Werke Carl Friedrich Gauss 1

71쪽

DE R IDUS POTESTATEM.

sesta urit. Uuundo onim p- l per quadratum aliquod divisibilis ost. aliquis Oxii montium v, 3, Ictc. unitatem sui rabit. adomue aliquis fautorum, quorum producto congrua est summa omnium vulscum primitivarum. erit in v. et proin etiam productum ipΝum : luando I Pro p- l Por nullum quadratum dividi potest. Omu K OXIUDPntPs o. U. I Otc. erunt m l . unde summa omnium radicum primitivarum congrua orit Producto ex tot sactoribus. quorum qu quo --l, quot habentur num ri r. b. e etc.. ndemuo erit t.' Prouo horum numerorum multitudo par vel impar. 'Illa autona ita probantur. l'. Quando re l atque A numerus ad eximn ntoni a pertinuus, reliqui ἀumeri ad hunc Oximnentem pertinoratos Prurit A . A . . . A r . At

2 . Quando nutem a l. utque . A numerus uid exPonentoni α' Pertinens, reliqui numeri ad hunc exponentona Porti nonios habebuntur. si ex hiς i. A . A .... A' reiiciuntur A', A ' , A etc., vid uri. 5: quare summu Eorum Prit

i. e. Congrua differentino duarum Poriodorum. udomuo 0. Q. E. D.

si modialis qui sunt num sertim primorum potestates,

Omnia quae bactenus cxposuimus innituntur suppositioni. modulum Psso numerum Primum. Nuperost ut eum quoquo casum consideromus. 'ibi pro modulo AKsumitur num 'rus compositus. Attamen quum hic nequo propriolatos tam legari,s uni tonni: quam in casu priori. uoquo ad caA involitendas urtificiis si tilibuη sit opus. sed potius omnin sere per sollim Principiorum praccedontium appli- cutioncm oriri PosΝirit. Dinnos minutias hw oxhaurire fulminuum niquo modiosum foret. Brevitor itaquo quae huic onsui cum Priori μint COmnaunin qui-quo Pro-

72쪽

Propositiones arri. 45 - 48 . genoraliter iam sunt demonStratae. At Prop. art. 49 ita. immutari debet: . ' .

Si s designat, quot numeri dentur ad in primi Rimul ipso m minores. i. e. axifαπφm lari. 3bi: exponera i insimae pol futis numeri duri a ad m primi, quae eundum modulum in unitati est construa; vel erit in vel re a motu huius numeri. Demonstratio proii. art. 4s otiam pro h cum valere potest, si modo ubique loco ipsius p. m. loco ipsius p-l, L. et loco numerorum 1.2, 3, . . . . P- l. nu meri ad m primi simulquo ipso' m minores substituantur. Huc itaque lector mahlogamus. Coturum d monstrationes reliquao do quibus illic locuti siunus nrit. 50. 5i, non sitis multis ambagibus ad liunc casum ni plicari Possunt. - At T spectu Pr Imiationum sequentium, rart. 52 sqq. magnα differentia incipit tutor ni dulos . qui numerorum Primorum sunt potestates, eosque, qui per Plures numeros primos dividi possunt. Seorsim itaque modulos prioris genoris qomtempla

Si modulus m p , designante p numerum primum. erit in il

art. 38 . Iam si disquisitiones an arti. 53. 54 contentae ad hunc casum appli untur. mutatis mutandis uti in art. Praec. Praescripsimus, invenietur, omnia quae ibi demonstrata sunt Ptiam pro hoc casu locum habere. si modo ante Probatum ossol. Congruentinm formas m -- l - 0 in . 1g'ὶ Plures quam i radicos diversas habere non poSSe. Pro modulo Pesmo hane veritatem eri propositione genoratiori nit. l l deduximus. quae autoni in omni sua orionsione de modulis primis tantummodo valet. neque udeo ad huno casum applicanda. Attamen propositionem pro hoc Casu Particulari veram esse per methodum singularem demon Atrahimus. infra foet. VIII 'idum sucilius invenire docobimus .

73쪽

met intur. Tum C ruentia . t secundum modulum p hubobit k radicos diversas, quibus per A. D. C otc. designatis. radiri quaecunque Au8dem congruonti hocundum modulum 13'. congratu osse dei t socundum modulum p .alicuiuum orum A, B, C etc. Iam demonstrabimus. congruentiam ar/-l m .p' lin re ν rudicos ipsi A. totidem ipsi L etc. congruaκ secundum ni testini P. Quo facto omnium rudicum numerus orit kρ' sive e uti diximus. Illum demonstration in ita adornabimus. ut primo Ostendamus. si vir, fuerit radix illsi Asecundum modulum p congrun. Otiam radices: secundo, num mn ipsi . 1 Secundum moduliun p congruos alios quam qui in sorina α--hp sint comprehensi denotanto I int grum queIucunque rudicos Psso non posse: unde manifesto μ' radicos diversae ha buntur. Di non plures: atque ii vi etiam de radicibus. quae singulis L. Core. sunt congruact. l cum ha bit: tertio docebimus. quomodo senilior radix iPsi A secundum P COngrua, iuveniri Possit. I REOREM. Si vii in art. Praec. t rat numerus per ρ',' neque vreo per pri' ἐ-

