Werke Carl Friedrich Gauss 1

81쪽

Ordine inverso recurrunt 10, 12, 3 etc. Q urere numerus quisquo. nulli ex istis resistitis congruus, sive qui alicui ex his est congruus, 2. b. 6, 7. 8. ll. nulli quadrato congruus csso' Potest. Secundum modulum 15 lin C inveniuntur roΝidua 0. l. 4,s 1, 10, 6 4 POSt quae eadem ordine inverso recurrunt. Hic igitur numerus residuorum . quae quadrato congrua fieri possunt, minor adhuc Ost quam Im-μὲ, quum Sint 0. l. 4. 6, 9.l o. Numeri autem 2, 3, 5 7, 8, 1l,l2 13. 44 ct qui horum alicui sunt congruit nulli quadrato secundum in Od. i5 congrui fieri possunt. 95. Hinc colligitur. Pro quovis modulo omnes numeros in duas classos distingui POASE, quarum altera continent numDros, qui quadrato alicui congrui fieri possint. altera eos qui non possint. Illos appellabimus residua quo irretica numeri istius quem pro modulo accepimua j, hos vero ipsius non, residua quadrati , Rivo etiam, quoties ambiguitas nulla inde oriri poteSt, simpliciter residua et non. residua. C terum Palam est Suffcere, Si omnes uumeri 0, 1, 2. . . m - l in clasΝes redacti sint: numeri cnim congrui ad taud in classem erunt reserendi. Etiam fin hac disquisitionc a modulis primis initium facimus. quod itaque subintelligendum orit. otiamsi cxpressis verbis non moueatur. Numerus Primus 2 Rutem excludendus. sive numeri primi impares tantum considerandi.

Facile enim probatur, Omnia quadrata l. 4, 9... lj- lj esse incongrua. Scilicet si fieri posset re Hr m .p atque numeri GH inaequaleas et non maiores quam F- i) posito H i. q. licet. fieret W-ν ' r-kr positivus ot

Proprie quidem hie easu aeeundo alio aen a utimur. quam hucusque Reimu . Dicere aestiret oporteret. ν eme residunm quadrati avi neeundum modulum m quando ν γ vivi Dod. m): at brevitatiη gratia in hae metione gemper ν Oaim m re iduum quadraticum voramus neque hine ulla ambiguitas metuenda. Expre; ionem enim, νεstatium . quando idem significat quod numerax eongmus, abh1ne non adhIbehimia. nisi sorto de residuis minimis homo sit, ubi nullum dubium OKs potest . .

82쪽

1 Ur p divisibilis. At uterque factor r - H, et rins ipso p est niinor, quare suppositio consistere nequit art. l3ὶ. Habentur itaque t γ-lὶ residua quadratica inter hos numeros I, 2.3 ....p-l Contenta; plura vero inter ipsos esse nequeunt quia accedente reSiduO 0 prodeunt quem numerum omnium residuorum multitudo Superare nequit. Quare reliqui numeri orunt non-residua horumque multitudo μ ὲ Ῥ- l).iauum cilia semper Sit residuum. hanc numerosque per modulum divisibiles ab investigationibus his excludimus. quia hic casus Per se est clarus. theorematumque concinnitatem tantum turbaret. ta eadem mussa etiam modulum 2 Qxclusimus.

Quum plura quae in hac Sect. exponemus etiam ex principiis Sect. Praec. derivari possint, neque inutile sit, candem veritatem Per methodos diversas se scrutari. hunc neXum ostendemus. Facile Vero intelligitur, omnos numer qu strato congruos, indices parra habere, eos contra, qui quadrato nullo modo congruifieri possint. impares. Quia vero p- l est numerus par, tot indices pares erunt quot impares. scilicet i , - i , totidemque tum residua tum non-residua dabuntur. Exempla. Pro modulis sunt residua

reliqui vero numeri liis modulis minores. DOn-wSiduu.

vi alio . virum m aertia emn silva residuum numeri primi M i ais an non . rosidiatim, ab indor faetorum pondet.

