장음표시 사용
251쪽
scilicet prior ex l2.15 - la. 13. Posterior Ox 14.14 - 12. 17; unde lacile perspicitur . necessario esse a a - dd 0 ' sive sit a - 0. sive non sit seu . Supponemus itaque . in aequati. 14. 15. 20. 2l ad d0xtram deleri Δ Δ - dd'. Iam statuendo
ubi n. n' otium fractioncs evadere posse probe notandum. etsi mΚ, m n noce sario sint integrit: sacile ex aequati. 12 .. 17 deducitur
'ὶ Haeo derivatio aequationis ΔΛ - ud' ad innitulum praesens sumit i alioquin analy in elegantiorem sod hie nimia prolixam tradere possemus, directe dedueendo ex aequationibus i ... ii hane . - a - dti l .
252쪽
Hinc habetur NcLΠsIO T ris: Numeri a. 2b, e proportionales sunt numeris P. R- S. V positaque illorum ratione ad hos ut 1 ad H, erit κ' radiae quadrata eae similiterque numeri Κ, 2b . e ad Q. RH- S, P eandem rationem habent. quae si ponitur esse ut 1 ad n . erit u radia quadrata ea M.
Cotorum quantitates n. n radices Vel Positivae Vel negniiVM eX B. 1, eSS. possunt. unde distinctionem petimus, quae primo aspoctu sterilis videbitur . sed cuius usus in soquentibus sussicienter apparebit. Scilicet uicomus. in transform sono sormne F in V krmam s accipi directe quando n est positiva, inversequando n nogativa: similiterque accipi directo vel inverso. prout n positiva volnegativa. Accedente autem conditione ut k sit se l. forma F vel ex utraque sorma f. f directe composita, vel ex utraque inverse rei ex f directe et cx inverse. vel ex f inverso et ex f' directe diectur, prout vel n. n' ambae sunt positivae, Vel ambao negativae. Vel prior Positiva Posterior nogativa, vel prior negativa posterior Positiva. Cotorum quisque sucile intelliget, has relationos ab ordino quo formae L f' collocantur vid. ait not. prim. ad art. Praes. non Pelidere. Porro observamus. divisorem minimum communem numerorum P. Q. R. S, T, V puta k metiri numeros mκ. mn uti ex valoribus supra stabilius manifestum est) adeoque quadratum Ast ipsos m mn Q msin n. stinuo Dkk ipsos d mm . d mm . Sed et vice versa quivis divisor communis ipsorum mn, mn m tietur ipsum k. Sit enim e talis divisor, qui manifesto etiam numeros an . 2b .cn, an. 2b n. En metietur, i. e. numer. P. R-S U, Q, R - - S. Τ ot 'proin
etiam ipsos 2 R et 2 S. Inm si - esset numeruN impar, etiam - imPur esse deberet quoniam summa ot differentia sunt pares adeoque etiam Productum impar. Hoc autem productum fit - - φ b nn - bbnn d, n -άenn- dnn - aen Κὶ . - cnn - ac Κέὶ adeoque Par. quia e ipsos aen. en, a . en' metitur. Quare, a q' . . - necessario erit par, Pt proin R nec non S per e divisibilis. Quoniam igiture omnes sex P. Q. R. S. T. V metitur, metietur etiam ipsorum divisorum communem. minimum k. Q. E. D Hinc concluditur, k esse divisorem communem maximum numerorum mn, mn; unde facile Perspicietur. Dkk fore divisorem communem minimum numerorum d mm, d mm . iauno est CONCLUNO QUARTA. Patet itaqne, quoties F ex f et f' composita sit, D lare divisorem communem minimum, numerorum dἀῶ. Cmm . et Vico versa: quasi proprietaου etiarn tamquam definitio formae compositae adoptari liotuisset. Forma igitur composita P
253쪽
sormis L. f' i torminantum maximum Possibilem inter omne formas in productum As' transformabitos habet . . . .. Antequam ulterius progredi postamus. ante omnia valorem ipsius a accuratius definire oportui. quom quid in Ostondimus csso i. d. i' VDDnnis . . sed cuius sisnum hinc nondum determinatur i. Ad hunc filium ex aequati. landamentalibus t - 1l eruimus DPQ - aau quae ninu. obunctur ex 5.6 - l. ij. iideoque Duu nu' a a T. undu . nisi aliquis numerorum ae t -0. fita Dun. Sed prorsus simili modo ex nequati. sundd. octo uti ac d duci Possunt. in quibuq ad laevum D nn nil dextram S multiplicati hubeuntur Por 2 ab', ac, . 2ba. 4 bν, 2 be, eae. 2eν, ce' ). unde tacito concluditur Propterea quod neque Oinu S a. 2b. e. noque Omnes . . 2b . E Possutit esse se 0. in omnibus casibus fieria in Disti'. adeoque a idem signum habere ni D, d. d' vel Oppositum. Prout n. n eadem signa huboant .vel divorsu.
