장음표시 사용
111쪽
135.1'er Rrt. Ρm . propositiones art. 133 non quidum' sunt demonstratae: sed inition Oarum veritas a voritato ino ematis fundamen talis quam aliquuntlapDr sin posuimuη Pon re ostonan est. At Ex ipsα deductionis mothodo , monisestum ost. illas intere pro multoris P. Q. Et in O thoorema fundamqntale pro Omnibus sactoritias primis horum oumexorum iniur se comparatis locum habeat. etiamsi generaliter verum non sid. Nanc igitur ipsius theorematig sundamon talis demon trationem Umodiamur. Cui praemittimus sequCulam Explicationum. Theorema f. iam tala usque ad numerum aliquem M verum ein dicemus. si rata pro duobus numeris Primia quibuεcunque, quorum neuter ipsum M surrat. Simili modo intelligi debet, si theorem tu urit. 13l lδ2. 133 usque, ad aliquem terminum vera esse di semus. Fucile vem PersPicitur, 'M cle veritate theorematis fundamentalia usque ad aliquem terminum coustet. has Pro Sition usquoad oundem tormin uni locum esse habitur .
112쪽
Thoorema fundamentalo pro nunioris Paervis vorum ossi . Pur inductionem sucile confirmari. atque sic limos dolorminari Potest usque ud qlicin corto locum teri t. Hunc inductionem institutam esse Iiostiunmus: Prorsu' autem indifferens est quou quo eam persecuti simus; sufficeret udeo. ηi turmiammodo usque nil numorum fi
sunt. castis sequentes distinguendi. Numorum istum Prinmin Per P designumns.
si simul fuerit rei - ' . . . . ' . . .
113쪽
positivus. formae 4nH-3 sive strinae R. Q a. ct per p non divisibilis. Porro erit P - ρ mod. L, i. e. pM adeoque ex prop. ll t. 132 Φymi quia enim p. f α a. pro his propositiones istae inlcbunt .. At Mi etiam QNρ. quaro fist
114쪽
Casus tertius. Quando 1' l est formae 4n-l a)- p eiusdem formae. atque pNa: non potest esse in a Rν. Supra Casus secundusὶ. Capiatur aliquis numerus I rimus imo a minor, cuius noD-residuum sit quales dari supru demonstravimus sarit. 1 25. 129 . Sta hic duos casus scoriam Con8iderare oportet, prout hic numorus primus fuerit λr se Di - 1 vel 4η - a. uon onim demonstratum sest, dari tales num ros primos Miriusque somnin
I. . Sit iste numerus primus formae 4 η - 1 et sea'. Tum erit - α' Nasari. 131ὶ adeoque - άρ Ba. est igitur H abi in .uὶ atque 'e par. O. Tune iterum quatuor CMus erunt distinguendi. 3ὶ Quando e neque per p neque iter a' est divisibilis. Ponatur άν in ac signis ita acceptis ut fiat positivus. Tum erit 1. a, ad a' et pprimus atque pro Rigno Buperiori formae 4n ε 3, pro inferiori formae 4nini. Designemus brevitatis gratia per M. yJ multitudinem factorum primorum numeris quorum uouis iduum est x. I p erit pM adeoque Ν,, J -0. Hinc erit j. I J ntu erus par Dropse. q. 3, arti 133 . t. e. aut u aut . - 2. Quare erit faut residuum uirrusque numerorum α'ἰp, aut neutrius. Illud autem est impossibile, quum. - af sit residuum ilinius a , atque in a Na hyp. ; unde fit ε m. . IIinc I debet esse utriusquo num Orum a , p non-residuum.' At
propter VIM erit re a M. Q. E. D.
115쪽
monstrntio tantum non e ein modo procediti ut in Pra . . neminemque qui hanc
- ij Quando e tum per ae tum per p est divisibilis adcoque otinm PDr pro ductum is p numeros E. p enim inaequales Osso supponimus. quia nilns id quod domonstrare operam damns: esse a iam in hypothesi a - eontentum sexet . sit eses p atque y a, -l - a 4. Tum erit Λ αα. -- α' st p Prinius atque Pro signo si laetiori iamne 1 n-Had pro inferiori formae pn - l. Facile vero
II. Quando is e numeruR Primu ost somne 4 n --3 , demonstratio Pra cedulati tam similis ost. ut miri appon o snponinum uobis visum sit. In eorum gratiam qui Per se cum evolvere gestiunt quod maxime commendamus . id tantum obwrvumus. postquam ad talem nequation m P - - - designanto b illum. numerum Primum l ervontutia sucrit. M perspicuitatem Prolaturum. si utrumque
Casus quartus. Quando ΤΗ- l . est firme g n t i al , p formae 4 n-μου. ut νω ΦρΝa, non poterit e sp --a sire -a . inus sextus suprRhEtiam huius casus demonstrationum. quum prorsust similis su demonstrationi casus tertii. brevibutis gratia omittimus.
