장음표시 사용
401쪽
stve solutiones. aequationis indeterani natae mXX-knyy - A. in Sectione methodo genopuli iniicilire docuimus. cuius brevitas quoquo nihil desiderandum relinquere' videtur . si omnes vult res e Pr. ψ-mn Re laudum modulum A ipsum. et per suoη sactorcs quadratos divisum' tum habentur: hic nutum Pro eo casu. ubi mn ost Positivus. solutionem explicabimus. directa multo mi ditiorem . si ad hanc illos valores antea computare DPortet. ΝuPPONUmus autem, numeros m. n et A esse Positivos atque . inter .se pri idos, quum casus reliqui ad hunc facile possint roduci. Mundosis quoque Suillit. Valumη Positivos timorum X. y eruere. quum reliqui inde per solam si orum mutationem deducantur. Perspicuum est. ae ita coni paratum esse debere. ut pro cluo serit,
mus V. positivus. intcgor et quadratua evudnt. Conditio prima roquirit. ut a non sit inuior quam vi; secundu iam per se locum habet . . quando N - i. ali quin requirit. ut valor expri Omod. n Sit residuum quadraticum ipsius n. d Nignandoque omnem Vulor diversos expr. v mod nὶ per φ r. in r' etc.. x subuliqua. s murum ut-kr, ni - r. nt --r etc. contentus csse dobebit. simplicissimum itaquo foret. Omnos num os harum serinarum infra limitoni V - . qu rum complexum Per u hX serim Inus. Pro ae substituere. cosquo Solos retinere. pro quibus V sit quudratum. Hoc tentamen, quantum lubeat, dontrahore. inuri. Sq. docebimus.
Mothodus exclusionum, per quam hoc efficiemus. perinde ac in. diuqu. Pin .hi eo consistit. ut plures numeros. etiam hic exeludentes vucaudos . ad Iubitum accipiamus. pro quibusnam valoribus ipsius ae valor ipsius V bat non-residuum qu. horum excludentium. lnvcstig mus. Iul quo ae ex u Pitchimus. Per rati cinia iis quae in uri. 3 2l exposuimus omnino unaloga apparet. talem tantum includentes udhibendoa esse. qui Nitit. numori primi aut nutueroruin primorum Pot Stat . ct Pro cxcludunto postorioris generis ea tantum ην Sius notiqesidua a val ribus ipsi uv Turceuda. quae sint residua omnium potestatum inseriorum eiusdemnum ri Primi. siquidum Oxclusio cum his iam ost instituta. Si itaque excludens E-I ' includendo etiam cum casum ubi μ - ij. ubi p est numerus primus ipsum m non meti Ias. RuPPODum usque I P esΝe sum
') Brevitatiη eaussa duoη easus. in quibuη Λ po p ext diviώbiliis ae non divisibilia. simuI eomplectimur; in postariori v M. O ponore oportet. ' .
402쪽
atrim sest. lnios valores ipsiuκ V tum per se e nullo valore 'ipsiuR ae prodire posse. quundo inter numeros V. U. I ete. nulla residua qu. i PNius inveniuntur. a 'eoque in hoc caAu Mumerupi, E tamquam excludentem applicari non poηSE.
Huiusmodi excludentes. quot placet. adhiberi. utque sic humeri in v ad Iubituita
id uiuus iam . nnnom etiam numer primos ipsi tin m ni utientes, tutium venumerorum Potestatos tamqunm excludentes adhibere liceat. Sit B valor expr. mod. m. . patetque I somper ipsi B secundum mod. m Congruum fieri. quicunque valor pro ae nccipiatur. udeoque nu possibilitatem uoqu. PrOP. necessario requiri. .ut A sit rexiduum quadruti eum ipsius m. Deκignante itaque ρ divisorem quemcunque' primum in Imretii i Psiim m. 'qui per hyp. ipwS n ot A. udo que sitiam ii sum B non metietur . pro valoro quocunque ipsim .r erit V residuum ipsius p ndooque otiam cuiuscunque Potcstatis ipsius p; quamobreni P i' si usque potestates nequeunt excludentium loco haberi prorsus simili ratione. Hiando in Per 8 est divisibilis.' ad ne tu. Prop. possibilitatem nec Asario requiritur. ut Nit Γ- i niod. S . . unde etiam I pro valore quocunque ipsius .r fiet l mod. S . et protu binurit potostatos ad exclusionem non idonone: Quando nu-50
