장음표시 사용
101쪽
rit. Q. E. D - At primi uumori formae et n- ,2 v l Tnes 4 omnes meth ORhucusquo traditas eludunt. Cetorum tium haec demonstratio ab ili. L Graii primum ost detecta l. c. nisa 4 ei. VIL Moerimi neraliter. inre sionem semiter ad se ani reduci Posse, subi signum s strius mi acciyiendum quando p est numerus primus sermao 4 l. inserius quando est semao 4 Α-Ρ3 . denotanti a X. Y runctiones Tationalrs ipsius x. a Dactionibus liberas. Hane diueerminum sit. La ultra Mum p et I non ΡΟ -
it v. l. c. P. 3ba. . . . .' .. -
Quoniam igitur mothodi Pinoo euies ad dem Atrationes generales stabili- pndas non sumetunt. iani tempus est. aliam ab hoc desectu liberam exponore. Initium Reimus a theoremato. cuius demonstr tio satis diu operam nostram elusit quamvis primo pectu tam Obvium rideatur. ut quidam ne necessitatona quidem domonstrationis intellexerint. Est vero h uemvis numerum. Wreeter guadrata positire fium , aliquorum semer rem prim-- m--νωduum eas ι . uuia vero h thedromato tantummodo tamquum auxiliari ad ali R demonstranda utiuri gumiag. alios casus lAc non explicamus quam qui a ad bunc finem indigemuμ. De reliquis emisux Postea sponte .idem constabit. Datcndomus itaque, queWris numerum primum fomae 4n-- . ait epositise audis ne riuo atrimatur , ncmin iduum poealiquorum numerorum primorum, et fu b) nuid m talium qui ipso rint minores. Primo ι qnando numerus primus F. formact i ἄμ- lo: sed - adv3. - la Nbj, negat re inmondus Proponitur, sit et a numor Par proxime maior quam , p; tum sectio perspicitur, 4aa sempor sum ς 2p alve 4 aa-ν αμ. Atlaa- p. st sormae 4 n ε 3. --μ Ruwm residuum quinotieum ipsius 4 aa- . quoniam ρα 4aa mori. 4aa-pfJ: quodsi igitur qua-p est numerus frimus. -p ipsius non-residuum crit; Fin minus, noce sario fuctor. aliquis ipsius 4 ha - psorinue 4nes' a crit; et quum 4-ρ etiam huitis residuum Ne debeat, .-p iPSins
102쪽
Sed numerum quemvis primum krinna buset Ρositive acceptura Nevit vir alicuius pumeri primi ipso minisris non residuum Osrse, Per artificia. rum Obvia demonstrari nequit. ianum autem haec veritas maximi .iι momenu. ut monstrati
nem rigorosam. quamvis utiquantum miria Sit . praeterire non poΑsumus. ' lyraemittimus Sequens . . - . . . . . . 'Laeuua. si habentur duae serias numerorum . .
A. B. Ο est. D, A . H. V ἐωi . . . II utrum torminorum multitudo In utraque eadem sit necne nihil inter sto ita e-- paratae. t. denotesnte P numerum quemcunque primum. Ut numeri mimi mi tutem, terminum aliquem seeundae aeriei sive etiam Hur 9 meti tem, totidem ad murimum termini in aeris 'Mna sim per p divisibiles, quot sunt in secunda: tum dico productum eae omnibus numeris u divisibile fom per productum M. Omni a numeris II . Ibempl. Constet Iin o punieris 12.lου. 45: II i ex his 3 4 5. 6.9. Ium divi hibiles crunt per 2. 4, 3. s. 5 in Iὶ 2. l. . 2. t termini, in IIJ 2 1 3. l. ltermini. respective; productum autem omnium terminorum I) -97 20 divisibile est per productum omnium terminorum s II . 324υ. ε . . D--s P. Sit productum ex omnibus torminis Ι . - Q. productum omnium terminorum seriei II in Paret quemvis numerum primum qui uit diavisor ipsius G etiam ipsius Q divisorem fore. Istin ostendemus quom vis iaci rem primum ipsius Q, in Q totidem ad minimum, dimensiones habere quot ha- ,eat iu/Q'. Esto talia divisor p. pona urque. in serie Iὶ a terminus 2sse Per pdivisibiles. δ terminoς per V divisibiles. e terminos per δ' di risibileu etc.. Mimilia denotent Inemo a . V. H etc. pro serie Iu . IUrspicieturque facito. p in vi habero
103쪽
Nullo enim negotio Pervici Luria n fuerit multiplum ipsius h. . in utraque progressisne - termino fore per A divisibiles: Rin mi uns. natur Μ-efi s. ita ut f xit' ς 4. . orantque in Priari Surie e termini per fi dixistbdes. in mutoriori autem vel totidom vel e l.
