장음표시 사용
281쪽
ΤKEoa A. Si formae L f' mint eae iisdem ordinavis generibus et e lassibus ut 9. 9 resp.: forma e s et f' eommim eae eadem classe erit in forma eae g et s
Ex hoe theoremato cuilis veritas ex art. 239 protinus sequitur sponte Patinest significatio elassis e duabus elassibus datis sive etiam e pruribus compositae. Si classia quaecunque E cum classe principali componitur. classis K ipsa prodibit sius classis principalis in compositione cum aliis classibus eiusdem determinantia negligi potest. Ex compositione duarum classium oppositarum proprie primitivarum semper oritur classis principalis eiusdem determinantis v. nrt. 243 .Quum itaque quaeris classis inceps sibi ipsa opposita sit: ex compositione cuiusvis classis ancipitis proprie primitivae cum se ipsa classis principalis eiusdem d terminautis provenit. Propositio ultima otiam conversa valet: scilicet si eae eo Mitione elassis proprie primitivae K eum se ipsa provenit elassis principalis Η eiusdem determinan. tis, K necessario erit elasgis anceps. Si enim K' est classis opposita ipsi K. e tribus clasiabus K. K, K' composita erit Oadem classis quae oritur ex H et K: ex illis provenit K Rucinium K et K' producunt Η. haec cum K ips m Kὶ. ex his E quare K cum K' coincidet eritquct adeo classis linceps. Porro notetur propositio haee : Si elasses K, L oppositae εunt classibus K L .resp.: et sis ea K et L eomposita et si eae K' et L eompositue erit προ-
prie nequivaleant, F autem composita sit ex utraquE f y directe: F etiam exf'. y' composita erit, sed ex utraquo inverae. Quare forma quaeeunque . qu- ipsi F impropria inquivalet, compogita eri: ex f . y' directe adeoque ipsi F' proprie aequivalebit arti. 238, 239). unde F. F' impropria aequivalebunt. V sesque ad quas pertinent, oppoSitae erunt. Hine sequitur, si cla4sis anceps E cum clasae aneipite L componatur. semper prodire classem ancipitem. Nam Opposita erit classi. quae composita este classibus ipsis K, L Oppositis. adeoque sibi ipsi. quoniam hae classos sibi ipsae
282쪽
COMPONTIO CLAMIUN. 273 Denique observamus, si propositae Sint clussos diluo quaecunque K. Leiusdem determinantis, quarum prior sit proprie primitiva. somper inveniri posse classem M eiusdem determinantis. ex qua atquc K composita sit L. Manifesto hoc obtinebur. accipiendo pro II clusκem quae composita est ex L atque classe ipsi K opposita: simul perspicietur facillime. hunc classem esse unicum quac hac proprietato sit pracdita . sivo classes diversas eiusdem det. cum eadem classe Pr. prim. compositas producere classes divorsam. lassium compositio commode por signum additionis. denotari potest.
sicuti classium identitos per signum aequalitatis. In his signia propositio modo tradita exhiberi potest iba: Si κ' est classis opposita ipsi K. vrit K- - κ' classis principalis eiusdem dolorini nantis. undo L - L; Posita itaque K'--L - M. erit K-kM - L, uti desiderabatur: si vero praeter M alia Mdaretur Padum proprietate praedita . sive K - M' - L. foret K-- Κ M'- D - K M. unde M M. Si plure4 classes identi eao com nuntur. hoc ad instar multiplicationis denotari potest praefigendo ipsarum numerum . ita ut 2 K idour designet ut K -K. IK idom ut Ix- - K-kK etc. Eadem signa etiam ad forum transferri possent . ita ut M. b. H -- M. ι'. e in designaret formam ex a. i. cὶ, a. V. Hin compositam: sed ne vel species ambiguitatis oriri possit. hac abbrevioliono abstinere malumus, praesertim quod tali signo VII a. b. e significationem peculiarum iam tribuimus. Classem 2 K ox duplicatione classis K oriri dicemus . classem 3 K ex triplicati e etc. ε