403쪽
VARIAE DIS Mrri0NUM PRAE DENTIUM APPLICATIONEM
tem m Per 4 nequo vero por 8 ost divisibilis. ex .simili ratione esse debetiit l mod. 4 . Octoque valor cxpr. - mod. 8; Nel l vel 5. designotur per C. Nullon Otio perspicietur , . pro Valom pari ipsius ae hic fieri V C; pro impari. V C- 4 modi S ; unde Patut valores Pares reiiciendos esse, quando C - 5: imparos, quando C l. Denique quando in POD 2, neque vero Imr 4 est divisibilis, sit ut ante C valor expr. - imod. b , qui erit i. 3. 5 vel T; atque Dualor huius, mod. 4 qui erit 1 vel 3. Iam qunm valor ipsius. V manifesto semper fiat C - 2DXX mod. 8 . adeoque pro x pari pro impari - 2D. Milo hinc colligitur, reiiciendos esse omnes vulores imPpres ipsius ae . qualuto C - i; omnes pares, quando C - 3 et D - l. aut C - 7 et D - 3. atque valores romanentes Omnea Producoro U - 1 mod. 8 sivo residuum cuiusvis imi statis binarii; in casibus reliquis autem. Puta Gaudo C - 5. aut C - 3 et D. aut C in 7 et D - l . fiet Vm 3. 5 vel J mod. 8 . sive ae accipiatur
par sjvo impar. unde liquet, in his casibus aequationem Prop. solutioncm omnino non admittere. Ceterum quum prorsus inniti modo i ut hic vulorem ipsius ae per inclusion invenire docuimus , etiam . mutatis mutandis. Valorem ipsius y elicere possimus, me hodum inclasionis ad problematis Propositi solutionem.duobus semper modis applicare limbit nisi m - π - . l. ubi coincidunt , o quibus is plerumque est Praeserendus, pro quo u terminorum multitudinem. minorem continet, quod sucit a priori nostimari poterit. - Denique ViX nec se erit ob ervare . si post aliquot exclusi os omnes numeri .ex 2 ubierint hoe ut cortum indicium impossibilitatis
quationis Propositae se ConSiderandum. .....
. Proposita sit aequatio 3XX - - 455yy - 1085 362. quam duplici modo Rotulimus. Primo investigando .valores ipsius X. dein ustiores ipsius y. LimDI illorum in hoc eagu est V36191 20 qui cadit inter l902,et 1903; valor expr.
- 173. - 212. Hinc O constat ε 33 numeris Sequeutibus: 82. 152, 173..2l2.243. 282. 303. 373, 537, 607. 6M,. 667. 69S, 737. 758. 82S 992. 1062. 10S3.ll 22. 1153. 1192, 1213, 1283. l447, 15l7, 1538. 1577, 360S . 1647. 1668, 173S. 902. Numerus 3 in hoe casu ad exclusionem adhiberi nequit. quia ipsum mmetitur. Pro excludente 4 habemus a - 2. b - 3. unde 0. 6 - 3,
404쪽
Seeundo. Si ultorum ein dem aequationis incognitam per exclusiones indagras placet. I utitur. haec sub formaIn ibbaal ε 3υ-10857362. pommutando brcum y. ut omnia Signa arti. 323, 324 retinere' liceat. Limes valorum limius ae Ne
suut in t et liauaro u eontinet omnes numeros tamarum 3 ι - 1 et at- l. i. e. omnes Per 3 non divisibiles usque ad 154 4ncl. . quorum multitudo est l03. applicando autom praccepta supra data invenitur. Pr sines. 3; 4: 9: lii; l7: lb: 23 resiciendos osse numeros formarum s t ε 4 : - 4t. 4t-2 sive omnes
ipsi I valorem quadratum conelliant, easdemque solutiones summunt, Rd quaΝ supra PerVenimus.
