장음표시 사용
271쪽
quae limpior uequationem priorem manifesto orit u. habebitur evolutione facta et sublatis quae se destruunt
posse alios valoros horum numeros'un. ex quibus Is nanciscatur Vul Orona quemcunque datum ipsi E secundum m . . 1 congruum. Puta EH-k l. Primo observamus, quatuor numeros μ, e, c. b - ν divisorem commvnoni habere non posse: nam si quem haberent, hic metiretur sex numeros a. a': bH-b', c. c. b - νndeoque tum ipsos a. 2b. c. tum ipsos T. 2 b . E et proin etiam ipsos m. m. qui per hyp. inter se sunt Primi. Quamobrem quatuor numeri integri l. h . h . h Iioterunt nssignari tales ut fiat
272쪽
Hinc perspicuum est. B semper ita determinari posso ut iaceat inter u ot A lincl. . si quidem A cst positivus; vol intor 0 et -A-l si A negativuς.
Quoties inter se primi sunt. inter v et A-l sivo intor u ct -Α - lquando A est negativusὶ unicus tantum numerus iacebit qui secundum inod. sit - h et in F soc. mod. --: qui si statuitur in B atque ββ ' C. palam est. A. B. Cin e formis M. b. d. M. V. οὶ compositam fore. In hoc Hiaquc casu ad inventionem formao compositae ad numeros 'l'. 'ir' non amisius ol ori trespicere'. Ita e. s. si quaeritur forma e sermis sit . a. li). l5. 2. 7ὶ comi sita. erunt a. a. bH-ν rosP. l0. i5.5; μ 5: hinc A 6; B-3 mod. 2 et - 2 most 3 . unde B-b atque 6. 5.2 ij se a quaesita Ceterum conditio ut
- , - inter se primi Sint. Omnino aequiolet huic. ut numeri duo- a. a divisorem communem maiorem non hli rent quam tres a. b - V. sivo. quod eodem redit. ut divisor communis minimus numerorum a. a' etiam numerum ιμ-ν metiatur. Notentur imprimis sequentes casus parti Culares: i in Propositis duabus sermis M. b. d. a . U. e) eiusdem dot rminantis Dita comparatis ut divisor comm. min. numerorum a. 2 b. c Primus sit ad div. Comm. muX. num. a. 2b . c. atque cl Primus ad a: sorma ex his composita l. B. invenitur saciendo A aa'. I, b mod. M et - Γ mod. a j. C ' . Hic casus semper Deum habet . quando altera sormarum componondarum est sor i principalis, puta a l. b 0. e - - D. Tunc erit A se a. B statui imi rit
ὶ Quod semper emeitur adhibendo eongrusntias
273쪽
b . unde si t C - c; quare ea forma principali et quam que vilia forma eiusdem determinuutis eum inim est luιec omina ipso.
2 Si duae sormae inpositae proprio primitiinu sunt componendae. Puta a. b. eὶ et μέ - b. H, erit μ - a. IIinc facile perspicitur. formam principalem l . 0. - R ex illis esse compositam. 3 Propositis quotcunque sormis proprio primitivis. a. b. c a'. P. e . a , b . e j etc. eiusdom determinantis D. quarum termiui antecedentos a. a'. scis. Sunt numeri inter se primi. forma A. D. C ex illis otia nilius comitosita in-
enim Perspicietur . ex duabus formis a. b. c. M. ι . e) compositam fore sorinam Mae. B. 'Sex hac atque M. V. e' formam saa. . B. EtC. Vice versa 4 Proposita forma proprie primitiva A, B, C determinantis D. si te minus A in sactores quotcunque inter se primos a. ά. a etc. resolvitur; numerib. U. ς etc. ipsi B vel aequales Vel Ralium sec. mod. a. . . . ' etc. resp. congruinccipiuntur. atque fit ae bb - D. ala b δ' D. ΚΗ - b b D etc. : forma A, B. Cin composita erit e formis v. b. H. μ ν e). μ' ς es, . sive in has formas resolubilia. Nullo negotio probuturi eandem propoηitionem adhucduin Valere. etiamsi forma A. B. Cὶ sit improprie primitiva vel dorivstis. Hoc itaque modo quaelibet Drma in alias eiusdem determinantis resolvi potest . quarum terminianto Mntcs omnes sint vel numeri primi vel numerorum primorum potestates. Talis resolutio saepenumero commode applicari potest . si ex pluribua formis datis Componenda est una. Ita e. s. si quaeritur forma composita e formis 3. i. 134 . 