장음표시 사용
341쪽
uuamobrena ad quosdam casus particulares. propter quos Praecipuo h cce digressio instituta est disquisitionem nostram limitabimus. I Pro detortarante ina 'supra ostensum est. Omnes formas ternarias in duas classes distribui, quarum altera omnes formas indefinitas. 'altera omnes d finitas ninnitu continout. Hinc statim concluditur. duas formas.teruari quascunque det. t acqui valentos osse. si vel utraque sit definita vel .utraque indo- finita: si vero ultum sit definita, ultera indefinita. acquivalontiam locum non habero i propositionis pars posterior in is to valet generaliter pro formis determinantis cuiuscunque . Simili modo duae formae quapcunque determinantis - l corto aequivalebunt. si vel utraque definita est. vel utraque indefinita. Duao formae desinita dctorminantis 2 spmpor aequivalebunt: duno .undefinitae non aequivalebunt. si in altora tres coirifici tes primi Omnes Paros. sunt. in ultera vero non omnes sunt pares: in casibuου reliquis si vel utraque tres cossificientes primos simul Pares habet. vel neutra aequival bunt . Hoc modo adhuc multo plures propositiones sPociales exhibere possemus. si supra lari. 27 7J pdura exemplu
II. Pro omnibus hisce casibus poterit otium, designantibus f formas
ternnrius uvquival outos. transformatio una alteriuη in ultorum inveniri. Nam pro omnibus cnsibus In qnavis classo latinarum ternariarum multitudo satis parva sor- Inarum supra Signatu est. ω quurmn utiquam' per ut ethodos uniformes quaevis forma ciusdem classiκ reduci possit: ha* omnes ad unicam reducere ibidem docuimus. . Sit Ι' haec forma in Du clasw.. in qua sunt f. . '. I teruntque Per Praccepta supra tradita inveniri transformationes formurum in F, noc non seruitio F in f s'. Hinc per art. 270 deduci poterunt transformationes formae f
uiatione formae ternariau f in alium s omnes transformationes possibiles derivari possint.' IIoc problema Pendet ab alio simpliciori . scilicet invenire onuios trans-sormationes formae ternariae s in re ipsam. Nimiriun Ai y per Plures substitu- . tionos et . et ) etc. in so ipsam et per substitutionum t: in .s' transit. pa- tot si ad normam art. 270 combinetur transformatio 1, cum et j. et' . ir j etc..prodire transibrinationes. Rer quas omneου f iu f transeat; praeterea per calculum isodo probatur. qumvis transformationem forinus f in f hoc modo deduci possco combinatione transformatiouis datae d krmuc f in f cum aliqua et quidem i
342쪽
uniea) ininsformati otio formae s in se ipsam. adeoquo Ex combmatione transὶ mationis datao mac f in f ' eum omnibus transformationibus formae s in se ipsam oriri omnes V ssormationes formae sin f . et quidem singulas semel tantum.
Investigationem omnium transformationum sormae s in so ipsam ad eum casuid hic restringimus, ubi s est sorma definita, cuius cosissicientes 4. b. 6 omnes - 0 j. Sit itaquo f -' 'exhibeanturque onmes substitutiones. per quas f in se ipsam transit, indefinite per a. 6. I
ita ut satisfieri debeat aequationibus . . ' .
lum tres casus sunt distinguendi
I. Quando a. a. u qui idem signum habebunt Omnes sunt ina quales. Supponamus acla . . Q H si. alius magnitudinis ordo adest, euodem conclu-Siones Prorsus. simili modo eruentur . Tunc aequi prima in manifesto requirit. ut sit α - ά o. ad quo α - 1 l; hinc Per aequ. 4, 5 erit 6 - u. I - 0: similitor ex aeqv. 2 crit 6 - 0. et proin ς - 4; hinc fit. per ac tu. 6.I' - 0. et Per 3, 1, ita ut sol, signorum umbiguitatem independent in
omnino habeatitur S. transformationes diversae. II. Quando e numeris a. E. a' duo sunt acquulos. e. s. ae αα α . inrtiuΝ inaequalis, suPPOuumVS primo a ς ά. Tunc eodem modo ut in casu pru . Orit α' - 0. Q - u. α - - 1, 6 u . y - 0; ex aeqv. 2. 3. 6 autem facile deducitur . esse debere
' Casus reliqui ubi J est forma dotalia. ad hune reduei possunt: si vero I est forma indefinita. methindus omnino divoma adhibenda. trandorinationumquo multitudo infinita erit. '
343쪽
DE FOR IR TERNARIIS RECUNDI GRADUS.