2bΓ--25. 2 b -2a omnes per vim divisibilos osse. Dc novem prioribus hoc per se innuisestum est. do duobus reliquis autem simili modo domonstrari potest ut antea ostendimus N et S per e divisibiles esse. Sollicet pulset. ibb H 4 A ct 4bb - 4 a per rum' divi Libiles osso quoniam 45 Vl6dit' atque 4 d per m m. 4d' por mm' divisibilis. ndomito 16dd' luet mmmis' et 4 a .i,er vim l ot ditaren
254쪽
ER etc.. etiam Akk per mm' divisibilum esse. Substitutis autem Pro a. 2 b. e. E. 2 P. et valoribus suis eis: sivo pq - 2pὶ etc. , i sibunt in sox alias a quationes. in quibus ad dextram habebuntur Producta ex quantitate in s-qq' in P P. 4 Q. R R etc. Calculum facillimum lectoribus relinquimus. Istic sequitur quoniam omnes PP, Q Q etc. cssu - 0 nequeunt q/-qq'. Simili modo o3 quationibus fundam talibus derivantur sex Hiae uo tu tiones, a praecedentibus in eo tantummodo discrepantes . quod pro A ubique habetur O et Pro q. f. q. q resp. p. p. g. p . - quaa ipsas brevitatis caussa honadscribimus. Hinc eodem modo sequitur. Ckk per mm' divisibilem esse atque
composita est sive' k - 1: uccessario osse M - m m. Quae est CONCLUSIO QUINTA.
Si di v. Comiam. in . numerorum A. B. Cest St. hic erit vel -M quando serma F est proprie primitiva vel ex proprie primitiva dorivatain vel μ ὲ M quando F est forma improprie primitiva vel ex improprio prim. derivata : Similiter d Siguundo divisores comm. min. numerorum a e; H. ν. e resp. per m. m' erit muci - m vel im, et m' vel se m vel se i m. Iam patet. in m moliri ipsum d . in m ipsum d . adeoque mirim in ipsum iid' sivo A a. et mni ipsum A.
255쪽
Nitio ex sex ultimis aequutionibus et sequitur . nim' metiri ipsum k,j suoque smum etiam ipsos 1 kk. Ckk metiaturin etiam ipsum 'Mikk. compoκita est, metietur in m ipsum 'st. Quandos f est proprie primitiva vel ex proprie primitiva in m M. erit Sl M. sive F similis forma. Quamlo 'ne: iniit utraque s f aut altorutra saltem est improprie primitivumvel lx ira Proprie Primitiva derivata. e. s. forma f; ex acquationibus
cro. in 1 andem observamus, si novom aequationes
quas. quoniam in sequeutibus sa 'Pius ad ipsas revenire oportebit, lier u designu-bimus locum habere Eupponantur. spectatis adeo ipsis n. n tamquum incognitis. quarum tamen neutra o: Per substitution m sucile confirmari, Otiam a quationes sundamentales l ... 9 necessario veras esse si 'e fortuam A. B, C per substitutionem p. p. p . pq. f. q. g in Productum e sermis M. b. d a. r.el trunstro: Praetereaquct esse. bb - ae nn BB - AC . νν-ae - cc BB - ACὶ Calculum quem hic apponere nimis prolixum foret lectorum industriae committimus. 236. . Pnon M. Propositis dua a formis quarum determinantes aut aequales sunt aut saltem rationem quadratorum inter se labent: invenire formam ea illis compositum. Sol. Sint formae componendae a, b. H. . .f a. b . e j. . . '; harum dete minantes d. ci': divisores communes maximi numerorum a. 2 b, c; a, 2 ν, c' resp. m. ἡ: divisor comm . mmimus numerorum dm m. d mm eodem signo ut d . d
256쪽
. affectus D. TunC ac , , Erunt numori Positivi inter se primi timorumquePIDd tum . quadratum: quare ipsi erunt quadrata Frt. 2i . Hinc V .ewnt quantitatos rationales quas Ponemus n, ά, et quidem accipimus pro ii valO-ν rom positivum vel negativum, prout serma f in compositionem vel dii octo 1 ol, 'inverse ingredi debet. similiterque signum ipsius n' cx rutioue qua T in con siO-- ' sitioncm ingredi debet, detorminabimus. Erunt itaque m n. in νι numeri integri intor se primi; n et n vutem Otiam fractiones csso possunt.' IIis ita lactis. ἡ- Servamus. a. . c. , an, en, ωι - - b n. b. - Γn osso integros. quod do quattuor prioribus per se manifestum ost i quum an mn etc. : de duobus rotiquis codem modo probatur ut in uri. Prast . demonstratum suit. R et I,er e divisibi .
