장음표시 사용
391쪽
atque otiam α. 6' etc. Positivos ac minores quam a. b etc.. nocessario eritu - ά. 6 - 6'. 3 - γ' otc., k - E. Multiplicando enim P n M. ab e etc..patet ficti m - αbed etc. - ab e d etc. in .a , unde, quoniam bed etc. ad aprimus est, necessario α- ά adeoque α α, et Porindo 6 - 6' etc.. unde etiam sponto k - E. Iam quum prorsus urbitrarium sit, cuiusnam denominatoris numerator primus Supputetur, manifestum est. Omnes numeratores ita invcstigari posse ut a in art. Ρm . . Puta 6 Per congruentium 6 acd etc. - - mod. b). I per hanc Iabd otc. - m mod. cin.: summa omnium fractionum sic inventarum vel propositae ' aequalis erit, vel differentia numerus integer sest, qua via simul confirmationem calculi nanciscimur. Ita in EX. art. PraeC. Valores EXPr.
ratorus 1, 2. l. 4 denominatoribus 4. 3. 7, 1l respondentes. Sumniaque harum fractionum propositam unitate superare invenitur.
312. D tanto. Si fractio communis in decimalem convertitur. Seriem figurarum decimalium excluso si quis adest numero integro . si in finita sit, sive in infinitum excurrat, fructionis mantissam vocamus, exprPSSionem, alius tantummodo apud logarithinos usitatam, in significatione latiori uccipientes. Ita e. s. fractionis i mantissa est l25. mantissa fractionis i l 1875, seactionis ri mantissa 054054 ... in insin hac definitione statim patet, Dactiones eiusdem denominatoris, easdem vel diversas mantissas habere, Prout numeratores m secundum n congrui sint vel incongrui. Mantissa finita non mutatur, si ad dextram etfrao quotcunque apponantur. ManuSsa fractionis obtinetur, rescindendo a mantissa fractionis figuram primam ot generaliter mantissa fractionis - invenitur rescindendo v figuras primas manti ac ipsius Mantissa fractionis S statim
figura significativa i. e. a cista diversal incipit. si n non l0; si vero n l0 ac nulli potestati ipsius 10 qualis. multitudoque figurarum e quibus constat est k. primae k - 4 figurae mantissae ipsius erunt curae atque demum sequens P orit significativa Hinc facile deducitur. si - , - mantissas divorsus habestiit ii: e.
') Brevitatis eaussa disquiΑitionem aequentem ad sy tema vulgare Meadleum restrinimus, quum laestu ad quodvis aliud extendi possit.
392쪽
CONVERMO FRACTIONUM COMMUNIUM IN DECIMALES.
si t. m sec. n incongrui'. has certo in primis k figuris convenire non posse. sed saltem in his discreparo dabere. . ' . a13. rion κA. Dato denominatore fractionis ' atque primis k Auris ea ipsius mantissa. inuenire numeratorem m. quem imo n minorem Supponimus. Sol. Considerentur. illae k figurae tamquam numerus integer, qui per nmultiplicetur. productumque per 108 diridatur si vo k ultimae figurae resecentur . Si quotiens est integer sive figurae refoctae ciliae , ipse manifesto erit numerator quaesitus atque mantissa data completa; sin minus, numerator qua situs erit intcger proxime maior . sive ille quotiens unitate nucιus. Postqvum figurae d cimales sequentes roiectae sunt. Ratio . huius regulae tam facile cx iis . quae ad finem art. Praec. Obserearimus. cygnoscitur, ut explicatione uberiori opus non sit. . Si constat. duas figuras primas mantissae fractionis . cuius denominator 23. Esse 69, habemus Productum 23'. 6s - 1587.. a quo duas ultimas figuras abiiciendo, unitatemque addensi, numerator qua itus prodit - 16. Inchoamus a considerationis talium stactionum, quarum denominatores sunt numeri primi via numerorum primorum potestates, posteaque reliquas ad has r ducore ostendemus. Et primo statim observamus, mantissam fractionis Ο cuius numeratorem a Per numerum Primum p non divisibilom es8e semper supponimust finitam esse, atque ere μ figuris constare, si p - 2 nut 5; in casu priori haec mantissa, tamquam numerus integer considerata. erit se θ' a. iu posterioriis 2 a. Haec tam obvia sunt, ut exPositione non egeant. Si vero p est alius numerus primus. I 0 a per pi' numquam divisibilis erit. quantumvis magnus accipiatur r , unde sponte sequitur. mantissam fractionis F - necessario in infinitum progredi. Supponamus. 10' esse potestatem infimam numeri 10. quae unitati secundum modulum pi' congrua fit Cons. Soctio III, ubi ostendimus. e vel numero , - l )pe aequalem vel ipsius partem aliquotam esse . perspicieturque 1acile, etiam 10 a lare numerum . in serie l0a. 100aI000aetc. Primum, qui ipsi a secundum eundem modulum sit congruus. Iam quum
r art. 312 mantissae seactionum ' -
393쪽
VARIAE DISQUISITIONUM PRAECEDENTIUM APPLICATIONES.
