장음표시 사용
311쪽
ubi novam codfiicientes α. 6 etc. omnes supimnuntur esse numeri integri . brevi
κitione sponte sequuntur Sex aequationes pro sex cosissicientibus in s. quas apponere non erit necessarium: hinc autem per calculum lacilem sequentes conclusi neη evolvuntur: l. Designato brevitatis caussa numero
ab γ -- ,γ'α - τα 6 - γ6 -αr 6 -ύαγ por kinvenitur post debitas reductiones E xkD. unde patet. D metiri ipsuiu Eoi iluotientem esse quadratum. Patet itaque, numerum k Pro. trunS Ormaticinibus formarum ternariarum simile quid esse, ne numerum αδ - 67 . in art. I 57 pro Tranq&rmationibus sermtarum. bivnriarum. Puta rudicem quadratum ex quotionis determinantium, unde coniectare Possemus, divorsitatum Signi ipsius kotiam hic stabilire differentiam essentialem inter transformationes utque implicationes inoprias et improprias. Sed rem p pius condimplando Perspicuum est . . stransire in y etiam per hanc substitutionem
Ponendo autem in valore limius k Pro α. - α. tuo is . - 6 et . prodibit - k.quaro haoc substitutio substitutioni dissimilis foret. ot quaevis forma ternaria. aliam uno modo implicans. eandem otiam .ulturo modo implicuret. Tulis itaque
312쪽
distinctio. quoniam in formis ternariis nullum usum habet. his omnino Pr scribetur.
313쪽
transirP in formam. quae oritur ex F. multiplicando siugulos copsticientes por kk- IIano formam DXPrimonius Por F'. Suhstitutionem S ' oriri dicemus per transpositionem substitutionis S: tunc manifesto S rursus prodit ex transpositione substitutionis S ' : atque S . S altera sex alterius transpositione. Nubstitutio Ν' commode appellari potest substitutioni , adiunctu. unde Rubstitutioni S' adiuncta erit S .. 269. Si non modo forma f implicut ipsum m sed etiam haec illam. somno f. saequirulentes Vocabuntur. In hoc itaque casu non modo D ipsum E moti tur sod otium L ipsum D. unde facile concluditur . esse debero D E. Viceversa nutem. si forma f implicat formam 9 eiusdem determinantis . hae dune formae erunt a quivalentes. Erit Onim adhibondo cadom signa ut in nrt. Praec. excipiendoque casum ubi'Ι - Ο k--- l. adeo tuo sernia c. in quam transit' i,or substitutionem S . cum I identica, si e f Sub s contenta. Porro patet. in hoc casu etiam formas F. G: ipsius y. y adiunctas. inter se nequivalentes re . Posterioremque in priorem transire per substitutionem S . Denique vice thrsa. si mrmae F. G nequival Cntos esse Supponuntur, atque prior transit in posteriorem per substitutionum T. etiam formae f. y uequivalentos Drunt. transibitque s in s per substitutionem ipsi T adiunctam, utque s in f lior eam. luno oritur ex transpositione substitutionis T. Nam por huq duas substitutiones resp. transit forma ipsi F adiuncta in formam ipsi G adiunctam atque haec in ' illam: hae duae formae autem oriuntur ex s. y multiplici nilo singulos otiosi-ciontes Per D. undo nullo negotio concluditur. Ρer Dasdem substitutiones transire
314쪽
formae aequivalebit Cot rum sponto manifestum ost, quomodo hare theoremata ad plures scamus sint applicanda. 27 l. Hinc iam patet, omnos formas tornarius. Perinde ac binarias. in elasses distribui posse. reserendo ad classem candem sormas nequivalentes, non-RPquiVR- lentos ad divorsas. Formas itaque determinantium diversorum corto ad classes diversas Pertinebunt, et proin classes infinito multae formarum ternariarum dabuntur: sormae autem ternariae eiusdem determinantis modo minorem modo maiorem Classium numerum efficiunt: quod vero tamquam Proprietas palmaris harum formarum ost considerandum. Omnes formae eiusdem determinantis dati semper constituunt elassium multitudinem finitam. Evolutioni uberiori huius gravissimi the romatis Praemittenda est explicatio sequentis differentino essentialis, quae