장음표시 사용
381쪽
IV. Si periodus alicuius classis hC in E contentae supponitur esse
manifestum t, m h esse multiplum minimum ipsius h .por m divisibile. Si itaque m et 1 intor se primi sunt. erit m' - m. duaequo Porrodi easdem classes sed ordine divorso dispositas continebunt; goneraliter an wm designante μ divinorem Coni . mnx. i'8orum m. h. Erit m'---. Uine Patet, multitudinem clas-rium ii, periodo cuiusvis classis ex si contentarum os o vel m vol Partem aliquotam iΡsius m: et quidem tot classes in . si h ebunt periodos m terminorum. quot numeri OX his 0. l. 2. . . m- 1 an m mimi sunt, sive F m. utendo signo art. 39; nyraliter Vero tot classes in si habebunt periodos - terminorum, quot numeri ex his . u. 1. 2 m - l divisorem maximum. μ cum in communem l&Mnt quorum multitudinum esse φ' facile purspicitur. Si itaque m - n. sive totum nonus principale sub E contentum, dabuntur in hoc genere. Omnino *n classes. quarum licribdi idem genus totum includunt, et Pe classos, quarumperiodi ex e terminis eonstant. denotnuto e divisorem quemcunquo ipsius n. Π c conclusio Mneralitcr vulci. quando in genere principali ulla clas is datur. cuius p HOduη ox re terminis conStat. U. Νuh eudem suppositiOno systema classium generis principalia reptius - disponi nequit quam aliquam Classem, periodum n te inorum habentem, quaai pro basi adoptundo. generisquis principalis classes Eodem ordino collocando. quo in illius periodo progrediuntur. Quodsi tunc classi principali ind- 0 adseribitur. classi, quae Pro basi ac Pin Est, index I et sic ponor per solam indicum additi nem inveniri poterit . quasnam classis e comi Sit ne classium quarumcunque generis principalia oriatur' . Ecce cxemplum Pro determinante -.356. ubi classam 9. 2 40ὶ pro hucli accepimus: Σ
382쪽
. VI. Quamquam vero tum sinulogia cum S LIII. tum induetio circa plures quam 200 dctorminrentes negativos. Ion que adhuc plures positivos non-quadratos instituta maximam probabilitatem afforro videantur. illam suppositionem Pro omnibus determinantibus locum habere: talis conclusio ita hilominus sulsa foret. et per tabulae classificationum dontinuationem resolleretur. Liceat. brevitatis caussa. s determinantes . pro quibus totum genus principato unicae mesodo ineludi potest. reyuiores Vocare, vehiquos vero, pro quibus hoc fieri nequit. .restilares. Hoc argumentum, quod ad arithmeticae sublimioris myswria maximo remn lunpertinere. disquisitionibusque difficillimis locum relinquere vi tur. Paucis tantum observationibus hic illustrare possumus. quibus sequentem generalem Pr'
VII. Si in genero principali classes C. C' occurrunt, quarum lFeriodi aex m. m' Classibus constant, atque M est numerus minimus per m et m' divisibilistin etodem genere etiam classes dabuntur. quarum seriodi M terminos contin-nt. Resolvatur M in duos factores r. r inter se primus. quoruiti' ulter r; motiatur ipsum m, alter γ' ipsum m v. art. 73 . habebitque classis ῖ ς-- TC' - C proprietatem praescriptam. Supponamus enim. Pariodum classis C constare ex st terminis. Eritquo
undo lier m. divisibilis esse debebit sive yr per H adeoque etiam 9 mr r . Prorsus simili modo y per ν divisibilis invonitur. unde Etiam per rr Is divisibilis crit. Sod quum manis to sit MC K. erit etiam M per y divisibilis:
quuro necessario M g. Uinc nullo otio sequitur, multitudinem mut man classium, . in ysta periodo contenturum pro det. dato J. divisibilem esse per multitudinem es sium in quavis alia periodo classis ex eodem genere principali . Simul ibinde methodus. derivari potest, talem classem Cuius periodus sit quam maxiIna lineoque pro det. regulari totum gonus principato complectatur eruendi. methodo strit. 73. 74 Prorsus unaloga. etsi in praxi laborem per plura artificia contrahere liceat. Quotiens e divisione numeri u per multitudinoin ela tum in Periodo maxima. qui pro determinantibu regularibus est L. Pro irrcgularibu8 sempeP fit integer maior quam l. et pro his imprimis eommodus est ad diversus irrcgularitatis species exprimen las: quamobrinu einponens irpoeularitatis dici Poterit.