Si D est numerus per sam divisibilis ubi ipsum m positivum supponimus :dabitur ordo sormarum determinantis D ex ordine proprie primitivo determinantis derivatus sive duo. quando D est Ia Nativus. nempe positivus et negativus ; manifesto forma m. 0, in ad illum ordiuom pertinebit scilicet ad positivum) meritoquo tamquam forma simplicissima in eo considerari potest sicuti - m. 0, -ὶ erit simplicissima in ordino negativo quando D nog.). Si insuper est l mod. 4 : dabitur etiam ordo sormarum det. D ex improprie primitivo det. - derivatus. ad quem manifesto forma 2 m. m. ) Pertinebit et
pro simplicissima in codem habebitur. Quando D est neg. . rursus duo ordines dabuntur et in negativo forma ί-2m. - m. - pro simplicissima habebitur . Ita e. s. . si etiam eum casum ubi m l huc referre lubet. in quatuor ordinibuκ35
283쪽
sormarum det. 4 5 sequentes erunt simplicissimae l. 0. -- 45j. 2: l. - 22. l. 3. 0. - tb . 6. 3. -6). Quibus ita intellectis. offert so PuonLEMA. Promita forma quacunque F ea ordine o. invenire formam Proprie primitivum spositiram eiusdem determinantis, ea cuiua comporitione cum forma in o simplicissimia oriatur F. . Sol. Sit forma F sma. mb. mri derivnta o primitiva a. b. o cuius determinans d. supponaim usque primo. f esse proprie primitivam. Primo Observamus. Si sorte a ad 2 dm non sit Priinis . certo dari a ius sormas ipsi M. b. dproprie aequivalentos. quarum termiui primi hac proprietate sint praediti. Nam Perari. 2.28 dantur numeri ad 2dm primi per formam illam repraesentabiles: sit talis numerus a πα-Ρ 2bα Tinc Iri supponamusque. quod licet . α. I esse inter se primos: tum, acceptis'. δ ita ut fiat αo-63 - l . transeat f per substitutionem a. 6. r. δ in formam M'. V. e . quae illi Prsprie aequivalebit et Proprietate pracscripta erit Praedita. Iam quum etiam F et tam . b m. ei in Proprio aequi valeant. tacito perspicietur. sufficere eum casum considerare ubi a ad 2 dmsit primus. Tunc M. bm. cmm erit se a proprie primitiva si enim a. 2bm. cmmdivisorem communem liaborent. hunc etiam 2dm - 2bbm - 2aem implicaret, eiusdem determinantis ut F. confirmaturque lacile. F transmutari tu productum e forma m. 0. -,-dm) quae, nisi F est forma ne tiva. erit simplicissima ordinis O. in a. bm. cmm per substitutionem l . 0. - b. - cm; 6. m. a. bm, unde Percritorium ita, obs. 4. urt. 235 concluditur. F cX mi 0. - ὶ et μ. bm. cmmὶ osse compositam. Quando autem V ost sortian negativa, transibit in productum osorma simplicissima eiusdem ordinis m. 0. dm in. Positivam - a. bm. - cmmj
Secundo, si s est sema improprie primitiva. sui ponere licebit i u ad 2dmesse primum: hi enim haec proprietas in forma s locum nondum habet. inveniri potest forma ipsi s proprio nequivalens et hac proprio late praeditu. Hinc autem sequitur sucilo. la, b m. 2emm osse formum Pr6prio Primitivam eiu ςdom deto minantis ut F; a que sucido confirmatur. V transire in productum o si rinis m. - 1 m-dm l u. bm. - 2 cmmper substitutionem
284쪽
ubi signa inferiora accipionda sunt quando F ost sorma nugativa. superiora in casibus reliquis. tamque ex his duabus soriniη es'e compoSi tam . quarum Prior erit simplicissima ordinis Ο. postorior forma proprie primitiva l positiva J.
PROBLEMA. Propositis duabus formis F. f eiusdem determinantis D et ad eundem ordinem O pertinenti a: invenire formam proprie primitivam determinantis D, quae cum s composita producat F. I. Sit forma simplicissima ordinis Ο: d. t formac proprie primitivae det. D. quae cum P compositae producunt ipsas F. I resp.: denique s sorma proprie primitiva. quac cum i composita producat d. Tunc forma F composita erit e tribus sermis i. sive e duabus f f . Q. E. L.
Quaevis ita tuo classis Ordinis dati considerari potest tamquam composita EX quacunquo classe data eiusdem ordinis et aliqua classe proprie primitiis eiusdem .ad torminantis. . .
