장음표시 사용
371쪽
si vulcirps tantummodo rationales desiderantur, quam, si integri Postulantur. supra sart. 2 16 sqq.) iam absolvimu . Nam omnes valores rationales ipsorum X, y eXhiberi possunt Per - - . ita ut t. v. v SInt Integri, unde Patet , SOlutioncm inius a quationis γr numeros rationales identicam esse cum solutione nequationis a.it -- 2btu - euu - 2 div - - 2 euv- - v - 0
per numeros integros: haec vero convenit cum aeqv. in art. praec. tractata. Excludi debent eae solae solutiones ubi v - 0; talos autem provenis nequeunt. quando bb-ac est numerus non-quadratus. Ita e. y. Omnes solutioneS RPquu
designantibus p. st intcgros quoscunque. Ceterum de liis duobus problematibus Metissimo noxu coniunctis breviter tantummodo hic egimus. multaSquc O servationes huc pertinentes suppressimuR. tum ne nimis prolixi fieremus . tum quod solutionem aliam probi. art. praec. habemus, principiis genoratioribus i nixam. Cuius expositionem .. quia penitiorem serinarum ternariarum disquiiati nem postulat. ad aliam occasionem. nobis reServare debemuη. .
1 vertimus ad sermas binarias. de quibus adhuc plures proprietates singulares moensere oportet. Et primo quasdam observationes circa multiiudinlini generum ob classium in ordini proprie primitivo positivo pro det. neg.) adiiciemus. ad quem brevitatis caussa disquisationem restringimus. .. έMultitudo generum . in quae omnes sermue pr. Prina. γλ ωι rminantis dati positivi vel uegativi in D distribuuntur. semper est l. 2, 4 vel altior potestas numeri 2, cuius exponens pondet a lactoribus ipsius D. et per disquisiti mos praeco . omnino a priori inveniri potest. Iam quum in serie numerorum naturali numeri primi cum magis minusque compositis Permixti sint . evenit. ut pro pluri-
372쪽
bus determinanti hus successivis in D. - D- - 1 . - Din 2ὶ Eic. multitudo g nerum nunc crescat nunc decrescat, nullusque in hac serio perturbata ordo adesse videatur. Nihilominus si multitudines generuin multis deti. successivis
reΝPondenteη adduntur. summaque por determinantium multitudinem dividitur. multitudo senerum mediocris Ρωvenit. quae circa medium determinantium 2 D -- , m locum habere conseri poterit, progressionemque valde regularem constituit. Suin uimus autem, non modo m esse Ratis magnum sod etiam D multo maiorem ut ratio deserminantium extremorum D. B -m non nimis a ratione aequalitatis discrepet. Regularitas illius progressionis ita intelligeuda est: si D' est num rus multo maior quam D. multitudo generum mediocris circa determinantum 1 D sunsibili or maior eris quam circa D: si vero D. D' non nimis di Grunt, otiam generum multitudines mediocres circa D et D ' scis sequalea orant. Ceterum multitudo mediocris generum circa, doterminantem Imsitivum -- LP semper fere aequalis invenitur multitudini mediocri circa negativum, eoque macuus quo maior est ' D. qnurn Pro valcae parvo Prior paulluluiu maior Evadat quam P aerior. Hae observationes magia illustrabuntur per exempla sequentia, e tabula cis38ificationis formarum binariarum plures quam 4000 determinantes compleetente excerPta. Inter centum determinantes a 80l usque ad 900 reperiuntur 3 quibus unicum genus respondet: 32. 52, 8, 1 quibus resp. 2. 4. 8. 16 genera r Pondent: binc omnino emorgunt genera abis, unde multitudo modiocris - 34,9. Centum determinantes negativi a - Sol usque ad s00 producunt genem 366. Exempla sinuentia omnia desumuntur a determinantibus negativis. In contudeI6 sa - 1501 usque ad - 600ὶ mult. med. generum invenitur '3. 89: in centado 25 est 4.03: in centade bl prodit 4:24: E sexcentis deti. - 940 l . . . - 10000 computatur 4. 19. Ex his inemplis patet, multitudinem generum m diocrem multo lentius Prescere . quam determinantes ipsos; sed quaeritur. quaenam Sit lex huius progressionis' di Per diisquisitionem theoreticam satis dissicilem. quam hic explicure nimis prolixum foret, iuventum est, multitudinem generum mediocrem circa determinantem D vel D quam proxime exhiberi per formulam
373쪽
ubi α. V snnt quantitates constantes. Di quidem α - - - 0. 405 28 17 346 designanto re semiperiphoriain circuli cuius radius ij,
V, Eulor Inst. Calc. Diff. p. 444ὶ; 4 vero summa seriei .