383쪽
VIIL Hactenus rogula generalis noti habetur. Per quam determiunntes rogulares ab irregularibus a priori distingui possent . praesertim quum inter posteriores numeri tum primi tum mini siti reperiuntur : sussiciat itaque quasdam observatiouos Particulares hic adiunxisse. Quando in genere principali plures
quam duae clussos uncipites continentur. doterminalia certo est irregularis atque EXPOnens irreguluritatis par: quando vero una tantum aut duae in illo genere adsunL. det. mi regularis Drit aut saltem exp. irr. i M. Omnest determinantes uegativi sormae - 216k H- 27ὶ unico - 27. excepto. irregulares sunt. Et BXP.
tur . si n nullum divisorem quadratum implicet, determinantem ceris esse regularem. Pro sollia determinantibus quadratis positivis e e a priori seinpon diguosci Potest . utrum rogularus sint un irregulares; scilicet illud evenit . quando e cst L aut 2 aut uumerus primus impar aut potestas numeri primi 'imparis: hoc in omnibus reliquis casibus. Pro deti. nem. . irrcgularcs continuo frequentiores evadunt, quo maiores fiunt determinantes: e. s. in tota milliado prima tredecim irregulare8 reperiunt . signo negativo omisso 576. 580. 820. SSi. 909. quorum
ex p. in. ofit 2, atque 2 13. 307. 339. 459. 675. 755, 89 l. 974. . quorum ex p. irr. 3; in tu illi uile secunda reperti sunt 1 3. quorum EXP. ire. 2. utque 15 quorum EXP. irr.3; in milliade deci a 3l cum. x p. irr. 2 atque 32 cum c . irr. 3. Num detorminantes cum cxp. irr. Inuiori quam 3 infra - 10900 occurrant. decidere nondum . licet; ultra hunc limitem exponentes. quicunque dati Provenire posSunt. Frequentiam determinantium negativorum ivregularium ad frequmtiam ingui rium contiu uo mugis. deit. Emscentibus. ad rationem constantcm nppropinquum valde probabile est . cuius determinutio geometrarum fiagaestatu magnopere dignuseret. Pro determinantibus positivis limi-quadratia' irregulares simito rariore, Sun tui .. quorum erit'. ire. Par sit. iutinite multi certo duntur se. s. 30 26 Pro quo est 2ὶ: ii ullami quoque dubium videtur. quin . tales instent. quorum e v. irr. sit impar. Ut si lateri oporteat. uultu in se hactenus nobis obtulisse. 'EX. De adornationu maximo, commoda Systematis 'classium in genere principuli pro datorminante irregulari contentarum. hic agere propior brevitatomnou licer: Obwrvamus tantummodo, quum unica hasis, hic non η uniciat. duas
384쪽
375 vel video plures adhuc classes hic eme accipiendas. e quarum multiplicatione et compositione omnos producuntur. Hinc indices duplices aut multiplices prirurgont. qui eundem sere usum praestabunt ac uimplices pro regularibus. Sod hanc rein alio tompore sustus tractabimus. X. Denique observamus. quum omnes proprietates in hoc art. et Pra . consideratae imprimis a numero n pondeant, qui simile quid est M p - l tu Seet. III, hunc numerum summu nitentione dignum ESSE; quamobrem . quam Iunxi me optandum esset, ut inter ipsum ut luo determinantem ud quem Pertinet, nexus generalis detegatur. De qua re gravissima eo minus deSperandum Ceninmus. qu niam iam snccessit, valorem mediocrem Producti ex n in multitudinem generum quae a priori assignari potest) saltem pro determi antibus uegativis formulao an lyticae subiicere sart. 302ὶ. ' .