tur accipiendo pro μ divisorem communem minimum quatuor numerorum . qui tu his aequationibus fiunt ad lucvam. Tunc igitur per uri. 10 inveniri poterunt quutuor numeri integri r. ' ' tales ut fiat
auo iacto determinentur numeri p. ph U, p Iier nequationes Sequentes:
257쪽
Iunc A, B, C erunt numeri integri .sormaque A, B, C ... F ex formis s. f
Quoties i1 - 1, hae aequatiOnos non sunt necessariae, Sed ipsarum loco aequutioncs Ι). quibus omnino analogae sunt, retineri possvns. Quodsi nunc exaequati. II. IV valores ipsorum An Κ 2Bn. . CnU i. e. numθ rum qC-qq etc. evolvuntur . et quae mutuo se destruunt delentur: invenietur. singulorum
258쪽
Partos esse vel producta ex integris in nn . vel ex intcgris in dis V vel ex integris in d nn. insuperquo Omnos Partes constituentes ipsius 2 An n implicare 'et rem 2. ΙIinc concluditur quoniam dnn' d nn, ot proin m -.-- - Udd' sunt integri A, B, C esse numeros integros. Q. E. P. III. Substituendo ex aequati. IIJ valores ipsorum p, P. U. C. facile DomProbatur adiumento aequati. IIIJ et huius
THEO M . Si forima F in productum e duabus fremis I, est transformabilis, atque forma γ' formiam implicat: F etiam in productum e formis f. Vtransformabilis erit. Dem. Estineantur pro formis F, L f' omnia signa stri. 23b: forma csit a, b , sin, transeatquo in. f per substitutionem α. 6. I. δ. Tunc uullo negoti perspicietur. F transire in V per substitutionem
259쪽
6- - Cnne Iani designato detorminante formae j per d'. erit e radix quadranta Ex a. . et quidem positivu vul iamativa. pr t forma f' sormam f' vel proprie vel improprio implicat. Quare ne erit rad, quadratu ex ir; unde Patet . novem nequationes praecedentes aequationibus u uri. 235 prorsuq analogus csso. formainque s in transformatione formae F in m eodem modo accipi. ut in transformationesormae F in re: formam V vero in illa vel codem modo ut 1'. in linc. vel olyposito. prout f ipsam Proprie implicet vol improprio.
ΤIi EoREMA. Si forma F sub forma F' est contenta atque in productum e fr-mis f. s' truκε formabilis: etiam forma F' in idem productum transformobilis erit. Dem. Retentis pro formis F. f f' iisdem signis ut suum et supponendo formam F' transire in F Per substitutionem α. 6. o. facile perspicietur. F'Per substitutionem
idem fieri quod F pser substitutioncisi p. si. p . p;. g . et'. q . '. adeoque F' Per substitutionem illam transire in V. Q. E. D. Praeterea per similem calculum ut in art. yra . iacile confirmutur. F P dem modo in V transformabilem sore ut FH quando P ' ipsam F proprio impliacet; quando voro F improprie sub F contenta sit. transformationes formae Fin V et formae F in V oppositas soro respectu utri usque formae i. c. scilicet
260쪽
quae Ox 'his soranis in alteram trαnsformationem directe ingrediatur. in altera --eipi inverse. Ex combinatione theorematis Praesciatis cum theor. nrt. Prae . ObtinemuS
sequens Mneralius: Si forma F in productum Π est transformatilis. atque formae s. f res p. implicant forma s, k, forma F vero sub forma G eontenta est: G in productum yy transformabilis erit. Nam per theor. urt. Pracs. G transformabilis erit in V. hinc per theor. t. praec. in D et per idem theor. etiam in yy . Porro palol, si omnes tres sermac ff. G sorvius y. A, F proprie implicent. G tam modo in sy' transformabilem fore res civ formarum s. ν. ut F in Πrospectu formarum L f; idem evenire. si illae tres implicationes omneu Aint impropriae: donique uequo facile determinari poterit, quompilo G in yy transforma bilis sit. si ex illis implicationibus aliqua duabus reliquis sit dissimilis Si sormae F. f s' formis G, y. y resp. sunt nequivalentes. hae eosdem dolo inantes habebunt ut illuc, et quod pro sormis f s' sunt numeri m. ns, idemerunt pro formis s. y art. l6 l). Hinc nullo nmotio per conclus. quartam uri. 235 deducitur. in hocce casu G ex s. y' eompositum trire. si F ex L f composita sit. et quidem formam 9 in compositionem illam eodem modo 4ngrodi. iit f in hanc. quando F ipsi G eodem modo aequivalcat. ut f ipsi y, et contra: similiterque s in compositione priori vel eodem modo via opposito accipiendam ut fili posteriori. Prout aequivalentia formarum f. y nequivalentias sormarum F, G imilis sit vel dissimilis. .
T OREMA. Si forma F ex formis. f. y' eo posita est: quaeris alia formia in productum V eodem modo trana mobilis ut F. ipsom F proprie implicabit. Dem. Retentis pro F. f. s' onui bus signis art. 235. aequationes u etiam hie locum habebunt. Ponamus formam P A. H. GJ, cuius .determinans V, transtro in productum V Por Substitutionem p. p p . p : q. q'. q'. sic d