THEOREM. Pro determinante dato in silvulis generibus eiusdem ordinis contentve sunt classeN aeque multiae. Dem. Pertineant genera G ct II ad eundem ordinem. con tot G eX nclassibuR K. K . K ... K' . sitque L classis utiqua o genere II. lnvestigetur Per uri. Prii c. classis proprie primitiva II eiusdem doterminantis. sex cuius compositione cum K prodeat L Osignenturque claθses quae oriuntur Ox compositione classiΝ M cum K . K . .:K' resp. per L. L' ... II Iunc ex Obs. ultima art. 219 Soquitur. Omnes classes L. L. L esse diversas, et per art. 2l, omnes pertinubunt ud genus idem. i. e. nil genus II. Deniquo Perspicietur tacite. II alias classus Praetor lius continere nou Posse, quum quaevis classis generis II tamquam com Polita considerari possit ex M ot alia classe eiusdem deturminantisi quae Iidcessario semper erit e genero G. Quocirca II perinde ut G continet n classes diversas. Q. E. D
285쪽
Theorema praecedens hupponit ordinis identitatem neque ad ordines diversos Est eXtendendum. Ita e. s. pro determinanto -l71 dantur .20 Classes Positivae. quae reducuntur ad quatuor ordinus: in ordine proprie primitivo duo continontur genera,' utrumque Sex Clasgos complectitur: in Ordine impr. Primitivo duo genera quatuor classes possident, singula binas; in ordine derivato ex O. proprie prim.
det. - 19 unicum est genu' tres classos complectens; doniquo O. derivatus ex impr. Prim. det. - 19 unicum genus h Di ex una Classe constans; perinde se
habent classes negati, M. Operae itaque pretium est, in Principium generale inquirsre, a quo noxiis inter multitudines classium in divorsis ordinibus pendeat. Supponamus, K. L esso duas classes ex eodem ordino positivo) o detorminantis . D. atque u classem proprie primitivam ciusd in det. , ςX cuius compositione cum K oriatur L. qualis per art. 251 semper potest assignari. Iam in quibusdam casibus fieri polost. ut M sit uniea classis pr. Primitiva, quae cum K Gmposita producat L; in ullis plures clae es divorsuo Pr. primitivao DXStaro Possunt hac proprietato pra ditae. Supponamus generuliter. dari r huiusmodi classes pr. Primitivas, M. M . M ... M quae singulae cum K compositae producunt eandem classem L. designomusque illarum complexum Icr M. Porro sit L ulla classis ordinis Ο a classo L diversa . atque N' classis Pr. Prim. det. D. quae cum L composita efficiat L . designoturque comploxus classium N εM AI --M ... N H-M quae Omnes crunt proprie primitivus et inter se diversi jlγer M. Tulic perspicietur facile. K cum classe quacunque ex II ' compositam producere II. undo concluditur. IV et in nullam classo in communem habere:
Praeter a nullo nugotio comprobatur, nullam Ct Sem Pr. Primitivum in complexuin' non contoniam dari. quae cum K composita producat ipsam G. Eodem modo patet. si L sit alia classis ordinis D a classibus L. L' diversa. dari rsornans pr. Primitivas tum inter se tam a sormis M. m diversas.' quae singulae cum K con visitas ipsam LI' producant . et perinde res se hui, bit pro omnibus reliquis classibus ordinis Ο. Quoniam vero quaevis classis pr. Prim. positiva determinantis D cum K composita classem ordinis O producit. facile. limc colligitur . si multitudo omnium classium ordinis o sit n. mul Litudinem. omnium classium proprie primitivarum positivarumὶ eiusdem determinantis sore r n. IIa-
286쪽
MELTITUDINES CLAMAIUM in sinia Is GENERIBUS CONTENTARI .