Hinc tamquam Coroll. sequitur Propositiost ex uumerorum figuratorem incoria nota. sed a nemine. ni fallimur. hactenus directo demoustrata.
semper es8e nuurimum intemum.. ' o ' Denique tinnima hoc generalius ita proponi potuisses: . In PT wSSione a. GH- a--2. . . a -n-i totidem ad minimum dantur termini secundum modulum fio numero cuicunque dato. r. congruit quot in
hM I. I. 3 . . . . tormini per h divisibiles.
. ΤΗΕo ua Sit a numeras qui que formae P numerus qui aeque AEd n primus, euius residuum in. a. tandem m nummus -Mirari r nem dico. in
proue m par.rri impar. totidem iid minimum dari terminos per P maiau es quot dere
104쪽
Demonstr. I. Quando p- 2, in Ii Omnes termini motor Primum. i. e. m tormini divisibilea erunt: totidem autem .erunt in IIJ. II. Sit II numerus impar vel numeri imparis duplum . vel quodruplum. a que a - rr ίmod.M. Tum in progressione. m. - - lὶ,- - 2 , m quas torminorum multitudine cum II) convenit et per IIIJ decimabibur totidem ad minimum termini erunt socumlita modulum p ipsi r congrui. quot in serie IIὶ per p divisibilos tart. pra . . Intor illos autem bini, qui signo tantum . non m
nitudine- discrepent, occurrore n queunt j. Tandem quisque eorum Oorrespondentcm habcbit in serie h, qui per ρ crit divisibilis. Scilicet in sucrit in b alia quis terminus scrici IID ipsi r secundum p congruus. crit a-bb Por p divisibilis. Quodsi igitur b ost par. terminus seriei I). 29 - bη, i,er p divisibilis orit. Si vero b impar. terminus ὲ μ - bbj mr p divisibilis erit: namque innuisosto ' erit inimor pur: quoniam a b b Per S. p. autem in summum Per 4 divisibilis tu enim per hyi'. est formae b b autem ideo quod est numeri imparis quadrat uni eiusdem formae erit; quare disserentia erit formae Su . Hinc tandem cuncluditur, in serie Ι) totidem torminos osse per ρ divisibilos . quot in ΠΙ) sint ipsi r secundum p congrui i. e. totidem aut plures quam in II) sintlier p divisibiles. Q. E. D. - .. III. Sit p sormae 8 n. atque a rr mOd. 2p . Facile enim perspieitur, a. quum eri hyp. ipsius e sit residuum, etiam Ipsius 2p residuum fore. Tum in serie IIIJ totidem ad minimum tormini orunt ipsi r secun inm p congrui. quot in IIJ sunt pec p divisibiles, illiquo omnos minnitudine crunt inaequales. At cuique oorum respondebit' aliquis in. I in Per p divisibilis. Si enim H-ti vel - bis rimod. p erit 6bm moiL 2p. lj, . adeoque terminus ἐμ - ιη per p divisibilis. iauare in s Ι) totidem ad minimum termini oravi per ν divisibilos
105쪽
. Demonstr. Esto. si fieri Ivitest. a residuum omnium prirnorum ipso et, uini minorum. Tum lacilo Porspicietur. a otium omnium numerorum compositorum ipso ' va --t minorum residuum soro conseruntur prae Ima per suae diiudicare docuimuη. utrum numerus PryPOritus sit numeri compositi residuum necne: uri. Iob ' Sit num rus proximc minor quam V a. - m. Tum in Serie
totidem aut plures termini erunt per numerum quemcunque ipso 2 val min rom divisibilas, quam in hac u
Hinu vero sequitur. productum. Ex omnibus terminis IJ Per productum omnium torminorum II in divisibile esse. art. l26 . At illud ost Rub ina a- l) α-4j aut semissis huius producti prout m aut par aut impar . maro Pr ductum . a a ij -- - 4 . . . . a - mm .mrto P r productum Ouinium terminorum Uὶ dividi poterit. et . quia omnes hi Iernii ni a Ruut primi, etiam produ tum illud omisis lacini o a. Ν . productum ex omnibus torminis IIJ ita otiam pxhiberi poststi
Humernn integer, quamquam iat Productum ex. se tumibus imitato minoribus: quia renim uoc Sario . v. irrationalis se debui. Erit m l vG ruleoque ΜΗ-l ' a. Hinc tandem concluditur suppositionem nostrum lacuin habere non Posse: Q. E. D. Iam quia a certo s. erit 2 vari- l ς a. dabiturque redeo aliquis primus
106쪽
residuum esse. ad comparationem exactiorem et mn alior'm numerorum Prim rum, quatonus unus ultorius residuum mi non-residuum ost. stativa transimus omni ri ro supra demonstravimus. - a ot ε 5 esse residua vel non- sidua omnium numerorum primorum, qui ipsorum 3. 5 respective sint residua vel
Per inductionem autem circa numeros sequontos institutam invenitur: - T. il, ε 13. - 17'. - is. - 23. - 29. 31. - 37. - 4l, - 43. - 47.-53. - 59otc. esse residua Vol non- residua omnium numerorum primorum, qui . lvisitive sumti. illorum primorum respectiv sint rosidua vel non- residua. Inductio ha operlacilo adiumento tabulae II confici pol tu Quivis autem Iovi attentione adhibita observabit. ex his. numeris primis signo positivo affectos esse cox. qui fidi serm- 4n in 1. negativo autem eos, qui sint sormae 4n ε 3.