tissae hactionis F figaram primam. duas . . . . figuras primm resp. . manifestum est . in hac mantissa post primas e figuras. neque Prius . e dem iterum repeti. Has primus e figuras, e quibus infinities repetitis mantissa formata est. periodum huius mantissae sive fructionis F vocare Possumus. Putetque. magnitudinem Peri- odi. t. e. multitudinem figurarum, e quibus constat. quae est e. a numeratorea omnino independentem esse. et Per solum denominatorem detorminari. Ita e. s.
Simulac igitur fractionis alicuius periodus habetur. mantissa ad figuram quotcunque Produci poterit. Porro patet. si sucrit b- i 0 a mod .pμ . periodum s-
tionis p oriri. si primae λ figurae periodi fractionis P supponendo λα e quod
licet) reliquis e-λ postscribantur. adeo viae cum periodo fructionis F simul periodos omnium fractionum haberi, quarum numeratoros ipsis 10a. 100a. 1000a etc. Secundum denominatorem ρ' sint congrui. Ita e. s. quum si vi 3. 03 In . T).periodus fractionis I statim e periodo fractionis fit S 57l42. Quoties itaque pro modulo numerus tu est radix primitiva turit. 57. Ss .e periodo fractionis ProtinuΝ deduci poterit periodus cuiusvis alius fractionis cuius num rator m per p non divisibilis . tot fixurus ab illa a laeva resechndo et ad dextrum restituendo. quot unitates habet index ipsius m. numero l0 probast nccepto. Hinc porspicuum os t. quamobrem in hocco casu numerus 10 in tabula I semper pro basi accoPius Sit V. nrt. 72 . . uuando vero l0 non est radix primitiva. o periodo fractionis Parum tantummodo fractionum periodi exscindi possunt, quarum numeratores alicui potestati ipsius tu secundum p sunt congrui. Νit 10 potestas infima ipsius 10 unitati Aecurissum p congrua, ip-i α es. atque tulis radix primitiva r pro basi accepta. ut index numeri tu fiat f art. T l . In hoc itaque systemreto numeratores fractionum . quarum periodi e Periodo stactionis ν exscindi P Hunt. habebunt indices f. V. U. . . . ef-s: simili modo e periodo fractionis L do- duci possunt pertini fractionum . quarum numeratores 10r. 100r. 1000rotc. lndicibus f-- l. 2f- - 1. 3 fε l utc. . respondentes; o Periodo fractionis cuin numeratore rr cuius iudex 2J deducentur periodi fractionum cum numeratoribus qu
') Cel. Roberison periodi initium et finem duobus punetia figurae primae et ultimae supra criptis indieat Thoom 9 eoeul fino frueti a. mitria. Tristia. 37su p. aur), quod hie non neeo Aarium Putamus.