inter formas tornarias obtinet. Quaedam formae ternarino ita sunt comparatae, ut per ipsas iano discrimino repracsentari possint numeri positivi et nogativi, e. s. sorma XXευ-zz. quamobrem formae inde itae vocabuntur. Contra per alias numeri ninativi repraesentari nequeunt, sed iractor ciliam quae prodit. ponendo singulas indotorminatas 0ὶ Positivi tantum, ut xx -yy-Far. quare formae positivae dicentur: donique per alias numeri positivi repracsentari nequeunt. ut -XX-yy - zz. unde appellabuntur formae neyatirae , sormae positivae et Ii gativae nomine communiforme de itae dicentur. Ecce jam criteria generalia. per quae haec formarum indoles discerni poterit. Multiplicando formam ternariam X aza - ω' - α EX - - 2brae --2baeae - 2b xx
315쪽
IIinc statim concluditur. si tum A' tum a D sint numeri negativi. omnes valores ipsius h osse negativos. unde manifesto per formam f talos tantummodo numeri repraesentari poterunt, quorum signum oppositum est signo ipsius aut . i. e. idθnticum cum signo ipsius a. sive oppositum signo ipsius D. In hoc itaque casu ferit forma definita. ot quidem positiva vcl negativa. prout a est Positivus volnegativus. sive prout D est negativus vel positivus. Si vero vol uterque a D. A cst positivus. vel alter positivus alter negativus neuter - 0ὶ, sacile perspicietur. h. per debitam quantitatum ae X, E determinationem valores tum positivos tum negativos nandisci posse. Quare in hoc casus valores tum eodem signo associos ut a a tum opposito obtinere Poterit. eritque adeo forma indefinita.
quum B nequeat esse μ0. hinc enim foret B B a A aD -0. adeoque etiam D - 0 quem casum excludimus . erit ae X, - 2 Bae j quantitas positiva. unde facile patet, ae ita determinari posse. ut y obtineat valorem ne tivum. Manifesto hi valores etiam ita accipi poterunt, ut, si desideretur, omnes sint intcgri. Denique patet, si ipsis ae . F valores quicunque tribuantur. ipsum aetam magnum accipi posse. ut y fiat POSitivus. Hinc concluditur. in hoc caesularinam f esse indefinitam.
316쪽
Denique si a - 0. crity a aeae' - 2 b ala FH-2x ιγ - b, in Accipiendo itaque ae . E ad lubitum . ita tamen ut CF--ΓY non sit -0 quod manifesto fieri poterit, nisi simul b' et b' sint ino; tunc autem foret D 0 . nullo negotio perspicitur, ae ita determinari posse, ut f Obtineat Valores tum positivos. tum n guttvos. Quare etiam in hocce casu f erit forma indefinita. Eodem modo. ut ilic ex numeris a D. A' indolem formae s diiudicavimus.
etiam a D et A adhiberi possunt. ita ut f sit forma definita . si tum aD tum
A sit negativus: iodosinita in omnibus reliquis casibus. Nec non prorsus simili modo eidem fini inservire potest consideratio numerorum aD et A. vel horum aD et vel horum a D ct A, vel denique ipsorum a D ct A'. Ex his omnibus colligitur, in forma definita sex numoros A, A, A , a D, a D. a D esse Ii gativos. Et quidem in forma positiva a. a. s crunt Positivi. D nmativus: in negutiva autem a. a. a' erunt rimatici, D positivus. Hinc Patet . Omnes formas tornarias detorminantis dati positivi distribui in negativas et indefinitas; omnes autem determinantis negativi in positivas et indefinitus: denique sermus positivas determinantis positivi. seu negativas determinantis negativi omnino non dari. Indidem lacile perspicitur, formae definitae semper adiunctum esse definitam et qui dom n yatiram. ind finitae indefinitam.
Quum omnes numeri per sormam tornarium datam repracsentabiles manifesto etiam Per omnes serinas huic aequivalentes repraesentari possint: formaeternariae in eadem classo contentac vel omnes erunt indefinitae. vel Omnes Positi-Vue. Vel omnes negativae. Quamobrem has formarum denominationes etiam iactasses integras transferre licubit.