γ' - 0. Si vero, seeundo, a a ι eaedem conclusiones Sic obtineutur: ex Requ. 2, 3 necessario erit 6 - B. 7 - 0. et vel 6' - - 1. γ' - 0. 6 0. γ' - -- i. vel 6' - 0. γ' - - 1, 6' - - l; γ' - 0; pro suppositione utraque ex aeqv. 4. 1 aerit α' - 0. α' - 0, ainuo ex i, α - - 1. Habentur itaque, pro. uir quo casu, I 6 transformationes diversae. Duo casus reliqui, ubi vel a H. Vel ba - a. prorsus Simili modo absolvuntur, si modo characteros α. α. α' in priori eum 6, 6'. 6 in posteriori cum I, f. I resp. commutantur. III. Quando omnes a, a, a aequales sunt.' aequutiones I, 2.3 requirunt. ut e tribus numeris α. α, H, nec non ex 6. 6'. 6 . ut et ex I. I . γ' bini sint - 0. tertius - - 1. Per aequ. 4. 5, 6 autem facile intolligitur. e tribus numeris α. 6. I unum tantummodo MI I esse posse. similiterque ex α'. 6 nec non ex Q. 6 I'. Quamobrem sex tantummodo combinationes dantur .
ita ut ob signorum ambiguitatem omnino 48 transformationes habeantur. - Idem typus otiam casus praecedentes complectitur: sed e sex columnis primis prima sola accipi debet quando a. a. s omnes sunt inaequales: columna Prima et secunda, quando H; Prima et tenta, quando a - a Prima et sexta. quando
Hinc colligitur. si forma fis azae . a aeX-kar, tu aliam. nequivalentem transeat per substitutionem .
eo discrimine. ut sex columnae primae omnes adlubendae Rinti quando a se a - Κοῦ
344쪽
APPMCATIONES AD THEDRIAN FORMARUM BINARIARUM. 335eolumnssi l et 2. quando a. a aequales. a inaequalis: I et 3. quando a - a; l et 6. quando a a ; denique columna Prima sola, quando a. a. a Omnes inaequales. I casu Primo transformationum multitudo erit 48. in sccundo. te tio et quarto is, in quinto 8. QUAEDAM APPLICATIO S AD THEORLAM FORMARUM BINARIARUM.
Ab hac suceincta primorum elementorum theoriae sormarum ternariarum Expositione ad quasdem applicationes specialas Progredimur. inter quas Primum i
PuoBL A. Proposita forma binaria F - A, B. G determinantis D ad genus principale pertinente: invenire formam bisariam s. e mira duplicatione illa
quam Pars ingrediatur, cuius fornane coefficierites Omnes sere integros nullo negotio perspicietur. Aequo sacile intelligitur. φ fore somam indefinitam quoniam per hyp. F certo non mi forma negativat; unde necessario sormae aeae - 2ya no-quivalens erit. Assignari poterit itaque transformatio huius in illam, quae repraesentationem propriam formae F' per Xae - 2y a suppeditabit. Tune igitur crit. A - α α - 2α α B - αύ--α6 α 6 ' C - 66-- 2 6 6
345쪽
