장음표시 사용
211쪽
communem maximum m habent. atque rae a a - mm mod. 2 m M. formae a. h. 0 . a. h. 0ὶ improprie aequiralentes strufit. Dem. I. Transeat forma M. h. 0 in sormam M'. 4, 0ὶ per substitutionem
impropriam a. 6. I, ct ita ut habeantur quatuor aequationcsa αα Η- 2 ha I - ά . - . . . . fil
sum m. Gui ori divisor communis maximus ipsorum a. 2 h; manifesto autem mmoti Ptur otiam illsum aαH-2 4 I; quare necessario aαμ-2έI erit aut ' - -sem aut - m. Hinc statim sequitur T . mm aY mod. .2m h) Q. E. P. II. Si a. 2 h: a', 2 h eundem divisorem communem minimum m ha ut inSuperius est aa'-mm lmod. 2mhὶ, erunt integri. Facile vero confirmatur, somam γ, h. 0ὶ transire in a'. h. 0 per substitutioncm in. EF, A, n nini hunc transformationem esse impropriam. Quare somnu illae erunt improprio aequivalentes. Q. E. S. Hinc etiam statim diiudicari potest, an forma aliqua reducta data γ, Λ. 0 sibi ipsi improprie acqui valens. sit. Scilicet designato dirisore communi minimo numerorum a. 24 per m. csse debebit ιι α - mm imod. 2 m h .
212쪽
DETERMINANTES QUADRATI.. . 211.
omnes formae reductae determinantis dati h h obtinentur . si in formo 'in- definita A. h. u) pro A omnes numeri a u usque ad' 2 h - inci sub tituuntur, quarum itaque multitudo erit 2 h. Perspicuum cst. Omnes formas determinantis AH in totidem classes distribui posse . hasquc iisdem Proprietatibus pracditas fore quas supra arti. 175. 195ὶ Pro classibus formarum datorminantis noxativi. ob positivicistis 1 rati attigimus. Ita otianos λrmae determinantis 25 inde m a Sosialistribquntur. quae per formas reductas in singulis contentus di
. 1,OBLEMA. Invenire Omnes reprcresentationes numeri dati M per formam datam aπα--2b Xy- -υy determinansis h h. Solutio huius problematis ex principii t. l68 prorsus hodoni modo Potipotest. ut supra nrit. lS0 et Si. 20M pro formis determinantis uegativi et positivi non uadrati ostendimus: quod. quum Dulli dissicultati sit obnoxium: hic repostro superfluum ossol. 'ontra haud abs re erit. solutionem ex alio principio quod casui praesenti proprium est dςducere.
- - d F . . nullo negotio Probatur. formam propositum esse productum Ux factoribus is et fae-yy. Unde manifestum ost, quamvis repraesentationeni num ri M pcri Ormam propositam Praebere resolutioncm numeri II in binos factores. Si itaque omnes divisores numori II sunt d. d'. d o te. inclusis Ptium l. et M. et singulis bis sumtis puta tum positivo.tum noxative . Imiet Omnos repra Sohinti nos numeri II obtineri. si successive imitatur ' .
Valores iPSorum x. y hinc evolvuntur. cucque repraeseutationes Diiciuntur ubi ir
213쪽
uiat s valores fractos obtinent. Manifeκω vero ex duabus primis aequationibus sequitur
Quare hac duae se mulae non rulas omum DPrROSontationes numeri II, in hoc catiu eomPl duntur. In Praeeudentibus amuiu quae ad Cognoscondam uequival artiam et nil iuve-uieudas omnos tran Ormutiones formarum nec Dou ud repraeMPntutiones D nΠΟΝ numerorum datorum pol formas datas' indagiandast pertinent, ita sunt explicuta. ut nihil amplius desidorari posse vidcatur. Superest itaque tantummodo. ut Ia PD,itis duabus 1brmis quae propter determinantium inaequalitat m nequivulentos eκNotioquount. diiudi are cloecumus, uti non ultera sub ultora conrenta sit: ut in hoc su Ouin v transformationes illius iri hunc invcntro. . '
214쪽
Nupra arti. i57. i58 Ostendimus 'si forma s determinantis D serinam Fdestritavntis E implicet niquo in ipsam transeat per substitutionem ά. Uo I. c. lare E αδ- 67ὶ D: si. suerit αο - - sorinum i non modo implicare Armam F sed ip4 aequivalentem esse et proin si s ipsiim F implicet ueque
