장음표시 사용
201쪽
orit .' . . t in f in 'similiterque de reliquis. Hinc autem. sequitur, fore generaliter
202쪽
vero una aut alto' illarum conditionum locum non habet ..dico. certe statui Posse ρ - 2λ. Nam ox aequat. lj formulisque generalibus pro' f . M' in art. Pra . deducitur
quae quantitas erit numerus intego. quia per tire. r ipsum te metitur, nec non m m ipsum 4 D. adeoqpe a potiori m ipsum. 2D. ' Porro erit My - t u .
V in - ου' inodo '. Q. E. D. . . Cuterum usus Posteriorum duarum Observationum' in sequontibuΝ apparetiit.
. Eus Imrticularis Problomati f. nempe solvere sequntionem it Duu - l. talia n geometris soculi praecodontis suit agitat . Sagacissimus Formnlius Pr blema hoc analysiis Anglis proposuit. Wani usque Brounkerum tamquam inventorum Stilutionis. quom iri.A0. Cap. 9, . OEp. T. II p. 4.l S sqq. tradit. nomiunt Ogauam Fernantiunt: denique ili. Euler. qui do illo egit in Comm.' I eir. I I p. lT b. Comm. nov. XI p. 28 I. Alyebra P. II p. 226. Opusc. An. et p. 310. Pellium. unde
'ὶ In hac minim algorintinua orti art. 2: exposuimus. μου imilia signa exhibetur, ι uod nos illic an notare negleximus. .
203쪽
problema illud a quibusdam auctoribus Pinianum vocatum. Ost . . Omnes hae Solutioncts, si essentiam Npectus, Conveniunt cum ea quam Obuti mus. Si in art. l9S. sormam reductam cum adoptamus in qua a l: attam n Olvirationem quam Prae scribunt tandem ne essurio Hoc sive probloma semper reveru solubile osse. nem Oanto ili. La irauge rigoroso demonstravit. Me ises de la Me. de Turin T. IVI .lsi et concinnius IIist. de rae. de Bertis; l767, p. 237. Exstat haec disquisitio otiam in dupplementis ad Euteri Alyebram tum saepius laudatis. Ceterum methodus nostra tox principiis Oinnitio diversis .Petit , neque ad casum ιιι - , trestrictai Plerumque Pluros vias ad Nolutionem Porveniendi suppeditat . quoniam in art. l9S a si uvi. alia serina reducta tu, b, -αὶ Proficisci Possumus.
PROBI M. Si formae sp, F sunt aeqvi valent s. omnes transformiationes alteriit
Sol. Quando formac huc unico tantum . modo aequival istos Sunt ii. e. aut Proprio tantum uut improprio tantum quaeratur lier uri. 196 lxansformatio unularinae sp ta qλ quaesit α. 6.-I, δ. patetque aliam quum quae huic sint similes. dari non Ρosse. Quando vero p. xlin tum Proprio tum in Proprio nequivaloni, quae- Tutitur duae transformationcs dissimile . s. e. Micra Propria altera impropria; Putata, 6. Ibo et α', r, si is, critquc quuovis ulla transformatio nut huic aut illi similis. Si itaque serina φ est a. b. ipsius determinuus - D. divisor communis maximus numerorum a. 2b, c uti S per in Praec. in m. atque r. v indefinixo omnosnumori aequationi it - D u u - mm . satisfacientes: in Casu Priori omnes transformhilanos formae * in b contonine erunt sub prima formularum sinuentium I. in I κ fiteriori vel sub prima I ves sub socundu ΙΙ.
' uuae Walliώuκ ad hune .finem protulit l. e. p. iar. 4rq nihil ponderis habent. I arat is nus in eo eonia tit. quod p. . et M l. t. supponit, proposita.quantitato p inveniri po e numerosi integro- ώ, a talus ut mi nox ait quam P, dosoctu vero naηι afo minor. Iloe utique vel ini At, qu-llo deseritis assia matua est quanti Ma dia a. neque vero. qunndo ab vi et a pendet adeoque variabilis est . uti in eam praesenti evenit.