117쪽
In d monstrati. prae C. Aemi Or Pro e valorem purom n Cepim it. 137. . 144J; observam convenit. Otium valorem imparem adhiberi Potui P. -d tum' plures udhuc .distinctiones introducendae suis ent. Qui his disquisitionibus des tantur, haud inutile facient. si vires suas in evolutione horum C uum Oxercitent. Praetersa theoremata ad residua H- 2 et - 2 pertinencla tunc supponi debuissent: quum vero nostra demonstratio. absque 'Isis theorematibus sit persecta. n vani hinc methodum nanciscimur, illa domon Mirandi. Quata minimo est contemnenda, quum methodi. quibus' supra pro demonstratione Ihooromatis. - 2 esse residuum cuiusvis numeri primi formae S n -- l. usi sumus. minus dirocino vid ri possint. Reliquos casus qui ad num os Primus sormarum Suri 32 8n--5.8 λι--T SPectant D methodos supra traditas demonstratos .. illudquo the romatantummodo per inductionem inventum esse supponemus: hane autem inducti nem PDr sequentos reflexiones nil pertitudini R .gradum evoliemus. Si ε2 omnium numerorum primorum formae 8ν -Hi residuum non CS-set. ponatur minimus Primus huius formae, cuius uou-residuum 2, -ia. ita Mi pro omnibus primis it o a minoribus in omina valcat. Tum accipiatur D merus aliquis Primus Q la. cuius non-residuum a Ahalem' dari ex art. 129 s esse deducitur . Νit hie -ρ oriri uo iam. thoor. fund .. p Νώ. Hine fit ε.2pN a. - Sit itaque P - 2ρ mod. H im ut e sit impar utquo Tum duo camiserunt distinguendi. ' ' .
3 Si ex aliqua ei ae nulli laetores ades ont, loes producti ex hia seribere oporteret.
118쪽
His ita factiA. considereum, primo c um ubi, p ea formis 4 n - 1, sive q sormae 8n Φ7 . Tum facile perspicitur fore 2RE. 2 RII. unde pNE. pNII. hineque tandem E , Η . . Porro eriti 2 non-ro iduum cuiusvis saetoris sormae 8n--3 aut SNH-.5, adeoque etiam p: hinc quiris talis factor non siduum ipsius m unde facile' concluditur FG fore Ipsius p resilinum si fl-yfuerit par, nonismiduum si f*9 fuerit impar. At f by impar esse non potest; sacile enim perspicietur omnes casus Gumerando. EFGH si in q fieri vel formae 8n--3 vel Sn -d, si fuerit f--s impar, quidquid sint singuli e Ly. h. contra hyp. Erit igitur FG . EFGH . . sive st , hincque tandem, Pro erag a Ap DOhtru hyP.. Secundo quando p Est somno 4 nH-3. simili modo 6stondi potesι. lare pRE. incoque E . .- pKF adeoque FNp, qandem y--h Parem hi neque . GITI . unde.tandem sequitur q . a contra hyp. ΙΙ. . Quando e per p di illibilis. demonstratio simili modo adornari. et aporitis squibus' solis hic Rrticulus ost scriptusin haud difficultor evolvi potorii. Nos brevitatis gratia eam omittimus. '
. 146. Per theorema fundamentalo' ncque propositiones ad residua et in stpertinentes semper determinuri potest utrum numerus quicunque datus ninneri primi dati residuum sit an nou-residuum. At hilud inutile erit, reliqua euain quae supra tradidimus hic iterum in conspectum Producere. ut omnia Coniuncta habeantur quae sunt nocessaria ad solutionem , ' .
PROBLENATisa ' Propositis duobus numeris quibu3cuaque P. Q, iuvenire, utrum alter Q, alterius P restiduum sit an non. re3iduum. Sol. ' I. Sit H qin. designantibus in b. cere. numeros Primos inaequat sitive aceπι nam P -hisosto absolute est sumendus . Brevitatis gratia in hoc uri. relationem duorum numerorum αν simpliciter dicemus enm iuretenus Prior x posterioris y residuum est vel non- residuum. Pondet igitur relatio ipsorum Q. P a relationibus ipsorum Q. ei': Q. δ' etc. art. tuo .
II. Ut relatio ipsorum Q. a de reliquis enim Q. b' otc. idem valet, in
119쪽
i. Quando Q per a est divisibilis. Portatur G-Qo . ita ut pera non sit divisibilia. Tunc. si e - α via e cta erit QRa'; Si XOro Q a atque impar, erit QNa i tandem si e αα atque par. habebit Q ad α' eundem rotationem quam habet Q ad 'u' 'Reductus est linquo hic casus ud. 2' Quendo Q per ae non est divisibiliuei. Hic denuo dii distii
120쪽
Proposito numero quocunque A. formulae certae exhiberi possurit, sub quibus omnes numeri . A primi quorum residuum est A continentur . sive omnes qui esse possunι divisores numerorum sermao ia-A designanto aeae quadratum udetor nntum 'j. Sed brevitatis gratia ad eos tantum divisores respiciemus, qur sunt diros atque ad A primi. quum si hos easin reliqui iacile isduci possint. Sit primo A aut utim rus prim positivus sorinas 4 n - - l. ' aut negutivus formae 4n - . Tum seeundum theorema sundamentalo omnes numeri primi qui . positivo snruti. sunt residua ipsius A. orunt divisores ipsius A: omnes autem numeri primi ex pto numino 2 qni somΡΘ est divisor qui ipsius A sunt non-residua erunt noninivisores ii siu ' A. Nint omnia residua ipsius A ipso A minore sexclusa crisnὶ ν: H, ν' em omnin non-residua vero n. R. n' est. Tum quivis num tus primus, in diliqua formarum Ast' x. Ak--r. -- - H BR. contentus, erit divisor ipsius mi A quivis aut m primus in aliqua formarum Ak- - π.Ak- - etc. contentus non- divisor erit, designante k numerum integrum i terminatnm. Illas formaa dirimus formas divisorum ipsius -- A, has vero fodi mox π . diviso m. t et trorumque multitudo erit li: Porro si B est nume rus compositus impar atque A RB: Onan actores primi ipsius B in aliqua sor-