Id vero uidem nequivaleat, quotionicin B esse integrum maiorem quum l. Problema itaquq hic solvendum erit. Livilisura an forma dato L determinantis D formam . tum F determinantis Dee implicet. ubi e supivinitur esse numerus Positios . maior quam l. IIOc negotium ita absolvonius. ut multitudinem finitam formarum
sub f contentarum assignare doceamus quae ita sint comparatae, ut F si sub fcontenta est necessario alicui ex illis aequivalere debeat. I. Ponamiis omnes divisores positivos numori e inclusis otiam l ut e)USSU m. m. m' Din. ntque e mn mb. - m n eis. Designomus brevitatis gratia formam in quam f'transit per substitutioncse prupriam m. 0. 0. n ita 0ὶ.λrmam in quam J transit per substitutionem propriam m. l. v. n Pur tu; l est. gonorasitorque sermum. in quaru per Subst. propriam . m. k, 0.n transmutatur PCr iis: M. Simili modo transo,t f per subst. Propriam M. 0. 0. n in ns: 0j; per hanc ni . l. 0. n in m'; lj etc.. Per m . 0. 0, 1ί' in im : 0 otc. ore. in nos haesoriac sub f proprie coii tentae erunt. et cuiusvis det rminans Dee. CompleXum
. I l. lum dico. si forma I 'detorminantis Dee sub f proprie contenta sit. iiDCCsvirio eandem Micui formarum v proprio uoquivalentem fore. Ponninus λ mum y transformari in F per substitutionem propriam α. 6 I. c Eritque 18 -- 6 I e. Sit uuinororum I. δ qui umbo simul u osse nequeunt divisor
215쪽
sivo deniquo quoniam rq - - c 4 : .n, Per hanc a. 6. I. δ i e. per hyp., in FQuare m: k et F proprio aequi lentos erunt. ' Q. E. D Ex his igitur semper diiudicari imissi. an sernia utiqua data s determinantis D somnin F dctorminantiis De e propriΗ iinplicet. Si vom quacritur an fipsam F improprio implicct,. invcstigari tantummodo debet an forma ipsi F opposita sub f proprie contonia Sit . uri. 159.
Paon va. Propositis duabus formis. 1 determinantis D. et F determinoκ-tis De e. quarum prior posteriorem propris ivlicat: Glibere omnes tran ormationes proprias forme y is F. ' . . . . Sol. Dosi ante u eundem formarum compleX.m ut in nrt. Pin . . PS- Corynntur Ex hoc conit iloxu Dinnos sortii in quibus F. proprie Mqui Valet. quae sint p. sp . e ' etc. iatiue, iis harum formarum Soquonti modo suppod bit transseruiationes proprias sormae s in P .. et quidem aliae alias i. ei fili gulae diversas , cunctae Oro cunctas e. nulla. truussormatio propria formae s in F erit main non una ex formis et . es etc. pr beat j. Quovium mothodus pro omnibus formisit . b' etc. eadem cst, de una tantum loquemur. i
216쪽
Ponamus et Osso II: N atque e M. MN ita ut sin Φ per substitutiim num proprium II. K. 0, N transent. Porro designentur Orntios transformationes propriae sormno , b in F indefinito per a. b. e. b. Tum manifesto f transibit in , et per Mubstitutioncm propriam IIa H-Ke. Mb- - K b. M. Nb. ot hoc modo ex quavis trunsformatione propria sernino , b in F sequetur transformatio propria somno f in F. Eodem modo tractandrio sunt Ormae roli quae si '. xl '' etc. quarum singuluq trans rmationes Proprino in F transformationem proprium sor
I t apparoni. hanc solutis em OX Omni parto compictam esse, ostendendum eriti. . Hoc modo omnes DNnsformationes proprias possibiles formae s in F. μα-um. Sit transformatio quaecunque propria formae s in F hinc α. 6. I. δ atquc ut in uri. Praec. II. n divisoae cominianis maxillius numerorum I. δἰ numerim, g, h, k uutem codem modo ut illic determinati. Tunc forma sm: kὶ crit intor
ntiqua ex traalas mationibys propriis huius sernino in F; cx hac vero pur rex lana uiodo traditam obtinetur transformatio a. 6. r. c: haec Omnia in uri. PrueC.
217쪽
tur ipsum N . unde . quia tum N tum M supImnuntur esse positivi. erit necessario N N . et M M . et hinc ex 3 et 4. e - f. b - b'. Porro fit ex
hinc. K E' mod. I quod fieri nequit nisi K - K quia tum K tum K iactat inter limites θ et u - 1. Quamobrem formae sp . si ' non sunt diversae.