Theorema in uri. Praec. propositum, quod omnes formae ternariae determinantis dati in multitudinem sinitam classium distribuuntur. per methodum ei qua in formis binariis usi sumus analogam tractabimus, scilicet ostendendo. Primo. quo pacto quaevis forma ternaria ad formam simpliciorem reduci possit. dein . formarum simplicissimarum ad quas per tales reductiones perVeniatur multitudinem pro quoris determinante dato osse finitam. Supponamus generali 30
317쪽
ter. Propositam esse formam tornariam determinantis D a stilia diversi . quae per substitutioncm Sὶα. 6. I
a , d , I tranSeat in aequivalentern y - versabiturque negotium nostrum in eo. ut α. 6. I etc. ita definiantur, ut forma y simplicior evadat quam s. Sint sorinuo ipsis L s adiunctae resp. I. J. quae designentur per F. G. Tunc per art. 269 F transibit in G per substitutionem ipsi S adiunctam. G autem in F por substitutionem ex transpositione ipsius S oriundam.
I. Si fiat I in o. γ' - 0. α' - 0. ς' - 0. 3 l. larem se a αα - - 2 b α ά - - Καά. m - a 6 6 2 b 6 6'-F- άσς. m - a n - b σμ- Γ6. n-bά- - να. n aa6--ς α 6'H-6α ὶ - a'άς Praetorea osse debebit a tr-6 α' vel - - i vel - - 1. Hinc manifestum est. larmam binariam 9, Γ, a , cuius determinans est A . . transmutari Per substitutionem α. 6. α'. 6 in sermam binariam m. n , m) detorminantis M , ut proin ipsi aequivalere propter a T - 6 α' - - l. undo erit M' - A . quod etiam directe facile confirmatur. Nisi itaque a. U. Κὶ iam cst forma simplicissima in classo sua. ipsos α. 6. ά. 6' ita determinare licebit. ut m. n m ) sit forma sim-Ρlicior: et quidem o thooria nequivalentiae sermarum binariarum facito concluditur. hoc ita fieri posso, ut m non sit maior quum V - l A . si A fuerit negati-Vus, Vel non maior quam vae, si ae fuerit positivus. vel m - 0. si ad - 0. ita ut in omnibus casibus valor absolutus ipsius m certo vel infra vel saltoni usque ad l ae deprimi possit. IIoc itaque modo forma I ad aliam reducitur coc Dficientem primum, si fieri potest, minorem habent m. et cuius forma adiuncta cociscientem tertium cundem habet ut forma F ipsi s adiuncta. In hoc consistit reductio prima.
318쪽
Hinc patet . formam binariam C. B. A , cuius detorminans est m. transire per substitutionem 6'. - Ι . - p. 7 in formam M . N. M ὶ determinantis D m. adeoque propter 6 f - γ ς - - l. vel propter Da Dmὶ ipsi aequivalere. Nisi itaque sa'. B. κὶ iam est sorma simplicissima classis suae. c ssicienteΝ6'. f. 6 . γ' ita dotorminari poterunt. ut sM . N. M in sit simplicior . et quidem . hoc semper poterit fieri ita. ut M' sitio respectu signi non sit maior quam, - - Da. Hoc itaque modo sorma i reducitur ad aliam coefficienteni primum eundem habent m. sed cuius serma adiuncta coinciontem tertium si fieri potest minorum habeat quam sorma F ipsi s adiuncta. In hoc consistit reductio
ΙΙΙ. Si itaque s est forma ternaria. ad quam neque reductio Prima neque Secunda est applicabilis. i. e. quae per neutram in formam simpliciorem tran mutui potest: necessario erit tum auς vel in t a'. tum a A Q vel se a Dsine respectu signi. Hinc a erit Q vel se te A A . adeoque a ς vel Mi aD. a vel αα l D. et a Q vel se i , D: hinc rursus ala' ς vel in V D' atque 1 ς vel - D . Quamobrem quamdiu a vel AE' hos limites adhuc ηuPerant,n Ossario una aut altera roductionum praecedentium ad sormam f applicari P torii Ceterum haec conclusio non est convertenda. quum utique NMPius
319쪽
