장음표시 사용
291쪽
hyp. ; Secundo. I divisibilem esse Per divisorem maximum communem numer
ad A et Proin otiam ipsum 4 D mctietur. quare erit intcgeri negativus , quem statuendo - e. Erit Pp - Dqqπαρ-εi- 4 - q. in qua aequatione Pars tamquam quadratum ipso 4 minus necessario erit vel 0 vel i. In casu priori erit eqq - 4. et D - unde sequitur . esse quadratum' signo negativo affectum adeoque certo non mod. 4 , neque adeoo ordinem improprio primitivum neque ex improprie primitivo derivatum. Hinc crit intcgur, unde lacile deducitur, e Per A esse divisibilem, qq l. D - - atque etiam ς integrum. Hinc necessario erit D - - AA sive - l. quae est exceptio Prima. In casu posteriori orit eqq a. unde e - 3 et 4 D -3 T i hinc 3 - oxit integer, qui, quoniam per quadratum integrum Ui' multiplicretus producit 3. non poterit osse alius quam 3;
hine 4 D - - 3 A A sive D-- AA. quae est exceptio secunda. In omnibus igitur reliquis casibus omnes formae pr. primitivae in V. V , V etc. ad classcts diVorsas Pertinebunt. Pro casibus ex Ptis ea. quae in disquisition haud dissicili sed hic brevitatis caussa supprimenda resultaverunt. RPPOsuiSw Susificiat. Scilicet in priori. ex sormis pr. primitivis in V. C. V otc. binac semper ad eandem classem pertinebunt. in posteriori ternae. ita ut multitudo omnium classium quaesitarum in illo casu fiat semissis. in hoc triens valoris exprossionis in Obs. Praec. traditae. Secundo quando D est numerus positivus quadratus: singulae sermae pr. primitivae in V. U. W cis. sino cxcopii Onc classem poculiarem Constituunt. Nupponamus enim. hh. i. kJ. h'h . c. F) esse duas talos sermas divorsas proprie aequivalentos. transeatque prior in posteriorem per substitutioncm propesum α. 6. I. δ. Tum Patet, omnia ratiocinia pro casu praec. adhibita, in quibus non supponatur D esse negativum. etiam hic valere. . Designantibus itaque p. q. r
292쪽
MULTITUDINES CLASSIUM IN SINOUDA GENERIB A coNTENTARUM. 283
idem ut illic. etiam hic erit integer. at non amplius negativus sed positivus insuperque qu dratus. quo Posit in sy, erit -9sqq - 4. Q. E. - . . quia disserentia duorum quadratorum nequit osse 4. nisi quadratum minus fuerit θ:
quamobrem suppositio consistere noquit, P . Casu 'tertio autem, ubi D cst numerus positivus non quadratus. r
gulam generalem pro comparanda multitudino formarum pr. primitivarum in V. U', U' etc. cum multitudins Hassium divorsarum indo resultantium hucusque non habemus. Id quidem asserere possumus, hanc vel illi aequalem vel illsius partem aliquotam esse: quin etiam nox um singularem inter quotientem horum numerorum et vuloros minimos ipsorum t. v acquutioni it - Duu - A A satis-sacientes deteximus. quom hic explicare nimis prolixum soret: an vero possibile sit . illum quotientem in omnibus casibus ex sola inspectione numerorum D. Acognoscoro ut in casibus praccc. . de hac re nihil certi Pronunciare possumus. Ecce quaedam exemPla, quor uu numerum quisque tacito augere poterit. Pro D se l. . 1 2. multitudo formarum μ. prim. in V etc. est 3. quae Omnes . sunt aequivalentes sive unicam claessem efficiunt: pro D - 3T, A - 2. otium tres se ac pr. prim. in Uetc. habentur. quae ad tres classes diversas Pertinent; . Pro D - 58S. A se T. habentur Octo formac pr. Ρrim. in V etc. quae efficiunt quatuor classes. pro D - S67, A - 17 in V etc. sunt 18 sormae pr. primitium. totidem pro D 1445. A - 17. s d quae pro illo determinante in duas claΝ ΟΝ discedunt, pro hoc in SeX. VI. Ex applicatione huius theoriae generalis ad eum casum, ubi Ο ostordo improprie primitivus. colligitur. multitudinem classium in hoc ordine con- . tentarum lare ad multitudinem omnium classium in ordine proprie primitivo. uti ad multitudinem classium proprie primitivarum diversarum . quas hue tres formaei l. 0. -D . 4, 1. -- J. 4. 3, officiunt. Et quidem hinc resultabit unica Classis. quando D- l tmod. 8 . quia in hoc crusu forma secunda et tertia sunt improprie primitivae; quando vero I bimod. bi, illae tres sermae omnes erunt proprie primitivae totidemqua classes diversas producent, si D Ost negativus. unico