394쪽
CONVERSIO FRACTIONUM COMUNIUM IN DECIMALEA. 385
rum indices f - 2, etc. . Soneraliterque is periodo fructionis cum numeratore r derivari poterunt periodi fructiouum cum numeratoribus . .quorum indicos Ρι. 2fini. V Fi etc. Hinc sacile colligitur. si tantummodo periodisractionum cum numeratoribus i. r. rr. r .... hnbeantur. omnes reliquas
indo per Solam transpositionem deduci posse adiumento regulae sequentis: Sit index numeratoris in fractionis propositae '. in systemate ubi r pro basi .accolintus est. i quem Supponimus minorum quam p-l fiat dividendo
quo facto orietur I riodus 'fractionis si periodo fractionis . cuius numerator' udoOquo l. quando 6 - 0 . collocando huius a primas figuras posti reliquas adeoque hanc ipsam iteriodum retinendo, quando α - 0 . Hace sufficienter ii clarabunt. cur iti condenda tabula I normam in uri. 7 2 explicatam sequuti simus al6. Secundum haec principia pro omnibus denominatoribus formae p ' infra 1000 tabulam periodorum n ossariarum construximus. quaiu integram sive etiam ulterius continuatam occasione data publici iuris sectomus. Hoc loco .tabula IIIusquo ad tuu tantum producta tamquam specimen sufficiat. cui Oxplicationc vix Opus erit. Pro iis donominatoribus . ubi tu ost radix primitiva. pori os fractionum cum num ratore 1 exhibot sputa pro T. IT. l.f. st 3. 29. 47: 59. 6 i. 97J: pro reliquis. y periodos numeratoribus. l. r. rr, . r spondent s. quuE Imrnumeros adscriptos 0 . lj, 2ὶ etc. sunt distinctaο; pro basi r Seni per eadem
radix primitiva adoptata est ut in tabula I. Hinc igitur laeriodus Ductionis cuiu vis. cuius denominator in hac tabula Continetur. adiuuionto Praeceptorum art. prROC. mi l terit. Postquam numeratoris index Per tabulum I est computatus. Ceterum pro denominatoribus tam parvis negotium acquo facito absque tabula I absolvor poterimus. si per divisionem vulgarem tot figuras initiales In Intissae quaesitan com-Putnmus. quot per art. . 313 nocossuriae sunt. ut ab Omnibus aliis ciusdem doti minatoris distingui possit spro tabula III non plures quam 2 vmnefique I eriodos denominatori dato respondentes perlustram usia usqueduin ad illas figuras initiales per eniamus. quae periodi initium haud dubio indicabunt: monere tamen oportet illas figuras etiam separatas osse posse. ita ut prima vel plures) finem alicuius steriodi constituant. reliqua vel reliquae eiusdem initium. M. Quaeritur periodus hactionis li. Hic pro modulo is per tab. I 49
395쪽
habetur nid. 12 - 2 ind. 2 4- ind. 3 - 3s 3 mod. 18) saxi. 57ὶ; quare quum pro hoc. casu unica tantum periodus numeratori l respondens habeatur. huius tres prunas figuras ad finem translocare oportet, unde fit periodus quaesita 6 315789473 68121052. - Aequo facile periodi initium c duabus primis figuris sa in
Si periodus fractionis II desideratur. fit pro modulo 53. ind. 45 - 2 ind. 3-Hind. 5 - 49: multitudo Periodorum hic est 4 f. atque 49 - 12 F-l. quam n Ρeriodo cum si in signata let primae figurae postponendae erunt ultimae. periodusque quaesita fit 84 90566037735. Figurae initiales Si in hoc casu separatae sunt in tabula. ' .. Observabimus adhuc. adiumcnto tabulae III etiam numerum inveniri posse. qui pro modulo dato sin ipsa sub denominatoris titulo contento in indici dato respondeat. ut in art. 59 polliciti sumus. Paret enim per Praeco. inveniri PoSse s riodum hactionis. cuius numeratori licet incognitus sit index datus respondeat: susscit autem. tot figuras initiales huius periodi excerpere, quot figuras h bet ii nominatori ex illis per art. 3ia eruetur numerator sive numerus quacsitus indici
Per praecodontia mantissa fractionis cuiuscunque, cuius denominator est numerus primus aut numeri Purni potesta intra limites tabulae . ad figuras quo cunque siue comPuto erui potest; sed Giumento disquisitionum in initio huius Sectionis tabuluo ambitus multo latius patet, omnesque hactiones, quarum don minatores sunt producta e numeris primis aut primorum potestatibus intra ipsius limitem. complectitur. Quum enim talis hactio in alias decomponi possit, quarum denominatores sint hi factores. atque has in hactiones decimales ad figuras quo
cunque convertere liceat. restat tantummodo. ut hae in summam uniantur. Ceterum vix opus erit monere. summac sic pro Guntis figuram ultimam iusto min
rem evadere P go: mauristo autem descetus ad tot nuitates adscendere nequit. quot lanctiouos particulares adduntur, unde hac ad aliquot figuras ulteriuS computare conveniet, quam hactio Proposita iusta desideratur. Exempli caussa considΘ-rabimus fractionem F J. cuius denominator est productum num
') mpe fractio eat una ex iis, quas ad radi in quadratam .a a. quam proxime appropinquant, et quidem excemus e t minor quam septem unitates in Ioeo ligurae de salia vigehimae.