204쪽
M. Desiderantur omnes transformationes formas l29. 92. 65ὶ in formam 42. 59. Si). Has improprie tantum n quivalentes se in ari Isb invonimus et inart. seq. transformationem imPropriam illius in hanc eruimus - 47. -b6. 73. ST. Quamobrem omnes trans rinutiones sorm I 29. 92, 65 in 42. 59. Si) exhibebuntur. Per formulam
ubi t. v sunt indefinite omnes numeri uequutioni t t. - 79uu in s satisfacientes:
ubi pro e omnes numeri integri non ii gatiri Runt accipiendi.
Perspicuum est. sormulam, generalem omnes transformationes exhibentem Eo Simplicis evadere, quo simplicior fuerit transformatio initialis ex qua sormula est deducta. Iam quum arbitrarium sit. a qua transirmatione Proficiscamur. Saepem, ero sermula generulis Simplicior reddi lκ test . si ex formula primo inventat transformatio simplicior deducitur tribuend9 ipsis L M valoros determin tos, ct turio ex hac Alia formula in m ponitur. ita e. q. lNSitia in s mula tu ex. art. Praec. Inventa, t- 80, u -9. Prodit tranEormatio Simplicior qumn ea a qua
profecti erumug. scilicet 29. 47. - 3T si unde deducitur.formula generali η29t- 263u, 47 t-'424M. - 3T t- 337u,.- 60ι- 543α . Quando itaque per Praecepta praecedentia i mula generalis eruta Θεr, tentari P sierit, annon. tribuendo ipsis t. v valores terminatos in t t . in α' etc. transso matio obtineatur simplicior quam ea ex qua, formula deducta suit. in quo casu ex
illa transformations sarmula simplicior derivari poterit Ceterum in diiudicanda simplicitate aliquid arbitrarii remanet, quod si operae pre tum esset ad normum fixum revocare. nee non in progressi e t'. ι , ου' etc. limites assignare Iios8emus. ultra quo' transformationes continuo minu4 simplices prodeant, ita ut ultra progredi opus noli sit scd intra illos tentamen instituisse sufficiat: attamen quum plerumquo Per methodos. a nobis praescriptas transformatio simplicissima voi Νt
205쪽
tina via adhibitis pro t. v valoribus Φ t a' prodire soleat, hanc disquisiti nem brevitatis gratia supprimimus. ι
pro seruiis determinantis uegutivi, ad eum casum reduci Posse. ubi repraesentationes per valores indoterminatatum inter se primos quaeruntur, quod igitur hic repetere superfluum foret. Ad possibilitatem reprResentationum per valores ip-SOrum X, y inter Se primos aurem requiritur. ut D sit residuum quadraticum ipsius II, et Si omnes valoros expressionis vD in . IID siancλ -N, N: --N etc. quos ita accipere licet ut nullus si ι l3IJ, quaevis reprassentatio numeri II per seritiam propositam ad aliquem horum valorum laertinebit. Ante omnia itaque valoros illi erui debebuut; tunc repra sontationes ad singulos pertinentes deinceps investigari. Eopra sentationes ad valorent N. pertinentes non dabuntur. nisi formae a. b. 6 et M. N. y auoprie aequivalentes sunb: si Vero sunt quaeratur transformatio aliqua propria prioris in Postvriorem . quae sit a. U. I. o. Tum habebitur repraesentatio numin M vor sermam a. b. H ad valorein N pertineus haec: ae - α, y - I, Omnesque .rePraeseritationes ad nunc via rem laertinentes exhibebuntur per formRlum
signante in divisorem commvnoru maximum numerorum a. 2 b, c; et i, u 'indesiuite omnes numeros ahquationi t - Duu - um Ratisfacientes /Ceterum munifestum Efit. .formulum liniic uerulem eo simpliciorem Evadere. quo simplicior sit trunsformatio te. 6. 7. o ox qua deducta ost: quare huud inutile Erit. trans
