장음표시 사용
331쪽
Ex his observationibns derivantur regulao sequentes ad inveniendum omnes repraesoninuones proprias ipsius D per F: Evolvantur lamnes classes formarum binariarum determinantis D. et ex singulis una forma ad libitum cligatur; qua rantur omnes repraesentationes propriae singularum harum formarum per I rei octis iis, .quao sorte Per f repmesentari nequeunt et ex singulis hisce reliraesentationibus deducantur repraesentationes numeri D per F. Ex I et II mani Stum est. hoc modo omnes repraesentationus proprias possibiles obtineri. adeoque solutionem esse completam; in ΙΙΙ. transformationes formarum o c Mibus diruersis certo producere repraesentationes diversas.. 2SLInv tigatio repraesentationum mpropriarum numeri dati D por sormaena Fad casum praecedentum facile reducitur. Scilicet manifestum est. si D per nulluanquadratum practer 1 divisibilis sit, inles repra sontationes omnino non dari: sin secus. metientibus ipsum D quadratia λλ. μμ . v v et i, Omnes repraesentationes improprias ipsius D per. F inveniri. si omnes repraesaentationes Prol aenumerorum etc. per eandem formam evolvantur. indeterminatarumque valores ter χ, A. v etc. resp. multiplicentur. .. ' - . Hoc itaque modo inventio omnium repra sontationum numeri dati per sormam ternarium datam. quae alimi formae ternariae adiuucta est, a Problemate Secundo pendet; ad huuc vero casum, qui primo aspectu minus lato Patere rideri Posset. reliqui ita roducuntur. Sit D numerns repraesentandus lwr formam
: vi. J, cuius doterminans a. st cui adiniacta ost forma in I. Tunc huic rursus hdiuncta erit F. patetque. repraesentationes numoria D per Fa piarum investigatio a Pra c. liendet) omnino identica'. esse cumropraesentationibus numeri D per krmam Proi Sibam. Ceteritin quando omnes cosissicientes formae s divisorem communem μ habent, perspicunm est, Onanses codificiolas Tormae F divisibiles esse lier μμ. qu irem otium a II per μμ divisibili3 usso debebit alioquin nidiis repracs utationes darentur ἰ repraeseratntionesque nuinori D per sormam propositam coincident cuin repraesentationibus numeri per formam. quae oritur ex F dividendi, singulos cocificiuntos per μμ . quae forma adiuncta erit si . quae . Oritur Ox f. dividendo singulos cocificieti
Daniquo observamnv hanc Problematis Primi solutionem in unico casu. ubi
332쪽
D - υ. non esse npplicabilem: hic enim oniues formae binarias dotes inantis D in multitudinem finitam classium non distribuuntlir; infra uinem hunc easnmox aliis principiis solvemus. . . .
Investigatio repraesentationum formae binarias datae, cuius determinanκ non μο , per ternariam datam pondet ab observationibus sequentibus:
I. Ex quavis reprossentatione propria formae binariue p. q. G -- minantis D per tornarium I dotorminantis A deduci possunt integri B. B tales ut sit -
designantibus . ' ae..H: t. v. indeterminaris selmarum si s accipiqutur integri
- ε fiat vel - - - 1 vel αα - 1. tran8eatque 1 per hubstitutionem .
'ὶ I uno ea um per methodum aliquantum diremam tractandum Me Ideo hrevitatis em a Praeterimus.
333쪽
Hinc iam sequitur . si Δ - q. rὶ non sit residuum qu ratum ipsius D. per nullam sorinam ternariam determinantis. A proprie repraesentabilem eSse posse: in co itaque casu. ubi A. D inter ac primi sunt. Δ numdrus charactoristic formae tρ osso de bit - . , II. ' Quum. I. I, .s infinito multis modis diversi K dotorminari possint. etiam alii atque alii valoros ipsorum B. B' inde prodibunt, qui quem nexumiliter se habeanι videamus. Ponamus: etiam δ, δ, S ita comparatos esse, ut α'6'--α 6 δ -- αο ὶ δ' - ασ-- l fiat vel - - 1 vel --i, formamque s transire per sulastiuitivem .
adsoque eti4m G ct .O. ct Por appliςutionem prure piorum .in arti. 269, 370 traditorum ' invenitur, si Statuatur ' . .
