratum inscribitur, it est dupla laterii quadrati circulo proxime minori inscripti. Quare in Figur prima
548쪽
Cap. XXXIII. ct discreti mproportionatu. y
ptima quadrati intimi latus duplicatam conficit diametrum circuli proxim, majoris, & latus huic inscriptum similiter
duplicatam diametrum proXimi , sic procedendo ad circulum extimum. Verum diameter diametro & latus lateri alternatim tantum dupla proportione comparantur. Ipsum autem latus cujusvis quadrati circulo inscripti est duplum sinus arcus graduum si ejusdem circuli. Ita ut haec omnia accurath inter se proportionantur. Dices, haec tantum probare laxam
quandam & quasi remotam proportionem inter aream quadrati & circuli, non autem dare unam aequalem aream tam circulo qulim quadrato communem. Respondeo, probare dari aream proportionaliter majorem & minorem ea circuli ;& consequenter, insinuare dari in natura mediam seu aequalem. Verum,ut pressius hanc rem aggrediamur, Figuram tertiam apponimus. Sit circulus quadrandus A A, quadratum vide Flamet inscriptum B B, quadratum extra tangens C C, quadra- ram ter tum medium D D. Per se notum est, aream quadrati inscripti esse clare minorem area circuli. Haec enim illam undique,& insuper areas quatuor arcuum, singulas chorda po graduum subtensas, complectitur. Similiter manifestum est, aream quadrati tangentis esse ea circuli conspicue majorem. Haec enim tota in ambitu illius, & insuper areae quatuor angulorum extra circulum prominentium, comprehenduntur. Si igitur velimus quadratum huic circulo aequale invenire, inter quadratum inscriptum & tangens quaerendum est. Nam certo certius inter ista duo, aut nullibi, continetur. Supponamus itaque, tentandi Vatia, aream quadrati medii D D esse areae circuli aequalem, aut prope aequalem. Duo quidem ad hujus aequationis demonstrationem requiruntur. Primum est, ut latus quodlibet quadrati portionem aliquam areae circuli praecidat: Secundum, ut, quantum areae circuli amputat, tantundem extra eundem in se assumat. Primum evidens est, quod quadratum circulo aequale necessario sit majus quadrato inscr pto B B, & minus tangente C C: quoniam eorum alterum circulo manifeste majus est, alterum manifes ih minus, ut dictum. Si autem quadratum aequale inter haec duo extrema intervenire debeat, necessum est circulum alicubi secet,& aliquam portionem areae ejusdem praecidat: ut constat ex
latere quadrati D D, quod secat circulum prope A A. Hoc Sss autem
549쪽
De ultimu ratisibus eontinui Cap. XXXIII.
autem dato, requiritur porro ut tantundem ab extra addat quantum ab intus praecidit. Si enim minus ab extrii addat quam ab intus praecidit, quadrati area erit area circuli minor :sin plus addat quam praecidit, area ejus erit major ea circuli: neutro modo aequalis. Sin tantum addat quantum praecidit, manifestum est quadratum circulo aequale esse, & hunc quadrari. Quadratum igitur medium D D resumamus. Satis autem est si modo unum ejusdem latus perpendamus, scaetera enim
ejusdem rationis sunt. ) Latus itaque quadrati D D duos triangulos mixtos, f& es, ab area circuli aufert : idem quoque duos triangulos mi Stos, e=g i, ab extra respectu circuli addit. Jam si triangulus a b sit triangulo eis aequalis, profecto triangulus es erit quoque aequalis triangulo g i. Nam ab Sce manifeste aequales sunt ac ejusdem generis, & similiter e dde g i: nec opus est hujus aequalitatis probationi ulterius immoremur. Verum de aequalitate triangulorum a b Scedadhuc ambigi potest. vel ergo triangulus.b est major e vel . d est major a b, vel sunt aequales. Si sint aequales, area