405쪽
Methodus praecedens iam im .se tum Dxpedita ost. ut viri quidquam optau-clum relinquut: 'attamen Por multifari artificia magnopero nilliue contrahi potest. E quibus hic pauca tantum attinuere licct. Rostringuiuus itaque disquisitionem ad cum ousum. ubi excludenb ost munerus primus impar ipsum A non metiens. si vo talis primi potest . praesorum quoniam casuK reliqui Fol ad hunc reduci volmethodo nites a tracturi Possunt. Supponendo primo. excludendina E m p eme
aut in per artiscium ei Prorsus similo, quo in uri. 322 usi sunms. Diue Congruπ-tiarunx comPutationς erui possunt. ob vel cum omitibus non - residuis . vel eum omnibus residuis ipsius p spmotet u) wnvenient. Proub Vulor eXPr. ---smod. P . sive quod hic sodem 'recliij numerus mn est residuum usti nou -residuum ii iuου p. Ita. in eae. V uri. Praec. pro E-17 fit is in T; - mn - - l 365 KE i 2 orinon.residuum ipsi .27; hinc uulneri N. E etc. erunt i, 2. 4. 8, 9: 13. ib. 16 incoque numeri α. 6 etc. 8, 9 li. i5 16.3,5,6; ex his reSidua sunt S. s. ib. i5. unde in h. a et c. fiunt 1 5, 3. 7, 4 Quibus saepius occasio est huiusviodi probismata solvendi, cummoditati suae eximio ςonsulenti si pro 'luribus numeris primis p. valores ipsorum h. P Otc. Singulis unioribus i PSOrum k l. 2, 3. . Φ--l l . respondentes, in duplici suppositione sputa ubi - mn ost residuum et utii non. csiduum ipsius pin computent. . terum observamus nouo. multitudiuem num uorum 4. -h,: h' etc.. Sempra' es- p l. . qum1do uterque numerus h ct -mngit residuum vol uterque nυn-residuum ipsius p: I p - quando Prior N. . P sterior NN.: έ- p lj, quando Prior NR : .Pusterior R. : sed demonstrationem huius thooronalitis. De nimis prolixi fiamus. SuPPrimum dei mus. . Quod aut . se nilo. s cmus attinet, ubi δε est uumeru8 primus ipsum n, metiens. κut' potestas numeri primi iuuiarisὶ ipsum νω inutioniis seu non molienti N. hi adhun expeditius tracturi possunt. mnes ho4 caSus simul coin-plo tui nur. . rimi ausque nrt. 324 signis retentis Ponemus n, . ita ut ni Per pnon sit divisibilis. Numeri a. b. e etc. Orunt productin numeri 1 vel tu omnes numeros. ipso P minows t praetod 0J. vel tu omnia non-residua ipsius p insen p. proni μ t Imr vel i liari expriuiantur indefinito per . Sit k valor Oxpr. mori. ρ ρ orit quo per ρ non divisibilis. quia eadem proprietas in A suppo-
406쪽
. Ceterum simulac pro Siugulis excludentibus.' quos appli dare Placet. numeri A. h etc. sunt eruti. inclusionem iPsam etiam Per operationes mechanicas Perfecere licebit. quaiss quisque harum rerum poritus iacile Proprio marte ex oriture poterit si operae pretium Ossis Videbitur. . . . Tandem Observare de hemus, quamvis aequationem azg- - 2 ιλο -- cyy - . I, in qua bb- ae nexativus -- - II, lacile ud eam formanr quam tu Prae C. Considem rimus . rediici posse. esignando. enim dirisorem communem maximum numerorum b PBr m. et ponendo
ninu. illa manifesto Oequivalet huic in a -- nνy a M. quas linr Prii et insultra tradita solvi poterit. Ex huius autem solutionibus cne tantum erunt reti-uendae. in quibus ae-b, Per u fit divisibilis. Sive undo ae vaturos intcgroκ
407쪽
Situs esset. .adhuc incognitos: Si enim constaret. numerum primum p ipsum Mmetiri. atque esse . f. α pi II ita ut Miactore in p non amplius implicet. Ιonge commodi A soret. valores expr. v bb ad pro modulis p' et μ' sigillatim explorare priores Ox valor ilius secundum mydulum p. an. l0II ustioresque Sec. mod. M ex horum combinatione deducere turi. 105ὶ . Quaerendi sint daque omnes valores expr. V-D mod. IIJ. ubi D et Myositivi supponuntur. atque M sub forma divisorum ipsius ae aeq-D contoutus iart. l47 sqq. . alioquin enim a priori con taret. nullos numeros expressioni Dr Positae satisfacere posse. Sint valores quaesiti, e quibus bini semper oppositi cruci. - r. in r. - H etc.. atque D --rr- Mh. D -rr MQ D- - 'r' - Mh' etc.:
M. - r. h l. II. H. V e M. - r hJ etc. Pertinent, resp. per E. - E. E'-- E'. et , - T etc., ipsarumque complexus sis Θ. Hac classes quidem. generiaiter loquendo. tamquam incognitae sunt spectandae: attamen perspicuum est, primo Omnes esse positivaa atquc proprio primitium: secundo. dmnes ad idum genus pertinere. cuius charaeter ex iudole numeri M. i. e. ex ipsius relationibus ad singulos divisores primos ipsius D insuperque ad 4 aut S., quando hae sunt necessariae
facile cognosci possit sart. 230 . Quum suppositum sit. II continer, suis forma
dirisorum ipsius α - - D. a priori certi esse possumus. huic characteri necessariogUnus POS. Pr. Pr. formarum deberm. - D respondere, etiamsi sorsan expressioniv-DImod. Mὶ satisfieri ncqupat: quum itaquo hoc genus Sit notum. Omn scias.es in ipso contentae erui poterunt. quas sint C. C ς' etc.. atque iPsarum complexus G. Ι'utot igitur . singulas classos d. - E etc., cum aliqua classo in G identicas esse debere: fieri potest quoque, ut plures classes in Θ intor 8E. adooque cum eadem in G identicae sint, et quando G unicam classem contiuet. Pris omnes in O cum hac couvenioni. Quare si e classibus C. G. C etc. A mae simplissimas etc. eliguntur una e singulis : e singulis classibus in o una forma inter liasi reperietur tum si arae - 2bo . eyy est forma in classe E contenta, dabnntur diluo repracsentationes uumori II lier ips- ast v
Ex his colligitur. Si omnes ropraesciitationes numeri M por singulas sormas fi . ' etc. invost sentur sor methodum indirectum in Prue . lauditum atque
408쪽
hinc valores ex pr. v - D m . M , ad quos singulas Portinent deducantur art. 15 4 sqq.). Omnes valores huius DApressionis inde obtineri. et quidem silinulos bis. aut. si D se l. quater. Q. E. F. Si quae formae inter L f' etc. reperiuntur. per quaru II repraesentari nequit, hoc est indicium. ipsas ad nullam classem in O Pertinere, adeoque negligundas osse: si vero II per nullam illarum formarum
repracsontari potest . necessario - D debebit Osso non- residuum quadrati eum ii'. sius II. Circa lias operationes teneantur nillivo Observationes sequentes.
