장음표시 사용
351쪽
DE FORMIS TERNARIIA SECUNDI GRADUS.
. 290. De sorinis determinantis - 1 et - 2. quae quibusdam me Ptionibus Obn Xiae Drant, paucis S Orsim mus. Praemittimus Observationem generalem si
φ. *' sint formae binariae nequivalentos quaccunque, i ' transformatio data illiu in hanc. ex combinatione repraesentationis cuiusvis formae P por Hiquam ternariam J cum substitutione 0ὶ prodire repracsentationum formae *' per f:lγorro ex repracsentationibus propriis ipsius 7 hoc modo oriri repraesentationes proprias sormae f. e diversis diversas. denique e cunctis cun tas. Haec Omnia per calculum facillimo comprobantur. Quare una formarum *. φ' totidem modisper i repracsentari Poterit ac nitora. I. Sit primo φ -u-Huu . atque j sorma quaecunquo alia binaria P sitiva dei. - l . cui itaque aequivalebit: transeat 7 in f per substitutionem l - α issu', u It H-δu . Formn P repraesentatur per ternariamf- zz -υ--za Ponendo ae t. y u, z - 0; Permutando α. v. et hinc emergunt sea repraesentationes, et e singulis rursus quatuor mutando signa i I Sorum t. v. ita ut omnino 24 repraesentationes diversae hah antur. quibus unica
discerptio in tria quadrata nequi pollet et praetor quM alias dari non posse sacrile perspicitur. IIinc concluditur, etiam seruirem unico tantum inodo in tria qua
24 repraesentationibus nequivalet. II. Sit it - 2 v v. quaecunque alia forma binaria positiva dei. - 2. in quam 3 transeat Per substitutioncm t - αt'-diu. v It - δυ'. Tunc simili modo ut in casu praee. concluditur. 7. Et Proin Ptiam 3'. unico tantummodo in tria quadrata discerpi posse, puta * in v. atque ρ' in 6u' 'H- γ talem decompositionem 24 repraesentationibus aequil,ollere facile perspici potest. Hinc folligituri formam binarias determinantium -l et - 2 respectu multitudinis repraesentationum per ternariam aeae risy - - cum aliis formis binariis omnino obnvenire; quum Onim in utroque casu fiat 11 - 0, sermula in nrt. Pr C. IV. tradita ut 'e Producit 24 repraesentationes. Ratio huius roi cst, quod dua exceptiones' Inibus tales formae obnoxiae erant. Se mutuo compensant. Theorlan oneralem repraesentationum impropriarum in uri. 284 DXPlica tam ad formam XX - - ra applicare, brevitatis gratia Sit PQ od mus.
352쪽
iauaestio de inveniendis omnibus repraesentationibus pmpriis numeri positividati M per sermum ae aeq-yy-ka a primo per art. 28l reducitur ad investigati
nem rePraesentationum propriarum numeri -M Per Drmam -XX-υ-aam L 'hae vero per praecepta art. 280 ita eruuntur: I. Evolvantur Omuos classes formarum binariarum determinantis - M.
quarum formae per XX- YYZZ F cui formae ternariae adiuncta est flProprie repraesentari possunt. Quando II 0. 4 vel T mod. Sὶ, tales classes per art. 288 non dantur. adeoque M in tria quadrata. quae divisorem communem' non habeant. discerpi nequit j. Quando vero II l. 2. 5 vel G. dabitur genus Positivum proprie primitivum. Ol. quando M a , improprie Drimitivum. quod omnes illas cia sos complectetur: designemus multitudinem harum classium I,er k. II. Eligantur iam sex litico classibus h formae ad lubitum, e Singulis una. quae sint P. *. P Otc.; investigentur omnes Omnium repraesentationes Propriae per F. quarum itaque multitudo erit 3. 2 8' k K. designante ii multitudinem factorum Primorum impuriumὶ ipsius II: denique o quavis huiusmodi r
praesentatione ut .X mi H-nu. Y - mi . nu, Z -m t --n re' derivetur repraesciitatio ipsius M per ti- -yy haeca - - m . y n - m Q. z m n - mn In. complexu lutrum K rePraesentationum . quem per u designemus. Omnes r l,raesentationes ipsius II nccessario contentae erunt. . 'IlI. Superest itaque tantummodo, ub inquiramus, num in v repraesentationes identicae occurrere possint: et quum ex ari 2s0. III iam constet. o repracsentationes in v. quae e formis diversis e. s. EX * et *' derivatae sint. n
Ilaee impo sibili A etiam inde manifesta. quod summa trium quadratorum imparium ne Mario sit in a mod. 8 a summa duorum imparium eum uno pari vel m a vei m si summa unius imparis eum duobus paribus vel vel is x a donique summa trium parium vel o vel m 4i sed in easu postremo reprae entatiomanise to est impropria.