casu EXCEPto. ubi D - - 3, in quo unicam classem constituunt: denique casus
ubi D cst positivus Jormas SnH-bὶ ad eos pertinet. pro quibus rogula generalis
hactenus desideratur. Id tamen asserero possumus. illaes tres formas in hoc casu
293쪽
vel ad tres classes diversas portinere vel ad unicam. numquam ad duas: facito enim PerSPicitur, Si formae l. 0. -Dj. l. l. 3. ' -φ', resp. pertineant ad classes K. m. Κ . soro K-9K K . K'H- Κ' - K . adeoque. si R et κ' idonticas esse supponantur. etiam si ' ot Κ' identicus fore: simili rationesi K et K supponuntur ego identicae. otiam K' Di K orunt; deniquo quum sit K - - Κ' - K. ex suppositione. K ct K idcuticus osse. sinuitur, Otium K et K coincidere: unde colligitur . vel omnes treς classes V K . K' esse diversas. Vel omnes tres identicas. E. s. infra 600 dantur 75 numeri formae 8n- b. inter quos Sunt is determinantes Pro quibus casus prior locum habet sive multitudo classium in Ordine. Pr. Primitivo ter maior est quam in impr. prim livo. puta 37. t 0r .l4l, l89. ls T. 269 325. 333. 349. 373. 3 St. 3S9. 405. 4 SI, 557. 573; pro bs reliquis casus posterior valet. sive multitudo classium in utroque
ordine ost a qualis. VII. ViX Opus ori L. Observare. Por disquisitionem Pra Mentem non X
lum multitudinos classium in ordinibus diversis eiusdem determinantis comparari posse. sed illam otiam ad quosvis determinantos diversos qui rationem quadratorum inter se teneant esse applicabile in . Scilicet dosignanto O ordinem quein-cunque det. d mm. D' ordinem det. d mm'. o comparari poterit cum ordino Pr prie primitivo det. d mm . atque hic cum ordine durivato ex ordine Pr. Prin . det. l. Rive . quod rospectu multitudinis classium eodem redit. cum hoc ordino ipso: ot cum eodem Prorsus Simili rationP comparari poterit ordo O'.
Intor omnes classes in ordine dato determinantis dati imprimis classes ancipites disquisitioncm uberiorem. postulant. determinatioque multitudiniκ harum classium ad multa alia viam nobis aperiet. Sufficit autoni. hanc multitudinem in solo Ordine Pr. Primitivo signaro. quum casus reliqui ad hunc facile roduci po sint. IIoc negotium ita absolvonius, ut primo omnes fornans ancipites Pr. Primitivas A. B. Cὶ determinantis propositi D. in quibus vel B - u vel B - l A.
eruere. tunc EX harum multitudine multitudinem omnium classium ancipitum pr. primitivarum det. D inventro doceamus.
294쪽
I. Omnes formae pr. primitivae A. u. determinantis D manifesto inveniuntur. accipiendo Pro .l singulos divisores ipsius D stum positivo tum negati vel pro quibus C - - fit primus ad A. Quando itaque I l .. duae huiusmodi serinae dantur l. 0. - l . l. 0. l): totidem quando IJ - - i. Puta i. 0. lj. - l. 0. -lὶ; quando D est num rus primus aut numeri primi potestas sive signo positivo sive negativo . quatuor dabuntur l. o. - IV. - l. 0. D). D. 0. - ij. - D. u. l). Generaliter autem, quando D per nnumeros primos diversos Ost divisibilis inter quos hoc loco etiam 2 in computum ingredi debet : dabuntur omnino 2'i' huiusmodi sermao: scilicet posito D - - PQR. . . . designantibus P. G. Ie etc. numeros primos diversos uut numerorum Primorum diversorum I tostatos. quorum multitudo se n. valores ipsius A crunt l. P. Q. N etc. utque producta ex quot unque horum numerorum; horuin valorum multitudo fit per theoriam combinationum 2'. sed duplicanda est. quoniam singulis valoribus tum signum Positivum tum n gativum tribuere oportet.
