Elementa Arithmeticae ac Geometriae ac disciplinas omnes Aristoteleam praesertim Dialecticam ac Philosophia[m] apprime necessaria ex Euclide decerpta

발행: 1569년

분량: 119페이지

출처: archive.org

분류: 수학

61쪽

ELEMENTA

Petitiones seu postulata.

1 tamerum in tu itum Cresis

et Nuitam numerum in in nitum decrescere. 3 Unitatem pari numero adiunctimparem reddere. 4 U nitatem impari a iunctam efficere imparem. uisu numero innumeros asi-gvari flose aequales.

6 M aiorem numerum non num rare minorem.

Demon strationes decem. EX rithmetaca unam tantum aut alteram demo ratione in

stote. nos tamen has faucas ex vari

62쪽

ximus quarum abae ad ea , quae ex

arte is a Dialecticis o Philosophi

cis Liris inserta sunt gertinent aliae Geometricu intelligendis sunt necessariae. Nemini itaque mirum Pi satur , si ex tam munis has tantum decer erimus. For o in his traden

dis hanc secuti sumis methodum, *t

praeter Campani commentaria, aut

Theonis, demonstrationes singulas, quae hanc operam desiderare vide bautur,in partes disinxerimus,frolationibus omnibus exflacatis atque

explanatis . Sic enim seramus, facillimae, etiam a rudi imis quib' , perceptas iri . Sum mus quoque Theoremata aliquot in his no stris demo rationibus, velut Hypotheses , demonstrarionilus eorum Erintermisis , quod arduae at Uficiles

63쪽

ELEMENTA

T heorema primum 17. septimi Euclidis.

Vnita 3 4 a b

Si duorum numerorum uters δε- catur in alterum,qui inde producentur erunt aequales ,seu potius idem νtrobis Proueniet.

Vmerus numerum multiplicare dieitur, quAdo quotae sunt in ipso unitates, toties coma ponitur multiplicatus,m gignitur aliquis. Ex qua diffitione peroicuum euadit, quoties multiplicauittin numerus reperitur in tertio,qui producitur, to. tres unitatem se in multiplicanter Cr contra, quotiens unitus est in multiplicante, toties multiplicuiuiu tertio illo reperiri,qui ex multiplicatione procreatur. Sint igitur a Cr b numeri, ex a in b proae uentat c, idem etiam ex b in a producetur. Cum enim ex u in b proueniat c, per diffiitionem proxime traditam erit b in c, quoties unitus in a. Iam si unitas ad a best habet, quemadmodum b ad c numerat enim unitas a, sicut b c permutatim erago quoties unitas in b, toties a in c. Quod etiam per i c. eptimi pesticusim euadit,quae ita habet Sinumerat

64쪽

ARITHMETICA. 3I

umerat unitas aliquem numerum, quoties tertius quartlim, erit quos permutatim, ut quoties unitaς numerat tertium, toties becundus numeret quartum. Quia igitur a toties coaceruatur in c, quoties inb eit unitas, sequitur ex definitione ex b in a feric, quod probandum erat.

Demonstrationis e X plicatio.

Demonstratione ejicitur ex b numero in a ferie. iiij tribra rationibus.

Prima concludit , quoties τnitas est in a, toties b e Fin c, in hunc mo

dum. Claudo numerus numerum multiplicat, quoties unitas est in multiplicante,toties multiplicatus est in tertio qui gignitur, Atqui a multiplicat b, CT gignitur GErgo quoties unitas or tu a, toties erit b in c.

Secunda concludit,quoties unitas in b, toties a in c,m hunc modum.

Quando numerat unitas aliquem numerum, quorties tertius quarin, erit permutatim, ut quoties uniis tu tertium,toties fecundus numeret quartum: Sed unitas numerat a, quoties b GErgo quoties erit unitas in o tertio oties a seis sani s erit is quarto c. constat ex praenusin

tione.

Est taporathesis. constat ex I s septimi Est concha

fio pracea dentis. Tertia

65쪽

ELEMENTA

Tertia co igit, quodprobandum erat, ex b in a feri c.

constat Ouando quot sunt unitates in aliquo numero, ex praemisse toties alter coaceruatur in tertio, tertius sit ex duris a definitio ctu primi in secundum,ne. At quoties unita; est in b, toties a est in GEsi conclu Ergo ex ductu b in a At c. so praecem

denus. Theorema lecundu. I 8. septimi.c 3 Si unus numerus in duos ducatur,

qui gignuntur ex multiplicatione,

b c eandem rationem habebunt , quam W- a multiplicati.

Multiplicet a utruns duorum numercrumb Cr c, Cr gignantur d Cr e, dico eum servare proportionem d ad e, quam b ad c . Nams a multiplicat G Cr prouenit d, erit b in L quoaties unitas in a. Rursus,f a multiplicat Q σ prooducitur si erit itidem c in ci quoties unitos in aper dimitionem traditam. Da d b, Cr e c aequam liter continent,nam quoties a unitatem. Ergo sicut d ad b, ita e ad c. Ogare permutatim erit d ad e,sicut b ad si quod probandum fuit.

Explicatio.

66쪽

ARITHMETIc A. 32 Demonstratio probat d ad e eam seruare prori portionem, quam b ad c tribus rationibus.