I,orro dosignatis numeris an α 6. a 6 - α 6 . I 6- α 6 lier a. b. e re P. divisororia communem non habebunt, orit luo I bh-2ae. II. Hinc adiumento observationis ultimae art. 235 facito poncluditur. transire per substitutioncm 2 6'. 6. 6. 6 : 2α'. a. u. ti in productum formae 2 a. - b. in se ipSam . nec non per substitutioncm s . c. 5. 26 α. a. a. 2α in productum fornino M. - b. 26 in se ipsum. Iam divisor communis maximus numerorum 2 a. 2b. 2c est 2; si itaque e est impar. 2 a. 2 b. e divisorum communem non habebunt. Sive 2 a. - b. e) erit forma proprie primiti α; similitor. si a est impar. a. - b. 2eὶ sorma. proprie primitiva erit: in casu Priori F oritur Ox duplicatione forinae 2 a. - b. e . in ΡOstoriori ex duplicatione somno a. - b. 2H. V. con l. 4. nrt. 235 : unus vero horum camum certo semper locum habebit. dii enim uterque a. e osset par. b necessario foret impar: iam facile confirmatur. esse 6, - 6b -- 6 e - q. a a --αb--αc o. unde SEquor tur, 6 b. ab . ndeoque otium a et G esse pares. Hinc autem A et C serent Pares. quod esset contra hypothesin. secundum quam F est forma e genere principaliud quo ex ordine proprio primitivo Ceterum fieri otium potest . ut tum a tum e impares sint . in qno itaque casu duae stati in sermae habObuntur . e quarum duplicationo F oritur. . Proposita sit forma F - ib. 2. a ij. det. - ibi. Valor expressionis V 5.2.3Iὶ hic invenitur 55. 22 : hinc forma ternaria Iὶ: huic P r praecopia art. 27 2 aequivalens invenitur forma in . quae in ρ transit per substitutionem Uinc. adiumento transformationum in art. 277 traditarum invenitur. ') transire in P per substitutionum: ζ: : . l. Fit itaque a se ii ' b - -l T. e - 20: quare quum a Sit impar, F oritur ex ddplicatione formae lal. 17. 40 transitque in productum linius for-
346쪽
tresque aliae DX his Per commutationem numerorum p. p. p . p ' Cum g. q. q q Oriuudae; ν .n' sunt radices quadratae positivae o quotientibus prodeuntibus. si determinantes sermurum h. i. k h'. kῖ por det. sermno F dividuntur. Si itaque liue serinae sunt identicae sive n α ii'. h - 4'. i - i , k,ta F. illae
acquutiones transeunt in lim: . . .
II. Si Drma F oritur D duplicatione formacf. orietur otium e duplicationec iiii vis alius formae cum s in cadem classe contentae sive classis Drmno F duplicatione classis sortuae .f V. art. 23SJ. Ita in eX. art. Praec. b. 2, 3lὶ Oric- tur elisini E duplicatione sermuo sit. -5. l6ὶ ipsi sit. 17. 40ὶ proprio nequivalentis. Ex una classe, per cuius dupl. cli sis sermae F Oritur. omnes si plures dantur inveniuntur adiumento probi. 260: in exemplo nostro ulla huiusmodi cla sis positiva non dabitur, quia una tantummodo classis anceps proprie primitiva positiva det. -- ibi exsint sputo principalis): quum o comvisitione classis unicae ancipitis negativm - i. 0. - 15 lj, cum classo si I, -5. 6) oriatur classis -ll, -5. - 16 . haec erit unica negativa. e cuius duplicatione classis 5. 2. at oritur. III. Qu.um per 8olutionem ipsam Probi. Rrt. Praec. eri tum Sit . quam sciassem formarum binariarum proprie primitivam positivam ad gonus principale Iiortinentem ex alicui ius classist pr. prim. Diusdem det. duplicatione oriri posse: the rema art. 26 l. Per quod c rti stramus, ad minimum semissi omnium charactorum 43
347쪽
DE FORMIS TERNARus SECUNDI GRADUS.