II. Simili modo I, atet. Omnes sorinas pr. primitivas 2B. B. C determinantis D obtineri. si pro B accipiantur omnes divisores ipsius D t positivo et uegative . pro quibus C l B-οὶ fit integer et ad 2B primus. Quum itaque C necessario debent esse impar. adeoque CC - l mod. Si. ex D - DB-2BC - in C CC sequitur. D esse vel 3 mod. 4'. quandos impar. vel seu mod. Sin, quando B par: quoties itaque D alicui numerorum
l. 2. -l. 5. 6 S . mod. 8 PSt congruus. nullae huiusmodi somno dabuntur. Quando
in 3 mod. l . C fit integer et imparo quicunque divisor ipsius D pro B accipiatur: ne vero C divisorem comm . cum 2 B habeat. B ita accipi debebit. ut
II fiat primus; hinc pro D - l duae sormae habentur 2. l. l . -2. - l. - :. neraliterque lacile perspicitur. Si multitudo omnium numerorum primorum ipsum D molientium sit n. omnino emergere 2'i' formas Quando D per 3 cst divisibilis. C fit into r. accipiendo pro B divisorem quemcunque parem ipsius t D. conditioni altori autom. ut C l B - ad 2 B sit primus. satisfit Primo. n cipiendo pro B omnes divisores impariter Pares ipsiuη D. Pro quibus B cum Bdivisorem communem non habet, quorum multitudo thabita ratione diversitatis signorum in erit 2' . si D per n numeros primos impares diversos divisibilis osso suPPonitur: secundo, accipiendo Pro B Omnes divisorps pariter pares ipsius
295쪽
t D. pro quibus A fit primus ad B, quorum multitudo quoque orit 2 ' . ita
ut in hoc casu omnino habeantur 2' ' huiusmodi formae. Scilicet ponendo D -.- 2'PQR. . . . designante ia exponentona maiorem quam 2: P, Q. R numeros primos impares diversos aut talium numerorum Primorum PotestatCS quorum multitudo n: tum Pro B. tum pro ta accipi possunt valores i. P. Q. Retc. Productaque ex quotcunque horum numerorum. Signo et positivo et Ii
Ex his omnibus colligitur . si D per n numeros primos impares diversos divisibilis supponatur statuendo n - 0. quando D - l aut ε 2 aut potestas hinarii . multitudinem omnium formarum pr. primitivarum A. B. Q. in quibus B vel 0 vel l A. fore 2'' quando D aut vii aut . 5 mod S); 2'' quando D - 2. a. 4. 6 aut T mod. S); denique 2' quando D 0 mod. 8J. Quam
omparando cum iis quae in uri. 23l Pro multitudine omnium characterum possibilium formarum primitivarum det. D tradidimus. observamus, illam in omnibus casibus praecise esse duplo hac maiorum. Coterum manis tum est . quando D sit negativus. intor illas formas totidem Positivas affore quot negativas. 258. Omnes formae in art. praec. erutae manifesto pertinent ad classes ancipites, ct vice versa in quavis classe uncipite pr. Primitiva dei. D saltem una illarum so marum contenta esse debet; in tali cuim ci se certo adsunt sermae ancipites otcuivis sormae ancipiti pr. primitivae M. b. d det. D uliqua sormarum uri. Praee. aequiustici. Scilicet vel .
prout b vel -0 vel - ha tmod. a . Problema itaque eo reductum est . ut quot classes diversas illae formae constituunt, investigemus. Si forma a. 0. ej est intor formas art. praec: forma se. 0. H inter e dem
occurret et ab illa semper erit diversa, unico casu Excepto, ubi a - c iadeoque D - - l. quem aliquantisper soponemus. Quonium vero hae sormae manifesto ad eandem classem pertinent. sufficit ullum retinere. et quidem reliciemus eum, cuius terminus Primus est maior quam tertius: eum casum. ubia - - e - - l sive D l quoque seponemus. Hoc modo omnes formas
296쪽