TIMOR A. Productum e duobus residuis quadraticis numeri primi p. eat reri duum; productum e v iduo in non. residuum. est non .reSulvum; denique productum e

83쪽

D monstr. I. Sint A, B residuae quadratis aa, b, oriunda sive A ah, B ιν, oritqu0 productum AB quadruto numori ab congruum l. e. residuum. II. Quando A est residuum. puta ua, B Voro non-rosiduum, AB oritnon-residuum. Ponatur enim si fiori potest AB kk, sitque valor expressi nis moduνὶ b: erit itaque a a B aabb. unde B bb, i. e. B residuum contra hΥΡ. Aliter. Multiplicentur omnos numori qui intor hos 1, 2, 3 p-i θunt residua i quorum multitudo - , p-l' Per A Omniaque producta erunt residua quadratica, et quidein erunt omnia incongrua. Iam si nonis siduum B per A multiplicatur. productum nulli productorum quae iam habentur congruum orit: quars si residuum Osset, haberentur iis l) residua incongrua inter quae nondum est residuum o . Contra Rrt. 96.

III. Sint A, B non-residua. Multiplicontur omnes numuri qui intor hos l. 2 3. . . I, i sunt m8idua Iaer A, habebunturque Φυν-lὶ non-residua inter so incongrua II): iam Productum nulli illorum congruum osse potest: quodsi igitur esset non-residuum. haberentur ij non-residua inter se incongrua, Contra Mi. 96. Quare productnm otc. Q. E. D. Facilius adhuc ham theoremata o principiis seci. practu. derivantur. Quia snim residuorum indices semper sunt pareη, non esiduorum vero impares, index producti a duobus residuis vel non-residuis erit par, adeoque productum ipsum. residuum. Contra index producti o residuo in non-residuum erit impar aduoquo productum ipsum non-residuum. Utraque domonstrundi methodus otium pro his theorematibus adhiberi potest: Erpressionis mod. p) rator erit riniduum, qurando numeri a, b simul sunt residua. rei simul non .r idua: contra autem erit non-r iduum, Fando numerorum a. b alter est residuum aure non-residuum. Possunt etiam ex conversione theore. Pra C. obtineri,

t .raliter. productum in quotcunque factoribus est residuum tum quando omn sunt re idua. tum quando nou-residuorum, quae inter eos occurrunt, mul- - factores repuri

diiudicari potest,

titu est par: quando vom multitudo uo residuorum quae intoriantur est-imPar. Productum erit nou-residuum. Facile itaquo di

84쪽

MODULI QtI SUNT NUMERI COMPOSITI.

utrum numerus compositus sit residuum necne, si modo quid sint singuli ipsius factoros constet. Quamobrem in tabula II numeros Primos tantummodo rocopimus. Oeconomia huius tabulae haec est. In margine positi sunt moduli in facio vero numeri primi successivi; quando ex his aliquis suit residuum moduli alicui iis . in spatio utrique respondente lineola collocata est, quando vom numerus prinuis fuit

nonisesiduum moduli, spatium respondens vacuum mansit.. m modulia, qui auri numeri eo claui. . 106.

Antequam ad difficiliora progrediamur, quaedam de modulis non primis nil-iicienda κunt. Si numeri primi p. potestas aliqua p' pro modulo assumitur ubi p non esse 2 supponimus , omnium numerorum Per P non divisibilium moduloquo minorum altera semissis erunt residua, ultera non-residua. i. e. utrorumque multita-dο - έ,-1 p 3. Si enim r est residuum: quadrato alicui congruus erit. cuius radix moduli dimidium non superat. vid. art. 94. Iam lacita perspicitur, dari l ,-l )p' numcros per p non divisibiles moduliquo semisse minoribus; superest itaque ut demonstretur, omnium horum numerorum quadrata incongrua esse. Sive residunquadrutica diversa suppeditare. Quodsi duorum numerorum a. b Per p non divisibilium modulique semisse minorum quadrata Pssent congrua, soret a ιι - hbsive μ - b a-μη per p' dirisibilis sposito t. q. licci a M. Hoc vero fieri non potest, nisi vel alter numerorum a - br a -b per ρ' suerit divisibilis. quod fiori nequit, quoniam uterque QU. vel ester Per p ulter Vero. Per p' . i. e. ut dique per p. Sed etiam hoc fieri nequiti Manifesto onim etiam summa et diss rentia 2 a et 2b per p foret divisibilis adeoque etiam a et b contra hyp. Hinc tandem colligitur inter numeros per p non divisibiles moduloquo minorps p- l p' residua dari. reliquos quorum multitudo neque magna, Se non-r Ddua Q. E. D. - Potest aliam theorema hoc ux considerations indicum dori, uri' 'simili modo ut nrt. 97.

Quisis numerva Fer p non distribilis, qui ipsius p est

'ὶ Quomodo aliam modulia eompitiatis inrore possimus mox do histis.

85쪽

DE CONGRUENTIMA SECUNDl G DES.

etiam ipsius p': qui rem ipsius p est non - r iiivum, etiam ψSius p non. res duum erit.