pro determinante non quadrato dato. D assignabilium genera proprie primitiva positiva respondere non posse, eo iam ampliatur, ut praecise semissi omnium h rum characterum talia genera revera respondeant. altorique ideo semissi nulla r
spondere possint F. demonstr. illius theor. . Quare quum in art. 264 omnes illi charactores assignabiles in duas species P. Q aequaliter distributi sint. e quibus posteriores Q formis pr. Prim. positivis respondere non posse probatum erat, dereliquis autem P incertum maneret', an singulis genera Semper revora res nilem rent: nunc hoc dubium ponitus est sublatum. certique sumus, in isto Characterum Complexu P. nullum adesse, Cui genus non respondeat. Uinc sacile qu
quo deducitur, pro determinante negativo in ordine pr. Prim. neyatiro. m quo omnes F impossibiles solosque Q possibiles esse in uri. 264, Ι Ostensum est. omnes Q revera possibiles esse. Designante enim K characterem quemcunque ex Q. f sormam arbitrariam ex ordine pr. Prim. neg. formarum det. D. atque Κ' ipsius characterem, hic erit ex Q: unde facito perspicitur. characterem ex K. K'compositum ad normam art. 246ὶ ad P pertinere, adeoque sormas sex. Primitivasimsitivas det. D exstare, quae ei respondeant; ex compositione talis formae cum s mani susto orietur forma pr. Prim. neg. det. D. Cuius charactCr erit K. Pro sus simili ratione probatur, in ordine improprie primitivo eos characteres, qui Per praecepta art. 254 II. III soli possibiles inveniuntur. Omnes Possibiles esse, sive sint P sive Q. IIaccco incoremata, ni vehementer sallimur, ad pulcherrima in theoria formarum binariarum sunt reserenda, eo magis quod licet summa SimΘplicitato gaudeant, tamen tam recondita sint ut ipsarum demonstrationem rigor sum absque tot aliarum disquisitionum subsidio condero non liceat.
Thooria d eo ostilionis tum numerorum tum formartim hinariarum in tria quadrata.
Transimus iam ad aliam applicationem digressionis praecedentis, ad di cerptionem tum numerorum tum sermarum binariarum in terna quadrata, cui praemittimus sequens 28 S. PROB A. Desi ante M numeram positivum, invenire conditiones sub quibus formae binariae primitivae negativae deteriminantia -M dari possint, quae sint residua quadratica ipsius M sive pro quibus i sit numerus characteriaticus.
348쪽
DECOMPOSITIO FORMARUM BINARIARUM De TRIA QUADRATA. 339
Sol. Designomus per u complexum omnium characterum Particularium. quos praebsent relatioues numeri l tum ad singulos divisores primos simparos ipsius M tum ad numerum 8 vel 4. quando ipsum M motitur: manifesto hi characteres erunt Np, RU etc.. denotantibus p. p. V etc. illos divisores primos. atque l. 4 quando 4; l. 8 quando 8 ipsum M metitur. Praeterea utamur literis P. Q in eadem significatione ut in uri. praec. sive ut in 264. Iam
I. Quando M por 4 divisibilis est. v erit character lutoger, patetque ex
art. 233 V. t talium tantummodo Ermarum numerum Characteristicum esse Pos e. quarum character sit P. Sed munifestum est. 2 lare characterem formae principalis l. 0. M) adsoque ad P pertinere et proin formae proprie primitivae
negativae conit olere non Posse; quare quum formae improprie primitium pro tali det. non dentur . nullae omnino formae Prim. neg. in hoc casu dantur, quae Sint residua ipsius M. ΙΙ. Quando M - 3 mod. 4ὶ, prorsus eadem ratiocinia Valent ea sola exceptione ut in hoc casta ordo i Moprie primitivus negativus exstet, in quo Ch raeteres P vel possibiles crunt. vel impossibiles, prout M 3 vol T linod. S . V. urt. 264. III. In casu igitur priori in hoc ordine genus dabitur . cuius cpi racter sit v. unde 1 erit numerus characteristicus omnium formarum . in ipso Contentarum; in casu posteriori nullae omnino formae negativae hac proprietate praeditae duri poterunt. ἀΙΙΙ. Quando M ι mod. 4 , Ω oondum est character completus. Sed insupor accedere debet relatio ad numerum 4: patet autem. 2 necessario in characterem formae, cuius num. char. sit l, ingredi debere, et vice versa. formam quamvis, cuius character sit Vel u; I, 4. vel u; 3, 4, habere numerum char. l. Iam O; l. 4 manisosto ost character generis principalis. qui ad P Pertinet ado que in ordine pr. Prim. negativo impossibilis est; ex eadem ratione u; 3. 4 ad Qpertinebit art. 263 , unde ipsi in ordine pr. Ρrim. negativo genus respondebit. uius formae omnes habebunt num. char. l. ordo improprio primitivus in hoc
casu. ut in sequente . non datur.
