장음표시 사용
91쪽
vero hoc incorema supponoro volimus, facilius adhuc demonstratio exhiberi pol rit. Scilices Intor numeros 1, 2, 3 .. .p-I erunt residua quadratim itinsius y totidemque non-rosidua: Unre nou-rcsiduorum multitudo erit Por. quando p est sermue 4 η H- l; impur quando p 9st formae 4 n -h a. Ilinc productnmex omnibus Dum ris l. 2 3...p--1 in Ρriori casu erit residuum. in ivisteriori non-r iduum sart. 99 . At productum hoc semper -- l m .pl; ad que etiam - 1 in priori caesu residuum. in i, steriori non-msiduum eritilli. . . ' . Si itaque r est residuum numeri alicuius primi formue 4 n H- I, etiam - r huius primi residuum erit. Omnia uutem talis numeri non-residua, etiam signo contrario Rumtu non-wsidua munebunt 'ὶ. Gutrarium evenit pro numeris Primis seruiae 4 n-, 3, quorum recidua quanta Nignum mutatur . non Osidun fiunt si vice versα Uid. Mi. 9S. turum iacile ex praecedentibus derivatur regula g oralist: - l . rat residuum Omnium numerorum qui neque per 4 neque per ullum numerum primum formae 4 νι - - 3 diridi possunt omnium rei quorum non .r iduum. V. Git. 10 aet 105.
Si ox tabula II colligimus omnes numeros primos quorum rufiiduum ostri-2, bos habebimus: T. i T. 23.3l, i. 7, 7 l. 73.79. Ss, M. Facile autem unimadvertitur. intor hos numeros nullos involam formarum , nH-3 et , n - - 5. . , Videamus linquo. uum haec inductio ad certitudinem quolii possit. Primum Obwrvamuη quemvis numerum . Compositum formno , Λ Η-.3 vel Sn-H5 necessario sectorem primum alterutrius sortituo bn-ba vol bn- - . . involvere; manifesto enim D solis tinnieris Primis formarum S n H- l. 8n--7. alii numeri quam qui sunt somno , n - vcΙ , η-7 . componi nequcunt. Quodsi itaque inductio nostru generalitor est rera, nullus omnin' num us sermRU.
92쪽
Sn-haia fin-- 5 dabitur, cui uri. residuum ε 2: Sicque nullus corte numerus hujus formae in l us, exstat. cuius residuum sit -- 2. Si autem intra hunc limitomtales numeri roPerirentur. Ponamus minimum omnium in t . Erit itaquo i vel formae 8n--3 vel Sn-- 5; - - 2 ipsius residuum erit. Omnium autem numer rum similium minorum nou-residuum. . Ponatur 1incia mod. ii poteritque alta semper accipi ut sit impar simulque ς t. habebit enim a ad minimum duo valor POSitivos. ipso i mitiorOS quorum summa. quorumque adeo nitor Paralter impar v. urit. 104. 105). Quo facto Ait aa - 2-- tu, sive tu a a 2. eritque a in fornaue di n -- l . . tu igitur formae 8n - 1. ud que u formae S n ε 3 vel Sn-ΗΔ . prout i est sormiue posterioris vel prioris. At cx aequationea a 2- - tu sequitur. Etiam 2 incla tmod M i. e. . 2 Etiam ipsius u rouiduum fore. Facile vero Perspicitur. esso u Qt, quare t non est minimus numerus in ductioni nostrae contrarius contra liyp. Unde manifesto sequitur id quod perinduction m inv noramus Fnerali aer Vmum PSSE.Combinando hace cum prOP. urt. III 8 quentia theoremata nancisCimur. L Numerorum omnium primorum formae bn ε 3. - 2 emit non. residuum.
. . M 3. . 'Por similoni inductionum ex tab. II inveniuntur numeri primi quorum residuum est - 2 hi: a, ii l7.19 41.43 59.6T. 73 8a. 69. 97 . Inter quos quum nulli inveniantur Drmarum .8n--5, 8 n ἡ- 7, num etiam haec inductio thoor malis generalis vim adipisci lvissit investigemus. . intenditur simili modo ut tu
93쪽
DE OOsGRUUmIS SECUNDI GRADUS.u ipso t minorem fore. Denique - 2 etiam ipsius u residuum erit. i. e. t non
erit minimus numerus qui inductioni nostrae adversatur. ςontra' hyp. Quare u cessario - 2 omnium uumerorum Armarum 8n -5, 8 H-7 non-residuum. Combinando haec cum Prop. art. li I. prodeunt theoremata haec: I. Omnium numerorum primorum Nn H- b. tum - 2 tum Φ 2 sunt non residua. uti iam in art. Dra . inVenimus. i 'II. . nium nu-erorum Immotum formae S n H-7. - 2 est non-residuum. - 2 vero residuum. Ceterum in utraque demonstratisve pro α euam valorem parem . Dipere potuissemus; tunc autem casunt ubi a suisset sormae 4n - 2. ab eo distinguere oportuis- . ubi a semae 4 u. Evolutio autem pertud Ρmmdit uti snpra. nulli- quo dimovitati est ObnUXia. .