quae per approxiniationem iuventa est 0.937 4S 2513. Ex hae sonuista patet. multitudinem mediocrem generum crescere tu progressione strithmetica, si dulci minantes augeantur in . geometrioa , alores huius sormulae pro D - 650 l. 1550 . 24S0,. 5050 h. 97 sol invcuiuntur 3. 617 ; 3 86: 4 046: .4.339; 4. 604. ilui a multitudinibus mediocribus supra datis parum discrepant. Quo maior fuerit determinans medius: et e quo pluribus multitudo modiocris computetur, EO minus a valoro formulac disser t. Adiuinculo huium formulae etiam . gregatum invititudinum genorum determinantibus suecessivis in Di D-f- l).. D -- m respondentium quam proxime Erui potest, si multitudincti mediocres siugulis r Spondentes con utantur et in ηummum colliguntur, quantumvis divorsi sint extremi D. Vaco summa erit .
374쪽
Respectu mqltitudinis classium Pr.. Primit. P0sit . . Niod soniper subintolligendum j dctorminantes positivi prorsus aliter.se habent quam negativi: quamobroin utrosque scorsipi considerabimus. In eo hi cuni illis conveniunt. quod pro 'dolonii inanis dato in siligulis generibus Classes neque multae continentur . ndo quo multitudo omnium classium nequalis ost Producis o multitudine uenerum in multituditiem Classium in singulis gOncri hus contoraturum. Quod primo attinet ad determinantes uegativos. multitudo classium pluribus doti. successivis -υ, - D- - 1i . D-2 etc. respondontium promo Sionem uequo PDrturbatam Constituit. nc multitudo generum. . Multitudo Classium mediocm autem jui definitione opus non eriti vulde regulariter crescit . ut ex exemplis sequentibus apparebit. . Centum Ginrminandos u - 50u' usque ad - 600 suppeditant classos l729. unde multitudo medioeris se 17. 29. Nimilitor in contino 11 multitudo classium mediocris invenitur .2Ν. 26: e t Oniadibuκ duabus 24 et 2b co nputatur 36.28: o tribus sit, G2 et si a prodit 18. bo se quinquos ... 95. M Tl. 16: denique e quinque s 6.. lus fit 73.54. H-C exempla Ostoridunt. cla ium multitudinem medio rem .lautius quidem Cremere . quam dote miunnios . multo tam u- citius, quum multitudiuem modi rem generum: leviuutem attentione cogu cetur. illum satis exaete Crescere in rutiOno rudicum quadratarum o detorii nuntibus mediis. Revera per disquiΝitionem inuoruticum inv nimiis . classium multitudinem mediocrem circa destrinitiunt in I proximo exprimi Imr: .