353쪽
ν . 344 DE FORMIS TERNARIIS SE INDI GRADUR.
At o theorin transformationum formarum binariarum det. negativi in art. 17sexplicata sequitur. in omnibus casibus practor M et M - 3. duas tantummodo transformationes proprias serinae in No ipsam dari. Puta α. 6. I. ἐ- i. v. u. t et - - 0. 0. -l resp. quum enim * Sit forma primitiva. id quod in art. 17s designabatur lier .m. erit vel l vel 2. Et proin praeter casus cxo pios. certo sit locum ibi habebit . Quare tRὶ O solis r. H. provenire Poterit udeoque quaevis r praesentatio propria numeri M bis et non plurios in v reporietur . et multitudo omnium repraess. propriarum diversarum ipsiuς M oriti K αα 3. 2i in k. auod attinet ad casus exceptos. multitudo transformationum Propriarum sormac φ in se ipsam per art. 179 Orit .l pro M- i, et si pro M 3: reveraque facile confirmatur. multitudinem repraesentationum propriarum numerorum l. aeSse - K. ὲ Λ ΝΡ.; scilicet uterque numerus unico tantum modo in tria qua-
354쪽
Discorptiones numerorum sui formarum binariarum supral in tria quadratare repraesentationibus Ρω formam ita distinguimus. ut tu illis ad solam quadratorum magnitudinem. in his vom insuper ad ipsorum ordinem radi- Cumque signa rospiciamus, udroquo repraeSPutationes ae a. y - b, c. et X - a. y - ν. 2 - ου Pro diversis habeamus, nisi Simul a a, b - Κ- e - e: discerptionos autem in aci--bb--ce et in au - - - - ce' pro una. si nullo ordinis ream tu habito haec quadrata illis aequalia sunt. Hinc Patet. I. Discerptionem numeri II in quadrata a a-kbb ee a quipollere 4 Sr raesentationibus. si nullum sit .- 0 Omniaque inaequalia; 24 autem . si relunum s reliqua inaequalis . vel nullum - 0 atque duo inter se a qualia. Si vero in discerpti otio numeri dati in tria quadrata duo ex his sunt - 0. aut unum - 0 liqua aequalia, aut Omnia aequalia. repra ontritionibus s. aut 12. aut Suequi alens crit; sed huac sevenire nequeunt nisi in casibus singularibus. ubi M- inut 2 aut a resp., siquidom repraesentationes esse debent propriae. His exclusis xure amua. multitudinem omnium discerptiouum numeri M in torna quadrata divisoris communia expertia) esse E. Mqua inter has reperiri e in quibus unum quadratum v, et e in quibus duo quadrata aequalia; illae etiam tamquam discerptiones in bina quadrata, hae tamquam discerptiones in quadratum et quadratum duplum spectari possunt. Tunc multitudo omnium repraesentationum propriarum uumvri M. Per κα--3yia a Prit
355쪽
At e thooria semarum binariarum lacile deducitur, e lare vol ας B vel se ae prout - 1 sit non.residuum vel residuum quadraticum ipsius M. nec non uvel im 2' 3, prout - 2 Iaon. residuum ves residuum ipsius M, denotaute μmultitudinam laetorum primorum imparium) ipsius M . nrt. 382: expositionem uberiorum hic supprimimus). I Unc facile colligitur. fore E - 2i h. si tum - 1 tum - 2 sit N. R. ipsius II: E- 2l stri- 2ὶ . si uterque numerus sit residuum; denique E - 2' ' kε ij, si alter residuum sit alter non-residuum. In casibus exclusi, M l et M - 2. haec formula praeberet E i, quum esso dchoat E - 1; pro M - 3 autam recte provenit E - 1. exceptionibus se
Si itaque M ost numerus primus, sit μ αα I. adeoque E thri 2 quando M l mod. Sὶ: E s 1 quando um 3 aut b. IIaecce the ' remata specialia ab ili. Lo Gundre per inductionem detecta et in commentatioue egregia iam saepius laudata Hut. de P Ae. de Paris l785 p. 530 sqq. prolata fuerunt. etsi sub sermu aliquatitum divorsu. cuius rei ratio imprimis in eo Est sua. quod nequivalentiam propriam ab impropria non distinxit . et proin classes oppositus commiscuit. AII. Ad inventi uom omnium discerptionum numeri M in terna quadratu ino div. comm.ὶ non opus Ost. omnes repracsoutationes Proprias omnium larinarum P. f. P eruere. Primo enim facile confirmatur, omnes 48ὶ repramentationes formae * ad eundem valorem eXpr. V- p, - q. rὶ Periinentes cstatuendo φ - p. q. r)J discerptionem eandem numeri M Draebere, adeoquB sussiesre si una ex illis habeatur, sive quod codem redit, si tantummodo omn- diversa discerptioncs j sormae in terna quadrata conscriptae sint, ut perinde de risii- quis * φ' etc. Dein si est e clas,e non aucipite, eam sirinam . quue o Et se opposita plecta est. omnino praeterire licebit sive e binis olossibus os positis unicam considerare sufficit. favum cnim Prorsus arbitrarium sit . quaenam forma esingulis classibus cligatur, supponamus e claesse opposita ei tu qua est φ eligi formam ipsi φ oppositam, quae sit - φ . Tunc nullo negotio perspicitur . si
') Seu per subintelligendum promas. si hane expresaionem a repraesentationibus ad discorpiiones transferro luhet.