I. Rei raesentationes numeri II per sormas fi etc.. quas hic adhibomus. subintelliguntur esse tales. in quibus indeterminatarum valoros inter se primi sunt: si quae aliae se ossurunt, in quibus hi val es divisorem communem μ habent quod tunc tantummodo reccidere potest, ubi μμ motitur ipsum M. certoque accidet. quandO - hae ad institutum praesens omnino uegligi deboni. etsi
alio respectu utiles osso possint. ' . ' .
II. Ceteris paribus labor manifesto facilior crit, quo minor est multitudo classium adeoque brevissimus. quando D est unus o 65 numeris . in art. 303 traditis. pro quibus in singulis generibus unica tantum classis datur. III. Quum binae semper huiusmodi repraCSuntationes x - m. g n ἰae --, y - - u nil eundem vitiorem Pertineant, perspicuum est. susicore si eae tantummodo repraesentationes considerentur. in quibus ν Positivus. Tales itaque repraesentationes diversae semper valoribus diversis expr. ψ- D mod. M respondent, unde multitudo omnium vularum diversorum multitudini omnium talium repraesentationum. Prodeuntium aequalis erit semper excipiendo casum D - l. ubi illa huius in Isis erit . IV. Quoniam, stimulac niter driorum Vesorum OPPbsitorum H- r, - r. COM . nitus ost. niter sponto innoto est. Oporationes adhuc aliquantum abbreviari possunt. Si valor r Ohtinetur et repraesentatione numeri M lier formam In classe C con- . toniam, ι. e. Si E C; Valor OPPOSitus - r manifesto emerget o repraesentatione per formam. in classe ipsi C opposita contentam, quae disserens erit a classe
C. nisi haee ost anceps. Hinc sequitur. quando non omnes classes in G ancipites sint. e reliquis RPmissem tantum considorare oportere. Puta o Idnis oppositis quibusque unam, alteram Ii gligendo, e qua valores iis, quos prior suppeditavit. Positos resultare iam absqtie calculo praevidere licet. Quando nutem. C Est -- cops. ambo Vulores r Et -r simul indo emergent: puta. si sex'C Rrma unceps
409쪽
410쪽
. III. . Proposita expr. V-70 ocl. 99Aaal . classes . contentae esse ili bebunt in generei cuius charasitor mi et 5, 8: Ieb; AT; in hoc unica. classi. reperi-
Probloinaei num ros priivos a compositis dimosdendi. hosquo i i sector Mios primos resolvendi. ait gravissima pc utilissima totius nrithmeticae. pertino , uti geo: metrarum tum . veterum tum recentiorum industriam. ac sagacitatem occupavisse, tam notum est, ut cle hac re copiose loqui superfluum foret. Nihilominus satori opori t. Omn η methodos hucusque Protarus vel dic valde speciales rostrictas esse. vel tani operosas ct prolixas. ut tum Pxo uum vis talibus. qui tabularum in virist meritis conuelmetarum limitos noli clxcedunt . i. eia pro quibus methodi artiri Ialos superi Rae sunc calculatoris etiam exercitati patiun tiam isti hi n L muidrosliutem 'plorumque vix upplicari possint: Et si vim illae tabida .. quas in ovinium 'manibus verea itur . et quaR subinde adhue ulu ludi uontinuatinu iri .si raro licet. in plerisque ensibuη vulgo occurrentibus utique suffici aut: tamen calc4latori serito Occasio listud raro. he offert. e Eumerorum magnorum resolutione in sacwms auagna 'emolumenta capiundi. 'quac temporis dispendi IIn, mediocre largitur componsent; praetcreaque scientiue dignitas rvquirere vidum: ut Oiunia subsidio ad Solationem probstematis tam elegantis ac celebris sedulo excolanx . . Propter has rationes non bl