장음표시 사용
121쪽
marum Priorum Continentur adeoque etiam .B. Quare quivis numerua impar informa non-diviRorum contentus. erit non- divisor sorma A. . Sedihoe in-rema convertere non licet: num si B est non- divisor compositus impar form-.- - A.. inter factiores primos ipsius B aliqui non divisores serunt, quorum multitudo si est par. Bi Dibilominus in aliqua forma divisorum reportetur. V. art. 99.. G. IIoc modo pro A- - il larium divisorum ipsius --μ1.1 inveniuntur hMr 1 1 -l: l. 3; 4. 5. 9; sormae noninivisorum autem Erunt 1 1. ἡ H- 2. 6. 7, 8,lii. Erit itaque li non-res Uuutu omnium numerorum impurium, qui in utiqua P steriorum formarum continentur. . residuum autem omnium .Primorum ad aliquam
priorum Pertinentium. . . . . .
Similes formae dantur pro divisoribdis atque uouinivisoribus 1βηius . .- a quemcunque numerum nosignet A. Sed sacile perspicitur, eos ipsius A 'valores tantummodo considerari Ἐπιris , qui pex nullum quadratnm sint divisibiles; Ρatot enim si fuerit A PAE. omnes divisores lpsius .nr-A etiam soro divisores ipsius aer - α similiterque non- dirisores. - Distinguemus autem tres casus. ) quando A est sormae - - 4n H-lὶ vel. - 4n - l . 2 quando a ost formae - 43ε -- ) vel - - 4n - l . a) quando A est Pur .sive forma 4n-μα . .
Casus primus. quando A est serm- - - 4n-Fiὶ vel - In - l . Rosolvatur. A in sactores suos Prim , tribunturque iis . qui unι formae 4n H- Siguum positivum. iis vero qui sunt formae 4n- 1 riguum n utivum sunde fiet productum ex ipsis in A). . Sint hi factores a. b. e. d ore. Distribuuntur omnes numeri ipso A minores et ad A primi in duovi ci aes . ot . quidem in primam classem O ES numeri qui suut nullius ex numeris a. h. c. ιι etc. non- residua. .ut duorum, intquatuor aut gouoru ter multitudinis paris; in secundum vEm ii. qui sunt non-wSidua unius 8x uuineriου a. b. ς etc. aut trium etc. aut generaliter multitudinis imparis. Designontur Prior a Per ri r H etc. Ponteriores per n. Κ' etc. 1 um sormae Ak--r. . Ak - ' Din. erunt sorium divisorum ipsius XX - A. sormae vero AB, Ak-n' etc. erunt formae, noninivisorum iP u8 A b. e. numeruS quicunque primus. praeser 2- erit divisor aus -n-divisor ipsius XX - A. prout in aliqua formarum priorum aut posseriorum continetur . Si enim p Est num
122쪽
rus primus Positi Vuru atquo alicuius Ox numeris a. b. e etc. roriduum vel non-resi duum . hic ipso numerus ipηiux p r iduum v l non- residuum .erit tineor. svnd.ὶ. Quare si inter numeros a. b. e etc. sunt m , quorum non- Siduum est p. totidemorunt non-residua ipsius p. adcuque si ρ in aliqua serinarum priorum continetur, Erit in par Et Atip. si vero in aliqua ii interiorum. erit m 4mpat utque A . m. Sit A - - , 35 ---3M 5κ- T. Tum .numeri 'ri ,r' etc. erunt
et utraque sorios Pontinuanda donec abrumpatur. Dabuntur asilicet i numeri qui sunt residua omnium a, b, e Pio.. qui sunt non- residua duorum: est. Sed drmonstrationem hanc fusius exi licium brevitas non permittit . t triusque nutem seriei summa j eu - Selli t prior prodit ex hac
iungeudo terminum secundum et tertium. .quartum et quintum est.. P terior vero ex cadem uingendo terminum Ρrimtun atque secundum, tertium et quartum etc. Dabuntur itaque tot formae divisorum iliatus .υ - A. quot. tantur fortune non
123쪽
Q ut neuter: non-r aeuum Rutem omnium. quorum non esiduunI alto ter tantum num rorum α. Q. Hinc λrmae divisorum ac non- divisorum ipsiusa -- A saMilo derivantur. Si α - -- l . distri huantur omnΘs mimori ipso 4.1minores ad ipsumque linimi in duas classos. in priorem ii, qui sunt in aliqua serma divisorum ipsius ae x - Q simulquo in fornia 4n- - l .. iique . qui sunt m aliqua forma non ivisorum ipsius XX G simulque in k u 4 n-3: in νωι inrem reliqui. , Sint Priores r. r. H et '. Posinriores ν κ', δι' etc. . . eritque A r iduum omnium numerorum primorum in reliqua sormarum 4 Ak r; 4 Ak mr . 4 4 ώ- - utc. contetitorum . non- residuum autem Omnium primorum in aliqua formisum. 4 Ak- n. etc. Contentorum. - Si α-- 2, distribuantur omnes numeri ipso S Q minores ad ipsum ille primi in duas classes. in primam ii. qui continentur in aliqua forma divis uni ip us a X-Q simulque ni aliqua
