장음표시 사용
411쪽
dubitamus. quin duae methodi sequontos, quarum emeliciam ac brsvitatem longa Experientia confirmare possumus: arithmeticae amatoribus haud ingratae sint su- . turae. Ceterum in problei natis natura fundatum est, ut mEthodi quaecunque C tinuo Prolixiores evndant. quo maiores Sunt numDri, nil quos applicantur; attamen pro methodis scquentibus dissiculi tes Periente increscunt. .uumerique E SePtem octo vel adeo adhuc pluribus figuris constantes praesertim Por secundam solici Rem Fr Euc Pssu tractati suorunt, omnique celeritate, quam Dro tantis numeris eXspectaTe aeqpum ust. qui secundum omnes methodos hact uiis notas laborem. etiam calculatori indolatigabili intolerabilem, requirerent.. Antoquom methodi sequentes iii usum vocontur Semper utilissimum est. Eivision in numeri cuiusquae prolvisiti Per aliquot numgros Primos minimos tentare. phta per 2. 3. 5. 7 etc. usque ad is aut ladhuc ultorius . non solum . ne Poeniteat, talem numerum, quando divisor est. Per methodos subtiles ac artificiosas omisse . qu ruo incidiis. per solam divisi Diacm invoniri potuisset j. sed citam. quod tviro, ubi 'vulla divisio successit: .applicatio methodi secundae restavis orc illis divisionibus oriis magno cum fructu utitur. Ita e. s. si num rus 31.4 159 20 5. in factores Suos resciNendus est, divisio Per 3 bis succedit, posteaque etiam divisiones per 5 et 7. unde habetur 3141 59265 - 9. d. 7. 99733l, suffieitque numerum 9s73 31. qui ),er li' 13. l7. tu non divisibilis rivonitur . examini. subtiliori subiicere. Suni litor proposito numero 4342944 ' DPtorem H anserenrus, meth d in mo magis artificiales nil quotientem 542869i applicabimus.' ' . . .
. Fundamentum METRODI PRIMAE est th orema pumvis num rum politivum seu nestatirum . qm alius numeri M residuum quadratietem sit, etiam residuum cuiusvis
divisoria maius M e se. Vulgo notum est: si M Per nullum numerum primum infra VII. dirisibilis Ot. corto, M esse primum; es vero omn numeri prirni instahunc llinirem, .ipsum II metinnins sint p. g etc. numerum M vel ex his solis lip ominuo potestatibusl compositum Esso; vel unum tantum alium satiarem primum maiorem quum qu implicare possc. qui invenitur, dividendo ipsum' u yer p. q' pii . quesios lic t. Designando itaque complexum omnium numeroraim priumrum insin v M. exclusis iis, pcx quo8 divisse frustra iam tentata ost) pcr v. manifesto
412쪽
MSuffcit. si omnes divis es primi ipsius M. in V contenti, hispuntur. Muli cunde constret. numerum aliquem r non quadratum essa rosistula n. qvadfaticum ipsius M. nullus. certo uumerus. Primus mitis NR. egi r divisor ipsius M osso Potorit': quare ex 2 omuos. hurusmodi umnexos primos qui Dicuumque omni iuns omissem sero Omoiciat Dii ero lic bit. Si insuper de alio uuniDro D Oii-quaci ruto. r. mu,tui. ipsum osse residuum M. Q numeris Primis iu u post Primum . exclusion in reliciis ito ii se os exeludere poterimu8. quorum XI. eSt. r qui rursus illorum Rumissem sero colafiei lat. si quidqim residuq r et r' sunt i dupondotitia . .
si productum e nuitu quotcunque r. r. Q eu. qu ratum est: qcumue is tuum μ ν orii ros duum viii 'm Mumori primi nullum ex ipias thetientis , qui ridi i xuua .r residiatim est. Tvuitur re si loci quoicamque ii, quam iiidependentia considerari i uatit .. nullum productum nee o binis, necte lotiis otia.