. . ' - . . ' . . . . . . . . . . .
Quod hic per induetionem dPtoximus, generaliter locum habere mOX demon- Strabimus. Ani quam autem Moc n otium adeamus. necesse erit. Omnia quae . eX ιheoremate, si verum 'Psse supponitur, sequuntur, cruere. Theorema i I sum ita enunciamus.
Si p est numerus primus formae 4 n - rit in p. si vero . p formae 4n -.3. erit --p rari um vel hon- residuum euiusvis.numeri primi qui positire Ueceptus ipsius p est residuum vel non. residuum. . ' Quia omnia sere quast do residuis quadraticis dici possunt, huic theoremati innituntur, denominatio theorematis fundamentia , qua in Sequentibus utemur. haud absona erit - in . Ut ratiocinia nostra quum brevissime exhiberi Possint. Per a. a .ri' etc. numerori primos formae 4 η 'I , per b. v. b otc. numeros Primos formae 4n ε 3 denotabimus: POT A. AE A etc. uuinoros quoscunque sermae 4n , Per D. II. LI' etc. autem numeros quoscunque formae 4n ε 3: tandem litera Ie duabus quantitatibus interposita iudicabit. priorem sequentis esse residuum. sicuti litora X significationem contrariam habebit. Ear. yr. - 5 Ie ll. φ 2 N 5. indicabit in 5 ipsius ii csso residuum. - 2 vol - 2 osse ipsius 5 non esiduum. Iam Colla.
107쪽
lato theoremate fundamentali cum theorematibus art. 1ll, sequenins propositi nos facile deducentur. .
108쪽
Quum omnium harum proposivomim demonstrationes ex iisdem Drincipiis sint potendae, nec ges non erit omnes evolVcre: dum Stratio Prop. s. qum ain Pontinus tamquam Semplum inservire Potest. Ante Omnia autem O ervetur. quemvis numerum formae 4 n-Hi auti nullum factorem formae 4 n-3 habore. B ut duos. aut quutuor etc. i. e. multitudinem talium factorum inter quos etiam acquules om2 Possunt semper lare Parem: quemvis vero somn. 43- 3. multitu- dinem imparem factorum sormae 4nH-3 i. e. aut unum aut rem aut quinqueoicit implicare. Multitudo factorum somno 4n H l indeterminata manet. Prop. 9 ita domoustratur. . Sit A. Productum o sactoribus primis a. a . utc.. h. ν, b otc.; erit quo saetorum b, b . b est . multitudo par possunt etiam nulli adesse, quod eodem redit . iam gi a est residuum ipsius A. erit residuum etiam omnium factorum ae, Z a 'etc. b. ν. b etc. quare Pex ProPP. 1, 3 stri. Praec. 8inguli hi saetores erunt residua ipsius a, Mooquo etiam productum A. A vero idem esse debet. - Quodsi vcro a ' est rosiduum ipsius A. eoque ipso omnium factorum άι a etc. b. b' etc. singuli a ac eis. Erunt ipsius a residum Em-guli b, ν etc. autem non-residua. Sed quu' posteriorum multitudo sit par ductum e3 omnibus. i. e. A. ipsius a resimian Eriti hincque etiam - A.
Investigationem adhue generalius instituamus. Contemplemur duos numeros quoscunquo impares in ter ne primos, signis quibuscunque a laetos, P et Q. Concipiatur P sino respectu signi sui in sectores fluos primm solutus. designeturque per po quot inter hos reperiantur quorum non-residuum sit Q. Si vero aliquis numerus primus, ocius no residuum est Q. pluries inter laetores ipsius P occurrit. pluries etiam numerandus erit. Similiter sit multitudo iactorum primorum ipsius Q. quorum non-msiduum est P. Tum numeri p. certam relationem mutuam habebunt ab indole numerorum P, Q pendentem. Scilicet si alter num rum p. g est par vel impar, numerorum P. Q sermo doc it. utrum stiter par sit vel impar. Haec relatio in sequenti tabula exhibetur.
