장음표시 사용
221쪽
Hinc substitutio illa transit in hanc α. 6. r. δ, unde patet . formulam traditam omnes 'transsormationes formae s in F suppeditare. III. Superest ut omnes ropraesentationes numeri dati per formam datam determinantis o exhibere doceamus. Sit sorma haec m sae- - hyp. patetque statim. numerum illum per m divisibilem. ct quotientem quadratum osse debere. Si itaque numerus Propositus statuitur mee, perspic iam est. Pro quibus Va loribus ipsorum X. y 1iM m si q-hyy - mee. pro iisdem fieri y τ -- hy nut
- - e. Rut - - e. Quare omnes roΡrnesentationes habebuntur. Si omnus solutiones aequationum lincarium yz--hy- e. yz-Phy - --.e in integris. Sunt
inventae. H vero Solubiles osse constat siquidem s. h sunt inter in primi ut supponitur . Scilicet si g. li ita determinantur ut sit q, - - h h i. nequationi priori satisfiet ponondo X geri he. y - he-yr: post ori vero suciendo. a se Φhz. y --he-ssa. denotante et integrum quemcunque. Simul vero sermulas has omnes valones integros ipsorum X. y exhibent . si et indosinite numerum quemvis integrum designare supponitur.
222쪽
soLCTIO AEQUATIONUM INDET RHINATARUM.
Sotalia generalia omnium aequatinniam indet rminatamran Mevndi Wa a diana ineunucia impli nitiam per numeroa in Pyros.
IIis disquisitionibus coronissis loco apponimus
seeundi gradus duas ineuntiab implieantis is ι
qui manifesto seniper erunt intcgri. quando z. y sunt integri . duo iacto hab Ol, itur aequatio
Iam omnes solutiones hujus aequationis. i. ' Onuios repra ontutiones numeri Mper formam 9.. b. H in praecere litibus invenire docuimus. Si vem ex singulis intoribu8 ipsorum p. q. vallares respondontufri psoru u My adium utO M luationum
Circa hanc solutionem sequentia Sunt observanda . . .
.'ὶ si aequati proponeretur in qua e metona seeunilea. quat'. vel qui estis nori e Mi par. multiplicata
per et eam sormam reciperet quΑm hie supponimus.
223쪽
ζ 2' Quando dolorini nanR fornino n. b, e . t. e. numerus bb - ac ost v et tivus. vel positivus quadratuς simulque II non in ii: multitudo repraesentati num numeri II per formam a, b. orit finita, et proin etiam multitudo omnium solutionum auquationis Propositac qi quae omnino dantur finita orit. 3' uuando bι - ue ost Positivus non-quadratus . vel quadratus ot Simul M o 1 Dum rus M. si ullo modo. in itis modis dirersis i,or formam u. b, e repracsent ri Poterit: Sed quoniam impossibile est. hns repraesentati nos omnes ipsuς involitro ot tentare utrum valores integroes ipsorum X. y Praebeant an Dactos. ni ossarium CSt rogulum tradere, Per quam . qunndo sorte nulla omnino re- Praesentatio villor S integros ipsorum .r. y pracbero Potest. de hac. re certi fieri possimus num quotcunque repraesentationes in hoo casu tentatae morint . ali 'quo . tali rogula ad certitudin in numquam Por, uiromus): quando VPro ullae rosern sentationes dunt valores intcgros ipsorum X. y. ullae fractost docendum It qu modo hac ab illis a priori generaliter dignosci possint. 4' Quando bb - ae-0: valores ipsorum ari y per sermulas Praecedoutus omnino non Possunt determinari: quare pro hoc casu method operanoris invo- liguri debebit. . '
224쪽
ita ut imittitudo omnium formularum nunc quator maior sit quam unica. t Ut u . Vero non amplius Onanos numeros noquutioni tt- ιι - α vu mm sati sa- cientes DXPrimant. scd positivos tantum. Qua 'vis harum sermarum linquQ Seorsin considorari. et qui valores ipsorum t. v Pruebeant Val Oros integros ii Sorum X, y.