396쪽
ris 16. s. 5. 40, i 3. 4 7, 59. Per praecopia supra data invenitur F- i - - Η ει - - in i ι - , , -- Α - - l . quae hactiones particularcs, ita ut sinuitur. in
ncs communes in decimales convortendi. Di potissimum casui accomodiatam esse.
ubi multae figurae decimales desiderentur: quando enim paucao sufficiunt. divisio vulgaris sive togarithmi aeque expedite plerumque adhiberi lioterunt.
Quum itaque resolutio talium fractionum. quarum denominatores e pluribus numeris primis diversis compositi siaut . ad eum casum iam reducta sit . ubi den minator ost primus aut primi potostas: de illarum mantissis pauca tantum adiici mus. Si denominator factorem 2 et 5 non mutinet.' mantissa etiam hic e peri dis constabit. quoniam pro h quoque casu in serie l0. 100. 1000 ud terminum. unitati Hecundum donominatorem conaritum. vindem .pervenitur, simulque huius termini exponens, qui per stri 92 facile determinari poterit, Periodi magnitudinemo numeratore indepondent ni, iudicabit, siquidem hic ad donominatorem primus suOrit Si vero denomitiator ost formae 2'b N. designante N humerum adlu Primum. α et si numeros. quorum unus saltem non est 6. fractionis mantissa post primos a vei ς figuras prout a vel 6 mesonin e periodis constare incipiet. cum Periodi8 stactionum.cum denominatore N respectu 'longitudinis convonienti-
397쪽
.vARIAE DISQUIRITIONEM PRAECEDENTIUM APPLICATIONER.
bus: hoc facillimo indo derivatur. quod illa hactio m duas alias cum donominat ribus 2'5ε et Ν resolubilis est . quarum prior post primas a vcl 6 figuras abrum Petur. Cetorum do hOC argumento multas stlius Observationes adiicere possemus. Pracsertim circa urtificia. talem tabulum ut III quam citissime construendi.
quas breritatis caussa eo luberitius hoc loco supprimimus. quum plura huc pertinentia tum a cel. R Orison l. c. . tum a cel, Bernoulli Nouv. ME . de PAe. de Berlin 1771 p. 27 3ὶ iam sitit tradito.
a19. Congruontina ae X - 21 mod. m , quae convenit cum aequatione indeterminatu XX a1 -- ny possibilitatem in Soci. IV t. 146 ita tractavimus. ut nihil amplius 4osidorari posse videatur: respectu investigationis incognitae ipsi uutem iam supra sart. 152ὶ observavimus. methodos iussircotas directi η lovge osse praese-rondas . Si m 'est numerus Primus Iud quem cpsum reliqui facito reducuntur . tubulam indi um I cum III secundum obf. art. 3 l si combiuutam ad hunc siuem adhibere possbmus ut in nrt. q0 generalius Ostendimus: . haec vero methodus intra inbulae limitos restricta seret. Propter has rationes methodum Sequontem M. rael in no expeditam arithmeticae amatoribus haud ingratam sorse sporamus. Ante omnia observamus. sufficere. si ii tantummodo valores ipsius ae habeantur. qui sint positivi utque non maiores quoam i m. quum quivis alius horum ali- . cui vel ipsi vel negativo 8umto incundum modulum m congruus Rit; pro tuli voro valcire ipsius x valor imius y necussario intor limites - - et sm - - Con tentus erit. Me hodiis itaque. quae statim Ae Offert. in eo consisteret . ut Pro singulis valoribus ipsius y intra hos limitos contonus. quorum Oomliloxum DXPrimo-mns por 2. Vulor ipsius A in my. quem por. V deuoιabimus, computetur, iique soli retineantur. pro quibus V fit quadratum. Qualido m EM numerus. Pur, se s. insen 401. hoe i tentamon tam . breve. t. ut contractione vix Opus Sit;
quando autein m est momus, labor P r Methodum eaeclusiones Sequent mi quantum lubet. abbreviari Poterit . . .
