Werke Carl Friedrich Gauss 1

261쪽

iales ut fiat . atque

Substitutis his valoribus ipsorum p. q. f. q' etc. in aequati. tribus ultimis L .sacile confirmatur intumento auquationum n kn, n n triumque ultimarum u. fore

quapropter forma F' per substitutionem α. I. I. δ quae P pria criti quoniam sto - 6r - k est positivus transibit in F., i. e. formam F proprie implicabit. Q. E. D. Ni itaque F' e formis f. y' etiam composita mi eodem modo ut F ex iis- domi. formae F. V eundem determinantem habebunt. eruntque adeo Proprio -- quivalentes. Generalius, si forma G e formis s. y dum modo comi sita est ut

262쪽

proprie aequivalebunt. .

Quum is casus ubi ambae se ne componendae compositionem dirocte irim diuntur. simplicissimus Sit, ad ipsuinque reliqui laclio reducantur. illum solum insequentibus contemplabimur, ita ut si forma aliqua simpliciter dicatur e duabus aliis composita. semper subintelligere oPorteat, ex utraque illam Proprie e88e compositam j. Eadem restrictio valebit, quoties sema in productum e duabus aliis transsermabilis dicetur.

determinantes harum septem sermarum resp. d. d d . D. D. P. a '. qui omnes eadem signa et rationem quadratorum inter se habebunt. Porro sit m divisor communis maximus num rorum a. 2b. e. similemque significationem habeant relative ad sormas f . . F. Tum ox concl. 4 art. 235. D erit diu. comm . mo. numerorum drum, d mm adeoque D m div. comm. m . num rorum dmmmv, d mmm ἀ; M mm; Z div. comm. min. num. D m m .d 'MM, sive numerorum D m m . d mmmm. Hinc concluditur . . T PSSO div. Comm. m . trium numerorum d mmm m , d mmmm . d mmmm'; ex simili autem ratione v eorundem trium numerorum divisor communis minimus erit; quam quum T. a ' eadem signa habeant. erit D - Σ'. sive formae δ. δ' eundem determin tona habebunt.

' Similiter ut in eompositione rationum quae eum eompositione formarum magnam finRlogiam habeti subintelligi solet, rationes eomponendas direete aeripiendas esse niui ubi eon rarium monetur.

263쪽

s. hi et quidem iisdem Signis resp. inccine ut n, n ; si igitur radix quadrata ex positive accepta quae sit numerus integer statuitur m k. erit ii k1 .u'-kέ. .Hinc ut .ex uoquati. senis pri 'ribus in ta et u' mandosium cst. foro

Quare per lemma art. 234 deternsinari poterunt quatuor numeri integri α. 6. I. ctalos ut fiat atque

Substitutis his valoribus ipsorum p. q. f. q' etc. in aequati. tribus ultimis si . facile confirmatur adiumento nequationum n - kn, n m kn triumque ulti- murum v, fore

Q. E. D. 'A

Si itaque F' o formis L s' otium composita est eodem modo ut F ex iisdem . serniae F, F' eundem determinuntem habebunt, cruntque udeo Proprie -- quivalentes. Generalius, si. forma G e formis s. cy' eodem modo compositu ost ut

264쪽

COMPOSITIO FORMARUM.

255 F ex Ly' resp. . formaeque s. y' ipsis L s' proprie nequivalent: somno F, G

proprie aequiValebunt. . a

Quum is casus ubi ambae somne componendae compositionem directe ingrediuntur. simplicissimus sit. ad ipsumque reliqui sacpo reducantur. illum solum insequentibus contemplabimur, ita ut si forma aliqua simpliciter dicatur e duabus aliis composita, semper subintelligere oporteat. ex utraque illam proprie esse compositam' . Eadem rostrictio valebit. quoties sorma in productum e duabus aliis transformabilis dicetur. 240.

d torminantcs harum septem formarum resp. d. ii'. d . D. D. P. T qui omnos eadem signa et rationem quadratorum inter se habebunt. Porro sit m divisor communis maximus numerorum a. 2b. e. similemque significationem habeant relativo ' ad formas c. f . F. Tum ex concl. 4 art. 235. D orit div.

min. m . numerorum dmm, d mm adeoque Dm 'm' div. Comm. min. numerorum dmmmm . d mmm 'm'; M m m ; D div. comm. min. num. Um m .d MM. sive numerorum D m' i cmmmm. Hinc concluditur . P esso diV. comm . min. trium numerorum dm sim m . d mmm m . d mm sim ; ox simili autem ratione T' eorundem trium numerorum divisor communis maximus erit; quam

quum T. T' eadem signa habeant. Orit Σ - P . sive sormae l. F eundem do- torminantem' habebunt.