murum , n - - l, Sn-HI.' pro signo SuPoriori . vel Ermarum S n H- l. 6 νε--3' pro inseriori . . iique qui contenti suut iii aliqua se a nol ivi Korum ipsiuR X.r- Q simulque in aliqua harum S n 3. S n ε b, pro uiano MuImriori. Vel harum 8 nH-5.8 n -- 7 pro ius ori. - in s eundum reliqui.' Tum designaeti R. numeris classis prioris Per r. r. H etc.. 'numerisque cla sis posterioris Per eu:ic - 2 Qerit residuum omnium num rorum primorum 4n aliqua inmarum . Nuk - - r. 8Qk--r ore: contentorum. Omnium autEm primorum in aliqua serm rum- ΝQk--n'. 8 QE n etc. DOD-ressidu mi 4 Ceterum iacile demonstrari potest. etiam hic totidem serrum divisorum. ipsius.. xx- A clatum iri Rc non- divisorum. Eaeo Hoc mouo invouitur q-ι v. esse residi uim omnium, numerorum m- morum in uti tua Gmarum 4uk- - . d. s. la. 27. 34. 37. 39 Contentorum . non- residuum vero omnium primorum . qui sub aliqua formarum I. l l. 17. 19.
124쪽
Formno .litur Plures lin ut Dropri intcs satis momorribiles quarum tamen uniam tantummodo apponimuR. Si Is est numerus comi situs ad A primus. ii tor cuius lacinres Prim currunt 2 m. qui in aliqua forma non-divisorum ipsius Xa-A , continentur, B in nliqua forma divisorum ipsius aeae A eontentus erit: si vero multitudo iactorum primorum ipsius B in Mima forma non divis rum ipsiuκ am A contuniorum impar est. B quoque in formii nonini visorum coutentus' eris. Demonstratiouem quas .non est clisti ilis omittimus. Hinc vero sequitur, non modo 9uemvis nummum Primnm RM. etiam quemvis componitum imi uirem vi A primum . qui in aliqua forma non ivisorum contineaturi non-divisorem fore: nec Asario enita, aliquis sector primux talis numeri debet esse non-
. . ' ' i51. O . in . Theorema sun mentale. qliod sane inter elegantissima in hoc genere est reserendum. iu cadum forma simplici, in qna supra Propositum t. a nemine hucusque suit. 9matum. Quod eo magis oAt mirandum. quum aliae . quaedam ροπω tiones illi suyerstruonda . in quibus ad illud facile reveniri lvituisset. ili. Eulero iam ilinotuerint. Formas Certas duri, in quibus omnes divisores primi nurnororum lamino ina-A contineantur, aliMque in quibus Omnes nonini visorus priIni uu- mororum eiu8tam formae sint comprotiensi, ita ut his illas excludunt, noverat methoduinque illas formus inveniendi eruerat: sed omnes ipsius conatus. ad demonstrationem pervenieudi sonu,er irriti fuerant, Veritatiquo illi pser induction in inventae maiorem tantummodo. verisimilitudinem conciliaverunt. In aliqua qui dona tractatiODE, Novae dem instrationesς circo vivisorea flumerorum formas aeae'- nyy . quae hii Acad. Ι'etrop. recitata est 1775 Nove 20. .Et post mortem viri summi in T. I. Nov. Aet. huius . c. p. 47 sqq. e4t COnwrvain. voti in Comi tona credidisse videtur: sod hic error irrepsit. scilicol p. 65 tacite supposuit. sermus tales divis rum Di noninivisoruiu instare undu non difficile erat quiaM esso debeant derivare: methoduη Rutem quα usus mi in comprobutionem illius suptiositionis tinnit
125쪽
idonca videtur. In alio schpdias ninte. De criteriis aequationis faexH-yyy .haz utrumque resolutionem admittat necne. Upnw. Anal. T. I. ubi Ly. 4 sunt dati. X, y. a indeterminati l ivir inductionem invenit, si aequatio pro aliquo valore ipsius h - a solubilis sit, eandem pro quovis alio valum ipsi a s cun dum min. 4o congruo . si quidem sit num rus Primus, solubilem fore. Px qua propositione surpositio de qua diximus haud difficile demonstrari potest. Sed otiam huius the rematis demonstretio omnes ipsi uti labores vlusit 'l. quod non est mirandum . quia nostro 4ndicio a insor math fundamentali erat proficiscendum. Cetorum Veritas huiuη Propositionis ox iiη quas in Ne t. sequenti doc bimus Aponio demunabit. Post Euleriim. clur. lAr Gendo eidem Argumento oporum navavit. iii egregis. traei. Re hercleN d analyse indi termis e. Ilio. I'Ac.' dos M. t 761 p. 465 sqq. . ubi Pervenit ad theorema. quod si rem ipsam spectas cum th fund. idem est, scili et designantibus p. g duos numuros Primos I Sitivos, soro residua absolute minimu