. Sit E, numerus arbitrarius integer ad m. primus ac maior quam 2: Omnia eiuκ noum siduri quadratica diversa si. e. sociandum E incongruul lincc a. h. cetc. ἔ
398쪽
hae α. 6, Icteia, quas omneη positivas ac minores quam Ε accipere licebit. Si itaque ipsi y valor alici. ex his nimieris a. U. I etc. s undum E eongruus tribuitur. valor ipsius V - A eny inde oriundus alicui ex his a. h. c cis. Congruu8 et protu non-rosidui im ipsius E erit. nequD adeo quadratum esse poterit. Hinc patvt. ex u omnes statim numeros tamquam inutiles .excludi posse. qui sub formis Ut a. Et in s. Et --r etc. contenti sint. Sufficietque. tentamUn do r liquis, quorum comploxus fit u . instituisse. In illa operatione humero E nomen eludentis tribui Potest. . . Accipiendo autem pro excludente numerum idoneum alium E prorsus simili modo invenientur tot numeri Ne tr. fotc., quot non-residua diversa quas lica habet. quibus y secundum modulviis E' hongruus esse nequit. Quare denuo
contentos. Hoc modo continuari poterit. alios aliosque sumper OxcludunteR adhi-bondo. douoc multitudo numerorum ex Si tantum deminuta su rit. ut,non dissicilius videatur. omnes supprstites tontamini rovom subsicora. quam Exclusione' novas institu P.M. Proposita aequation aea - 22 Ty. limitog valorum ipsius y erunt - H et 24 i - unde quoniam inutilitas valoris o per se ost obvia) Ω comprehendet numeros l. 2, 3 .... 24. Pro us 3 habetur unicum hon-residuum a - 2: undo fit α - 1 : excludundi sunt itaque ex se omnes numeri sermae 3 l; multitudo remanentium D erit l6. Simili modo pro Ε habetura 2. b αα 3. unde α - 0, 6 - 1: quare reiici dobent numeri formae 4t et 4 t in t restantque hi octo 2, 3. 6. ll. l 4. 15. 18. 23. Perinde Pro E 5 r iiciendi inveniuntur numeri sormarum bt et bt 3: remanentque hi 2.5.11.14. Dceludvus 6 removeret numoxos semiurum fit 1 et 6t- 4: hi voro qui eum numeris sormae atq-l conveniunt) iam absunt. Dccludens 7 .eiicit numeros sermurum 7s 2. 7t 3 Tt 5. ac relinquit hos s. ll. 14. ui pro F substituti producunt resp. V - 604. 1089, 13 SC. e quibus valor Socundus solus est
399쪽
auum operatio cum cxcludente E instituta valoribus ipsius V. valoribus ipsius y in Q respondentibus. Omnes eos releget . qui sunt non-residua quadrati a ipsius E. residua vero eiusdem numeri non attingat: sectio intelligitur. usum exesu-dontium E et 2E nihil dissere. si E sit impari quum in boc casu E et 2 E eadem residua et non-residua habeant. Hinc patet. Si successive numeri 3, 4, 5 etc. tamquam excludentes adhibeantur. numeros imparitor Pares 6, 10, 11 etc. tamquam supcrnuos praetcreundos esse. Porro Perspicuum est. OPorationem duplipem. cum excindentibus 'E. E institutam. Omitiss eos valores ipsius removere, qui. vel utriusque L E vel unius non-residua sint, eosque qui sint utriusque residun. r manere. Iam quum in eo casu, ubi E et E ' divisorem communem non habent. illi numeri uiueti omnes sint non-residua, atque hi superstites residua producti E E manifestum ost. .usum excludentis E E ' in hoc casu omnino tant indem es-ficere. ne usum duorum E. E eoquo illum. Post hunc. superfluum fiori: Quare Eos quoque excludentes Omnes Praeterire licebit. qui in duos saetores int0r so primos resolvi possunt, sufficio que iis uti. qui sunt vel numeri primi ipsum m non metientcst vel primorum Potestatos . Denique manifestum eSt. Post usum eXclu-dontis p qui sit potestas numeri Primi p. excindentem p seu p . quando Μα μ. superfluum fieri: quum cnim pl' inter valores ipsius V sola sui residua reliquerit. n potiori non-residun ip ius p aut potestatis cuiusvis inscrioris p non limplius aderunt. Si vero p aut ρ iam ante p' adhibitus est. hic manifesto talos tantum valores ipsius V eiicere potos t. qui. si inui sunt residua ipsius p aut pr) atque non-