investigari debebit. . Ex D ulu
Νoquuntur valores ipsorum .P. y hi:
Nupra vero Ostondimus. omnes valores spositivos ipsorum i constituero Progressionem' recurrontem t', t . t etc.. Mimiliter valores respondentos ipsius u quoque soricin recurrentem sermure is, u otc.; Praeterea asΝignari posse numerum ptatem. ut sociandum modulum quemcunque datum satis t'. t3Φ3 - t . tρ l' etc.. υλ u . ut ip ore. Pro hoc modulo accipiemus munierunt m bb - ac . designabimusque brevitatis gratia Valores it forum .r. ιν qui Prodeunt Ponendo. t tu, u et quibus tribu muri indicem' 0. Dor a'. y': si1niliterque oos qui prodeunt faciendo i t . Per .f. ν quibus tribuemus indicem l . otc. Tunc nullo ut otio Perspi-
s uelle concluditur . si valores ipsorum X, y. quibuK indi Ces 0. l. 2 .... p --l CDm laetunt. evolvantur. et pro nullo horum indicum tum X, tum y intoger sit. nullum. Omnino indicem dari. Pro quo tum X, tum s vallares tat ro8 rdi piunt, in quo casu in formula i l J nulli valores integri ipsorum ae . y deduci poterunt: Si vero. inter illos indices utiqui sunt. puta μ. μ'. ς etc. quibus valores intcgri ipsorum respondent. Omnes valores integri ipsorum X. y. qui quidem ex si mula illobtineri possunt. ii erunt. quorum indicos sub aliqua formularum μ -- kρ, μ'ε ιγ.2S
225쪽
μ Η- kρ etc. sunt contenti, denotante k indefinite Omnes numeros intomos P sitivos , inclusa etiam cilia. Formulao res uno sub quibus valoros ipsorum P, g mutenti Sunt. Prorsus eodem modo sunt tractandae. Si contingorct, ut ox nulla omnium harum sormularum valores integri ipsorum X, y obtineuntur. aequatio proposita in intogris nullo prorsus modo solvi posset: quoties vero revom Est solubilis, Omnes soluti nos in integris iter praecepta in Prae c. tradita exhiberi Potorunt.
Quando bb-ue ost numorus quadratuK utque M- 0, Omnes valoruκ ii sorum P, q comprehensi erunt sub duabus huiusmodi formulis p Na. Uz: p - 'i'a, g - ab a. ubi et indefinite designat quemvis numerum intcgrum. R. E. 'I'. E vero sunt integri dati. quorum primus cum Secundo, tertius cum quarto divisorem communem non haboni 'ri. 212 . Omnes itaque valores integri ipsorum X. y EX Rrmula prima oriundi contenti erunt sub formula ill
Omnosque reliqui ex formula secunda oriundi sub hac t 2
Sed quoniam utraque sermula otiam valores fractos prachoro Potest uisibb-ac lj, opus cSt ut cos valores ipsius a. qui tum ipsum ae tum ipsum y integrum reddunt, a reliquis in utraquc formula separemus; attamen Suffcit Primam 8Olum Considerare, quum pro altera prorsus indom in thodus adhibenda sit. Quoniam ei. e, inter se Primi sunt, duos numeros a. I ita determinRTE liuobit . ut fiat a S - - 5 2' l. Quo facto habetur i
unde Statim paret. omnes valores ipsius 2 qui valores int ros ipsorum X. y pr ducere possint, neCessario numero a be - eQ H- b bd ad sec. mod. bb - ac congruos, sive sub sormula bb - ada - a be-cq - b b ἀ- a d contentos osse debere. designanto a in finite numerum integram. Hinc facile toto sormulae fit obtinemus sequenwm .
226쪽
wLi I IO AEQUATIONUM INDETERMINATARUM.
quain vut pro omnibus valoribus ipsius e' aut pro nullo via os integros ipsoruma, y practum manifestum est. et quidem casus prior Semper locum habὐbit. quando R bd a ej et wbe-edὶ sec. mod. bb - ae sunt congrui. Posterior quando 'sunt incongrui. Proxsus codem modo tractanda erit formula 2 . solutioncs- quo in integris si quas praebere potest) a reliquis sopstrandae.