A. 0. Cin ad semissem reducere possumus. retinendo e binis semper unam: ct in omnibus remanentibus orit A αύ- - D. Simili modo si inter formas art. Praec. occurrit sermu 2b. b. c. inter e dem relaerietur e-2 b. 2e - -ν, - T, Hquae illi proprie aequivalens et ab ipsa diversa erit, unico quem Seponimus casu excepto, ubi e - b --l sive D - - 1. Ex his duabus sormis eam retinere Sumit, cuius terminus primus est minor quam terminus primus alterius magnitudine aequales. signis diversi in hoc casu esse nequeunt); unde Patet . etiam omnes larmas 2B. B. Q in semissem reduci posse, e binis unam semper eliciendo; et in remanentibus esse B e sive B αύ - D. Hoc modo ex omnibus semis uri. Pra C. semissis tantum remanet, quarum complexum Per in designabimus , nihilque superest, nisi ut ostendamus, quot classes diversae ex his sermis Oriantur. Ceterum manifestum est, in eo casu ubi D sit negativus. totidem formas positivas in IV affore quot negativas. I. Quando D cst negativus. singulae sorinae in IV pertinebunt ad classes diversas. Nam omnes scim A. 0. C crunt roductae; similiter omnes formae
manifesto illi aequivalet, se a reducta. Hoc modo totidem sormite reductae habentur, quot formae habentur in m. et quum facile perspiciatur, inter illas neque identicas neque oppositas occurrere posse. unico Casu DXcepto. ubi C-B - 0. in quo crit B - ς - - l. adeoque D - - l. quem iam Nel' suimus : omnes ad classes diversas pertinebunt. Hinc colligitur. multitudinem Omnium classium ancipitum pr. primitivarum det. D multitudini sormarum in IV seu semissi multitudinis sermarum art. Ρra . aequalem esSe; in C u EXCEPto nutem D - - Ι Ρor compensationcm idem evenit. scilicet duno classos halyentur. nd quarum alteram pertinent formae l 0. lὶ 2. l. l . ad Hieram hae -3. 0. - ). - 2. - l. - l . Generaliter itoque pro determinante negativo multitudo omnium classium ancipitum pr. prim. Requalis est multitudini omnium
297쪽
characterum assignabilium sermurum primitivarum huius determinantis; multitudo classium ancipitum Pri yrim. Positivarum autem inmissis erit.
II. Quando D ost positivus quadratus - Λ h. haud dissicito demonstratur. singulas formas in IV ad classes diversas pertinere; sta pro hoc casu ad problematis solutionem adhuc brevius sequeuti in o pervonire possumus. Quum perari. 210 in quavis classe ancipiis pr. Prim. det. 44. neque in ulla ulia . contine tur sorina reducta una M. h. 0 . in qua a ost valor expr. v l mod. 2 hJ int est o et2h - l incl. situs: perspicuum est, totidem classes ancipites pr. Prim.-ΛΛ duri . quot vulores expressio illa habeat. . Ex art. 105 nutum nullo negotio deducitur. multitudinem horum valorum osso,2' voi 2 ' ' vel 2 V . prout fi sit impar vel impariter par vel pariter par. sivo prout D - 1 vel M 4 vel 0 mod. 8). designante n multitudinem divisorum primorum imparium ipstius h sive ipsius D. Hinc colligitur. multitudinem classium nucipitum pr. Prim. Seinper esse SemisSpm multitudinis omnium formarum in art. Pra . erutarum, sive multitudini formarum in IV vel omnium charactorum Possibilium aequalem.
III. Quando D ost positivus non-quadratus. ex singulis formis A. B. Qin IV contentis alias deducamus sA. B', C accipiendo II B mod. Avi et uater limites 1 D et x DF Λ ubi signum superius vel inserius adhibendum . prout Aest pos. vel neg. atque C'; designem usque harum complexum per M.
Manifesto line sormae erunt proprio primitivae ancipites dui. D. utque omnes inter se diversae: Praeterea vero Onines erunt formae reductae. Quando enimn Q v.D. B manifesto orit C atque positivus: praeterea B D Aadeoque A VD - Β' et proin a . positivo acceptus. certo intor VD--B' civ D - Β' situs. Quando vero A VI . non poterit esse B - 0 quippe quassormaου eiecimus , sed erit necessario B - ἡ A: hinc B' magnitudine ipsi l Aucqualis. Siguo positivus quoniam enim Ac 2vD. - , A iacebit inter limitos ipsi B' ussignatos. ipsi quo B sec. min. A erit congruus: quare B' - μ' έ AJ. proin Β' ς VII. unde 2 L' ς UD - - Β' sive A Q vD -- B . quamobrem in A
298쪽
I x his colligitur. multitudinem formarum in IV uoqualom eqso multitudinii nnium formarum roducturum uileipit iusi pr. Prim. des. D; quoniam vero in singuli: classibus uncipi sibili hinae lamus reductae ancipites continentur urit. LAT. l multitudo omnium classium lini is itum pr. prim. d. l. D serit semissis multitudinis soria uirum in IV. sivo .emissis multitudinis omnium Hinractorum Rignu-i ilium. .