hemus itaque regulam generalem: Donotantibus K. L classes quascunque ordinis . ntque r multitudinem classium proprie primitivarum diversarum piusdem d torminantis, quae singulae cum K compositae ipsam L producunt, multitudo omnium classium in ordino proprio primitivo spositivri r vicibus maior erit quum multitudo classium ordinis Ο.Quum classos K. L in ordino o omnino ad libitum assumi possint. otium classes idonticas accipere licebit, et quidem e re erit ea classe uti. tu qua continetur forma huius ordinis simplicissima. Quam itaque pro K et L assumendo. res eo reducta est . ut onmes classes Proprie primitivae assignentur. quac cum K compositae ipsam K reproducant. Huc Via sternitur. Per sequens
TnEouEMA. Si F - A. B. πὶ est forma simplicissima ordinis o deterimi. nantis D, atque a. b, d foma proprie primitiva eiusdem detreminantis: per hane formam i repraesentari poterit numerus A A. si F oritur per compositionem formarum f. F; et vice versa F eae se ipsa atque s composita erit, si A A per frepraegentiari potest. Dem. I. Si F in productum fF transit per substitutioncm p. P. p . p ;q. q. q , g '; ex art. 235 baboniusA γ qq- 2 bq C- - eqs A', unde A A a et q- 2bq C-Ρ eqq. Q. E. P.
287쪽
et Proin p. p integri: si vero st
unde aequo facile concluditur, p et IV in hoc quoque casu osse integros. Ex his colligitur. F ex f et δ' osse compositam. Q. E. S. Problema itaque eo roductum est. ut omnes classes propria primitium dolo minantis D assignare oPortent. Por quarum sorinus repraewntari potest A A. Manifesto A A repracsentari eotest per quamvis formam. cuius torminus primus est vel A A vel quadratum partis aliquotae ipsius es; vico versa autem, si A A repracsentari potest per sormam f. . tribuondo ipsius indetermiuntis valores a e. re. quorum divisor communis minimus e. forma s Per substitutionem α. 6 r. δtransibit in formam. cuius tormiuiis Primus serninquo. haoc Proprie acqui valebit formae f. si 6. δ ita accipiuntur ut fiat a d - 67 i; unde patet . in quavis classe. per cuius formas repracsontari Possit A A. inveniri formas, quarum tu minus primus sit A A vel quadratum partis aliquotae ipsius A. IRos itaque in eo vorantur, ut omnes classes proprie primitivae det. D. cruantur, in quibus huiusmodi formae occurrant, quod obtinetur sequenti modo: Sint a. . . is ' etc. omnes divisores spositivi) ipsius A: investigentur omnes valores expr. x Dimod au inter 0 et a a - i incl. siti. qui sint b. V. ς etc. statuaturquebb D - aae. ι , - I a ne. Ub - D se a se ' otc. complexus formarum M a. b. d. aa. b . ej etc. designotur per ι Tunc sutile perspicitur. in quavis classo det. D. in qua Occurrat serina. cuius torminus primu8aa. etiam aliquam simam eX V contentam osso debere. Simili modo eruantur omnes sermae det. D. quarum terminus primus a . medius inter u et Ea - 1inci . situs. deSignoturque ipsarum complexus Per W: ea lomque ratione sit V
288쪽
complexus similium formarum quarum terminus primus tala ore. Eiiciantur ex T. V . in ore. Omnes sermn . quno non sunt Droprie t rimitivae . reducuntur reliquue in classes, et . si sorte Plures adsint ad pando in classem Portin tos. in singulis classibus una tantum retineatur. Hoc modo omnes classes qua silao habebuntur . eritque harum multitudo ad unitatem. ut multitudo omnium classium
proprie primitivarum spositivarum in ad multitudinem classium in ordine D. M. Sit D -- bal, atque o ordo positivus derivatus ex ordine improprie primitivo det. -59. in quo forma simplicissima 6. 3. 90ὶ sive A - 6. Hic a. c. s. a erunt l, 2. 3. 6: V continebit sermam it. 0. 531ὶ: P has 4. 1.1 33 .