Iam putest. nisi fuerit ae - 6d quom casum statim seorsim considorabimus . valores ipsorum. ae. y. ex his formulis deductos tribuendo ipsi a valorem quemcunque, nequationi Propositae si Lissacoro: quam nihil superest. nisi ut eos v lores ipsius e doterminare doceamus, cx quibus valores intcgri ipsorum X, y s
Quoniam αα -- 6y - et, necessario Pro a numeri infeyri tantum accipi possunt: Practerea vero manis tum est, si aliquis valor ipsius e tum ipsum aetum ipSuin y integrum reddat. omnes valore ipsius a illi secundum modulum 2 oce 2 6 d congruos itidom valoros integros producere. Quodsi itaque Pro romnos numeri integri a 0 usque ad 2αe- 26d-l quando α e- Id ost positivus aut ad 26d-2 a e- I quando a e - 6d ost ncgativus incl. substituuntur. et pro nullo horum valorum tum ae tum y integri fiunt, nullus omnino valor ipsius a Valoreri integros ipsorum X, y producet. aequatioque proposita in integris nullo modo poterit resolvi: si vom quidam ex illis valoribus ipsius a ipsis a , y valores integros conciliunt, puta hi c. ζ'. cae, quos etiam por solutionem congruentiarnm socundi gradus ex principiis seci. IV invenire licet): omnes Solutiones Prodi-2S
227쪽
Pro eo quum exclusimus casu, ubi ae - 6 d. methodum peculiarem iud gare Oportet. Si P nnmus, α. 6 inter se Primos esso. quod licere in nrt. 2 i5. sconditat, eritque - - ι numerus intoger art. l9 , quom statuemus h. Tune' '. . . ninuatio proposita hanc induit sermam: . mαX - - m6ν - - Λὶ -hh--my umandestoque adeo rationaliter solvi nequit. nisi h h- in f suorit immortis quadratus. Sit hh qui valere: --ε Λ ε k - 0. et max - - - - Λ - k - ui. e. quamlibet solutionem aequationis Propositae etiam alterutri harum n quati num satisfacere, et vice versa. Aoquutio Prior manifesto in integris solvi nequit. nisi h H- k per m fuerit divisibilis. silmiliterque posterior solutionsem in indictis non admittet, nisi h - k Per m suerit divisibilis. Hae voci conditi os ad resolubilitatem utriusque acquationis susticiunt quia α. 6 intor so primi osse supponuntur in . omnesque solutiones secundum regulaΝ notas exhiberi potorunt.1 - kk patetque acquutioni propositac Sequentos duas no-22s. Cusum in nrt. 217 consideratum quia omnium dissicillimus est exempli, illustramus. Prolvisita sit nequatio aeae Saey-- 2α - 4y ε u. Ex hac primo por introductioncm aliarbm incognitarum P - l5x-0. q Ἀ- - 6 derivatur aequatio 1 pH- 8ρq- -qq - - 540. Huius autom ROlutiones omnos in integris, contineri invcniuntur 'sub quatuor formulis sequentibuN: .P st, '
denotantibus i. v indefinito Omnes numeros intcgros laOΜltivox uoqitutinui
228쪽
si v indefinito omnes numeros integros Imsitivos inclusa etiam cistu j de ignat. Quamobrem omnes valoros ipsorum .r. y contenti erunt sub sormulta his:
Praeceptis autem ii ostris rite nΡΡli Cntis. reiierietur. ut valores inteyri Produunt. .in formula Primu et Secundis eos vulorus ipsorum t. v nccipi debero. qui proveniant ex indice n pari: in tertia quartaque vero eos, qui Ex impuri n Obtino intur. Solutiones simplicissimae Imbentur hae: ae l. - l. - l; y - - 2'. u. t 2 ΝP. Ceterum observare convenit, solutionem Problematis in urit. PrueCc. EXPlicati Plerumque per multisaria artificia abbreviari POSSE. praes tim quantum ad exclusionem Solutionum inutilium i. e. Ductiones implicantium pertinet: sod haecno nimis longi fiamus hoc loco praptori re coacti sumus.
222. Quoniam complum ex iis quase hucusquo pertractavimus utium uti ullis Muometris considerata sunt. horum merita silentio praeterire non Possuum, De formarum aequivalentia disquisitiones generales instituit illi. I.n irati . Mus. Menι. de Me. de Beriis, 17 73 p. 263 et 1775 p. Mamq. . ubi imprimi η docuit. Pro qu vis detorminante dato multitudinum finitam formarum duri ita compunitarum. ut quac vis forma illius deturminantis alicui ex ipsis aequivalens sit . adeoquν omni κsorinus determinantis dati in classos distribui posse. Post a clar. I. tonitro plures Proprietatos elegantes huius classificationis ad maximam Pariona per inductionum detexit . quas insta trademus demonstrationi husquo muniemus . t terum di tinctiouem ueqtuValenti ac P prino. Et impropriue . cuius usus maxima in disqui Atti nibus subtilioribus. Conspicuus est. nemo hucusque ulti rut. Problemu famosum in nrt. 216sqq. expliculum ille I .a Graiige irrimum. Om-
229쪽
plete resolvit, Hist de IAe. de Berlin. 1767 p. 165 et l768 p. l81 sqq. risint solutio soti utinus completa etiam in Suppl. ad mleri Atyebram in tu sappius inu- lutis. Iani unica ili. Eulor idom argumentum nggressus fuerat. Comm. Pere. T. VI p. 175; Comm. Nov. T. IX p. 3; Ibid. T. XVIII p. lS 5 sqq. . Sed invostigation msuum Do SemPer restrinxit, ut cX utiqua solutione. quum iam Cognitam esse sui' ponit . aliae deriventur: practoreaque ipsius methodi.in paucis tantummodo casibus omnes solutiones suppedit E intoni 'id. I ai irnn o Hist. de PAe. de Berlini 767. p. 237j. Quum ultima harum trium commonti. rocontioris dati sit quam . solutio lai Grangiana, quae problema omni generalitate amplo titur nihilque hoc remoctu desiderandum relinquit: Euler tunc tomphiis Tomus XVIII Commontariorum laertinet ad annum III 3. et n. l771 ost PubliuntuΝ illam Molutionem nondum novisse Videtur. . torum solutio nostra Poriti in mi omnia reliqua quae in hac sectione hactenus tradidimus . Principiis omnino divorsi ου ost superstructa. iauno ab aliis. Diophanto. Formatio etc. huc Purtinentia sunt tradita. casus aximo speciales spectant; quare quum eorum quale Praesertim memoratu digna visa sunt. iam supra mentio facta sit. Sigillatim Omnia enarrare SuPersedemus.