10.3 4 ij. 15. 2.27 , resolvatur secunda in has 2 l. 20 l . 5.-2.8 l . tertia in has 3. - i. 134j. 5.2.8lὶ, putetque, formam OX quinque formis 3. l. a 34 . 2. i. 201 . 5. - 2 Slj. 3. . - 1 134ὶ 5.2.8lὶ compONitam. qu unquo Ordine
aecipiantur. etiam ex tribus datis compositam sore. At ex compositione prunae cum quarta oritur forma principalis l. 0. 40l :. eadem provonit ex comi visitione tertiae cum quinta: quuro ex compositione cunctarum conflatur forma
274쪽
5ὶ Propter rei utilitatem operae pretium est, hanc methodum adhue amplius explicare. EX Observatione praecedente manifestum est, Problema. quotcunque formas datas proprie primitivas eiusdem terminantia eomponeret reduci posse ad compositionem formarum, quarum termini mitiales sint potestates numerorum primorum nαm numerus primus tamquam sui ipsius potestas prima considerari potest . Quamobrem eum imprimis casum contemplari convenit, ubi duae sor-mne proprie primitivae a. b, H, M. R ej sunt componendae, in quibua a et a sunt potestates eiusdem numeri primi. Sit itaque a in P, a se hue designanto hnumerum Primum . . SuPponamusque quod licet), κ non esse minorem quam λ. t itaque Λ div. comm. min. numerorum a. a. qui si insuper ipsum b--Γmotitur. habebitur casus initio huius. t. consideratu . eritque A. B. Q ex propositis composita si statuitur in P B li mod. h ) et U mod. i). quae conditio posterior manifesto omitti potest: C --- Si vero P ipsumb - ν non metitur, necessario div. comm. min. horum numerorum et ipse erit potestas ipsius 4; sit igitur inh eritque Μαλ statui debet v - 0. si sorte fi et b--ν inter se primi sunt j. Si itaque ita determinantur. ut fiat
275쪽
IIinc A - 8. valor expr. i mod. 8 . qualis est l. unde B - 8k-73. ad mque laetendo k - 9. B - - l atque C 3 . sive IS. - l. 37ὶ lamia quaesita. Propositis itaque formis quotcunque: quarum tormini initiales omnes sunt Poteηtntes numerorum primorum, circumspiciendum eriti Ini in aliquarum termini antecedentes sint potostates eiusdem numeri primi. atque hae inter se respoclive per regulam modo traditam componendae. Hac ratione Prodibunt se M. quarum termini primi etiamnum erunt potostates numerorum primorum. sed omnino diversorum: forma itaque ex his comitosita Per observ. tertiam doliniri potorit. Sy. Propositis sormis 3.1.47J. 4 0. ab . 5. 0. 2SJ l6. 2.9 . s. 7. 2 l . 36. 6. i) DX Primn et quinta conflatur. forma 27. 7, 7); ex secunda ot quarta confit l6.-6, iij. ex hac et sexta l. 6.l40 . quae negligi potest. Supersunt itaque a. 0. 2S'. 27. 7. 7 . eX quibus producitur 135. - 20 4 , cuius loco assumi potest proprio acquivalens 4. 0. 35 . Haec itaque est resultans ex compositione sex
Ceterum ex hoc sonte plura alia artificia in applicatione utilia hauriri possunt; sed ne nimis longi fiassius. uberiorem huius rei tractationem gupprimimus. ad alia difficiliora properantes.