formis sex sunt reiicionitae. puta ex V socunda et tertia. ex prima. tertia quarta et sexta, quae omnes sunt seruaue derivatae; Sex reliquae omnes ad classes divorsas pertinore inveniuntur. Reveru multiiuno classium proprie primitivarum positivarum) dct. - bal Νt 1 S. multitudoque classium impr. primitivarum ipOs. det. - 19 sive multitudo classium det. - bal ex his derivatarumὶ 3. adooque illa ad hane ut 6 ad 1.256. Solutio haec per observationes sequentes generales' adhuc magis illuStrabitur. I. Si ordo o est clerivatus cx, ordino proprio primitivo. metietur A A ipsum D: si vero O est impr. primitivi vel ex impr. Prim. derivatus. erit A Par. Di r b lal dixi sibilis et quotiens mod. 4ὶ. Hinc quadratum cui vis divisoris ipsius A mctietur vel ipsum D. vol saltem ipsum 4 D. et in cnsu posteriori quotietin seri Per erit se i modi 4 . II. Si a a ipsum D metitur i. omnes valores expr. IJ in . ais . qui quidem inter 0 et aa-l iacent. erunt s. a. 2α. . . a α - a. adeoque a multitudo formarum in I : sod intor finis tot tantummodo erunt proprio primitivae . quot
numerorum η'-L. - - 4 . . a -l in
289쪽
cum a divisorem communem non habent. Quando a - l. V ex unica forma constabit. l,0.-D . quae sum per orit proprio primitiva. Quando a ost 2 volpoststas quac utique ipsius 2. Scini Sueis illorum a numerorum par erunt. Semissis impar; quare in II nderunt formau Proprie primitivae. Quando a est alius numerus primus P vel potestas numeri primi p. tres casus sunt distinguendi: Acilicet. omnes illi a numeri nd a primi Prunt. Oooque omnos formae in I pr. primitivae, si per p non est divisibilis siluesque non rosiduum quadraticum
ipsius p: si vero p ipsum I metitur. in V erunt formae pr. primitivae: donique si I est res. quadr. ipsius p per ρ non divisibilo. in V erunt
formae Pr. Primitiva . IIaec omnia nullo nogotio domonstrantur. Gonoraliter autem posito a - 2 p qι designRntibus p. q. r etc. numeros primos impares diversos, multitudo formarum pr. primitivarum in V erit XPQR. . . . ubi statui debet
numeri erunt impares. adeoque omnes sormae in V pr. primitivae . si a est 2 vol potestas ipsius 2. generaliter autem in hoc casu tot formae pr. Primitivae in I runt, quot illorum numerorum P r nullum divisorem primum imparem ipsius ii sunt divisibiles. Multitudo haec erit NPQR .... si a i 2 'q/ . . . . ubi statuere oportet N- 2 ipsos P. Q. R etc. autem eodem modo eX p. q. r etc. derivare ut in caesu praecedente.
290쪽
IV. ΙIoc itaque modo multitudines formarum lir. liriinitivarum in V. C. Wotc. definiri Possunt; pro Ugregato omnium harum multitudinum haud dissi cultor eruitur sequens regula gemoralis: Nis .i 2 2 ei 'FEI. . designantibuΝ l. E. Eet . numeros Primos impares divorsos. multitudo totalis omnium formarum pr. primitivarum in V. C. W etc. erit . ubi statui debet
Vel ipserius prout est non-residuum vel res. qu. ipsius Sὶ denique b. e etc. eodem modo .ex E. E derivari ut a ex S. Demonstrationem fusius hic explicare, brevitas non permittit. V. Iain quod attinet ad multitudinem classium, quas suppeditant sormae pr. primitivae in V. IV. V etc.. tres casus sequentes sunt distinguendi. Prtao. quando D cst num rus negativus. Singulae sermae pr. Primitivno in V. V etc. 'constituent classem linculiarem . sive multitudo ipsa classium qua sitarum exprimetur per formulam in Observ. prae . traditam, duobus casibus exceptis . scilicet ubi Q vel - - 4 vel - - 3. sive ubi D vel - - A A vel
- - l A A. Ad demonstrationem huius theorematis manifesto ostendi tantummodo debet. fieri non posse. ut duaes sormae diversae ex V, C. V eis. sint Proprie aequivalentes. Supponamus itaque. h h. i. M Eh . t . Fὶ esse duas sormas diversus pr. primitivas ex V. V . W etc. ad eandem ci sem Pertinentes transeatque Prior in posteriorem per substitutioncm propriam α. 6. I. δ; unde habebuntur aequation Sαῆ - 67 l. hhaa -2ia I -kr I - ΨΚ. filia 6-μι αδ--67ὶΗ-k7δ t' Hinc facito concluditur. primo I certo non esse -0 funde Sequeretur. 28Seα - - l. hh - 4'h . i' - i inod. Λhὶ adocique formas propositas identicus, contra 36