334쪽
tinere dicemus.' Hinc omnes valores. ad quos. o Ela repraesentntio portitari. NPlaequivalentos erunt vel oppositi. III. Arice versa autem. si ut ante in I repraesentatio formac F Itur haecae se at 6uetc. ad valorem A. B pertinet. qui. inde deduritur adiumento
transit. resp. fiant w in E . . Statuatur enim.
accipiendo hic ot ypstea. gua superiora vel inferiora. prout ustiores R. B j. E. B ὶ nequivalontes sunt vel oppositi , unde c. η erunt integri . tini Reatque s
in 'formam g .cuius determinantem esse A. in 1hrma adiuncta vexo eicientes 4 et 5 .resp. - B. E' MK saeno perspicietur.' Faciendo autem
335쪽
ntalo negotio patebit. f per substitutionem Sὶ transire in g, atque stequationi ui satisfactum Esse. Q. E. . ' . 283. Mi his principiis deducitur methodus sequens, omnes repraesentationes propriM sommo binariae .
determinantis D. per ternarium I determinaentis A inveniendi. I. Eruantur' omnes valores diversi i. e. non-aequivalentes j expressionis q. . min. D . . HOC Problema 'Pro eo. casu. tibi ρ ost forma primitiva atque a ad 'D 'imus supra art. 233ὶ solutum ost. casusque rosiqui ad hunc facillime reducuntur, quam tamen rem sustua hic explicare tirquitas non Permittit.. Observamus tantummodo. quoties A ad D primus sit. expressionem Δυ. - qi Hresiduum quastraticuui ipsius D osse non posse, visi φ suerit forma primitiva. Supponendo enim Ap - BB - DX. - Δq - BB DBJ ar in B B DA
unde lacile concluditur, EI p. q. r divisorem communem haborent, hunc Ptiam ipsUm a A metiri: tunc vero a ad D primus es- uon Posses. Quare p. q. rdivisorem communem habere nequeunt, sive v erit forma primitiva. II. Designomus multitudinum horum Hormn Per . in . SuPPonum usque. inter eos reperiri n intores: qui sibi imis oppositi sint istatuendo n- . quando tales non adsunt . Tune madis tum cst m -n reliquis valoribus bidos semper oppositos lare quoni pin cuncti ustiores completo haberi supportuntur); iiciatur e binis quibusquo valoribns oppositis unus ad libitum. romanebuntque omnino valores , m - n . Ita e. y. ex DCto vaetoribus Expr. . V-4 l9.-3. 4 l
336쪽
- 17 l. 27): - 269. 83J. - 29l. 127ὶ, quatuor posteriores suut reiiciendi. tam-qurem quatuor prioribus oppositi. Ceterum .perspicuum est, si B. 'B' sit valor sibi ipsi oppositus, 2 B, 2B' ei. proin etiam 2 Ap. 2Aq. 2Ar per D divisibilessore: quodsi itaque Δ. D intor in princi sunt, etiam 2p. 2q, 2r iter D di risibiles erunt. et quum, Per I, in hoc casu, etiam p. q. r divisorem Communem habere nequeant, etiam 2 por D divisibilis esse dcbcbit. quod fieri nequit nisi D vel l. vel μ ε 2 Quamobrem Pro omnibus valoribus ipsius D inuioribus quam 2 semper erit n - 0. 'si a ad D est primus
ΙΙΙ. ΙIis ita lactis manifestum ost, quamvis reprae nutationem ProPrium formae * pcr i necessario ad aliquem e valoribus remanontibus pertinere deboro. et quidem in unicum tantum. Quare hi valores sus cossive sunt P Currendi. D praes tutionesque ad singulos pertinentes invostigandae. Ut in Noniantur repri-Sentationes ad valorem datum B. B pertinontes. primo determinunda est formaturiiuria ν I- , cuius determinans - Δ t in quu a p. ς - q. a' r. αε - νς - B. v K-ιν - Γ': valores ipsorum b, ν hinc inveniuntur adiumento nequationum in II art. 276. orc quibus lacilo perspicitur. in eo casu. ubi A. D ilitor so primi sint. b. ν a . necessario fiori intogros nsempe quoniam hi tres numeri, multiplicati tum por D tum perba intonos .producunt . Iam si vel uliquis codilicienti uin b. b . b' lanctus est. vel sormau f s non sunt nequivalenti's: nullae myra entationes serinae φ Peri .ud IB. B'l pertinento dari Possunt: si vorO b. v. K sunt integri . serinaeque s y aequivalentes. quaeriη transformnlio
intem repraesentationum Ruppeditat . puta .' ae E - δε-- is ui προ- α inanisostoque nulla hiiiusmodi repr sentatio ostiiro poterit. quae non ex utiquutransformatione deduci posset. Hoc itaque modo ea problematis secundi Pura. quae investigat repracsentationes proprias. ad Proldema tortium iam est reduri n.