Si lγer formam reliquam i repracsentari potost numerus a. lvir formam filumerus . . Atque forma F in Π' ost trans rinabilis: nullo aiegotici perspicitur. productum aE per sormam F ropraesentabile fore. Hinc statini Noquitur. quando determinantes harum sormarum sint negativi. somam F Ρ itivum soro, si vel utraque f. y sit positiva vel utraque uegativa: contra F fieri negativam. si altera formarum f. s' sit positiva altera n gativa. Subsistamus in Eo imprimis caSu quEm in nrt. Praec. consideravimus. ubi F ex L s' composita est, atque s f et F eundem doterminantem D habent. Suppossumus insuper, repraesentutiones numerorum a. a Per sermus L f fieri per valores inguiorminatarum inter se primos . atque priorem pertinere ad valorem b expressionis od. H, posteri rem ad valorem F ςxpr. v D m .a ponaturque hb - D ae. νν-D - . . Tunc Per art. 168 sormae p. b. a. b'. et proprie nequivalebunt formis s.f; quare F otiam Qx illis duabus sorinis composita erit. Sed ex iisdem formis com posita erit sordiu A. B. C), si, posito numerorum a. ά. b - - Γ clivisor com
276쪽
AC BB- D: quare haec serina proprie nequivalebit formae F. Iam per sor-mum Aara - 2B H- y repraesentatur Immerus a a. faciendo in quorum valorum divi mr comm . max. est μοῦ quare au otiam l er serniam F ro-pra sentari poterit ita ut valores indoiserminatarum habeant divisorem communem maximum μ uri. l6. . Quotiea igitur evadit μή l. au' lγer formam F repra sentari poterit tribuendo indeterminatis valores inter Se primos . repraesentatioque haec pertinebit ad valoreur B ex pr. vD a j. ipsis b. v secundum modulos a. a' resP. congruum. Conditio μ-l semper i una habet . quando a. ainter se primi sunt: generiaiter .autem. quando divi comm . min. ipsorum a. ia' nil bεν est primus. ' . : '
Tuminu Si forma s ad eundem ordimem refer uti rat ut g, similiterque est dirim ordine ut j: forma F eae s. f eon με itu eundem determinon m hia. bebit eae eodemque ordine erit ut forma G ea st. μ' compoSitu. Dem. Sint formae f. t. F - a. b. H. a'. ν. c). M. D. Q resp. . ipsarum-qus determinuntes d. d . D. Porro Sit numerorum a. 2 b. e div. Comm. mari. numerorum a, b, c di . comm . min. - m:. similesque signiscutiones haheanv m. m' rospectu sormae i , et M. Si rospectu formais F. Tunc ordo sormae s determinabitur per numeros d. m. m. 'unde iidem numeri etiam pro formus valebunt: eadem rutionc numeri d'. m. in Uem erunt Pro sorma ε' quod sunt pro forma L. Ium per art. 235. numuri D. M. Si determinati sunt por d. d . m. m. m. ni : Scilicol erit D dirisor communis maximus ipsorum um m. d mm: M G in m niquo si mi in m si sirin m - m. m' m'ὶ vol - 2nim' sim - 2 m. aut m - 2ni J. Quae propri tutos ipsorum D. II. BI. quum inde sequantur, quod F ex s.f' coint, i tu .est: facile porspicitur. D. M et 'κ etiam pro forma G valere. ndemus G Esse ex eodem ordine ut F. Q. E. D. . Ex hae ratione ordhiem tu quo est forma F. compositum dicemus ex ordinibus in quibus sunt formae L. f. Ita e. s. ex duobus Ordinibus proprie primitivis Aemper compositus est similis ordo: ex proprie primitivo et improprie primitivo. improprie primitivus. Nimili modo intelligendum est. si ordo aliquis ex pluribus ullis ordinibus Compositus vocabitur.