Prima concludit in , c m

e reperiri, quotIes Pnuas m a. Quando nκmerus numerum multiplicat, quoties unitas est in multiplicante, toties multiplicatus est in tertio qui gignitur, Atqui a multiplicat b, Cr producitur d, itide multiplicat c, Cr producitur e, Erunt igitur b in d, CT e in e quoties unitu

in a.

Secunda concludit , id es e d ad b, quod e ad c, in hunc modum.

Numerorum ad eos,quos ex aequo continent, eata ex se patet dem 6t proportio cotinent autem d b, CT e e ex aeqxo,nam quo, ist concluties a unitatem, fio praece. Ergo d ad b, CT e ad e eadem erit ratio. dentis.

Tertia concludit, quod demon-

fraudum erat, id se d ad e, quod

i ad c. Ex permura Propostis quatuor numeris, fit primm ad seis tuta pro αeundum, secut tertius ud quartum , erilsicut seclinta portione. dαε ad quartum,ita primus ad tertiam:

Theo

67쪽

Theorema tertium. 2O. septimi. Si fuerint quatuor numeri pro-

portionales, quod ex ductu primi ina γltimum producitur, aequum est ei, i, quod sis ex ductu secundi in tertis.

R Roportionales numeri uocantur, qui se omnes X eadem proportione re1biciunt. Sit proportio a b, seicut O ad d, fui ex a in d e , Cr ex b in es erunt proculdubio e CY f numeri aequales. Ducastur enim a in b, σβat g, erit per decimam octauuam praece lentem g ad d, sicut b ad d. cumsper i . ex b in a fat g, et ex eodem b in eserit per decimam octauam g ad I , sicut a ad O. Quod si g seruat proportionem ad e, quam b add, er idem g ad f eandem feruat,quam a ad G cuillorum proportiones fini eaedem, erit g ad e G fproportio eadem ergo e CT f sunt numeri aequalis.

Explicatio.

Demonstratio probat e Crs esse numeros aequa*les,quorum e producitur ex ductu a in d, s uero exductu b in c, quatuor rationibuε.

Prima concludit, si ducatur a ira

out i a in hunc modum.

68쪽

Si numeris unus in duos ducatur,qui gignuntur Ex. 18. si ex multiplicatione eandem rationem habent, quam primi. multiplicati. 'Atqui a multiplicat b, e gignitur si idem a Hypothes multiplicat b er producitur g, fit. Ergo sicut b ad c qui sunt numeri multiplicaaetcitu g ad e, qui ex multiplicatione procreantur.

Secunda probat, ex I in a seri g, hoc modo.

Si duorum numerorum uters ducat r in sill G o mptimi. rvm,idem numerus utrobis proueniet,

Atqui ex a in b sit g, Ergo si b ducatur in a, idem g proueniet. Hypothei

cui a ad c. Si numerus uim in duos ducatur, geniti eandem Ex S sic habent rationem, quam multiplicati. ptimi Atqui ex b in a fi g,Cr ex eodem b in si s Impoth

Ergo g ad f erit, secut a d c. As. Quarta coligit, quod demo raudum erat, e oe sese Numeroi fares.

Si univi numeri ad duos sit eadem proportio,neo

cesse ni idos esse pares: Atqui g ad e cr ad f eundem seruat propora

tionem.

Ergo e G f sunt numeri equales.

Ex praece dentibus.

69쪽

ELEMENTA

d Theorema quartum' a 2. septimi.

ζ Si fuerint duo numeri secundum

a suam proportionem minimi, ipsi erut 3 ad inuicem strimi.

SInt duo numeri a Cr b secudum suam proporotionem minimi, dico ipsos fore ad inuicem priomos.Si enim non sint,numeret eos si fecundum d, ere: Eriis per 18. d ad e, sicut a ad b. Et quiad O' e sunt minores aer λ bequitur a Cr b non esse suae proportionis minimos, quod est positioni

eontrarium.

Nemonstratio explicatione no indiget. Theorema quintum. 2I. Octaul.

8 Si quatuor numerorum continue

pr portionalium frimus fuerit cuina bras, quartum culum esse nec spe es.

SInt qμatuor numeri continue proportionales a, b, c, d, piis a cubgs,dico d etiam fore cuin

70쪽

bam. Principio quod decima nona demonstratione concluditur statuatur principJloco: Si duorum numerorum duo medij proportionales fuerint numeriri, ipsos solidos fore atque similes. Quod exemis piis multis ostendi potest, Cr in praeassumptis nummeris euadit pe1picuum . Cum enim inter. 8. Cra7. duo med ij proportionales intercipiantur. Iaer. 18. in quibus, quae est proportio primi ad βαcundum , eadem est secundi ad tertium , Cr tertii ad quartum: nam utrobique est sesquitertia, ipsi extremi. 8. Cr. 2T. sunt numeri solidi, similis, uterque enim cubus . Ex theoremate illo pendet

propositi demonstratio. Quoniam enim inter a d duo med' proportioisnales intercipiuntur b si erunt insolidi. er finis res Atqui a est cubra exbγpothesi Ergo Cr d erit cubus.

Explicatio.

Demonstratio ostendit, cam inter a d duo me. dij proportionales lint numeri b c , Cr a fit cubus,

d quos fore cubum unica tantum ratione. Si duorum numerorum duo medij proportioisnales fuerint numeri, ipse solidi erunt Crfimiles, ut vhs uii 3 sit cubu3 , set quos cubus Cy alter, Atqui inter a d duo medJ proportionales sunt I dipo: bena meri e b, D,

SEARCH

MENU NAVIGATION