vul Ore8 mediocres secundum hunc sormulam computati ab iis, quos SuΡra e tabula classificationum cxscripsimu . parum dissorunt. Adiumento hui is sermulae etiamri rogatium multitudinum omni uin ut assium pr. pr. pos.ὶ determiti intibus Νuc-
375쪽
cessiris - D. - Dini , - D-2ὶ ... --- lὶ respoudentium qu improxime assignari Potest . quantumvis extremi sint diversii summando multitudines mediocres illis determinantibus secundum formulam respondentes. unde erit
Ita e. s. illud aggregatum pro centum deit. - l ... - 100 eX formula Computatur - 481. l. quum revera sit 477: trulle determinant f - . . . lusu seCuudum
tabulam suppeditant i5533 classes, formula dat i555l 4: millias secunda sistit classes 2S595 seeundum tabulum, sormula praebet 2, 584.7: similiter millias tertia revera suggerit 37092 classes. formula dat 37074.3: millias decima dat 7 254s per tabulam. formula 72bT 2.303.
Tabula determinantium negativorum 'secundum 'diversitatem classificationum ipsis respoudentium di Ata mulina alius observationes singularea offert. Pro o terminantibus sormae - 8n--3 . multitudo es sium tum earum quae ira omni-b . tum earum quae In Siugulis generibus pr. Primitivis Contentuo Sunt ve niter divisibiliu est per a. unico determin-to -3 excepto, cuius roi ratio ex art. 256. UI sl3onte smuitur. Pro iis detorminantibus, quorum formae uni eum mnus conficiunt. multitudo classium semper impar est: quum Enhn pro. tali detorminante unica tantum classis anceps detur, puta principalis. multitudo classium reliquarum. e quibus binae semper opposita runt, necessario erit Iiar. adeoque multitudo omnium impar: ceterum haec posterior proprietas etiam pro determinantibus positiris valet Porro series determinantium . quibus eadem classificatio data si. e. multitudo data tum generum tum classiumὶ respondet. semPerubrumpi videtur, quam .Observationam satis miram por aliquot exempla Illustramus. s Numerus Primus. mmanui. indicat multitudinem generum pr. Prim. POS.; Sequens multitudinem classium in singulis generibu4 contentarum: tunc sequitur series determinantium . quibus illa classificatio ri spondet. et quorum signum nortivum hrevitatis caussa omittitur .
376쪽
MULTITUDO MEDIOCRIA CLAMIUM. 367
Similitor 20 determinantos reperiuntur maximus - - 1423ὶ . quibus classificatio I. 9 respondet; maximus -- 1303ὶ . quibus fespondet classificatio I. ll etc. classificationes II. 3: II. 4: II. 5; IV, 2 respondent determinantibus
no a Pluribu quam 48 3l. 44. 69 resp., e quibus maximi -652,-862. - lal 8. 1012. ianum tabula. ex qua liauo exempla sumsimuri longe ultra maximos d terminantes hic occurentes producta sit . nec ulli amplius prodierint ad illas cha silicationes pertinentes: nullum dubium esis videtur, quin serios adscriptae revera abruptae sint, et Ρer analogiam conclusionem eandem ad quasvis alias classificationcs extondere licebit. E. q. quum in tota milliade deeima determinantium nullus so obtulerit. cui multitudo Hassium infra 24 responderet: maxim si verisimile . elasAlfiuationes I. 23: I. 2l est. s V. ii: II. io est. IV. 5; IV.. 4: IU. 3: VIII. st iam aute -9000 desiisso. aut Raltem perpaucis determinantibus ultra - 10000 comminis. DemonstrationDA autem rigorasae harum Observationum perdissiciles esse videntur. Non minus admiratione dignum est, quod omnes d. terminantes , quorum sormae iv 32 aut plura genera distribuantur, ad minimum binas classes in singulis generibus habeant. adeoque clMsificationes XXXII. l. LXIV. t etc. omnino incidant minimo ex huiusmodi deit.. - 9240. respondet XXXII. 2); satisque probabiIU videtur, multitudinc generum ciesconte continuo Hurea classificationes exci re, Hoc respectu 65 determin rites supra traditi.