Pars ΡOstorior huius propositionis per se est manifesta. Si itaque prior salsa osset, inter numeros iPSO ρ' minores simulque per p non divisibiles plures s rent residua ipsius p quam ipsius p', i. e. plures quum l ρ' ' ,- l . Nullovem n otio perspici poterit. multitudinem residuorum numeri p inter illos numeros esSc Praecise M l p p- ij. Acque facile est . quadratum reipsa invenire. quod Socundum modulum p residuo dato sit congruum. Si quadratum huic residuo incundum modulum p congruum habetur. Scilicet si quadratum habetur, tia, quod residuo dato A necundum modulum p' est congruum, deducitur inde quadratum ipsi A secundum modulum p congruum ubi v si et vel α 2α supponitud sequenti modo. Ponatur radix quadrati quaesiti se a-Ραμ . quam sormam eam habere debere facile Porspicitur: debetque esse a a '- 2aae xxν η A inod. νηὶ sivo proptor 2μ v. 1 - aa --2a .rν mOd p . Sit A - au, d. eritque ae Vulor EXPressionis

etc. ascendi poterit. Er. Proposito residuo s. quod secundum modulum 5 quadraulo I congruum, invenitur quadratum by cui secundum 25 est congruum. l6 cui socundum l25 congruum etc.. 102.

Quod vom attinet ad numeros per p divisibilos . Patet . eorum quadrata perpp sore divisibilia, adeoque omnes numeros pcr p quidem divisibilos . neque vero Per pp. ipsius p' fore non residua. Generalitor vcro. Si proponitur numerus pRA ubi A per p non est divisibilis. hi casus erunt distinguendi: lὶ Quando vol n. erit 1 A-0 mod. p i. e. Siduum. 2 iauaudo k Q n atque impar. crit p ad Do wSiduum.

86쪽

etiam per py t ' divisibilis, adeoque etiam quia 2χ--2 certo non innior quam n p A i. e. p ' A; sive . A Per p. contra hyp. 3) Quando n atque par. Tum pra orit residuum vel non-residuum ipsius p . prout A est residuum vel non-rcsiduum ipsius p. Quando enim Aest rosuluum ipsius p. orit etiam residuum ipsius Io A. Posito aut in A - α α mod 1 orit δε--ap mod.p' , Oip vero est quadratum. Quando autem A est non-residuum ipsius p. pia residuum ipsius γ' esso nequit. Ponatur enim p A-aam .p oritque necessario a a per I . dirisibilis. Quotiens erit quadratum cui A secundum modulum p adeoque etiam secundum modulum p congruus, i. e. A crit residuum ipsius p contra hyp.

103. Quoniam casum p - 2 Exclusimus. do hoc adhuc quaedam dicenda. Quando numerus 2 cst modulus, numer quicunquo erit residuum, non-residua nulla erunt. Quando vero 4 est modulus, omnes numeri impares formas 4k-Hi erunt residua, Omnes Vem simae 4--- 3 non-residua. Tandem quando aut altior Potestas numeri 2 cst modulus, omnes numeri imparos formae Sk--l erunt residua . reliqui voro, seu ii qui sunt formarum 8kq-3. 81 - 5, Sk- - T, erunt nonseresidua. Pars Ivisterior huius propositionis inde clara, quod quadratum c iusvis Dumori imparis . sive sit sorinae 4k -l, sive forma 4k-l fit forma Sk-- l. Priorem ira probumus.lὶ Si duorum numerorum vel sultima vel differentia per 2 ost divisibilis.

numerorum quadrata erunt congrua sociandum modulum 2'. Si enim alter ponitur. - a. cfit alter sermas 2' 'hε a. cuius quadratum invenitur aa mod. 2 2ὶ Quivis numerus impur. qui ipsius 2'. est rosiduum quadraticum. Congrurifierit quGrato alicui, cuius radix rest numerus impar ct ς 2 ' . Sit enim quadratum quodcunquo. cui numerus ille congruus. 'aa utque numerus a - α mod. 2' 'ὶ . ita ut a moduli semissem non in ret luri. 4ὶ, Eritque a a - αα. . Quare etiam numerus propositus Prit is aca. Manifesto voro tum a tum a erunt impares atque et '3ὶ Omnium numerorum imparium ipso 2' minorum quadrata Areundum 'et' incongrua serunt. Sint Onim duo tales numeri r et s. qnorum quadrata si s