Erunt p,.q simul pares mi simul impares, quando numeri P. Q. habent
109쪽
p. 2 alter erit Par. alter iuipar. quando numeri P. Ohabent formast
Propositi . - 55 ot inll 97. qui ad
sum quartum erunt reserendi. Ent autem 1 97. nonvogiduum unius actoris
Scilicet numeri. 5 . - lili autem noli- residuuali trium iactorum primorum ipRius M 97 . scilicet numerorum 3. 3, 1st.
. Si P ct Q muneros primos dosignanti propositiones hae abeunt in eas quRSart. lai tradidimus. Ilic scilicet p ct cy maior s quam 1 sicri ncqucunt . quare quando p ponitur esse Pac necessario orit - 0 t. e. Q erit residuum ipsius P. quando vero ρ est impar. Q ipsius P non-residuum Urit. Et vice ema. Ita Acriptis a. b loco ipsorum A. D. εκ ου sequitur, si ina fuerit residunm Nol non- residuum ipsius b. fore - . non-r iduum vel residuum 1psius at quod eum a
Geueruliter vDeo patet. vi residuum ipsius P es e non posse nisi fuerit μαα0: si igi Lur p imp.: Q eArto ilinius P non-rerichium erit. aΙinc etiam pro . arti phaec. sine difficultate deriori possunt. . , 'Otorum mox Datebit. hanc repraenoniationem Renetilem plus esse quam speculationem sterilem. quuiu t orematis fundamenti dis domonstratio pompleta absqne ea vix perfici po Mit V . . . N ' .
110쪽
. Aggrediamur nunc destuctionem Hardi P Poniti Ouum. εΙ. concipiatur, ut aute P in factores suos primos resolutus. Signis negl-tis. insuperque etiam Q in laetores quomodocutique r olvabur. ita tamen ut si
Di ipsius Q ratio habeatur. Combi uentur illi singuli oum singulis his. 2 uni sis desiguuι multitudinem omnium combinatiouum . in quibus iactor ipsius Q est non-residuum factoris ipsius P. ν ot s vel simul pares via nimuI imp es erunt. Sint pnim factores primi .ipsius P. V L f. f etc. et inter sactores in quibus Q est resolutus, sint m qui ipsius y sint nou-rosidua. iiDn- rosidua ipsi ut fm' non- residua ipsius Os etc. Tum laesis quisquis perspiciot fore
p Rutem exprimere quot numeri inter ipso' m. m . m ore uini imparus. thide sponte Patet, sore parem quando P Sit mr .. imparein quando P Sit unlκir. II. Haec MnEruliter valent. quomodocunque Q in sectores sit resolutus. DeScendamuη ad vasus particulares. Contemplemur l,rimo casus. tibi ulter numerorum. P. .e8t Positivus, alter vero, Q. vel sortiaue -- A vel so-- --A. Re- Solvantur P. Q iu factoros inos primos. attribuatur singulis factoribus ipsius P
signum positivum, singulis aurum factoribus ipsius Q signum Positivum .Vel negatiViam . Prout sunt sormae a vel b: tunc autem manifesto Q fiet vel sermao se Avel . - B uti requiritur. Combinentur factores singuli ipsius P cum singulis suetoribus ipsius Q. d signet O ub ante a multitudinem combinationum in qu bus factor ipsius Q est non-residuum saetoris ipsius P. Aimiliwrque t multitudinem combulationum in quibus factor ipsius P cst non reaiduum iactoria iΡΝius Q. At ex theoremate fundamentati sequitur illas conii matioue R idPnticas soro Cum liti ad qua κῶπα t. Tandem in iis qua. modo dem tuu ravimus Amnitur ESSEp-ε m . 2 . ρ - tim . unde sit inuad. n. H eutur itaque μωpp. 1, 3, 4. et si uri. 33. . - . . ' . . Propositiouos reliquae perinisthodum similam direcis orta P sunt, Rod una ConSiderationa nouu indigent: sacilius autum ex praecedentibus sequonti modo de
ΙΙs. Donotout rursus P, Q. numeros quosculique impares inti: r. s. Primo'. p. q multitudinem factorum. primorum linorum P. Q. quorum non reSiduu Q. P respective. Tandem sit Isi multitudo inctorum primorum lynius P iquorum