uperest caSus. scilic t ubi numerus. primus cst formae S nini Hic vero mothodum praecedetitDm eludit, artisciaque morsus peculiaria postulat. Sit pro modulo primo Sit in l. radix quaecunque Primitiva a. eritque. art. 62j a ' - - 'm . ij, quae congruentia ita etiam ρxhiberi potest. α - - sta mod. 8n- - 1 . sivo Ofiam ita. l - 2 a '. Undo soquiatur tum 2 a ' tum - 2 a ' ipsius 8n-- l essη residum: at quia a ' ost quadratum per modulum non divisibile. munifesto etiam tum H-2 tum - 2 resi
Haud inutilo erit, 'adhuς aliam huius thooremam domonstrationem adiicerct. quae similem relationem ad praecedentem habet, ut theoremaris art. 10S demonstratio serunda iuri. 109ὶ ad primam sart. luS '. Periti facilius tunc perspicient.binas demonstrationes tam illas quam has non adeo heterogene Ρsse . quam Primo forsan My tu videantur. ' . i. Pro modulo quocunque primo formae 4 m -- I, inter numeros ipso minoreS l 2,a... 4m. reperientur m qui biquadrato congrui esse possunt. reliquivem 3m nou potexunt. Facile quidem hoc ex priticipiis Se t. praec. derivatur, sed etiam absque his domonstratio haud difficilis. Demonstravimus euiin Pro tali modulo - 1 sem-
94쪽
per osse residuum quadratieum. Sit itaque Π- - l. patetque, si a fuerit numerus quicunque per modulum non divisibilis. quaternorum numerorum -z, Ua. - quo. incongruos esse saetisi perspicitud bi quadrata inter se congrua sore; porro manifestum est biquadratum numeri Cuiuscunque . qui nulli exliis quatuor congruus. illorum biquadratis congruum fieri non possc. alias enim congruentia quae est quarti gradus plures quam 4 radices haberet , contra art. 43 . Hinc facile colligitur, omnes numeros 1, 2, 3, ... 4 m. tantummodom biquadrata incongrua praebere, quibus inter eosdem nummos m congrui reperientur, reliqui autem nulli biquadrato congrui esse poterunt. II. Secundula modulum primum form- Ν n -- l. -l biquadrato ε'ongruus fieri poterit - 4 erit reriduum biquadraticum huius numeri psimi . omnium euim residuorum hi quadraticorum ipso 8 3 - 1 minorum scismoxclusa j multitudo erit -2n i. e. par. Porro sucilo Probatur, si r morit residuum bi quadraticum ipsius 8n-Hl, etiam velorum exPr. - m . Fn- l sorotiae residuum. Hinc omnia residua bi quadratica in olasses simili modo diςtribui potarunt, uti in arti 10s residua quadratica distribuimus i nee non reliqua domo i- Strationis Pars prorsus eodem modo procedit ut illic. III. Iam sit - 1, si h vHor expr. mocl. ουπ H- I l. Tunc erit
Ceterum ex Pra c. facile regula sequens generulis deducitur: - - 2 est residuum numeri cuiusvis, qui neque per 4. neque per ullam primum forme Sn--3 ret' n - - b dividi potest. reliquorum autem sex. yr. Omnium numerorum Armarum , n ε 3. 8nH-5, sive sint Primi, sive composith nomresiduum. - 2 est residuum numeri cuiusnis, qui neque per d. neque per ullum primum formae 8nH- 5 eel S κε T dividi mirat, omnium autem reliquorum n--residuum. Theoremata haec elegantia iam sagaci Formatio innotuerunt. ΟΡ. Mathem. p. l6S. Demor irationem Vero quam se habere professus est, nusquam Commu-
95쪽
Pergimu ad residua -- 3 ct -3. A posteriori initium sucininus Imporiuntur ex inb, II. numeri primi quorum residuum est -3 hi: 3. T. 13. l9. 3l a7.43. 61 67. 