potestatum p. ' , g , sec. In Od. q. p resp. aut umbo ε 1, aut ambo - l. quando aut p aut q sit sermae 4 nΗ- iquaudo vero tum p tum q sit formae 4n--3 niterum res. min. fore -- l. altornm - . P 516 quo see. .nrt. 06 derivatur, relationem sin Rignis stat. 14 6 ncceptam l ipsius p ad q ipsiusque q rid ν eundem sso. quando aut p aut q Sit krmne' δη- - 1. -ον itam, quando tum ptum q sit formae 1 nH- 3. Propos. hinc inter PropP. nrt. lal est contenta. s qui tur etiam ex l. 3. 9, nrt. 133; vicissim autem ilicor. svnd. ex ipsa derivarit,otest. Clar. IAE Gendro Otiain domonstrationem tentavit. do qua quum perquainingeniosa sit tu Seci. seq. susius loquemur' N quoniam in ca Plura sine domonstrations supposuit uti ipse sutetur P. 52s. Nous Brons sup e X et inmerit Ptc. . quae Imrtim a nemine hucusque sinit . demonstrata. Pretini nostro quidem iudicio siue theor. fund. ip O domonΝt fari nequeunt e via qim in ingressus est. lno scopum d duceret Dori Posv videtur, nostru o demonstratio Pro Primn erit lini, nda. ceterum inha duas alias demonstrationes ciusdom gravissimi theorematis trademus. a praes. et intor so toto coelo divrrsan. ' :
I:ti Ipse fatetur, l. e. p. 2 si .. Huius el/gantis imi stetirematia demonstratio adhue deridoratus. Dat. quam a pluribuη ia Hudum frustra eat iuvemigata. . Quoein plurimum ia prae titiis. Dis endua erit, eui suo. ees,urit demotiatrationem huius theorematis invenire. ' - Quanto ardore vir mmortalia demon trationam hinius theorematis estomun ine, quae t tummodo e us apociatus talor. sundam. sunt. de id ravori . Edero licet ex multi, aliis loeia Opisaee. Anall. cons. Auditam. n iam vid diaa. VIII.. . I. δι utra. XIII. T. II. pluresque di . in Commeist. Petrop. . iam pa-im laudatae.
126쪽
Hactenus congruentiam Puram XX A mod. m tractavimus, ipsiusque rinsolubilitatem dignoscere docuimus. Radicum ipsarum investigatio por art. 105 ad iam casum est reducta, ubi m Est aut Primus aut Primi Potest . posterior vero Per uri. IBJ ad eum, ubi m est primus. Ilao hoc autem casu ea quae in art. Glsqq. tradidimus una cum iis quac in Secti. V ct VIII docebimus, Omnia sere complectuntur quae per methodos diro tas erui Possunt. Shil hae ubi sunt applicabiles plerumque infinities prolixiores sunt quam indirectae quas in Sect. VI docebimus, adeoque non tam propter utilitatem suam in Pruxi 'quam propter pulcritudin m memorabiles. - nymen e secundi s dus non purae ad Pi η facile reduci possunt. Proposita congruentia
unde Omues vallar ipsius 2 a.e-bib minores quam 4am si qui dantur inveniri P Sunt. Quibust per r. r eis. dus unus. Omnes Solutiones cons. Prop. deducentur ex solutionibus congruentiarum 2 a X - r-b. 2a, H-b etc. irrod. lamiquas in Met. ΙΙ iuvetare docuimus. Cetorum Obsorvumus. Solutionem plerumque Per varia artificia contrahi OOsse ea. yr. loco congr. Prop. Hiam inVeniri posse
127쪽
. In hac sectione imprimis do functionibust duarum indeterminatarum . My. huius formaeaa .r- - 2biry- - y ubi a. b. e sunt integri dati, tractabimus. quas fremali secundi gradus sive iam'liciter form- dicemus. IIuic disquisitioni superstrue lux solutio problematiis samori. inVeuiro omnes solutiones aequationis cuiuscunquΘ indeterminatae secundi gradus duas incOguitas implicantis . sive tritu incognitae intores integros sive rationales tantum nancisci. deboant. Problema hoc quidem iam ab iIl. I a Grango in omni generalitate est solutum. multaque insuper ad nnturum formarum Pertin nitu tum ab hoc ipso magno geometra tum ab ili. Mulem Partim primum inwnta . . Pnrtim. a Fermatio olim inventa. demoustrationibus munita. Sost nobis acriter formarum perquisitioni insistentibus tam multa nova se obtulerunt. ut totum argumeu tum ah integro resumere operno pretium dux rimns, m magis. quod Virorum illorum inventa, multis locis spursu. Imueis inuoluisse experti sumus: liorro quod moth dus per quam haec tractabimus nobis ad maximum partem est propria: tandem
128쪽
quod nostra sine nova issorum expositione ne intelligi quidem Possent. Nullum vero dubium nobis osse vidctur, quin multa eaque ogregia in lioc genero adhuc lateant. in quibus alii vires suas exercere possint. Ceterum quae ad veritatum insignium historiam pertinent, loco suo semper trademus. Formum axae Η:2b - cyy. quando de indutorminatis x. y non agitur.