Disquisitimos arti. Praetc. Solas claSSes generis principales complectuntur. ad que sufficiunt tum Pro deu. Poss. . ubi unicum Omnivo genus datur, tum Pro negativis, ubi unicum genus positivum adest, si ad gonus Degativum revi Pre n
lumuA. Superest. ut de reliquis quoque generibus spr. primitivis j quaedam adiiciun us. - - . 'I. Quando in genere G' a principuli G eiusdsm det. diverao ulla classis aneeps datur, totidem in ipso aderunt ac in G. Sint in G classes ancipites L.M. N etc. inter quas etiam erit et sis principalis A l. in G' vero liae L . M N
etc... designeturque illarum complexus per A. complexus harum per a. mum manissesto omnos ut ses LM-ν etc. Rueipites diverRReque iant. et ad G ' itertineant, adeoquo sub A' contentae esse debeant: multitudo et sium in A' certo ii equit osso minor quam. ii A; similiter quum et sus G -- L ἰN' - - Π etc. divorsao ancipitesque sini et ad G pertineant. adeoque sub A contineantur. multitudo classium iu A nequit Base minor quam in A' quam multitudines classium in A et A nocessario aequaleη erunt. . II. Quum multitudo omnium classium ancipitum multitudini generum a qualis sit arti. 26 l. 2ST IIIJ: manifestum ost. si in G una tantum cliissis ancepΗ
385쪽
detur. in quisis genere unam classem anc intem contentam esse debere: si in G uo ancipitcs exstent, in sexcissi omnium Mnerum binas dario in reliquis nullas: denique si in G plures ancipites continounturi puta a Partem omnium gen0rum a classes unciΡites continere, reliqua nullas.' III. Suat, pro ro Ensu. ubi V dnas classes ancipitca eontinet. G. G . G etc. Ca minera, quae binas. arine II, LI'. Η ' etc. ca quae nullas continEnti designeturque complexu illorum Per M. complexus horum. Per .F. Quum e com-lFositione duarum classiuin ancipitum semper proveniat classis anceps t. 249 . nullo negotio perspicietur, e compositione duorum generum ex in semper prodire genus ex O. Hinc porro Aequitur. O compo)itione generis ex O cum genero EX
demonstrata sunt e genera G--Η. G FII. G -- H etc. omnia pertinent ad e coque linue eomsoXum exhauriunt: quare nocos ino reliqua omnia ad O portinebunt. i. e. e compositione duorum generum semper oritur genus ex M. ' . . IV M. E cst classis generis V. a principali G diverat. patet. 2E. 4 E. 6 E etc. omnea I rtinere ad G; has vero 3 E. bE. 7 E eis: ud V. Si itaque periodus classis 2E m terminis oonstat: manis sto in serie E. 2E. 3 E ete. classis 2 in Ε, noc ulla prior. eum K idunt a Pest sivo periodus,et Sis E PN 2 mireminis oonstabit. Hinc multitudo terminorum in periodo classis cuius unque. ex alio genoro quam principali. crit vel 2n vel pars aliqium ipsius 2 n. designante A multituditiem classium in singulis generibus. -
V. Sit C classis data generis principalis G: E classis generis V. e cuius
duplicatione C oriatur squalis sempis. dabitur . nrr. 286 . atque Omnes et Ses uu-cipites pr. Prim. eiusdem dot) K. K K te., eruntque omnes classes. e quarum
) ime pro solis detorminim illuu iret gularibus avenire potast. eritque a Memper potestas binarii.
386쪽
duplicatione C oritur. lino: E E--KJ. TH K ΕΦ K etc., quarum complexus exprimatur per se; multitudo haruui classium aequalis erit multitudiui classium ancipitum sive multitudini getiorum. Mani Stum est. e classibus in utot ad genus V pertinore. quot ancipites dentur in cy: designando itaque harum
multitudinem Per a. Patet . in quoris genere vel a classes ex 2 dari vel nullas. Hinc lacilo coli igitur. quando sit a se l. in quoris genere contineri unam cla Sem ex .u; Ruundo a - 2. Semissom Omnium Mnerum binas classoa ex sa continere, reliqua nullas, et quidem semissem priorem vol totam cum O coincidere in eadem significatione ut supra IIh. posteriorem cum vel hanc. in M. illum cum P. Quando a adhuc, maior est. Semper pars a omnium generum classes 2 includent singula a classes).
VI. Supponnmus iam. C esse talem ci sem. cuius periodus ex n tormianis constet, per icieturque iacile, tu eo casu. ubi a - 2 ad duo n par, nullam ex Q ad G pertinere posse tunc enim talis classis in periodo classis C contenta foret; si itaquo osset r C. sivo 2rC C. foret 2 r - l mod .n . Q. E. A.): quamobrem quum G ad O portineat. necessario omnes classes sa inter genera Ddistributae erunt. Hinc colljgitur, quoniam pro dot. rcg.