장음표시 사용
161쪽
haec ad formas determinantis nogativi non est restricta. sed ad omnPs Casus patet. si modo nullus numerorum a otC. - 0. 178. PaonLEMA. Propositis duabus formis F. f. eiusdem determinantis neyativi, proprie aequi lentibus: invenire transformationem aliquam propriam alterius in ab
162쪽
Ex solution hac nullo negotio sequitur solutio problematis: Si formae F. fimpromte xunt aequi lent . invenire transformationem impropriam formae F in s. Sit enim ait -- 2 btu H- auu eritque forma opposita asty - 2 bpq aqqformae F proprie nequiusticus. Quderatur transformatio propria formas F in illam, α - Η-6My. y Ip- -δq. Patetque F transire in f Positis x - αt- su. y - It- cu. hancquo transformationem sero impropriam. Quodsi igitur formae F. f tam proprio quam improprie sunt nequivalentes: inveniri poterit tam transformatio propria aliqua quam im Propria.
PROBL A. Si formae F, f Aunt aequivalentes: invenire omnes tram mationes forme F in s. . Sol. Si sermas F. y unico tantum 'modo sunt nequivalentPs i. e. proprie tantum vel improprio tantum: qua ratur per art. Praec. tranSωrmatio una sermae F in L patetque alias quam quae huic sint similes dari non posse. Si vero sormae F. f tant proprie quam improprie aequivalent . quaeruntur duae transsor mationes, altera propria. Micra impropria. Iam sit. Drma F - A, B. .C . BB - AC--D numerorumque A. 2B, C dirisor communis maximuου - m. Tum ex urt. 162 patet . in priori casu omnes transformationes sorinae F in f ex una transformation , in posteriori omnes Proprias ex Propria omnesque improprias ex impropria deduci posse. si modo omnes solutiones nequationi S it - Duu - mmhabeantur. His igitur inventis problema orit solutum. Habetur autem Din. AC-BB. 4υ - 4AC-4 . quare --Λ orit intcger. Iam sit in Aia l . erit D mm: quare in it -- Duu m m. v n ossario debebit esse sed . adeoque t alios valores quam -nt, et - m habere nequit. Hinc 20.
163쪽
si F. f unico tantum modo acqui valentes sunt et transformatio aliqua
praeter hanc ipsam quae prodit ox t - m t. l62 , ct huncae --α, -- 6ν. y - --IF-δνalino locum habere non possunt. Si vero F. y tum proprie tum improprio sequivalent . atque propria aliqua transformatio habetur
quatuor omnino transformetitiones dabuntur.
Si vero F. y duobus modis uoquivalciat. sive praeter transformationem illam datam alia ipsi dissimilis habetur: haec quoquo suppeditabit quatuor illis dis4imilos. ita ut octo transformationes habeantur. Ceterum facile demonstrari potest in hoc casu F. f soniper revera duobus modis nequivalere. Nam quum D mm -- AC BL , m etiam ipsum B metietur. Formae detorminans Erit - - 1, quare formue si . 0, l) Vel huic - l. 0. - l crit uequivalens.
164쪽
Facito vom perspicitur. per eandem transformationem. Per quam ia transeat in l. 0. ij. sormam A. D. CC transire in s m. 0, m , ancipitona. Quare forma A, B, C uncipiti uoqui valens. cuivis formito, cui nequivalet. tum Proprietum improprio nequivalebit. 3ὶ Si , --δ, sive J D - 3 mm . Tum in orit Par omnesque solutisnos
habcbuntur duodocim transformulion . Acilicet sex priori similes
165쪽
Sed quum nullum quadratum esse possit - 2 imod. 4 . hic casus locum habere nequit.
impossibile sit, etiam hic casus nequit locum habere. Ceterum quum D neque 0. neque negativus sit. alii casus Praeter enumeratos dari non Possunt.180. PROBLEMA. Invenire omnes repraesentationes numeri dati M per formamaxae - 2bay -- cyy . . . F. determinantis neyatiri - D. in quibus X, y ratores inter se primos nancis Atur. I. Ex urt. l54 patet. II eo quo requiritur modo ropraewntari non Pome.