residua ipsius p': quare huiusmodi tantum non-residua ipsius μ' pro ιι. b. c etc. accipere Sufficiet. 322. Computus nil meroruni a. 3. I etc. cuivis excludenti dato E. respondentium anultum contrahitur Iaer observationes sequentes . . Sint S. E etc. radices coh-gruenti strum my-a, nuteta b. my - e etc. mod. EJ utque st radix huius my
ore. revera per solutionem illarum congruentiarum eruere oporteret, haec via ipsos α. 6. 7 etc. inveniendi nihilo utique breVior laret . quam ea quam supra ostendimus: sed illud neutiquam est noeessarium. Si enim. primo. E est num rus Primus. atque m residuum qu . ipsius E. Putet per uri. 9S. ipsos a. E. Eore.
400쪽
qui sunt valores expr. r. - etc. mod. E , fiori non-residua divorsa ipsius E. adeoque cum ipsis α. 6. I etc. omnino convenire. abstrahendo ab ipsorum ordine. cuius nihil hic refert: si vero in pndom suppositiOno m est non-rosiduum ipsius E. numeri 2l. E. E etc. cum omnibus rosiduis quadruticis. abiecto 0. Conveniunt.
Si E est quadratum numeri primi imparis . - atque p iam tamquam excludens applicatus, sussicit per uri. praeo. . Pro a. b. c ote. Ea non-residua ipsius
pst assumere quae sunι mSidust ipsius p. i. e. numeros p. 2 P 3 p . . . Pp-P sci licet omnes numeros infra pst praeter οἰ qui per ρ sunt divisibilest: hinc vero facile perspicitur, pro S. E. E Ptc. omnino stosdem numeros provenire debere. aliter tantum dispositos. Similiter si post Uplicationem excludontium p et I p P nitur E - p . sussiciet Pro a. b. cetc. . accipore producta singulorum non- si- duorum ipsius p in pp, unde Pro 'li Ei d etc. provenient vel iidem numeri, vel producta ipsius in singula residua ipsius p praetor 0. prout m est residuum vel . non-residuum ipsius P. Gen aliter necipiendo pro E potestatem quamcumque numeri primi puta It . Omnibus inferioribus iam dipplicatis, pro U. E. . Sete. prodibundi producta ipsius p vel in omnes numeros iPso p minores. 0 sempereXcepto, quando μ Par. vel in omnia non residua ipsius P minora quam p. quando μ impar atque m . Vul in omnia residua, quando mΘ-Si E - 4. udo que a - 2. b - 3. p S, B habemus vel 2 et 3 vel 2 et t. prout m laut - 3 mod. 4 . Si post usum excl. . 4 statuitur E S. habemus . G - a. unde et fit b. 1. 3. prout m - 1. 3, 5. 7 mOd. 8 . Generaliter autem si Eest potestas altior quaecunque binarii puta 2i inserioribus iam applicatis. Ivini debet a se 2 b 322 quando μ est par. unde fit E in F t. B - 3. 2' vel - 2 prout m l 'vel 3. . quando vom μ est impari ponendum Est α - unde et aequalis fit producto numeri P ' in b. 7: s. vel 3. Prout in l. 3. 5 vel 2 mod. 8ὶ iterum periti facile comminiscentur npparatum . per qudm valores inutiles ipsius y mechanice ex sa eiici possint. 11ostquam pro tot excludentibus. quot neces- Sarii videntur numeri α, 6. 3 etc. sunt computati: sed de hac re sicut .de estis v tificiis laborem contrahendi hic agere non licet. .
' Omnes repraesentationes numeri dati . 1 per formam binariam in xx Fnyy.