accidat, ut sorma ternaria. cuius codfficiens primus. atque cocssiciens tortius sormae adiunctae iam sunt infra illos limites . nihilominus per unam alterumve reductionem adhuc simplicior reddi possit. IV. Quodsi vero ad formam ternariam quamcunque datam determinantis D ultornis vicibus reductio prima ot secunda applicuntur. t. e. ad ipSam Prima vel secunda, ad eam quae hinc resultat secunda vel prima, ad eam quae itinc Provenit iterum prima vel secunda etc.. munifestum est, tandem necessario ad sermum perventum iri, ad quam neutra amplius applicari liossit. Quum enim magnitudo absoluta tum copssicientium primorum formarum hoc modo prodeun tium. tum codmcientium tertiorum formarum illis udiunctarum continuo ulternis vicibus Dudum mancat utque decrescat, hic progressus necessario tandem alicubi finietur. quia alioquin duae series infinitae numerorum continuo decrescentium haberentur. Hinc iam nacti sumus egregium theorema: Quaeris forma terna, determinantis D reduci potexi ad aliam aequivalentem. cuius cooeciens primus non
sit maior quam 1 v I atque eod iens tertius fomae ipsi adiunctae non maior quam l . D' sine respectu Styni siquidem forma proposita his proprietatibus ipsa nondum est praedita. Ceterum loco coefficientis primi formac y atque tertii sormae ipsi s adiunctae prorsus simili modo tractare potuissemus vel cocnicientem Primum sermue ipsius et secundum adiunctae: vel secundum serinae ipsius et primum vel tertium 'adiunctae; vel tertium formae ipsius et primum vel secundum adiunctae . quibus viis Porinde ad finem nobis propositum Porvoniremus: sed ere est . methodo uni constanter adhuercro. quo facilius operationes huc pertinent s ud algorithmum fixum reduci possint. Denique observamus, duobus coUnicientibus. quos infra limitos fixos deprimere docuimus, limites adhuc minores constitui posse. si formae definitac ab indefinitis separentur: hoc vero ad institutum Praesens non est necessarium. 273.
Ecce tum quaedam Exempla. per quae praecepta praecodentia magis illustrabuntur.
Quum t s. l. 2lὶ sit sorma binaria reducta. cui ulla, tormini primi minoris quamis. non aequivaleti, reductio primu hic non est applicabilis; forma binaria
320쪽
A . B. Λὶ - . - 398. 257. - 160ὶ autoni per theoriam aequivalentiae sermarum binariarum in simpliciorem aequivalentum - 2. I. - 10ὶ transmutabilis invenitur. in quam transit por substitutionem 2. T. 3, 11. Faciendo itaque 6 2. I - T,
6 --3. γ' - 11, applicanda erit ad sormam i substitutis l. : per
quam invenitur transire in hanc ': - ::ὶ . . . . Cossiiciens tertius formae. huic adiunctae, ost - 2. quo rospectu 1 simplicior est censenda quam fAd formam f' applicari potest roductio prima. Scilicet quum forma binaria sis. -82. 354 transmutetur in l. 0, 2ὶ per substitutioncm 13, 4. a. t :applicanda erit ad formam L substitutio ii ' , . t per quam transit in hanc
Ad formam cui adiuncta ost denuo applicari powst reductio secunda. Scilicet - 2. -95. - 45 la) transit per substitutionem 47. l. -i 0 in - l. l. - 2 : quamobrem ad y' applicanda erit substitutiol : i', per quam transit in in . . . I . Huius cosissiciens primus per
reductionem primam amplius diminui non potest. neque formae. ipsi uiliunctae. tertius per Secundum. m. 2. Proposita sit forma U: : :) . . . . cui adiuncta est : ': et cuius determinans - 2. Hic succossivo reperiuntur. upplicando alternatim reductionem secundam Et Primam, substitutioncs Per quas transit in
Forma f per reductionem primam vel secundam ultorius deprimi nequit. 274. Quando forma ternaria habetur, cuius cosissiciens primus, atque formae adiunctae tertius, quantum fieri potest per methodos praecedenws sunt dePreS8i: methodus sequens reductionem ulteriorem suppeditat.