277쪽
PuonLEMA. Propositis duabus foramis primitivis quibuacunque f. s. ea. q-rum compositione oritur F: eae generibus ad quae pretinent f. s' de ire genus ad quod referenda erit F. Sol. I. Consideremus primo eum insum ubi ad minimum una sormarum f. e. g. Prior est proprie primitiva, design musque determinantes formarum f. f. F per d. ὰ .D. Tunc D erit dirisor communis maximus numerorum d mm .d', ubi mi est aut i aut et, prout forma L est proprie aut improprie primitiva: F autem in casu illo pertinebit ad ordinem proprie primitivum. in hoc ad improprie primitivum. Iam genus .formae F definietur per ipsius characteres
particulares, nempe tum respectu singulorum dirisorum primorum imparium linsius D. tum, Pro quibusdam casibus. respectu numerorum 4 aut S. Hos igitur singulos doterminare oportebit.
1 . Si p est dirisor quieunque primus impar ipsius D. necessario etiam ipsos d. β' metietur. adeoque otiam inter characteres formarum f. s' oecurrent ipsarum relationes ad p. Iam si per I repraesentari Potest numerus a. Per f' numerus a': Productum aE repraesontari poterit per F. , Si itaque tum per Atum per T repraesontari possunt residua quadratis ipsius p per p non divisibilia) . etiam per F residua quadratica ipsius p rePraesentari poterunt. i. e. si utraque f. V habet et ructorem sorma F eundem et racterem habebit. Simili ratione F habebit charactorem. Np. si utraque f. y' habet characterom N p contra F habebit ehar. M. si altera formaram Ly' habet Ap. al
2'. Si in characterem int grum formao F ingreditur relatio ad numerum 4. talis relatio etiam in charactores laxmarum f. ingredi debet. Nam illud tunc tantummodo evenit . quando D est -0 aut is 3 mod. 4 . Quando Dpor 4 est divisibilis. etiam d mm' et d' per 4 divisibiles erunt. unde statim P tet non posse esse improprie primitivam, adeoque esse n.' - I; hinc tum dium d' per 4 divisibiles crunt. et in utriusque otiumcterem ingredietur volatio ad 4. Quando D - 3 mod. 4ὶ . metietur D ipsos d. d'; quotienteου erunt quadrata. adeoque etiam d. d necossario vel -0 vel -3 in . 4ὶ . et inter cha-
278쪽
racteres ipsarum relatio ad 4. Hinc eodem modo ut in l'j sequitur. eli racterem formae F sore l,4. si veI utraque f. habeat 1 4 ves utraquE3 4; contra characterem formae F sore 3 4. si altera formarum f. y' habeat
3'. Quando D per 8 est divisibilis. etiam d' erit; hinc certo proprie
primitiva. an in t atque etiam d per 8 divisibilis; quare inter characteres sormae F aliquis e charactoribus 1 8; 3. 8; 5, 8; T. 8 tunc tantum locum habere Potest. si etiam in charactere tum sormae f. tum sormae f' talis relatio ad 8 adest. Facile autem. confirmatur Eodem modo ut ante, characterem formae F lare 1.S si s et f' respectu ipsius 8 eundem habeant: characterem formae F sere 3. S. si altera formarum L f' habeat l. 8 altera 3. 8, ve, altera b 8 altera 7. S; F h bere b. . si s f ha ant l. 8 et 5.8 vel 3 8 et 7 8: F habere 7. b. si s et flhabeant vel 1 8 et T. 8, Vel 3 8 et 5.8:4'. Quando est D - 2 mod. 8 . erit d' vel 0 vel - 2 mod. S , litae l. adeoque etiam d vel - 0 vel - 2 mod. 8ὶ; attamen uterque d. d per 8 divisibilis Esso nequit, quoniam D est divisor communis mcirim iPSOrum Quare in eo tantum casu alteruter characterum i et T. 8; δ et 5.8 .. sormae Ftribui debebit, ubi via utraque forma si filiquem Ex illis habet. veI altera aliquem ex illis, altera uliquem horum 1 8; 3.8; 5.8; 7 8. 11inc sacile deduoitur. characterem famae F. determinari per fabulam sequentem, si chreructer in mur-gine Positus pertineat ad alteram formarum L f', ad alteram vero character
3 et 5.83 et 5,81 et 7,8sq. Eodem modo probatur. ipsi F tribui non mam ulterutrum characi rum I et 3. 8; 5 et 7. 8, nisi etiam aliquis in iisdem Astitem uni sormarum f. 'competat'. alteriquct vel aliquis ex iisdem, vel aliquis ex his l.S: MN b. 8: T. b.