377쪽
quibuis classificationes I, 1: II: l: IV. l: VIII. l: XVI. I respondent. Valde sunt memorabiles. perspiciturque facilo. illos omnos ac solos his duabus proprietatibus insignibus gaudere. ut omnes classos formarum ad ipsos portinentes anci Pitus sint. et sermae quaecunque in podein genere coni nive nocessurio tum ProPrietum improprie aequi valeant. Ceterum iidem 61 numeri sub aspectu paullulunt diverso cuius montio iusia fiola et citia critorio demonstratu socili l iam ab ili. Eu- loro truditi sunt Mun. II m. de ΓAc. de Berlin 1776 P. 338. . . '
a04. Multitudo classium pr. primitivarum. quas sormac binarias det. Positivi quadrati kk constituunt, Omnino a priori assignari potest. ninititudinique numcrorum ud 2k primorum ipsoque minorum uoquulis est: unde Per ratiocinia non difficilia sed luc Supprimenda deducitur. multitudinem mediocrem classium ad tales determinantes circa k k pertinentium proxime exprimi por D term uantos IN- sitivi' uota-quadrati autem libo respectu pha Omma prorsus singuluria offerunt. Scilicet quum classium multitudo parva: e. s. classi ficutio. I. l. nuh I. I Rut Ii. 1 Elc. Pro 'determinantibus ii gativis di quadratis parvi/ tantum et Inox oranino Pssantibus locum hahoat: conixa e determinantibuς positivis non uudratis. Saltum non Permagnis . pars longe maxima tales classi fientiorius praelae t. nbi unica classis in quovis genere Pontin tur. ita ut hao I. 3: I. I: II. 2: ΙΙ. 3: IV. 2 etc. sint rarissimno. Ita e. s. inter s0 dou. nonesu. inha l00 reperiuntur Il. S. 27 quibus respondetit et sificationes Ι. l. Ιl. l. IV. 1 resp.; unicus tantum 3τὶ ha
nnutibu8 crescontibus . classium multitudinea maiores Musim frequi itiores fiunt:
reliqui l tb unam classem in quovin genero. faunostio Puri a Dret . Duo ge murrarum Sagacitato indigna. -cuis Ihm qi in te in detorminantes iiiiiiiii claε omin quovis genero linitentos 'continno rariores fiant. inveκtigare: hacteirus noc per thooriam dedidero possumus . nec Ρer ob servation in Antia certo Eoni tam . ritrum tandem omnino abrumpantur quod tumuis pnrum probabile videtur . aut Sestona insulte ruri nilniat. an ipsornm sesquentia ad limitem fixum eontinuo m IK iiDC
378쪽
dat. Multitudo classium mediocris in rutior in I arum maiori lucrescit, quum multitudo generum. longeque lentius quam radices quadratae o determinantibus; inter 800 et i 000 illa invenitur in b. 01. Limat his observationibus at in adiicere. quae analogiam inter determinantos positivos et negativos quodammodo restituit. Scilicet invenimus, pro determinante positivo D non tam multitudinem classium i Psam, quam Potius . hanc multitudinem laer logurillimuni quantitatis t- -υ, Diuultiplicatam idesignantibus i. u numeros minimos, Praeter l, 0. nequationit t- Duu - l satisfacientes in multitudini classium pro dctormin te' negativo pluribus rationibus hic sustus nou explicandis analogam osse, utque via rem mediocrem illius producti aeque exacte exprimi Per formulam intem mi D-n; sed
Ualores quantitntumi constrenuum mim hactenus per theoriam determinare monlieuit; si quid ex aliquot cvntadibus determinantium intor. se comPstrutis conci dere Permissum esι. in prirum aut .dissene videtur. Ceberum de principiis diSquisitionum praecedentium circa valores mediocres quantitatum lege unalytica non progredientium. sed in talem legem asymptotice continuo magis nPProximantium stliam casione sustus agere nobis rescrvamus. . Transi mus iam ad ullam disquisitionem , qua classes diversue m. priui. Diuinum d t. tuter Se comi Mutiuntur. finisque linie longae Auctioiii im Ponetur. . -
. ' 305. . TMOREM. Desisnante K eliassem principalem formarum determinantis dati D. V clussem quamcunque aliam e stinere principali formarum eiusdem del.; 2C. 3C. 4 C est.ι classes resp. e duplicratisne, triplicatione . quiadruplieatione etc. cluaris C urima. ut in art. 24q;: in prosussione C. 2C. . ' Me. saris continuata tundem ad ela Sem cuni Is id dicam pervenitur; suppomen etiae. m C esse primam cum Ita identicum: a ue multitudinem omnium cia tum in Aenere prisci ii - n. erit res m - n. vel m pars aliquota i tua n.