-IV. Quando M - 2 mod. 4ὶ ad 2 accedere rebet relatio ad S, quo fiat Character completus, puta vel . t et 3, 8, vel bet T. 8. quando M - 2 mod. Sὶ: et vel 1 et T. 8, vel aet5. Φ. quando M - 6 Mod. 8ὶ. Pro casu priori character se: let 3. S manifesto pertinet ad P. ad quo 2: S.I. 8 ad Q. unde ipsi respon-
349쪽
i genus M. Prini. neg.: similique ratione pro posteriori unum g A in ordineph prim. negativo dabitur, cuius sormae proprietate PraeScriita
a 'Ex liis colligitur . sorinas primitivas ii gati v dot - II Oaxum numerusci ructeristicus sit 1, dari. quando II nlicui numcrorum i , 2. 3, 5. 6 Secundum modulum S congruus sit et quidem in unico semper genere. qu0disii proprium oritquando M e 3; tales sermus omnino non dari. quando'. t 0 l v l 7 AOd. Sin Ceterum pinnisestum est. si - a. - b. - cI sit forma primitiva nega u. Cuius num .char. -Fl. a. b. 6. so formam Primitivam I DSitivum, cuius num. Char. -l: hinc perspicuum est, in quinquo casibu6 Prioribus squando M l. 2. a. b. 6 dari genus unum primitivum lositivum, cuiu8 somne habeant num . char. - l. Ot quidem pro M M 3 improprium . in tribus reliquis vexo quando M 0. 4. Tin t les formas positivus omnino dari non Posso.
circa repraesentationes propriaη formarum' binuriarum i3er, ternariam1X-μυ--az - f, e theoria generali in uri. 2S2 tradita colliguntur haec: I. Forma binmin ip por f proprio repraesentari nequit, nisi fuerit sernia positiva Primitiva. atqnu - 1 i. e. det. formae s ipsius numerus characteristicus. Quare pro determinante positivo, noc non pro negativo -IL iniando II ost vel por 4 divisibilis vel formae S n - - γέ nullae formae binariae Per f proprie repra
II. Si vero P p. φ r cst forma po itiva primitiva dehorminantis' - M. atque - 1 numerus character isticus soranue P. udeoque Ctiam opporitne P. -q..H: dabuntur repraesentationcs propriuo formae V per i ud quomlibet valorem datum pr. V- ίρ. - q. r) pertinentes. Scilicet omnes cosmeientes formae ternariue ydet. -l ari: 2Sδὶ nocessario fiunt intcgri. y vom larma definita, adeoque ipsi fceris nequivalens sart. 285. I . III. Multitudo omnium repraesentationum ad eundem valorem expr. v - p, - periinentulta in omnibus casibus. Praeter II l et II - 2. perari. 283. III aeque magna est ac multitudo transformationum sormae s in s. adeoque. Per Rrt. 2bb. - 4b; Ibinde Patet . si una myracsentatio ad valorem datum pertinens habeatur. 47 reliquas inde derivari. valores ipsorum X, y. z
350쪽
omnibus finibuς fieri potest modis tum intor sc liermutando tum signis opplnificiendo: qnuro cina nos 1 S repracsentationes unicum d Ompositioncm sormae pin tria qund ruta producunt. si ad quadrata ipsa tantum . nequo ad ipsorum ordinem radi ii vivo, istun resincitur. 'IU. Po ita multitudine omnium muti rorum primorum imparium divere rum ipsum M in tientium -μ. haud difficile ex urt. 233 concluditur. multitu-
dinem Omnium valorum divorsorum expressionis V - ρ. - q. r)smod. Mi lare - 2l quibus per art. 2, a semissem tantum considerare oportet quando M et . auaro multitudo omnium ropraesentationum propriarum formae * pur f erit i S. 2 a. 2'i' : multitudo autem discorytionum diverearum in terna
hac de Omliositiones 4 S repraesentationibus aequi Pollent. I Praetor has l92 repraeSeutationes autem . sive quatuor discerptiones, aliuo non dabuntur. quum 770 per nullum quadratum divisibilis sit. adeoque roseruosentationes improprino exstaro non Possint.