Quae liactenus do formis secundi gradus exposuimus. Pro Primis tantum et mentis huius doctrinae sunt habenda: innixius hanc disquisitionem Porinquentibus campus se aperuit nobis vastissimus, ex quo in quas attentione imprimis digna videntur. in sequentibus OX Pr mus. Numque argumonium hoc tam se ille osti ut permulta ultu, quae iam nunc invunire nobis contigit. brovitutis gratia silentio praeterire OIiorteat multo O plura sine dubio adhuc latent novosque conuius exspectant. Ceterum in limine harum investigationum statim adnotare convenit. lamas detormius uiis υ inde exclusas esse. nisi contrarium moueatur. DISQUISITIONES ULTERIORES DEFORMIS.
Ium supra. Inrit. l75, 194. 21 lὶ ostendimu8i proposito numero quocunque integro D sive ivisitivo Sive neotivo ussiguari liofiso multitudin in finitam sormarum H F . F et c. determinantis D, ita comparatarum.. ut quaevis seri 1 de-
230쪽
termitiantis D proprio a quivalens sit alicui pre illis ot qnidem unimo tantum. Omnes totus sormae determutantia D quarum multitudo est infinit socundum illas formas classiscari poterunt. forinnudo scilicet e complexu omnium .mrinrerum formae F proprie nequivalentium classOm primam; e serpsis quae larinuo F' 1πο-prio nequivalent. Secundam Din. Ex singulis classibus formarum determinantis dati D. sorma aliqua cligi et tamquam Iormia repraesentans totius classis coii dorari poterit. Por so quidem Prorsus urbitrarium ost, qunenum serma eA quaque Cli su accipiatur . nitum n ea semper praeserenda orit . quae reliquas simplicitate furorare videtur. Simplicitas sormae alicuius lii, b, cὶ manifesto magnitudine num rorum G, b, c uestimauda est. meritoque forma is .c'ὶ minus simplex dicetur quum s a. b. 6 si ιι v. b b. E c. Nod hinc res nondum determinatur penitus. nrbitrioque nostro linquitur e s. . Mirum o sormis 17. u. - 45 . 5. 0,- lba Pro simpliciori habere malimus. Plerumque inmon o m erit, sequentem normam Obscr-rei
L Quando detorminans D nst ncgativus, inoptentur sormae reductae in singulis classibus contentae tamquam sormae repraesciat antos; ubi Vctro in eadem classe duae formae roductae reperi intur quae Erunt OPPOSitnc. art. l72 . recipiatur ca. Cuius terminus medius, Positivus. II. Quundo detorminans D OAt positivus non-quadratus. Evolvatur PeriOdus formae alicuius reductae in classo proposita conruntae, in quu aut duae se inne uncipitos invenientur aut nulla inrt.. i Sil.
detur. Pro servia repraesentante accipiatur. In hoc iudiciu forma cuius torminus medius -0. praeseratur; quando vero terminus medius aut in utraque aut in neutra est 0. ea quae terminum primum minorem habet. ineri praeliabenda, et quando termini primi magnitudine sunt aequales signis diversi. signum n uti vum Positivo postponendum. . 2ὶ Quando vero nulla forma anceps iii 'tota periodo habetur . eligatur e Omuibus periodi formis ea quae torminum primum sine respectu Sigui missimum