356쪽
discerptioves proprias formae indefinito exhibeantur per
omnes disce niones formae Expressum iri Iaer
nec non ex his easdem discerptiones numeri M derivari ut ex illis. Doniquo pro eo casu ubi ip est forma o classe ancipite, attamen neque o classo Principali
Exempli caussa investigabimus omnes discreptiones numeri 770 in terna quadruta. ubi μ - 3. e - έ - 0, adeoque E - 2k. per classificationem for- murum binariarnm positivarum determinantis -7 70 quam quoniam a quoviS ad normam art. 23l facile condi potest brevitatis gratia nou adscribimus, inueuitur classium pOSitivarum multitudo 32, quae omnes Sunt proprie primitivae et inter 8 genera distribuuntur. ita ni sit L - 4. et proin E 8.. Genus, Cuius numerus characteristicus , respectu numerorum S, T, li manifesto Pharaeteres particulares R b: NT: N. II luinere debet, undo per art. 263 sacile concluditur. ipsius characterem respectu. numeri 8 esse do ro 1 et 3. S. Iam in eo genere. cuius character I et 3, 8; R 5; NI; Fli, quatuor classes reperiuntur. Pro quarum repraesentantibus eligimus sermas 6. 2. l29 . 6. - 2. l2s l9. a. 43J.ls. - 3. Φl ', classem secundam Nero et quartam reiicimus, utpote Primne Pt tertiae oppositas, .unditum discerptiones inmac 19. 3. 41ὶ iam in art. 2bs tradidimus, e quibus sequuntur discerptiones numeri 770 in s*36i 400. 16-Ρ25H-729.61 - - 400 -- 289. 576 - - 169-- 25. Simili ratione inveniuntur quatuor discerpti nes formae sit tri-4 tu - - 129uu in t - S u H- 2 tu j' - - φ- - S M t - ld u,' - - 2tH- 5 u - t-- 2 v
357쪽
respin valoribus expressionis v - U.-2. 129 hisce Oriundae id S. 369, u, a. -l49 . 92. - l59ὶ. 202.6 l : undo prodeunt discerptiones numeri TTH in 225H-256 -2S9.l H-ὼ 44 - - 625. 6 l-HS1- - 625. 36.H- 225 -- 529. t ructer has octo discerptiones aliae non dantur. . iniauno ad discerptiones numerorum in terna quadratui divisores communes habentia attinent. tam facile e theorin genernii nrt. 2Si Sequuntur. ut non opus siti huic rei immorari. ' :
Disquisitiones Praecedentes otium suppeditant deinOnstratiouom th Oremutissumosi. Dmnem numerum infeyrum positivum in tres numeros trisonales discerpi posse, quod a Ferinatio olim inventum est.. sed filius demonstrat i rosa hactenus d siderabatur. Manifestum est . quamvis discerptionem numeri II in trigonatos producoro discerptionem numeri s in trina quadruta impuria et vico versa. Quivis autona numerus integer Positivus S IIH- 3 per theorium prae cedentem in tria quadrata resolubilis est, quae Iace saria Orunt impuria V. annot. art. 20l ; resolutionumque multitudo Peudet tum a multitudine factorum primorum ipKius 8M.H-3. tum a multitudine classium, in quas formae binariae doto ni in antis HS--μ 3ὶ distribuuntur. Totidem discerptiones numeri II in turnos gri natos dabuutur. Supponimus autem, i X a- lὶ Pro vulare quocuuque intomo ipsius X tamquam trigonalem Spectari: quodsi magis, Placerob iliam excludere. theorcina ita immutare olimrteret: iauivis integer positivus vel ipse triagonalis est. vel in duos vel in tres trigonales resolubilis. Similis mutatio in tho romate sequente sapienda esset. si ciliam a quadratis excludere Placeret. Ex iisdem principiis domo stratur aliud Fermatii theorema, quemvis numerum inteyrum positivum in quatuor qu rata decomponi posse. Subtrahendo a numero formae 4n- - 2 quadratum arbitrarium sillo numero minus , a numero serinae
358쪽
4nini uuadratum pari a numoro formas 4n quadratum impar. residuum in omnibus his casibus in tria quadrata resolubile erit, ad quo numerus Propocltus in quatuor. Denique numerus formae 4n exhiberi potest per 4 II ita ut N ad aliquam trium sormarum praecedentium pertiuini: resoluto autem ipso Ν in quatuor quadrata. etiam 4 N rosolutus erit. Α numero formas 8n ἡ-3 etiam subduci potcst quadratum radicis Pariter paris. a numero somno 8nΦT quadratum radicis impariter paris. a numero Armae 8n- - 4 quadratum impar. residuuInque in tria quadrata resolubile erit. Cetorum hocce theorema iam reb id. I in ψrange demonstratum orat. Notuv. min. de I Ac. de Beriis lTTu p. 123. quam demonstrationem sa nostra prorsus divorsam in fusius Oxplicavit ili. Eulor in Aem Ae. Pere. Vol. ΙΙ. p. 48. . Alia Fermulsi theoremata quae praecoclentium quasi Continu tionem constituunt, quemvis numerum intonum in quinque numeros pentagonales sex hexagonales, septem hepta italPs etu. resolubilem esse . demonstratione hactenus carent, aliaque Principia requirero vi dontur.