Facile vero Perspicitur uumer r - s. r-ses simul por 4 divisibiles osse non

87쪽

Ivisse, quaero si alter tantummodo Per 2 ost divisibilis. alter. ut productum iκet 2 diri ibilis fiorol. por 2' divisibilis osse deberct. Q. E. A. quoniam uterque α 2 2. 4ὶ Quodsi denique haec quadrata ad residua sua minima positim redue tur. habebuntur 2 residua quadratica diversa modulo minora' . quorum quodvis serit larmae SkH- 1. Sod quum praccisu 2' ' numeri somno Sk-- l modulo mitiores eXstent, necessario hi Onan inter illa residua reperientur. Q. E. D. Ut quadrutum numero dato sininae Sk-l secundum modulum 2' congruum inveniatur. mothodus similis adhiberi polost. ut in nrt. 10l: vid. etiamari. ΝS. - Denique du numeris Puribus Endem unicut, quae art. 102 generaliter

buntur lior

si ae indefinito omneμ valores dirersos expr. IV cxprimit, ita ut illorum multitudo fiat V vol v. c Prout multitudo horum ,er casum I ost 1. 2 vel 4. III. Si A per p' divisibilis est. facile perspicio ur. Sintuendo n - 2m VCl 2m-l.

Prout Par Ost vel impur. Oumos nil moros Per P di Uixibiles. noque ullos nitos. esse via tres ipsius I : quare omnes valoros diversi hi Prunt υ. p . 2ρ' ... ν' - lΑΡ . quorum multitudo p n.

n Puta quoniam multitudo numerorum imparium infra 1 - et

88쪽

ITEMUM GENERALE.

105. Superest casus. ubi modulus m e pluribus numeris Primis composituη est. Sit m abc..dOSignantibuR a. b. cetc. numeros primos divorsos aut Priinorum diversorum potestatos . patotque statim. si n sit residuum ipsius m. foro otiam nresiduum singulorum a. b. e etc., adeoque n certo non-residuum ipsius in disse. Si fuerit XR. ullius e numoris a. b. e etc. Vice versa autem, si n Singulorum a. b. ceto. DSiduum est, otium rosiduum Producti m Prit. Supponendo Pnim. n-A'. II . otc. sec. mod. a, b, c utc. resp., Patot. Si numerus N ipsis A. B. Cest. Seo. In . a. b. c etc. reSP. Congruus ematur 'ri. 3 2ὶ, lare n -- secundum omneκ hos modulos ad quo etiam Secundum Productum m. . Quum facile perviciatur, hoc modo e combinatione cuioris valoris ipsius. A sive expr. Vn mod a cum quovis valore ipsius B cum quovis valore ipsius Cotc. oriri ustiorem ipsius N sive sXPr. Vn Od. m . nec non e combinationibus diversis produci divorsos N, Ut e cunctis cunctos: multitudo omnium valorum diversorum ipsius N a qualis erit producto e multitudinibus valorum ipsorum A. B. Cetc. quaes deis minaro in art. Prae . docuimus. - ΡOrro manisostum sest. Si unus valor expressionis xin mod. mὶ sivo ipsius N fuerit notus, hunc simul soro valorem omnium A. B. Cytc.; et quum hinc per stri. Praec. omnes reliqui valoros harum quantitatum deduci Imssint, facile sequitur . ex uno valore ipsius N Omnes reliquos obtineri posse. . Er. Sit modulus 3 lo cuius residuum an non-rosiduum sit 46. qua ritur. Divisores primi numeri 315 sunt 3 'b. 7. atque num rus 46 residuum cuiusvis eorum quare etiam ipsius 3 i5 orii residuum. Porro. quia 46 I. et 64mod. 9 ; l et 16 mou. 5 : - 4 et mi 2b mod. 7 . inveniuntur radices quadratorum, quibils 46 secundum modulum 'al 5 Congruit . 19 26.44. 89, 226

Ex praecedentibus colligitur, si tantummodo semper dignosci possit utrum numerua primus datus numeri primi dati residuum sit an non-residuum. Omneri reliquos casns nil hunc re hici posse. Pro illo itaque casu Criteria certa omni studio nobis erunt indaganda. Antequam aut in hanc perquisitionom aggrediamur, criterium quoddam exhibemus ox Soci. praec. petitum. quod quamvis in Prarii nulli

89쪽

lum sero usum haboni. tamen propior simplicitatem atque generalitatem memoratu

dignum eSt. .