Theorematis pars posterior locum non habet. quundo p - 2 Simulque i. Immonstratio huius theorematis ox evolutivno potestatis binomii peti posset si Ostenderetur Omnes termin. post set utidum Por pi divisibilos esse. Sed quoniam consid tutio deuominatorum coefficientium in stliquot umhagos deducit. motbodum sequontem praeserimus.

- - . . . ' . . r

74쪽

Superest casus ubi iam s. 'Per mothodum Dromus Similem ei qua in art. praee. imi sumus. Sine udiumento theorematis binonitalis cunnonstrari potest esse

unde aggregatum erit quia partium multitudo int

75쪽

nibus casibus o cepicro' ubi pse 2 do quo iam in uri. Praec. monuimus. In r liquis nutem casibus orit - α hp 0 mod.p . adcoquo Ptiam illud amr gatum ta mod ut in nrt. praee. In reliquis domonstratio hic eodem

modo procedit ut i illa. . . . . - Colligimus igitur generaliter uvi o Dariu p 2 EXCUPis,.C SE

et ia-khin non vi α Pro quovis modulo qui sit altior potestas i Psi ρ, quam ha c pμ' quoties quidem fi lior p tion Ost divisibilis, atque ρ' potestas suprOmnipsius quae nymorum t dividit. Rinc protinuη derivantur Propositiones t. et quas uri. h. dumo trand nobis Proposueramus: scilicet .

secundo si num rus aliquis α' ipsi A adcoque etiam ipsi a secundum modulum P c0umius, neque vum huic incundum modulum E congruentlao X - lt Od p Sntissu ret Imitamus α esse μαε M. 'ita ut i ii π p non. sit divisibilis. eritque - v. tunc autem α--υ secundum . modulum P 'et ipsi α congruus erit, non autem secundum modulum P . quae Est qtior Polusim, qui re radix congruontino ESSE Equit.

Tertium, vero fuit radicem utiquam Dongruontine imod. p j. ipsi Acongruam. iuvenire. Ostendemus Iud inti trunmodo quomodo hoc fiori possit. si inin radix eiusdem Congruenti ac secundum modulum γ' ' innotuerit: manifesto hoc sum it . quum n modulo p pro quo i est mdi X. nd modulum P . sit quo ii inccps ad Omnos Potestates consecutivas Pro odi possimus. Esto itaque α radix congruentino P modis quacriturque radix Diusdem congruentiae secundum modulum γ'. Ponatur ham α -hp . quam formam cum hul ru deboro Ox art. praec. Sequitur casum ubi v - n-l

76쪽

MODUM QUI SUNT POTERTATES INNAlli I. 69Postea seorsim considerabimus: maior vero quam n-. l. v esse nequit . Debet itaquo esse ' . . .

' . . . . Omnia quiue nrt. 17 Nq. adiumento theorematis. Congruuntiam Plures quam e radiceβ diversae non habere eruimus, etiam pro modulo qui mi nu- muri primi potestas locum habent, oi si radices primitivae vocantur numeri. qui ad exponunt in U p- lj pertinent, sive in quorum periodis omnes numeri per ρ non divisibilos inveniuntur, etiam hic radices primitivas exstabunt. Omnia nutum quae supra de indicibus eorumque usu tradidimus. II nou de solutione mu-gruontino l. ad Lunc quoque casum applicui Possunt. Quae quum nulli difficultati Osnoxia sint omnia ex lutegro repetere superfluum foret. Praeterea radices congruuntino a in 1 3μoundum modulum p s rudicibus oti dem Congru-.ontiue secundum p cle lucoro Vocuimus. . Sed do eo insu ubi potestiis aliqua numeri 2 est modita . quin supra exceptus ibit, aliquia adhuc Runt adiici 'nda.

. . .

. Si pol tus aliqua numeri 2. 0ltior quam secunda, puta 2' pro modulo accipitur. numeri cuiust is imparis potestias mPonentia 2' '. unitati est commo.