circuli quadratur. Nam quantum areae abscinditur ex praecisis trivingulis & es, tantundem eidem additur a latere quadrati extra fines circuli extenso, nempe areae triangulorum ed&gi, aequales areis praecisiis. Manet ergo area quadrati aequalis areae circuli. Fortasse hoc latus medium in se multiplicatum absque conspicuo errore proximam circuli aream commonstrabit. Dices,nondum apparere quomodo quadratum medium D D sive circuli diametro, sive ejus quadrato inscripto, sive quadrato tangenti, comparandum sita, ut certo modo ejus magnitudo inveniatur. Respondeo, ejus latus esse aequale partibus diametri interceptis inter ipsa quadrati latera opposita, D D, F F , nempe extendi ab E ad E i hoc est, esse
sinum rectum arcus graduum 5o duplicatum. Sinus autem hic, secundum Clavium,continet partes 866oas quae duplicatae essiciunt numerum 1 3aoso8, qui in seipsum ductus producit aream quadrati,atque una aream circuli dati. urgebis porro, aequalitatem triangulorum edde ab sabsque qua quadratura frustratur) nondum demonstrari. Fateor , sed hoc saltem concedendum est, dari in natura aream quadrati se qualem areae circuli: quod erat probandum. Siquidem hi trianguli, addendo aut subducendo minuta aliquot arcui Oograduum,
550쪽
Cap. XXXIII. discreti improportimatu. s
graduum, ad aequationem reduci possunt. Eadem enim opera triangulus justo minor sensim augeri, & triangulus justo major, dum ad aequalitatem deventum sit, sensim minui queat. Hoc autem impraesentiarum scopo nostro suffcit. Meum enim est ostendere, non tantum dari in natura quadratum circulo aequale, verum etiam hanc aequationem non esse numeris comprehensibilem , & consequenter,triangulorum praecisorum iis ab extra admitarum aream numeris exquisitis exprimi non posse. Quanquam enim geometrice aequantur, arithmetici, tamen demonstrari nequcunt: quod probandum restat.1 o. Dico igitur primo, quatuor triangulos aequandos esse Arithme.
mixtos, & s ut iti dicam ) de hybridum genere. Compo- tira eam
nuntur enim omnes ex duabus rectis lineis, & tertia circulari. Non ergo tractandi sunt ut alii trianguli, nec regulis aliorum triangulorum, sive rectorum sive sphaericorum, subjiciuntur, neque constant ex partibus ejusdem denominationis, ut uno certo numero partium commensure itur. Dico secundo, triangulos duos ed& gi, cum reliquis duobus ab dc es comparandos, diversi plane generis esse. Latus enim illorum unum convexum est, horum concavum. Quanquam igitur agnosco duos convexi lateris, ab ef, esse inter se aequales, & duos similiter concavos esse quoque inter se aequales: si tamen hi cum illis inter se conferantur, nullum occurrit medium demonstrativum, quo sciatur an aequales, an hi illis, an illi his majores sint. Oculus enim de minutulis differentiis non est
competens arbiter, nec alio medio eorum magnitudinem satis accurate aestimare licet. Siquidem nullum eorum latus, nullus angulus aequalis est, ut inde arripiamus ansam eos aequandi, aut ad numerum partium aequalem utrique generi communem deducendi. Inferendum. itaque mihi est, trian igulos ed gi non esse ad eundem numerum partium cum
triangulis a & e ita ut aequalitas demonstrari queat b reducibiles. Quod vero dicitur de latere quadrati medii D D, id esse sinum duplicatum so graduum, lichi admittatur esse
verum , non tamen probat posse id latus numeris exquisite repraesentari. Ipse enim numerus sinus 6o graduum non est exquisiitus. De quo Clavivi p. ii p. sic loquitur: Ex hoe finas nempe ex sinu go graduum) per propmitionem tertiam estg-m sietur senus eam limenti arcni graduum nempe SMI