279쪽
Et quidom character formae F determinabitur per Lauc tabulam. in cuius margilio est satae sunt Characteres formarum f.
ex improprie primitiva u A. -l L. t Cl. cuius determinans orit : s. et cuius genus determinabit gonus formae F. Character nutem illius formae. tamquam improprie primitivac. rotationes ad 4 vol S non implicabit. sed tantummodo relation ad singulos divisores primos impares ipsius lD. Iam quum omnes hi dirisoros manifesto etiam limos d. d' metiantur. utque semissis cuiusvis producti duorum suctorum . quorum alter Per V alter por 1' o,t. repraesentabilis. laer formam ἔ A. B. ὲ C) repracsentari possit: lacitu perspicietur, charactorem huius formae respoctu cuiusvis utimori primi imparis p ipsum t D metientis fore Np. tum si fuerit 2 Rp retque formae 1. f . respectu ipsius p eundem chaructorem habeant. tum si morit 2 M atque characteros sormarum f. y' respectu ipsius p oppositi: contra characterem illius formae iam M. tum si L 1' habeant characteres ue-quuleS respectu ipsius .p atque sit 2 . turn si f. y haboant oppositos utque sit 2Ies . 247. EX Solutione problematis praeo. inanisostum est. si s sit sorinu primitivuex eodem ordiue et genere ut f. nec non F' forma primitiva ex eodem ordine et genere ut f: formam Ox s ety compositam ad idem mn pertinere. ad quod pertineat serina ex f et f' composita. Hinc sponte sequitur significatio seneris
280쪽
ex duobus aliis generibus sive etiam pluribus j compositi. Porio ibinde patet. si s t eundem determinantem habeant utquo f sit forma e genere principali. F vero ex f ot f composita: F sere codem genere ut f'; quocirca gonus principale in compositione cum aliis' genseribus eiusdem determinutatis Lemporomitti poterit. . Si vero reliquis manentibus 1 non est o genere principali. s' autem sorma primitiva: F certo orit ex alio genere quam f'. Dcniquo si s y' sunt formae proprie primitivae eiusdem generis. F erit e genere principali: si vero' f s' sunt amb o pxoprio primitivae eiusdem determiunntis, sed e diversis generibus . F ad gonus principale pertinere non poterit Quodsi itaque forma quaecunque proprie primitiva emn se ipsa componitur. sema inde resultans. 'quae
suam proprie primitiva elusidomque determinantis Prit. nec sario ad genus prin
rum Q R e. ita ut sint derivatae e primitivis quas denotabimus per. s. 1' resp. Iam si saltem - formarum f. s est proprio primitiva. divisor coham. mnx. numerorum A B. C erit rim'. ad inne F derivata
e forma primitiva - . l . unde patri genus sermne F pendere a genere formae d. Sed sacile pexspicietur. η per eandem sui titution m transire in ii'. per quam F tranSeat tu L . adeoque ex s. f se comminta n is iusque genus Iaer Problema art. 246 determinari posse. α' Si vero utraque i. s' est improprie primitiva. divisor c. m. num mxum A. B. Q erit 2 iram'. formaque detiamnum ex s. i' composita et manifesto o proprie primitiva derivata. Huius itaque lamas genus determinari potorii per art. 246: et quum F sx sadem λrma Orivata sit. ipsius genus hinc sponte innotescit. Ex hac solutione manifestum est, th rema in nrt. Pra . Pro semis primitivis explicatum. scilicset' f'. sint eae iisdem seneribus resp. ut L 's'. formum e f. y' eompositum ea eodem genere fore. ea quo sit forma eae L. st composit . gener liter pro sermis quibuscunque valere.