1 Ormationem simplicissimam formae a, b, c, in M. N, ' secundum uti.
206쪽
42aea ε 62.υ - 2 lyy. Quod vid repraesentatione Per vulor s ipsorum in. yinter se non Primos pertinet, statim Patet alias huius neris dari non posse. quam in quibus divisor communis maximus ipsorum X. y sit 3: quum 5S 5 per unicum quadratum 9 divisibilis sit. Quando itaque Omnes repraesentationes numeri x i. e. 55 Per formam 4 2, - - 6 2EY- - 2l yy inventae sunt. in quibus ae ad ν Primus: Omnes repraesentationes numeri 585 per sermum 42ατ-62ary- 2 lv. in quibus ae G y non primus, ex illis derivabuntur Ponendo α - 3E. y - 3y'. Valores expressionis v 79 mod. 55ὶ sunt 12. - 27. Ropra entatio numeri 65. ad valorem -i 2 Pertinens invenitur' E 2. y - - 1; quoCirca Omnes rei'm sentationes ipsius 65 - hunc valorem pertinentes exhi buntur per formulamae' - 2t-41 u. ν - - tin bau, adeoque Omnis repraesentationes ipsius 585 hine oriundae Per sermulam ae sit - 123 u. ν -- διε Ib9u. Simili modo invenitur sormula generalis Omnes repraesentationes numeri 65 ad valorem in12 pertinentes exhibens ἡμα 22t- 199 u. .s' - - 23tΦ211u; et formula omnes repraesentationes numeri 585 hinc oriundas complectens iv - 66t - 59 TN. y- - 69t 633 u. Ad valoros in27 et - 27 autem nulla ropraesentatio nu- mori 65 pertinet Ut repraesentationes muneri 685 Per Valores ipsorum X, yinter Se primos invediantur, primo valores Oxpressionis v79 min. 585ὶ eruere
uhi t. v indefinito omnQq numeroA integros denotant. qui nequationi it - 7s uu l
Applicationibus specialibus disquisitionum praccedontium de formis dot
207쪽
minantis positivi non-quadrati brevitatis gratia ilon immoramur, quippe quus simili modo ut urit. t7 6. 182 quisque. sino negotio, proprio ninrto instituere poterit. statimque ad formas determinantis ivisitivi quadrati, quae solae adhuc
. ' PROBLEM A. Proposita Dr- ν, L H dete iηantis quadrati h h. deStynante hipsius radicem positieuo, invenire formam A. D. Q illi pro is aequivalentem, in quo A iaceat inter limites 9 et 2k- 1 i l. . B sit - h. C 0. Sol. I. Quoniam fili ιλ- ae, erit sh - η:a - e: - h ε bj. Sit huic rationi aequalis ratio 6:δ. ita ut 6 ad δ sit' primus, determinenturque α. I ita ut sit αδ-67 1. quae feri poterunt. Per substitutionem α. 6. 7. δ tranSeat sorma M. b. H in M. ν, c), quae igitux illi proprie aequivalens crit. Habebitur
Omnibus conditionibus satisfaciet. ' . . . . . .
II. Si vero a' extra limitos u ot 2 Α- 1 iacet. sib A residuam minimum Positivum ipsius M' kecundum modulum 2 h. quod manifesto tuter hos limites situm erit, ponaturque ul-u' - 2kk. Tum MYma M'. ν. Hi .. e. γ', h. 0ὶ iter substitutionem l . 0. h. I transibit in sorinnm A. 4, 0 quae formis a'. V. cὶ 9. b, c) Proprie uoqui volons erit Oinnibusque conditionibus satisfaciet. Ceterum Perspicuum est, formam M. transire in formam A. 4, 0ὶ lier substitutionem α -- 6k. 6. I --δk, δ. a M. Proposita sit forma 27. 15. ουὶ cuius dotorminans s. Hic. Λ a: rutionibus - 12 : 27' . 8 : -- 18 in uulneris minimis ac ilialis est rMio 4 : -9. I sitis itaque 5 - 4, ἶ--s. α -- l. I 2. forma sa'. b . e fit - i. 3, 0 . quae transit in formam b. 3. οὶ per substituti Ouom l. 0. l. l. uuec igitur est
208쪽
forma quaestin transitque in enim proposita per substitutionem propriam 3. 4.