337쪽
. IV. Ceterum transformationcs divorsuo formae s in s semiaer producuntr Praus utationes divoman. do sola casu excopto. ubi valor N. R sibi ipsi ompositus est. in quo binae tranΝformuliones unicum Solinpur Praesctutationem suini ditant. Supponon se enim. f transire in s etiam per substitutionem
si .itaque vel uterque k. Supponitur . - - - s. . ves ut rque - - l erit qui R asum D si xxclit,imi in P αα 0. η. - d. unde facile inquitur o - 3, δ' - ὀ γ': quare illae duae transformationes iii ea solo cusu diversus ESSE EOSNunt, ubi alter numororum 4 1 est in l. altor - l t tunc erit B B B - - Β'. in . D sive valor t v. B sibi ipsi oppositus. . ' . V. Ex iis . quae sura tart. 27l critoriis formarum definitarum et indefinitarum tradidimus. 'sa tale dequitur. KD a sit positivus. D negativus. utque forma n utiva. y sori firmant desinitam nexntinian: si vero a sit linsiluviiω. at- quo vel D poriti, με. vel D negati. us et 3 forma positiva. y cvndero sormaruindefinitam. Iarn quum f. y certo aequivolentos Eme nequeant, nisi reSP tu huius quillitatis similes sint. manifestum est. si risius binarias dotorminantis Positivi nec non positivari, Por ternariam negativam Proi te rRPraesoninri non posse. ncque formas hi narius negativus Per tornariam indosinitum determinantis positivi: Ν per sormam ternarium Prioris Postvriorisve specioi unico binarias posterioνis priorisve resp. Νimili modo concluditur. I r sermum tertiatiam detorminantis negativi definitam' i. e. positivam unice repraesentari binuri p itivas . Per indefinitam unice negativus ot sermus det. PositiVi. .
338쪽
impropriae numeri D lier sormam F seqvpntur. 3 per I mrenifesto nequit improprio repraeseriΗri. nisi D sectoros quadratos implic t. Ponamus. Omnia quu-drata ipsum D metientia praeter lὶ esse ee. ee, e es etc. quorum multitudo finita orit, quia supponimus. non osso D 0ὶ, Praebebitque quaelibet repr. imser. sernino φ per f repraesentationem numeri D por F. in qua valorcs indutorminutarum aliquem e numeris e. e. es etc. Pro divisore communi maximo habebunt: hoc respectu brevitatis caussa quamvis repr. impr. formae P nil divisorem quadratum re vel e e vel e e etc. pertinere dicemus. 'Iam omnes ropr. sorinae 3 ad eundem divisorem quadratum datum re scuius radicom e positive aeceptum supponimus portinentes Per regulas sequentes inveniuntur, ex squarum d monstration synthetica. pi ter brevitatorii hic Praeserenda. analysis Per quam evoluine fiunt.
facile rostitui poterit. . . ' .
Primo struuntur omnoi somno binariue determinantis . quae in formam ptranseunt per substitution in proprium talem P - κt- - λ u. V - μ u. designantibus T. V indeterminatas talis sermac: t. v indet. sormae φοῦ κ. μ integros positivos quorum productum itaque Me); λ integrum p itivum minorem quam μ shus otiatu ciliamin. Hae formaei cum transformulionibus respondentibus . ita
AOquotur κ successive singulis divisoribus ipsius e positive a copiis sinclusis etiam i et ej. fiatque μ - ; pro singulis valoribus determinatis ipsoruΠr κ. μ tribuantur ipsi λ omnes valores integri tk 0 usque ad μ - quo Pacto omnes transformation Pris habebuntur. Iam forma, quast per quamvis substitutionem T-κt- λω. V - μu in * transit. lnv nitur investigando formam, in quam P. transiti per hanc t - et 1 - - U. . u - U:. hic formae singulis transformationibus respondontes obtinebuntur: sed ex omnibus his sormis eue tantum rotinendae sunt . in quibus Omnes trus codificiuntos ovadunt integri l.
t.' Secundo ponamuR p esse utiquam ex hi Sce formis. quae in P transeat Persubst. Τ - κι - - λυ. Uμu: inVostigentur omnes repraesentati oves promise
J Si de hoe problemate fusius agore hie ii ret, solutionem admodum eontrahere pos mus. Id stativi ob pra est. pro ου alios divisores ipsius e accipere non osse necosmrium . nisi quorum quadratum metiature effieientem primum sormnes 3. Ceterum hoe problema. ex quo Etiam a tutionea simplicioreη probi. arti. I ta. 2 4 dedues p sunt. alia oecasione idonea resumere nobis rese vamus.