. D m. I. Quum omnes classes K. Q 2C. 3 Cete. necessario ad gonus prin- 'cipale partineant sart..24 rclaasses n- - Priores timus seriei K. C. 2 ... n Cmanis to Omnes divorsae esse nequeunt. Erit itaque vel K cum aliqua classium C. 2C. 3C ... nc ideutica, vel saltum duae ex bis classibus inter se, identicae. 47
379쪽
dosi abimus. istum genus principale' in hoe casu nondum exhauriant: sit π aliqua classis huius generis in T. non contenta. designeturque complexus classium. quas ex compositione ipsius ς' cum singulis elassibus in si oriuntur. Puta
Iam fucile perspicitur. Omnes et ses in E ' tum inter se tum ah omnibus in E diversas esse et ad genus principale pertinere; 'quodsi itaque d et E ' hoc genuου omnino exhauriunt, habebimuη n - 2m; sin minus. Erit 2mαn. Sit in casu posteriori ς' reliqua classis generis principalis nec in E nec in si ' eontenta: d signeturque complexus classium ex compositione ipsius C cum singulis classibus in si produuntium i. e. harum C . C ε C. C Φ2C . . . C - - l C. pcr ε . patet ine lacile. hus omnes inter se et ab omnibus in si ut d ' diversas Esse, et ad gonus Principale Pertinere. Quare si E G' si hoc genus exhauriunt, erit i. - 3m: sin minus. π 3m, in quo casu es sis nitu iis genere Principali eonteuta. neque vero in T. si' vel C. simili Diodo tractata docebit, osso vel n - 4 m vel et sic porro. Iam quum n es m sint nurueri finitio genus prinomnienecessario tandem exhaurietur . eritque n multiplum ipsiu8 m. rivo m pars nit-
380쪽
itaque ost m - 6. n vero pro hoc dolorini nante .esι 12. Accipiendo pro Ct cla
a06. Demonstratio. th r. pra . Omnino analoga iuvenietur demonstrationibus inurit. 45. 40. reveraque theoria multiplicationis elassium curri argumento in Soci. III. tractato permagum.undique amnitatem habet. At limites huius operis non permittunti. illam tbooriam en qna. digna est ubertate hie Persequi; quocirca P-ores tantummodo observationes hic adiiciennis. eas quoque demon Strationas, quae appuratum prolix rem requirerent. supprimemus, disquisitionemque ampliorem ad aliam occasionem nobis reservabimus.' I. Si series K. C. 2C, 3 Cetc. ultra - - l C producitRr, eaedem cla-sea iterum ComParent. ' ..
generiauerque si ςlaudo concinnitati a caussa K t mquam 0Cὶ classe8 9 C AC idonticae eruut vul diversae. prout y ot s a cundum modulum m .congrui S tvel incongrui. Classis itaque n C seinper identica est cum principali 2PIL .Complexum classium K. Q 2C. . . m-sὶ C. quem inpra Per si d signavimus vocabimus periodum classis C. . quae. expressio.non esυ confundenda cum periodia formarum etinnctarum det. I sitivi non- quadrati in art. l. 5 sqq: tractatis. Patet itaquo. Θ c positione classium quotoumus in eadem porto
mutoutarum oriri classem tu ea Reriodo quoque UOnteutrem . .. . .