', similiter ut in eompositione rationum . quaa eum eompositions formarum magnam analogiam h et subintelligi solet. rationes componendas dicteto Meipiendas esse niηi ubi eontrarium monetur.

265쪽

II. Iam transeat F in por substitution m

designenturque radicus quadratae .positivno ex si per n. t. ii . Tunc IHr art. 235 hybebuntur ducem Ot Oeto aequationes. quarum semissis ultera ad transformationem sorinuo F in V pertinebit. altera ad transformationem sormae δ in P Υ . Prima erit pq - qρ' a P, ad cuius instar tacito formaritviterunt reliquae brevitatis gratia hic Omittendae. Coinrum quantitates n. 9ὶ. ii rationalas quidem erunt. sed non necessario numeri integri . III. Si valores ipsorum X. 1 .in valoribus ipsorum 1. 'in substituuntur. Prodit ηubstitutio talis: et P

Dor quam mandosto g transibit in productussi V XC ssiciens sit orit Pp - - 1 p : Vuloru8 quindecim reliquorum non apponimus. quippe quos quisque nullo negotio evolvet. Designemus numerum lj l0ὶ - 2 9ὶ per si 2 . nume

suPPonendo s.'h esse into Os inaequales inter i et l6. quorum mnior h ὶ; hoc modo omnino viginti ut octo signa habebuntur. Iam denotatisi radicibus quadratis positivis Ux ' i lier n. n . iquae orunt senθὶ . n pr). cruentur sequentes 28

' Horum signomin simis tio pra en non est eonfundenda' eum ea. in qua in art. 234 ac pia erantinam numeri per haoe igna 1ie expressi apprimo respondent iis . qui in ari. II 4 per numeros similibu Ignis aris denotatos multiplicabantur.

266쪽

quas designabimus per φ j. IV. origi item omnium harum 37 a quationum deducere nimis prolixum foret: Sufficiet quasdam confirmavisse. ad quarum instar reliquae haud difficulter demonstrari Poterunt.

267쪽

DE PORMIS RECUNDI GRADUS.

- n bb - - ii b ς - n ad n Un uequatio octava in Lb. Aequutiones reliquus lectoribus confirmanduη linquimus. V. EN aequati. sequitur. viginti octo numeros l. 2 . i 3, etc. nullum divisorem communem habere . sequenti modo. Primo observamus. viginti solitem productu se tornis factoribus. quorum Primus vel n. secundus aliquis numeroruma, 2b', c, tertiusque aliquis numerorum α. 2b . es; vel primus ii , secundus Hi- quia e numeris a. 2 b. e. tertius aliquis numerori im a. 2b , es; vel denique Primus C. secundus aliquis numerorum a. 2b. c tertiusquo aliquis e numoris 2b c singula haec viginti septem producta propter aequati. uequalia esse vel alicui

et sic de reliquis): quamobrem si hi numeri stivisorem communem haberent. hic necessario etiam omnia illa producta metiri deberet. ΙΙinc vero facile deducitur iumento uri. 4u ot per methodum sacpius in praecedentibus adlisibiluin, Eundem divisorem etiam numeros nm n mm metiri debere . adeoque horum

268쪽

quadratu quae Sunt , , - Per Illius quadratum divisibilia osse. Q. E. A. . quoniam per Ι trium numeratorum divisor communis maximus est P. adeoque quadrata ipsa divisor In communem haboro nequeunt.