77쪽

Hinc Putot o a sensu quo supra Oxpressi ona accepimus, radices primitiras hic non dari. nullos scili tot numPros. quorum Pori Odiis Omnus uum ros modulo

mitior 'κ ad ipsum tuo primωs amplo latur. Attiimon facile purspicitur. unalogon hic haberi. Invenitur enim, numeri formae Νk-- 3 Potos utem exta mentis im-

habundi. U modo tabula nostra I intelligori in . ubi pro modulis l6. 32 ot 64

78쪽

' MODULI E PLURIBUs PRIMIR COMPOSITI.

numque pro modulo , nulla tabula nocessaria Prit Semper numerum 1 pro h inccepimus. Ec yr. numero is qui est formae Sri H- 3 udeoque noeutire sum udus. respondet pro modulo 64 iudex T. id quod significat osse 5' - - , 9 mod. 64 . Numoris autem sormnrum 8n - 1, 8n -F- 5 ne live, niquo num ris sermurum,nH-3, 8n--7 Positivo acceptis. indices quasi imagiuarii tribuendi forent. Quos introducendo calculus indicum ad vigorithmum perquam simplicem reduci Potost. Sed quoniam . si haec ad omnem rigorem exponore vellemus . nimis longo Vagari oporteret, hoc negotiiuu ad nilum occaSionem Robis resemamus, quando forsan fusius quantitatum imaginarium theoriam, quae. nostro quidem iudicio u ncinitio hactenuη ud notiones clarus osv r qcta, pertractare suscipiemus. Periti hunc nig ritanium sacile ipsi cruent: qui minus sunt exercitati. perinde tumori tabula hac uti poteran b. ut ii qui moentiorum commouta de Dyarithmis imaginariis ignorunt. Iogarithmis rutuntur, si quidem principia supra stabilita probe tonuerint.

Secundum modulum o pluribus primis compositum tantum non omnia qua ud residua potestatum pertinent ox theoria congruentiarum generesi deduci lmssunt: quia vero infra congruentias quamcunque Secundum modulum e pluribus Primis compositum ud congruentias. quarum modulus. est primus aut Prinii Potestas . redue ro susius docebimus, non ost quod huic rei multum hic immoremur. Observamus tantuIu..bellissimam proprietatem. quae Pro reliquis modulis locum habeat, quod scilicet semiaer exstent numeri quorum Periodus Omnes numeros nil modulum Primos complectatuv. hic dofiecro, excepto unico easu, quando scilicet modulus est duplum numeri primi. aut potestatis numeri primi. Si onim modulus m redigitur ad sormam A in o c. designantibus A, B, C etc. numerim primos diversos, praetorea A A l) dogignatur per α. Η ' B l . per l, Elc. denique et est numerus ad m primus: erit es t mod .i mod. Id etc. Quodsi igitur μ est mininans num rorum α. 6. I etc. dividuuκ ommunis. erit ρο- F secutidum omnes modulos 'A'. etc. adeoque Ptium secundum in . cui illorum Productum est ne iuulo. At cxcopto Cusu ubi m ost duplum utimuri Primi nut potostatis muneri primi. numerorum α, 6, 7 etc. dividuus communis minimus. ip8orum Producto ost urinor quoniam num ti a. 6. Iolci inter se primi ΝΝΟ noqucunt sed corto divisorem 2 communem habent . Nullius itaque numeri

79쪽

Pori tot torminos comprehendoro Potest. quot dantur numori 1id modulum pri- mi ipsoque minores, quia horum numerus Producto CX α. 6, 7 Utc. Pst a qualis. I in ea. yr. Pro m 100l cuiusvis numeri ad in primi potestas exponoviis 60 unitati ost congrua, quia 60 est dividuus communis numDrorum 6.10 12. - a

sus autem ubi modulus est duplum numeri primi aut duplum potestatis numeri primi illi ubi est primus aut primi potestas prorsus est similis.

Scriptorum in quibus alii geometrao de argumento in fine sectione Pertractato murunt, iam passim mentio est sacta. Eos tamen qui quaedam sustus. quam nobis brevitas liermisit, explicata desiderant. abi minus imprimis ad sequentes istEuleri commentationes, ob Porspicuitatem qua vir summus prae omnibus semper

X lluit. maximo commondabiles. . . is Theoremata circa residua eae dirisione potestatum relicta Comm. nor. Petr. Τ. VIIp. 49 Sqq. Demonstrationes circa residua eae dirisione potestarum per numeros prim s r vltantia.

Ibid. T. XVIII p. 85 sqq. Adiungi his possunt inus torvm analyt. T. I. disserit. 5 Pt S.

80쪽

SECTIO QUARTA

CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.

3.... m-1. Plur; guum sinH-l quando m est par. Sive plurra quam i m -- l. quiando m est impar quuaerato construi sieri non possunt. . 'Dem Quoniam numerorum congruorum quadrata sunt congrua: qui is . numerus, qui ulli quadrato congruus fieri potest, etiam quadrato ali Rii cuius radix ςm congruus erit. Sufficit itaque residua minima quadratorum U. l. 4. 9.... m- lj considerare. At sucile permicitur, esse m-1 3 1. m 2 - 2 . - δὶ - 3 etc. Hinc etiam, quando m est par. quadratorum t m - 1 3 et shm 1 3. ὲm- 2 ot lm--2 etc. residua minima cadem erunt: quando Voro m ea impar, quadratu