294. ΤΗΕOREMA. Desisnantibus u. b. e numerox inter se primos. quorum nullus neque - 0 neque per quadratum diffisibilis. aequatio a XX -υy --czz - 0 . . . tu resolutionem in inteyris non admittet iraeter hanc ae y a - 0 ad quam non respicimus nisi -bc, ae - ab resp. sint residua quadratica ψSorum a, b, c. a que hi numeri xignis inaequalibus assecti; his vero quatuor eonditionibus Deum habentibu . uJ in intenis resolubilia erit. ν . λ .
Dem. Si iuὶ per integros omnino est resolubilis. etiam per tales valores ipsorum G, m a resvivi Poterit. .qui divisorem communem non habent; nam VH - . quicunque, aequ. Ω satisfacientes, etiamnum satisfacient, si per divisorem communem maximum dividuntur. Iam supponendo app-bbqq--crr - 0. ut' quo P. q. r a divisore communi liberos, etiam inter se primi erunt; si enim q. rdivisorem communis μ hubarent, hic ad p primus e et, μμ autem mutiretur ipsum apst tamque etiam i um a, contra hyp. t et perinde p. r; p. q inter se Primi Erunt. praesentatur itaque -app per formam binariam byy -caz
359쪽
trilmondo ipsis ν. a valores inter se primo' q. r: unde illiusIdeterminans -be residuum quadratiCum is Rins app.ndmque Duam ipsiuη a orit uri. i54ὶ: eodem modo erit ac Rb. - ab Ile. s uod vero. 2ὶ resolntionem nilinit toro non possit. At v. b. e idem signum habeant, tam Obvium Ust, ut DXPlicatione non Psent. Demonstrationem propositionis inversae. quae theorematis Partem secuti dum constituit, ita adornabimus. ut primo formam ternariam ipsi q. J . . . f aequi alentem invenire doceamus, cuius cocilicumtes 2. 3. 4 Per ab e divisibilos sint. undo secundo solutionem aequationis tu in deducemus. I. Investigentur tres integri A. D. C a divisore communi liberi. niquo ita comparati. ut A primus sit ad b ot e: II iid a et e: C ad n et'b: u AA--bBB--e CC autem por ahe divisibilis. quod offici tur inquonti modo. Sint ei, B T res p. valores expressionum , - b c tui . a . V- ac mod. ι . v - abii Od. qui necessaria nil a. b. c resp. Primi erunt. Accipiantur tres integria. b. c omnino ad lubitum . modo ita ut ud a. b, c resp. Primi sint e. q. Omnes l . determinenturque l. D. C ita ut sit
sive per a divisibilis. et pori nilo per h. c. adeoque otiam per ab e divisibilis orit. Pra ter a patet. A necessario fori primum ad b et e: B ad a et e; C ad vi et b. Ni vero hi valores ipsorum A. D. C divisorem communem sin imum) μ implicant. hic manifesto nil a. b. c adcoque ad ab e primus erit: qunre illos valor Iaer μ dividendo novos obtinebimus, qui divisororia commvnom non hab unt. valorum ipsius a IAH-bLB--e CC Otiam ii uni per ab e divisibilom producent. aduoque omnibuR conditionibuΑ satisfacient. .. . 'ΙΙ. Numeris A. D. C. hoc modo detorminatist otiam Aa. I b. Ce divisorona communem non habebunt. Si enim haberΡnt div. comm. μ. hic necossario Primus esset ad a squippe qui tum ad Bb tum ad Ce primus oso ot similiter ad
360쪽
i. e. s. n Per a divisibiles erunt: similique modo iidoni num ri per b. cndeoque etiam Pur ab e dirisi Ies inveniuntur. Q E. P