Multitudo classium ancipitiini improprie primitivarum deteri linantis dati Diuultitudini lirolirie primitivarum eiusdem det. sompor ost nequalis. Sit K liis in principalis . atque Κ. κ' oto.' reliquae classos ancil itos pr. Primitivae huius il torminantis: L aliqua classis an ops improprio primitiva Ciusdsem dedi. e. s. PRin qua e t sema 2. l. t I J. Prodit,st itaquo Ox ompositione classis L mini Κclassis L ipsit: in compositione elassis D cum K Κ' etc. provenire suPPOnamus classes IV L etc. m.p. . quae mundosio omnes ad eundoni determinantem D pertinebunt, atque improprio primitivae et lincipites oriant. . Paret itaque. 'theorema dum Atratum soro. simulac Probatum sucrit. omnes clasς ' L. K L otc. osse divorsas. aliasque ancipitos impr. prini. dot. D praeter Mas non dnri. Ad hunc finem sequontos casus distingui inuR: I. Quando multitudo classium impr. primitivarum multitudini pr. primitt-varum neqttalin est. 'quamis illarum oritur ex compositiono classis L cum classo
determinata proprie primitiva. unde nocessario omnos L. L . L etc. Orunt dive 'sae. Designante nutem P classein quamcunque ancipitem impr. prim. dot. D. dabitur' classis Ρroprie primitiva M talis ut sit. 1 -- L ms: si classi st oppohita si classis F. erit etiam squont m classos L. v stibi ipsae oppositae sunt ins 'H- , in unde nocessurio st aeum M'. identIca orit. ndmquo. class48 nn ops: hitie s repori tui inter classes Κ. Κ . K vir sttquo Θ inter has L. L. II etc.
II. uuaudo multitudo elassium improprie primitivnrum aer minor est Mnm multitudo classium pri primitivarum. Ait Η classis in qua est forma 4. I. H in qua est serma 4. a. pruntqua H. Η' proprio primitivae et tum
299쪽
MuItitudo classium rencipitum in ordine derivato manis to amualis est multitudini classium ancipitum in ordine primitivo. ex quo est derivatus. adeoque Per praecedentia semper poterit assignarL . '
PROBI NA. Classis proprie primitiτα K determinrantis D oritur ea duplicatione elassis proprie primitirae se ei dem determinantia: quaeruntur omnes similes classes, ea quarum duplicatione clia is K oritur. . Sol. Sit re classis principalis det. D atque Η H i m etc. reliqua classPs uncipites pr. primitivae eiusdem doterminantis; ulnases quae ex harum compositione cum k oriuntur. k--m k - Η k- -N designentur per V C. Wotc. Tune omnes. clauses A. F. F etc. erunt pr. Primitiuste det. D et inton se diversae: neque saetis perspicitur . ex singularum duplicatione oriri elaκsem K. Denotante autem 'st clusSom quamcunque Pr. prim. deL D. quae duplicata Pr ducit classem Κι necessario iniet classes k. F. E ete. conteuta erit. Ponatur enim M se ita ut 83 si L classis pr. Prim. det. D art. 249j. eritque
300쪽
k. L . C et .: tiuamobrem lino classes completam problematis solutionem exhil ut
Ceterum manifestum est . in os casu. ubi D sit nogativus. o classibus ἐν LE..C ore. Aoniissem fore classes positiva . sensi Ss m nogati Varia Quum igitur quanis classis pr. Prini set. Divi quase ex ullius classis Nimilis . duplicatione oriri pψtes. yintimo ex totidqua tity viue in similium duplicatione pro-vvniat. quot classo anCipites Pr .Prim. et. D daaitur: perspicuum sest. si multitudo cunctorum ci sium pr. prini. det. D sit r. multitudo omnium Nossium uncipituiti Pr..prim. huius det. n. multitudin m omnium Classium Pr. Prim eiusdem det. qu ex duplicatione sit uilis ci sis produci possint. soro Endem sormula re istat. si . Pro det. negativo. haracteres r. n multitudinem classium posita oram designant. ille omnium pr. Prim ..hic sylarum ancipitum. Ita M'. Pro D - 1 I multitudo omnium classium pr. prim. Positivarum est l6. multit idoancipiturn η' unde multitudo omnium elassium. quae per duplicationem alicuius classis oriri possunt. debebit esse 4. Et revera invenitur. Omnes clusΝes in genere princiPali contentas hac proinietate eqse pra it scilicet classis principalis
nsativo aufeminulia genera proprie primitiva positi a. Dem. Sit m multitudo omnium generum proprio primi fluorum spositiv rumin determinautis D: k multitudo classium in singulis generibus contenturum. ita ut km sit multitudo omnium classium proprie primitivarum spositivarum nn multitudo omnium characterum diversoxim pro hoc dei. assignabilium. Tunc. ' a et