339쪽
semitae sp Iaer si quis dantur . exhibeanturque indefinite per. x mi V ΤΦBII. ae se is ΤεB LI. ae in B U. . I R)denique ex singulis Nὶ deducatur repracsentatio
Eodem prorsus modo, ut serma Φ, tractentur formae reliquas Per regulam primam inventae si plures adsunt . ita ut ex singulis cuiusque repracsentationibus propriis aliae repraesontationes doriventur, dicoque, . hoc modo prodire cunctas repraeseutationos sermae. F ad divisorem e e pertinentes, et quidem quamlibet
Dem: I. Formam ternariam i per quamvis substitutionem ρὶ revera transire in p. tam obvium est, ut inplicatione umpliori non Opus sit: quamlibet autem repr. ρὶ esse impropriam et in divisorem e e pertinere, inde Patet quod numeri ct 6 - α 6'. a 6 - α 6'. α 6 - α 6 resp. fiunt in e S E IV j ου 'l'B - SE ). e RE TE l. unde illorum divisor comm. min. manifesto erit
e quoniam NJ est repraesentatio Propria II. Ostendemus. ex quavis repraesentatione data ρὶ formae inveniri posse repraesentationem prOPriam formae determinantis - , inter formas Per ringulum primam inventas contentae. ηivo ox valoribus datigripsorum α. α. α . 6. 6'. 6 deduci posse valores integros ipsorum x, λ, μὲ conditionibus praEscriptis. atque valores ipsorum R. 'i'. 2C. B. E'. E . aequationibus Rὶ satisfacientes, et quidem unico tantum modo. Primo statim patet ex tribus aeqv. primis in Rὶ pro κ accipi debere divisorem communem maximum ipsorum α. α'. ac signo positivo quum enim TE -R E'. 2CE NE . AF-di divisorem communem non habere debeant, etiam S. es'. ti' div. comm. habere nequeunt j: hinc etiam a. 'l'. R determinati erunt, nec non μ. - quem necessario integrum fieri sicile perspicitur). Ponamus . tres integros a ι s. a' ita ac eptos esse. ut satari in a Tεcae se l. scribamusque brevitatis caussa tr. pro a B a'Σ - - a S .
340쪽
Tunc is tribus ultimi. aeq. II in sequitur. esse debere ab H- a 6 - a 6' - λ- iacta. unde statim paret, pro λ unicum tantummodo valorem inter limites o et μ- situm dari. Quo laeto quum etiam S. 23'. 2 valores detur natos nanciscantur. nihil superest. nisi ut demonstremus, hos semper hinc integros evadore. Fiet
eritque aduo manifesto integer, similitemus facile confirmatur. Etiam ipsos S . .' valores integros nancisci Ex his ratiociniis holligitur . nullam repraesentati nem impropriam sormae per s. ad divisorem e e pertinentem, EXSinre .POSSE.quae per methodum traditam Vel non vel pluries obtineatur. . . Quodsi tarn eodem modo reliqui divisores quadrati ipsius D tractantur. repraesentationesque ad singulos pertinentes eruuntur, cunctae repraesentationes impropriae formae,por f habebuntur. Cetorum ex hac solutione facile deducitur. theorema od finem. art. prae . Pro repraess. Propriis traditum etiam ad improprias patere . . scilicet generaliter nullam formam binariam positivam det. negativi per temuriam negativam reprassentari posse etc.; patet enim . si φ sit suma talis binariu quae propter illud theorema per i proprie ropraesentari neqMat. etiam omhes formas determinantium - etc.. ipsam φ implicantes Po f Proprio repraesentari non Ρ so. quum hae somno Omnes determinantem eodom signo uilectum habeant ut P. et. quoties hi determinantes ninativi sunt. vel omnes evndant formae positivae v lnegativm . prout P ad illas vel ad has pertinet. 285. De quaestionibus problenis tertium nobis propositum constituentibus
quod duo priora in praccc. 8unt reducta . scilicet propositis duabus sermis ternariis eiusdem determinantisi diiudicare, utrum nequivalentes sint necne. et in Casu priori omnes trans mationes ulterius in alteram invenire. pauca tantum hoc loco inserere POSSumus. quum solutio Completa : qualem pro problematibus an logis in sormis binariis tradidimus. hie adhuc maioribus dissicultatibus sit obnoxia.