73.79 ST , intor quos ' nullus invenitur formiisi h n H- 5. Quod voro etiam ultra tabulae limites nulli primi huius formae duntur quorum re iduum -3. i in domonstramus F. imo Pntet quemvis numerum eompositum formao 63ε--5 necessario se torem prium in aliquPm Diusdem .sormno involior . Quousque igitur nulli numori. primi sermuc Gn- -5 dantur. quorum residuum - 3. cousque tales etiam C PoΝiti non dabuntur. iauodsi vom ultra tabulas nostrae limites tales numeri darentur. Ait om aium minimus - t. aiOΠnturque - δ aa- tu. Tunc erit, si ac Dyris a prir m ipsoque minorom, uς t, a que - 3 rpsiduum ipsius u. Sed quando a formae 6n--2. tu erit serinae 6n - - l. adomuo u sermae 6 nΦ5. Q. E. a.' quia i minimum osse numorum inductioni nostrae advorΝantem supposuimus. Quando vom a formae sin. Crittv formae 36n-ρ,3 nisoque i tu formae t 2 n in t . quam , u erit formae In seli: patet nutom - 3, otiam ipsius s u residuum sore. atquc esse tu t. Q. E. A. ' Manisostum itaque. -3 nullius numori seruaue s n -b . residuum
96쪽
Nihil antum per hanc methodnm ivra numeris formae 12n - - l inveniri potest . qui proin artificia singularia requirent. Ex induetions quidem 5esse oobligitur .. omnium numerorum. primoriun huius lamme residua esse - - 3 α -ου. Manifesto antem demonstrari uintummodo debet, numerorum talium roriduum es- - 3. quia tunc necessino stiam H-a residuum esse debet tart. lil. 'sin dEmus autem generali , - 3 esso residuum numeri euiusvis primi sermo
Sit p huiusmodi primus atque a numerus pro modulo p ad exponentem a Pertinens quales duri on arri. 54 manifestum, quia 3 8nbmultiplum ipsius p- l . Erit itaque m .pὶ i. e. . - 1 sive so-μα-- t) a-lὶ per p divisiabilis. Sed mist a esse non posse m .p in i .ud exponentem 1 Pertinet. quare a I. Por ν divisibiliarion erit, sed a ina l erit, hincque etiam
97쪽
Colliguntur facile ex prae . thooromata haec vid. ariti 102. iva. 10. . t.' - 3 est residuum omnium numerorum . qui neque peri 8, neque per s. ne que per ullum numerum primum formae fin-kb dividi possunt, non rexi Num aufem
Pmpositiones ad invidua ina Et a pertinent a iani Fermatici uotae suerunt. Opera Walliati T. II. p. 857. At ilL Euler Drimus demonstrationes tradi dit. G- nov. Petri T. VIII. p. sub sqq. Eo magia est mirundum . . OmonNu tiones propositionum Mimsidua H-2 et - 2 l Ortinentiam . prorsus similibuΝ artifieiis innix . semper ipsiua sagacitatem sugisse. Uid. etiam comment. ill . Iba 'Graiam. Noue. M . de P Ac. de Berris, 1775 p. 352.
. . . l2l. . . Per inductionem depreheuditur. 5 uulsiua numeri imparia formae n-f- 2 vel 5n- - 3 residuum esse. i. e. nullius numeri imparis qni ipsius bucin re duum sit. Hanc vero regulam nullam exreptionem pati. ita demonStratur. . Sit numerus minimus, si quis datur. ab hac regula Θxeipiendus t, qui itaque numeri D Bat non residuum 5 autem ipsius t residuum. Sit a a binta. ita ut a sit pax ipsoque t minor. Erit igitur u impnx ipsoque t ui inor. --.5 --tem ipsius u residuum erit. Quodsi iam , a per 5 noli est dirisibilis. etiam.u uotierit: manis sto autem e M ipsius 1 est residuum. quam quum t ipsius 2 ait Don- refliduum. Etiam di non inresiduum VII: i. datur non-r iduum impar numini a. cuius residuum est in s. istis ι ininus. contra hyp. Νi vero a saer 5 est divisi-
98쪽
biliti. ponatur . m. I . atque u fi v. unde tv -- I-4 m . J. i. .e. to eritrssiduum numori 1. In reliquia demonstratio perinde dit ut in caau priori
l istest vexo prorsus simili modo dem atrari. -- fi eam non-residuum Om-' nium numerorum primorum formarum 20n -ll. 20n- 13. 20κ- 17. 20n 19. facileque perspicitur hinc aequi. 5 e me residuum omnium numerorum Primo- . rum formae 2un-Hil vel 20 n -- 9, non-residuum autem omnium formae 20R la ves 20n-μ17. Ει quouiaem quivis numerus primus. praeter a et bquorum reniduum Lbὶ, in aliqua harum formarum continetur 20 n. l. s. r. s. l. 3, 17. 