nisi - D sit resid. quadr. ipsius M. Investigentur itaque Primo Omnes valores diversi i. e. incongrui in expr. - D sm . I . qui sint N. -M 2C - V. N - ω.; quo simplicior ovadat calculus, omnes Ny etc. ita dotorminari possunt, ut non sint M. I; im quoniam quaevis repraesentatio ad aliquem horum valorum liertinere debet, singuli RPorsim considerentur. 'Si formac F. IV N, --δ non sunt proprie aequival ontes. nulla repraB- sentatio ipsius M ad valorem N pertinens dari potest fart. 16S . Si vom sunt. investigetur transformatio Propria sorinae F in
3ὶ Si - - 3. habebuntur seae repraesentationes
166쪽
dem modo quacrendae sunt repraesentationes ad valores - N. N , - N etc. pertinentes. 18 l.
Investigatio repraesentationum numeri M per formam F. in quibus X. y valores inter se non primos habent. ad casum iam consideratum facile reduci Potest. Fiat talis repraesentatio ponendo a sie. y - 1 f ita ut 11 Sit diu. comm. mo. ipsorum 1a e, sive e. f inter se primi. Tum erit M si 1 Aee- adeoque per μμ divisibilis; substitutio vero x e. y-s erit repraesentatio numeri per sermum F. in qua ar. y valores intor se primos habent. Si it quo M per nullum quadratum praetcr 1ὶ divisibilis est. e. s. si est numeruR Primus: tales repraesentationes ipsius M non dabuntur. Si vero M divisores quadraticos implicat . sint hi μμ. vv. mi, etc. Quaerantur Primo omnes TOPTu Sentationes numeri per formam A. B. C), in quibus ae. y valores inter se Primos habent, qui Valores si per μ multiplicantur, pracbebunt omnes rePraesentntiones ipsius M. in quibus div. comm. min. numerorum X. y est 1 . Simili modo omnes repraesentationes ipsiys in quibus valores ipsorum αν inter 8eprimi sunt. Praebebunt omnos repracsentationes ipsius M, in quibus div. comm .maX. Valorum ipsorum X, y c8t vete. Palam igitur est, per praecepta praecedontia omnos repraeSontutiones numeri dati per formam datam determinantis negativi inveniri posse.
182. Descendimus ad quosdam casus particulares. tum Propter insignem ipsorum elegantiam tum propter siduam operam ab ili. Eulero ipsis impensam. unde classicam quasi dignitatem sunt nacti. I. Per sormam ita repraesentari ut x ad y sit primus sive in
167쪽
. I, E FORMIA RECIINDI GRADUS.
duo quadruta intor so prima discorpi in nullus numerus potost nisi cuius residuum quadrati CuIn ust - l. tales Voro numori. Positive aco Pti. Omnes poterunt. Sit M talis numerus. omnesque valores ex pr. V-l mod. II hi: NX'. - Ν', M. - otc. Tum por uri. t 7 osorma M. Drmno l. 0.l in proprie aequivalens erit. Sit transformatio aliqua propria huius in illam. .i a F ε 6s '. y - I.r cff. ortuitque repra entat ius numeri M peri formam aea -νy ndΝ liertinentes hac quatuor ): in Φα. ν in I: x in I. ν - - α. 4uum forma i. 0. lj sit unc ops. putot, otiam formam M. -ν ' ' ipsi Proprie nequivalentum soro Lissumque proprio in hanc transmutari positis x - α ἡ- ny. y - - Ia in o. Hinc derivantur quatuor repraesentationes ipsius M ad -N Portinentus. X la. y I: X I. y - - α. Manifestum itaque est. Octo rePraesentationes ipsius II duri, quarum semissis altera ud N. altera nil N Pertineat: sed hae omnes unicam tantummodo discerptionem numeri II in duo quadrata exhiboni. M - Πα II. siquidem ad quadrata ipsa tantum . noque Vero ad ordinem rudi Cuniv signa Spectamus. Quodsi itaque alii valores expr. V-l mod. IV praeter N et N non cluntur. quod e. s. uvenit, quaudo M est numerus primus. M unico tantum modo in duo quadruta inter se prima resolvi potorit Iam quum - l sit rosiduum quadraticum cuiusvis numeri primi formae 4n-l art. 10SJ, manifestoque numerus primus in duo quadrata inter se .non Prima discorpi nequont. hi bemus theorema: Quivis numerus primus formae 4 n in I in duo quadrata decomponi potest. et
primo demonstratum est. Comm. nov. Petr. T. V. ad annos 1754. lTbb. p. 3 sqq. In T. IV. diss. Exstat ud idem argum utum portinens. p. 3 sqq. Sed tum rumpenitus nondum absolverat, vid. imprimis uri. 27.