Talos formas A, B, C , in quibus C 0. B h. A inter limites o ct 24--l situs, somnias reductus' Vocabimus, quae igitur a sertas reductis d tormi ilantis negativi, vel positivi non-quadrati. ' probe sunt distinguendae. i 207. THEOR A. Duae fomae reductae io,. h, 0J. μ', h, 0ὶ, n- identiose proprie
Multiplicando aequationem secundam per 6. tertiam per α ot subtrahendo fit - δε αδ-67 6 Ih. sive . propter 4J -64 - 6h, undo necessario G - 0. Quare ex L J. αο - l. et α - - 1. II inc cx fit. aΦ27h Q quac aequatio consistere nequit. nisi I - Ο quoniam tum a tum ae per hyi'. inter u Ot 2 h-liacont) i. e. nisi a ae, si vo seri lac bi, h, 0 . μ', Λ, 0ὶ identicuo . contra hyp. IIinu sequentia Problemuta. quae pro determinantibus non uadratis multo
maiorem difficultatem sacossebant, nullo negotio solvi poterunt. I. Propositis duabus furmis ' F. F' eiusdem determisantis quadrati. inrest sare an proprie aequivaleant. Qua rantur duno sosmae reductae ormis. F. F resp. ProPrie nequivalentes: quae si Identicae sunt. propositae proprio aequivalent s
II. Iisdem positis in restigare an improprie aequivaleant. Sit forma alterutri PrOPOSitarum e. s. somno F opposita. G: quao si formae F proprio nequivalet. F ot F' improprie aequivalebunt. et contrR.
209쪽
Sol. Formno F proprio nequivaluat sorim reducta , . quae itisque Iaer hyP. etiam formno F ' proprio aequivalcbit. Quaeratur i r nrt. 206 transsor ditio Pr pria formae F in Φ. quae sit a. 6. I. δἰ nec. non transmrmatio propria somno P ' in Q. quae sit Q f. P. Tunc O transformabitur in F per substituti nem Proprium P. - '-7'. si et hiud I in F Per substitutioncm propriam
erae pretium cst. alistim formulam pro hac transformatione ornane F in F' ovolvore, ad quam krmam reductam Φ ipsam novisse ne opus quideth sit. Ponamus formam
210쪽
Quibus valoribus ipsorum α. r. s. 7' iv. sermulae modo tradita Pro tinnsformationo somno F in F ' substitutis, transit in hanc:
EX qua omnino abiit. Si duae se ae F. F' improprio a quivalentos Proponuntur . et trunS r- mutio impropria alterius in alteram quaeritur. sit forma G opposita sermae F. et transformatio. propriu formae G in F' haec α II. . 7.ῆ. Tunc manifestum est, M. 6, - I. - o fore transserinationem impropriam formac F in F I enique Puint. si formae Propositae et proprie et improprie u quivalentes sint. hoc modo inveniri posse transformationes duas alteram propriam alteram impropriam. 209. Nihil itaque iam Ruperest quam ut ox una transformatione omnes reliquas similos deducoro doceamus. HOe vero .Pendet a solutione acquutionis indeterminatae it - 44uu - mm, desiguanto m divisorem communem maximum num rorum a. 2b, c, Si sa, b, H est altorutra formarum nequivalenti iun. Sod haec quuti O semper duobus tantum modis Solvi Potost.. nempe ponendo aut i - m,u - 0, aut i -- m. v - 0. Ponamus enim dari adhuc alium solutioncmi u V ita ut V non 0. Quia min ipsum 444 corto metitur. crit
negotio perspicitur . numerum 4 duorum quadratorum intcgrorum differentiam esse non P se, nisi quadratum minus sili 0 i. e. U. - u. contra hyp. Si itaque sorma F in formam F' Per substitutionem α. 6. I δ transit. ulla transso mulio huic similis non dabitur praeter transformationem -α, - 6. - I. -δ. ianare si duae sortitae aut proprie tantum, ast improprie tantum uequivalent duae inutum transformulionos drebuntur: si vero tum proprie tum improprie. IJatu . Derupe duae propriae duaeque in rOPriaP.
THEOREMA. Si duae formae reduetrae a. h. 0 , a 4. 0 improprie Sunt Gequi valentes. erit aά - mm 'mod. 2 mkὶ . designantem dirisdrem communem mαrimum numerreum' a. 2 h. rel . . 2 4 i et rice rosa, si a. 2 h: T. 2h eundem dirisorem 26.