12 patet. do omnibun iam iudicium ferri posse. excomis iis qui sint forma -20aH-l mi somno 2--μ9 . . - . '- . - t ..' et . Ex inducticine hicile deprehonditur. - et - , esse rosidua omnium numerorum primorum serinae 20n vel 20n s. ' Quo h- generalitorvorum est, lex elegans habebitur, in 1 esse residuum Omutum numerarum Primorum qui ipsius y xint residuia 'i enim in alteratra formurum nH- l vel b-4 sive in aliqua harum, 20nH- t. 9, 11, 19. continentur, de quarum tertia et quarta illud iam osten um est . non eriduum v --hrum numerorum imparium ροῶ ψxiva.5rint non-residua. ut iam supra demon truvimus. . Clarum autem est. hoc thisorema susscors ad diiudicandum. utrum Η-5 eoque I o. - , si ininquam se ductum ex h of eonsidereturi numeri cui eunque dati redduum rit an uo ronse dumti. Denique observetur huius theorematis cum illo quod arti l Iis do residuo
At vorificatio illius inductionis non adeo sacilis. . Quando numerus primu mrmae. 20n Φ.s.' sive genreMius formae 5nH- , Proponitur. res simili modo a solvi potest . ut ri nrit. 4 l4. l 19. Sit Rcilicat numeruη quicunquo Pro modulo In ρl ad exponentem 5 .pertinens a. quales dari ex Met. prum. manis tum in 12
99쪽
At casus. ubi numerus primus forma 5 n--4 Proponitur, subtiliora artificin Postulat. --im vem Proi Ritiones quarum πe negotium absolvitur in s quentibus Feneralius tractabuntur. hic. brevitar tantum eas attingimus. I. Si p est numerus primus utquc b nou-rEsiduum quadraticum datum ipsius p. valor eX' Alonin .
ex qua evoluta irrationalitatem abire sarila perspicitury. sompo Ito p divisibilis erit. quicunque numerus pro ae vanumatur. Hates mim in ins otio no eoeruientium qui ex evolutione ipsius A obtinentur. Omnes terminos a se undo usque adponultimum incl. per ρ divisibiles lare . adeoque esse 2 pH- i haeb Od. 38. At quoniam b ipsi p non-rcsiduum cst. erit 6 C m l m .p il Rrt. l06j; autem sonipor est -r et . praec. , undu fit A 0. Q. E. D. ΙΙ. In congruentia A-0 mod p . indeterminata a habet ρ stimension
quam q=er B designami J si eviavitur. ab irrationalitain libera. indeterminuta aein ipsa e - dimensionsa habebit, constatque in invia cog primia selementis. Aper B tind finite) esse divisibilem. Iam dico -ι valores iΡgius a dari. quibus in B substitutis. B per p divisibilis evadat. Ponatur enim Am BC. haberi que x in ' O dimetariones p-e-- li Meoque eo mentia C- 0 linod. p, uon
II. Iam Ponatur p eme formae 4. ἄ- . , non- residuum ipsius p. atque numerum a ita detorminatum ut rit'
100쪽
Erit igitur etiam ibri baa - 20 a per λι divisibilis i. e. 20a ro iduum ipsius p : M quoniam 4 a' residuum est petr p non divisibilo facito enim tutelligitur. aper ρ dividi non posse). etiam 5 residuum ipsius p orit. Q. E. D. Hinc pasti theorema in initio huius articuli prolatum m inliter v rum
r ximilam methodum demon tratur. . - 7 E mm. ν iduum cuiusvis numeri que ipsisa δ stia utim residuum. . - vi inductione varo concludi potest. . , - T. Se residuum cui vis m eri primi qui ipsius Iosia residaeum.' . At hoc a nemine hactenus rigo se demonstratum. 1' O iis quid ui residuis ipsius τι quae auut formae 4n- i. facilis eat demonstratio etenim per meth dum hα prae . Rhundo Otam ostendi potest. . I sempor esse talium numemrum primorum non-residuuin, iamque -I' r iduum. Sed prerum hinc lumamur:
reliqui Enim minus per haena methodum tramari nequeunt. II num quidem adhuc c um simili modo ut arit. 119. 123 absolvere possumus. Scilicet si p ust numDrus Primus lamne I nε l. atquct a pro modiuo p ad D oneninm 7 Pertinens.
per ρ divisibilem, ad quo 4 -vij ipsius p residuum sire. . At Ia -a'. tumquam quadratum. ipsius p residuum est, insuperque per ρ non divisibile ιquum enim a M 'Ponentem τ Pertinere supponatur . ne quo neque -- limod.p1 osse missi, e e. rimne a nequct a 3 per ν divisibilia erit. adeoque etiam quadratum a q- l 'u . . Indo manifesto etiam 2 ipsius ρ residuum