168쪽
Si igitur numerus aliquis formitu in -l- aut pluribus modis aut nullo modo in duo quadrata resolvi polost, certo noti erit Primu'. Vice versa autem, si Apr. V - i mod. M; Practer N et - Ν alicis adhuc valores habet . aliae adhuc repraesentationes iliniuq M dabuntur. ad hos Porti neu-
los. In hoc itaque casu M pluribus modis in duo quadrata resolvi Poterit e. q. 65-l-64 et 5 - 49. 221 - 25 - 196 - tuu in i 2 l. Reprnesentationes reliquae . in quibus x. y valores obtinent non Primos inter se. per mothodum nustrant generalem facile inveniri possunt. Observamus tantummodo . si numerus aliquis factores serinas 4n ε 3 involucris Ρor nullum divisionem Fr quadrat uiu ab his liborari possit squod fiet. si alliquis nut plureuintium sectorum ilimen ionem imparem habet . hunc nullo modo in duo quadratarcsolvi posse I.
II. Per serInam xx - - 2yy nulluη numerus. cuius non-residuum - 2. itaropraesentar, Potest, ut X ad y sit Primus. reliqui omnes poterunt. Sit - 2 residuum numeri M. atque N valor nil quis ex pr. V - 2 min. ID. Tum Per Rrt. l76 formae si . 0. 2 . M. N. - Ρmi r nequivalentes erunt. Transeat illa proprie in hanc ponendo x - α .H 'ν . y I λ in cy'. eritque X - α. y I rUPIRUSeu tatio numeri II ad AI pertinens. Praeter quam et hunC X --α. y - Ireliae ad N non pertinebunt art. 180 . Simili modo. uι supra. PersΡicitur. rvmesentationes X εα, y - - Iad valorem -ῖς pertinore. Omnes vero hau quatuor repraesentutiones unicam tantum discerptionem ipsius M in quadratum et quadratum duplex exhibent. et si praeter N et - N alii valores ex pr. V - 2 mod Mὶ non dantur. ullaecliscerptiones non dabuntur. Hinc adiumento Ρmp s. art. 116 sucide deducitur
ὶ Si numera M m i Sa s. ita ut a. l. e ete. in numeri primi inaequales formae 4. i. atque S procluetum lx Omnihus laetotibus primis ipsius M sormas an in I sad quam sormam quivis numerus positivus reduri Poteat, laetendo μα o quando M est impar. et Si i quando M nullos saetores formae 4n a impli. est)i M nuus modo in duo quadrata resolvi poterit, si E si non - quadratus: si vero A est quadratus, dabuntur 4 α - 4 3 - 13 eta. diseerptioni R ipsius M. quando aliquiu numerorum ε. T etc. est impar. aut Φ i)- ὲ . quando omnes u. t. r eis. sunt par siquidem aut quadrata ipsa tantum reΑpicitur . Qui in ealeulo eombinationum aliquantum sutit xer ait, demonat rationem huius theorematis seui. perinde ut aliis piar istiti in morari nobis non lieotl ex theoria nostra generali haud difficultor eruere pote
169쪽
Quiris numerus primus formor i vel 8n Fa in quadratum et quadratum duplei Geompo si potest et quidem uni tiantum mod . .