Numerus quicunque A per numerum primum 2 m H- l non divisibilis, huius primi reriduum est vel non-residuum, prout A - - 1 rel -- l mod. 2m - - l . Sit enim pro modulo 2m -l- 1 in systemato quocunque numeri A index a. eritque a par quaudo A est residuum ipsius 2m H- l, impar vero quando An--residuum. . At numeri π' indeX erit ma. i. e. -0 vel m mod. 2m prout a par vel impar. Hinc deniquo M in priori rasu Erit --μ l. in i Osteriori vero - - a smin. 2m-Hi . V. Rrit. 5T . 62M. 3 ipsius la est residuum quia 3' l imod. la j. 2 vero ipsius lanon-residuum, quoniam 2' -- mod. 13 . . At quoties numeri examinandi mediocriter sunt magni, hoc critorium obcalculi immensitatem IVorbus inutile erit. . ' ' .

io T. Facillimum quidem est, proposito modulo. Omnes astignare numuros, qui iΡηius residua sunt vel Do -residua. Scilicet si ille numerus ponitur dete minari debent quadrata. quoruni radices semissom ipsius m non sui rant, SiV etiam numeri his quadratis secundum in congrui ad praxin methodi adhuc ExΡ ditiores dantur . tuncque omnes numeri homin alicui Necundum m congrui. erunt residua ipsius m. omnes autem numeri nulli istorum Dongrui erunt nou-rosidua. At quaestio inversa. proposito numero aliquo, assisncire omnes numeros quorum ille sit residuum rei non-residuum, . musto altioris est indaginis. IIoc itaque Problema. a cuiua solutione illud quod in uri. pracc. uobis protrisvimus Pendet, tu sequontibus Perscrutabimur. a casibus simplicissimis inchoantes.

ΤΠΕΩ NA. Omnium numerorum primorum fremiae 4 n H- l. - l est residuum quo alicum, omniam vers numerorum primorum formiae 4 nH- 3. non .rrai tim. Ex. -l QAt residuum numerorum S i a. 17. 29. 37, 41.53 6 l. 73. 89. 97 etc., e quadrntis numerorum 2, 5, 4. 1 2, 6.9. 23. I l. 27. 34, 22 etc. respective ori-

90쪽

Mentioncm huius theor. iam in art. 64 fecimus. Demonstratio voro lacile

ex ari. 106 Petitur. Etenim pro numero primo sermae 4 uq-l 'ost. - lipro numero autem sermaΘ 4n--3 habetur - - 4. Convenit. haec demonstratio cum ea quum l. c. tradidimus. Sed propter theorematis elegantiam atque utilitatem non superfluum erit. alio adhuc modo idem ostendisse. . 109. 'Designemus complexum omnium rosiduarum numeri primi p. quae ipso pSunt minora, DXcluso residuo 0, per literani C. et quoniam horum residuorum multitudo semPer - , mani stum est, caIn fore Parem, quoties P siti formae 4 n H- l. imparem vero. quoties p sib formae 4 n H- 3. Dicantur.' ad instar art. I T.

ubi de numeris in genere agebatur, residua soria talia, quorum productum - lina Od. p ; mans sto enim si r est residuum. ossam - m .pὶ residuum erit. Et quoniam idem residuum plura socia inter residua C habere nequit, patet omnia residua C in classes distribui posse, quarum quaevis hinn residua SOCia contineat. Iam perspicuum est, si nullum residuum durotur, quod sibi ipsi essct socium, i. e. si quaevis classis bina regidua inaequalia contineret, omnium rosiduorum nume-Yum fore duplum numeri omnium classium: quodsi vero aliqua dantur residua sibi iPSis Socia t. e. Hi quae classes quae unicum tantum residuum aut . . si quis malit, idem rcsiduum his continent. posita harum classium multitudine - a. reliq-rumque multitudine seb; erit omnium residuorum Q numerus Ma ε 2b. Quare quando p .est formae 4n-- l, erit a numerus Par: quando autem p est sormae 4n H- a, erit a impar. At numeri ipso p minores alii, quam i etp- i, sibi ipsis socii esse nequeunti vid. an. 77J; priorque 1 certo inter residua occurrit: unde in priori casu p- seu quod hie idem valet. -lὶ debet esse residuum. in Posteriori vero iion-residuum: alias enim in illo casu seret a se l. in hoC autem - 2. quod fieri neqttit. il0. Etiam haec demonstratio di. Eulcro debetur qui et priorem primus invenit V. Opuae. A l. T. I. p. 135. - Cilo quisquis ridebit eam similibus Principiis innixam esse, ut demonstratio nostra secunda theor. Wiboniani art. 77. Sili.