Ceterum paret, si D suerit negativus va positivus quadratus.' per inoth 'dum hanc omnes transformationes proprias lamas f in F revcra inveniri posse: si, vero D positivus rum quadratus. semesa ortae generales mssignari Poterunt. in quibus omneκ transformationes proprias quarum multitudo' iii finital conten-
Deniquo. si forma F improprie sub forma 1 contenta Est, omnes transso mationes impropriae illius in banc per methodum traditam iacile exhiberi poterunt. ilicet si α. 6. ' o indefinite omnes transformationos proprias formae 1 in sormam quae.formae P rin osita est, designore supponitur: tinues tran8s impropriae
218쪽
Hae duae formulae igitur omnes transformationes proprias quaesitas ample tuum tur j. - Eodem vero modo invenitur.' omnes tran=formationes improprias sormae a. b. 7ὶ in 275. 0. - i) sub sequentibus duabus sermulis contentas esse:
Hucusque formas determinantis 0 ab omnibus disquisitionibus exclusimus: de his itaque. ut theoria nostra ab omni parte completa evadut . quaedam ωhuc sunt adiicienda. Quoniam non raliter demonstratum est, si sorma aliqua dete minantis D formam determisantis Di implicet: D' esse multiplum ipsius D. statim patet. formam cuius determinans -0 aliam sermam quam cuius determinans et tum si ι - Η implicaro 'non posse. Quare duo tantummodo probi matusolvenda rastant. scilicet I ' propositis duabis formis L F, quarum posterior habet ferminantem 0, diiudicane utrum prior postfriorem implicet nec e . et in illo casu omnes transformationes illius in hane eahibere. . 2' Inrenite oranea repra entutiones numeri dati per formam datum deteriminantia 6. Problema primum alium melli
219쪽
dum requirit. quando determinyns prioris sorinno f etiam est v, ullum quando non ost 0. Haec omnia iam Uxponum . I. Ante omnia obsorvamus, quamvis formam a XXH- 2bo in cyy, cuius determinans bb- ae 0. ita exhiberi posse myx- - hy denotantibus 9 i numeros inter So. primos. m into uni. Sit enim m divisor communis maximus ipsorum a, c eodem signo acceptus quo hi numeri ipsi sunt nisisti hos signa OPPosita habere non posse facile porspicitur, eruntque L - intcgri inter se Primi non negativi. productum ex ipsis i. e. quadratum. adeoque illi ipsi quadrata suri. 2 l . Sit --yy. - h h. cruntque etiam s. h inter se Primi.
ita ut 9 ad λ G ad Η sint primi. Tum dico, si forma f implicet formam F. m aut ipsi M aequalem esse aut saltem ipsum II metiri et quotientem osse quadratum: ct vice versa si sit quadratum intcgrum. F contentam osso suli f. Si enim f ivir substitutionem ae αX ε 6Y. ν - γλε ὁ Γ
in . F translas supponitur. erit ' o
unde facile sequitur esse quadratum. Ponntur ee, critquς
si itaque. O. ita dotorminuntur ut sit OGine II - i, erit in e - Θ ὰyε7M H- ἐν ί69 adcoquo intimer. Q. E. P. Si Vero, vico versu, supponitur. - esse quadratum integrum eri forma fimplicabit sorinam F. Scilicet integri 'ce. U. I. δ ita poterunt determinari ut fiat
220쪽
Λccipiuntur enim integri . g. li ita ut fiat gy - - h Λ l. satisficique nequationibus illis ponendo α - - e GAH-ha. I - - e Gh-sat, in eΗg - ha, δ ---yzquicunque valores integri ipsis a. es tribuuntur: quare F contenta orit sub fQ. E. S. Simul haud difficulter intolligitur. has sermulas omnes valores quos α. 6. I, 8 nuncisci possunt i. e. omnes transformationes sorinas f in F exhibere. si modo et, es indefinite omnos numeros integros caehiboro supponantur. ΙΙ. Propositis duabus formig f aza - 2b H-eyy cuius determinanS non 0. et F- M GA--ΗΓ cuius determinans -0 designantibus utanto G. Is numeros intor sobrimos dico primo, si s implicet ipsam F. numerum M per formam i repracscntari posse; secundo, si M per f repraesentari possit. F sub f conton uni P&se: tertio, si in hoc casu omnes repraesentationes numeri II por sormam f indosinite exhil, antur ita X e. 3 - υ. Omnes tranΝ- formatioues formae s in F exhiberi ita Ge. II . Gυ. Πυ. Quae omnia sequenti
l' Ponamus f transire in F per substitutioncm α 6i I. d. accipianturque numeri D ita ut sit S G- - ei H l. Tunc manifestum est. 8i Ponaturae α Ο-HU.9. IOA-δθ. valorum sorinae s fieri M. adeoque M repraesentabilem esse per formum f.
stitutionem GL II G. Πυ,, sermum i transire in F Quod vero a' in hoc casu substitutio G . HL Gυ, Πυ omnes transformationes sormn f in Fioxhibeat. si ξ. υ supponantur exhibdre Omnes valores ipsorum x. y. quis iunt f - M. ita perspicitur. Sit a. U. I, transformatio qua cunque sormae fili R ot ut anto O G ΘΗ l . Tum intch valoros ipsorum x. y Prunt