Etiam hoc thoorema. uti plura similia, Ferinutio innotuit: sed ili. I .a irange primus demonstrationem dedit, Sui e des reehereses c immerique. NOuv. 1 m. de rAe. de Berlin 1775. p. 323 sqq. Multa ad idem argumentum pertinentia iani ill . Eulor absolverat. Specimen de usu observationum in malaesi Hra Comm. nov. Pere. T. VI p. lS 5 sqq. Nod demonstratio completa theorematis seni per ipsi industriam elusit. P. 220. Cons. , etiam diss. in T. VIII ad anu 1760. 1761 . Supplementum quorundum theorematum arithmeticorum. sub fin. ILI. Per methodum 8imilem demonstratur, quemvis numsrum, Cuius reSiduum quadr. Sit -3, repraesentari PD-o aut Per formam XX in 'isy, Rut per hanc 2 aer 2as- 2yy. ita ut .valor iΡsiua X ad valorem ipsius y sit primuri. Quare quum - a sit residuum Omnium numerorum primorum formao 3 n ε l art. ll9ὶ ninnisustoque per sermum 2 AX ε 2 ν - 233 numeri pares Lantum repraesentari POSSint: eodem modo ut supra habetur theorema: tria numerus primus formae 3n ε l in quadratum et quadratum rei ea d eomponi potest. et quidem unim erantum modo. . ' .
Demonstrationem .huiug thooromati ill. Eular primus tradidit in commentationis modo laudata . Comm. nov. Petr. T. VIII. p. l05 8qq.
Simili modo ultori s progredi et e. s. ostendere POSSCmus, quemviη uumErum
Primum sormae 20n I. vel 20n-3. vel 20n- 7. vel 20η- s quippe qu6rum residuum -οὶ per alterutram formam aeae in byy. 2 aeae ε 2 υ - . yy Prnowntari poSse. et quidum numeros Primos lamav 20n - 1 et 20nε s per priorum. Primos sormae a. nin 3, 20n in 7 Per posteriorem . nec non dupla primorum sormae 26n l. 20n in s per formam 2 aaψ2ay ε 3ys, dupla Primorum formae 20n ε 3, 20nε7 per formam aeta--5sy: sed hanc propositi nem infinitasque ultra particulares quivis Proprio inarte ex praecedentibus et infra
170쪽
tradendis rivare Potorii. et quum harum indoles promi quando non uadratus: sormasenquo seorKim considΘrubimus.
itaque in I formas determinantis stoxitio . piando determinans est quadratus. Hi .utis quadrati sic primo exoludimu pos,
PMB M. Proposita forma quacunque sa. b, s l. cuius determinans positivusn . quadratus D: invenire formiam huic pro ris ae νιixalentem. A. B. O . in qua B su positi us et Q x D: A vero si est positivus, vet. - Α, si A rivativus. interVυ - - B et VD - B situs. Sol: Supponimus in forma proposita utrumque Conditionem nondum locum habere: alioquin enim alium formam quaerere opus non esset. Porro Obse amus. in soritia detorminantis non . quadriati terminum primum vel ultimum se o osso non Ρ se iuri. 17 1 λnn. Sit ν - - bimod. αὶ atque intra limites vD et xlD a situs laccepto signo a priori quan a sitivus. itiseriori quando est uomit-vuκὶ quod fieri possου simili ratione ut ait. 3. facile demonΝtratur, Donaturque a . qui erit integer. quia νΓ-D-bb-D ar 0 mod .a . Iam si
opinatio continuetur: donec in progressi Q ά. a , a'. a' etc. ad tormitium Perveniatur. Praecellente iam non minorem. quod tandem invenire de l. quia alioquin imgrossio infinita numerorum integrorum .eontinuo decrescentium haberetur. Tum Positis v A, b B. a ' - α forma lA,RCὶ omnibuo eonditionibus satisfaciet. . . 'Dem. P. Quoniam in progressione ismarum M,6. . - αἰ ν. a l. ia . U. a Jere. quamis Praecedenti est contigua: ultima M. R. Q primae μ. , .Q proprie