ὶ in G omnino dantur P n classes periodos n terminorum habentes. pro eo casu ubi a - 2 inveniri in quovis genero omnino 2 p n classos, quarum periodi 2n terminos ' ad quotum genus suum .ium principale, complectantur; quando vero a l. in quovis nore a principali diverso *n huiusmodi classos dabuntur. VII. His observationibus methodum sequentem Superstruimus, Systema omnium classium Pr. Prim. pro quolibet determinante regulari dato irregulares enim omnino soponimus quam aptissimo construendi. Eligatur ad lubitum classis E. cuius periodus terminos. adeoque tum genus suum quod sit V tum principale G complectatur: classos horum duorum generum ita disPonantur. ut in illa periodo progrediuntur. Hoc modo res iam absoluta erit, quando plura genera quam liuoc duo oinnino non adsunt. Sive reliqua adiicere non necesse videtur e. s. pro tali det. n . . ubi duo tantum genera positi a dantur . Quando veroquutuor aut Plura genera construenda sunt, reliqua hoc modo tractentur. Sit Caliquod e reliquis atquc V - V - , . dabunturque in V' ct U duae classes ancipites s puta vel in utroque una. vel in altero duae. iii altero nulla : ex his oli- 48
387쪽
gatur una A ad lubitum. patetque facile, si A cum singulis classibus in G et Vcomponatur, prodire 2n classes diversas ad V et rtinantes. adeoque haec Mnera omnino exhauriuntes; ita haec quoque genera ordinari poterunt. Si praeter haec quatuor genera alia adhuc supersunt. . sit unum e reliquis. arius V . V . V genera ea. quae prodeunt o compositione generis V cum V. U' et V . Haec quatuor genere V ... V' quatuor classes ancipites continebunt. Patetquo, si ex his una A' eligatur atque cum singulis classibus in G. V. V . V componatur. Omnes Aoges in V ... ' prodire . Si adhuc plura genera su rsunt, simili modo continuetur. donec omnia exhausta sint. Patet, si multitudo omnium generum construendorum sit 2 omnino opus sors μ - l classibus ancipitibus, et quamVis ci sem horum generum produci posse vel e multiplicationo classis E. Vel e compositione classis: e tali multiplicatione ortae . cum uua pluribusve anci Pitibus. Ecce duo exempla, Per quae haec praerepta illustrabuntur; plura de usu talis constructionis Vel de artificiis. per quac labor sublevari potest .i hic adiicere non licet. I. Determinans - 16 l. Quatuor genera positiva; in singulis quaternae classes.
388쪽
II. Pelorininans -546. Octo genera positiva: in singulis ternae classes.
389쪽
VARIAE DISQUISITIONUM PRAECEDENTIUM APPLICΑΤΙΟΝΕS.
Quam sortilis sit arithmetica sublimior voritatibus: quao in Hiis quoquo matheseos partibus usum pracstent, pluribus iam passim locis adduitavimus: quasdam vero applicationes. quae expositionem ampliorem merentur. seorSim tractam non inutile duximus, non tam ut hoc urgumentum, quo plura volumina sucile impleri possent, exhauriatur, quam potius ut Per aliqua spccimina illustretur. In hacco quidem Sectione Primo de resolutione fractionum in simpliciores agonius; dein de conversione fractionum dommunium in decimatos; tum methodum novam exclusionis explicabimuR. solutioni acquationum indeterminatarum K cundi gradus inse iontem; tandem mothodos novas EXPDditas trinomus, nunt ros Primos a compositis dignoscendi, horumque iactores explorandi. In Sectione sequente nutem theoriam generalem generis poculiaris iunctionum . per totam nnalysin latissime patentis. quatenus cum arithmetica sublimiori arctissimo connexa est. stabiliemus. imprimisque theoriam sectionis circuli, cuius prima tantum ci menta hactemus innotuerunt, novis incrementis amplificaro studebimus.
309. Puo Eua Fractionem . cuius denominator n est productum e duobus numeris inter se primis a. b, in duas alias discerpere. quarum denominatores Sint a. b.
390쪽
Sol. Sint seu tiones quaestino . . fierique dubebit ἐσε ιν m: hinc .lerit radix congruentiae bσ-m mod .al. quae per Scel. II erui poterit. y vero
Ceterum constat' congruentiam bae - m radices infinite multas. sed secundum a Congruas. habere, unica Vero tantum positi a natiorque quam a dabitur: fieri autem potest. ctiam, ut y evadat negativus.. Vix necesse erit monere. y etiam Per congru ntiam crymm mod. b . atque ae Per Requationem ae 'ν
Si haetio ' proponitur. cuiuA ddnominator n ost productum e tactoribus quotcunque inter se Primis a. b. e. ciere.': Per uri. Praec. Primo in duas resolvi potest, quarum denominatores sint a. et bed etc.; secunda iterum in duas don minatorum b et ed pic : posterior rursus in dum et sic I Or . unde tanti mfractio Proposita sub hanc formam rudi tur
Numeratores α, U. I. δ Dic. manifesto positivos ac denominatoribuη suis minoresuccillere licobit, praetor ultimum. qui reliquis determinatis non amplius Ost arbitrarius . atque Eliam negativus nut denominatoro maior fieri potest siquidem non supponimus m ς n . Tum plerumque e re orit. iPsum Sub sormum z --i redigere, ita ut E sit Positivus ac minor quam e . st Vero intcgor. Deniquo patet. a. b. e 'te' ita acci Pi Imsso. ut sint vel numori primi vel numserorum primorum potest Mes. M. Fractio ἐζ l. cuiuΗ denominator - 4.3.7.li hoc minio resolritur