ita designabimus. 9, b, . Hnec itaquo expressio denotabit indefinito summam trium partium, producti numori dati a in quadrutum indeterminatae cuiuscunque: producti duplicati numeri b in hunc indeterminatam in aliam indeterminatam: producti num ri e in quadrntum huius secundae indoterminatae. M. yr. l. 0 2 exprimet summam quadrati et qundrnti duplicati. Ceterum, quamvis sermac M. b, det e, b, ain idem designent, si ad 1Mιrtes ipsas tantum respicimus. tamen different si insuper ad partium ordinem attendimus: quare sedulo cris in Posterum distinguemus: quid vero iude lucremur in sequentibns sufficientor patebit.
154. Numerum aliquem datum per sexmam datam repraesenturi dicemus. Si sormae indutorminatis tales valores integri tribuuntur. ut ipsius valor numero dato fiat acqualis. Hic habebimus sequens ΤΗΕOREM. Si numerus M ita per formam se, b, et repraesentari poteSt. ut in- determinaturum ruiores, per quos hoc eficitur, inter se sint primi: erit bb-ae residuum quadraticum numeri M. Dem. Sint valores indeterminatarum m. n, Scilicet amm--2bmn-Fenn se Macci Plauturque numeri μ. v ita ut 8it μm - vn - l art. 40 . Tum Per evolutionem iacile probatur esso
129쪽
i. e. bb - ac residuum quadraticum ipsius M. Numerum bb - ae, a cuius indolo proprietates sormno a. b. e) imprimis pendere in sequentibus docebimus, determinantem huius lamae vocabimus.
130쪽
2 valor autem sormulae ex sic Μ' prodiens superabit olorem eX ιι, v prodeuntem quantitate smv- μέ)M. qua fit Mi) U-vὶ - ο - v. sive valor ille
Si duae repraesentationes eiusdem numeri M Per eandem formam p. b, Hhabentur. in quibus indutorminatae valores inter se primos habent: hae vel ad eundem valorem expr. Vbb- ad mod. μὶ pertinere possunt vel ad diversos. Sit
Patetquc si lacrit I mb- - nc -vsma ρ ni, - is m b -- n' et . m'an' η mod. v congruentiam semper manere. quicunque alii valores idonei pro μ. v; 1ί. ψaccipiantur, in quo casu utramque repraesentationem ad eundem Valorem EXPr.b b - ae mod. IIJ pertinere dicemus: si vero congruentia pro ullis valoribus ipsorum v; ψ.ς locum non habet.. Pro nullis locum habebit, repraesentatione que ad valores diversos portinebunt. Si vprosas bH-nd - - - μ' 'b-μέ - . 'a - - Κ b DrDPraesentationes ad Vulores oppositos expr. V bb-ud pertinere dicentur. Omnibus hisce denominationibus etiam utemur, quando de pluribus repraesentati nibus eiusdem numeri per formas diversas, sed quae cundem determinantem ii boni. Vitur. M. Sit forma proposita haec 3.7.-8ὶ cuius determinans -33. Per hanc sermum habentur repraesentationes numeri 57 hacta. I 33 - 14.13. 25 -8. 25 ; 3. 5 - .l4. 5. 9 - 8.s Pro prima poni Potest μ - 2. v - - l. undo prodit valor cxpr. VT 3 mod. 57ὶ ad quam repr. Pertinet