designando omnes coefficientes similiter ut in transformatione sornaue i iii V .gingulisque distinctionis caussa lincolam ingendo ox qua perindo ut ante 2 a quaticinos ipsis xb analogno deducentur. quas Per P designtibimus, novemque aliae ipsis q analogae. quas exprimemus per C. Scilicet denotando

amitationes sb' erunt l. a)'-αa's. l. 3 aE n'. ore. v quationes C autem iii 'si ij - 9 ' i 2 ' - an'n 'i'. etc. Evolutionem uberiorona brovitatis gratia Dctoribus relinquimus; ceterum lieriti novum Calculum ne nec Asarium quidem' esse. sed analysin primum Per analogiam facile huc transferri posse invenient . Quibus ita lactis. ex sp et si ' statim sequitur

hinc vero et inde quod omnes si . 2 . l. 3). 2. 3ὶ etc. divisorem communem per V

non habent, adium illo lemmatis uri. 234 Concluditur. quatuor numeros intcgrona. 6. I. o ita determinari posse. ut fiat

Disitirco by Corale

269쪽

VII. Hinc atque substituendo ex tribus ainuati . primis T valores ipsorum a R. a 2'. ad. Et ex tribus nouli. Primis τ' valores ipsorum a S . a 23 ad' sacile confirmatur soro

unde. nisi a - 0, manifesto sequitur. sori anni δ transire in δὴ lier substituti nem propriam α. 6, 7. δ Adhibendo autem loco trium aequationum pri inn-rum in ψ t tros sequentes . facile confirmabuntur tros a quationes modo traditis omnino similes, in quibus loco factoris a ubique invenitur b; undo patet. eandem Conclusionem etiamnum valere . si modo non sit b- 0. Donique adhi- Nndo tres ultimas aequationos ψ . invenietur codem modo. 'conclusionem veram esse . nisi e 0. Quocirca. quum certo Omnes a. b. c Simul mu esse nequeant. necessario sorma d per subst. a. 6. I. δ transibit in J . udeoque huic sormae proprie aequivalebit. Q. E. D.

24i Talem formam ut d vel R. quae oritur . si una trium sormarum daturum comPonitur cum ea quae ex compositione duarum reliquarum rosultat. eae his tr bus formis compositum vocabimus. patetque ex art. Praec . . nihil hic intereSSO quonam ordine trea semae componantur. Simili modo propo itis quotcunque sormis etc. quarum determi uantes rationem quadratorum inter se habere debentὶ, si forma f componitur cum f. resultans cum s . quae hinc oritur cum T etc. : forma quae ad fiuum huius Oporationis prodit eae omnibus formis s. f . f . f etc. composita dicetur. Facile vero demonstratur. etiam hic arbitrarium esse, quonam ordine formae componantur; i. e. quocunque Ordine hae formae componantur. formas ex compositiono Oriundas RemPer Proprie nequiVn- lentes ESNe. Porro manifestum est. si formis f c. f etc. proprie aequivaleant formae 9, 9, 9 etc. resp., formam conatiositam Ex his proprio a qui valent m fore somno sex illis Compositae.

270쪽

242. Propositiones praec dent a sortia rum Compositionem maxima univor alitate complectuntur: progredimur iam nil applicationcs magis liarticulures. per quaSillarum ordinem interrumpere noluimus. Ac primo quidem resumemus problema diri. 236. quod Per conditiones sequentes limitabimus: primo ut serinae compo-uendus eundem determinantem habeant. sive sit i/-d ; secundo ut m . E sint inter se primi; tertio ut forma quaesita directe ex utraque f. s' composita sit. Ilinc etiam min.:m m Qiutor se primi erunt; quares divisor communis maximus numeroruin d mm . d mm i. e. D fiet d - d'. atque n l. Quatuor quantitates C. T . G. T . quao ad libitum assumi possunt. statuemus - l. 0. 0, 0 resp. . quod SemPCr licobit unico casu excepto, ubi a. Q bH-ν simul sunt μέν, ad quem igitur hic non respiciemus: manifesto aurem hic casus occurrore timuit nisi in m is determinantis positivi quadrati. Tunc patet. μitori divisorem communem maximum num rorum a. . . numeros s . I . I ita accipi debere ut nat

C autem per aequationem AC in BD - D poterit determinuri . si modo non simul a ct ά-u. In hac igitur solutione valor ipsius A non pendet a valoribus ipsorum T. V. v . qui infinitis modis diversis determinari imssunt I: B autem alios

valores obtinebit tribuendo his numeris alios valores. Operaeque Pretium est inu Stigare . quomodo omne8 valores ipsius B inter so connexi sint. Ad hunc finem observamus I. Quomodomuique determinentur I. V. l . valores ipsius B inde prodeuntes Omnes congruos esse Recundum modulum A. Ponamus. si statuatur