413쪽
I aere irru, de peri ci Possunt e. s. rex ob idendi erunt Omnes numeri serm- 4r - 3. 1 iando r .-IOmn urina i sermarum S τ -3 et quando a 2 t . . Sed suum, uosi ςon crin potestatU .sit, ' huiusmodi residua. Ruineri propositi II invenire, inquo formularum 'upplicuum I ro Vulorς magno ipsi ii ' ν satis commoda. Riv. ingenS. HE n est. laborumque e limionis mirifieta sublevat. si pro multitustiuo vatis magnu numerorum frὶ Per quadratum non divisibilium tum positi vurum tum n guttvorum tubula iam constructa habetur. in suu numeri primi. qu rum residua sunt illi singuli trin. ab iis, intorum. non-residim fiunt. distinguuntur. Tulis tabula perinclo adornari potorit ac si, cui men ud calae in huius operis adie tum sup uu iam descriptum: g ut nil iustitutum praessens utilitatem satis am-Plam praestet. numeri Iuliiii in Ior no positi moduli longo ulterius puta sal omus ino ad litui, riui ad Iu000 continuati esse . debent . Praetoreaquo commoditaqmultum augetur, si in iacie etiam illanori colypositi ut nomipvi recipiuntur. orsi ire, rictu Sit absolato nece sarium. ut e S t. IV De Diuuum est. Ad summum uu-ton' commoditatis moriunt usus talis tabulae evehetur, ΔΓ singulae columestu verti ulcs. Q quihus constat: exscinutur lamellisque aut baculis ineperianiς similibus agglut in tur. ita ut eae. quais in quovis cmu Sunt necu Rriue i. a. quae nu-li ris r. . r. et . residuis numeri. Propositi in sactores resolvendi. respondent. septimis Oxuminari possint. Qui iuxta. abissae columnum. primani quae m duius exhiboq Positis. i. e. ita, 'ut loca singulorum baculorum.eidum Dum roprimo colyhmiruo lirim ac russiondentium sitim. hoc iudi metum .in unt. Sive in o deni liberi 'horletontati siti sint: manifesto ei nuntio primi. qui Post exclusiones cum re Bluis r. r. H. ex sa romansui: per Solum inSpectionem immediatse cognosci holerunt. nimiium hi convcnicut 'cum iis in columna prima . quibus in omnibuε huculis adii centibus linsulae . respundent. . reiicique debent omnes. 'quibus in . unti bacillo sputi uni vacuum udiaret. : Per in Plunt haec sufficientor illustrabuntur Si silicunde constat. numeros' - beta, - 14. -- T,. - 37. - - 23 CASEresidua ipsius 's 97 33 . consociis dae uruiit utilumno prima squab in liuo casu us- ilion ΗΗ cout iuuata esse sto t. i. e. usquis ad ii itinerunt Primum proxime mitiore ii quam V 99 33l Quique lamellaei in quarum simie nutu i θ. - - 1 3 ete . Suut suprascriptio . . iace partum schematis hoc modo Prodeuntis
414쪽
. Quemadmodum hic. ex sola insp uoue cranciscitur, ex iis, uamuris. Priuus. qui in hac sphematis Drte continentur. solum i 2F pyst exclusiones cum rosiduis
, r3 etc. in la relinqui, ita schema intrarion usque ad 9 67 cxtonsum Ostundit
ω mo. nullum alium m. la rematereo: divisione autem tentata. υ9733 L per l27 revera divisibilis iiivonitur. . Hoc itaque modo illo muneri, 4. iu iactoros Primos.127 μ 7853 resolutus habotur l. .
Ceterum ex hac expositione nyuudu colligitur, praesertim utilia esse residuunyu nimis magn*. nyt Baltem in factores pnim . nou mim . magnos resolubilia. sitium tabulae auxiliaris usus imminiatus Dog RItra . numeros in iacie. Rositos Puteat. uSusque mediatus talos innium complectaturo qui in factores in tabula
Auctor upparatum fiatis amplum tabinai hie deseri pinea quem ad usum sirum eiau uuMndum evrou publicr iuris lubenter saceret: ia paucitas eorum . quibuη usui esse pote t. humuhna talia i tilapsi inussent ili inflicero . Si quis Interea arithmetieas amator, principiis prui . penetralia. propriet maria linium t Il l u ibi LondΘis optat. Ructor magnae voluptati sibi dueet. omnia enm in lumanta ae artificia per lite M com
415쪽
quadrata divisibilia aeque utilia snnt ac parva; omniaque residua Per melliodos Sequentes suppeditatu a fractoribus suis quadratiK statim liberata Supponemus. Secundo si duo pluresvet numeri sunt residua. etiam proluctum ex ipsis residuum crit. Combinando hanc observationem cum .Praec. . PersaepC o Pluribus residuis, quue non omnia sunt satis simplicia, aliud admodum simplex deduci potest, si modo illa multos facto ros communes implicant. Hanc oli caussam talia quoque rosidua valdo sunt Opportuna. quae e multis saetoribus . non nimis magnis com-Posita sunt. Convenietque omnia statim in sectores suos resolvere. 'Vis harum observationum melius Per exempla usumque frequentem quam laer PraecePin Per
I. ' Methodus Simplicissima, iisque. qui per frequentem exorcitationem iam aliquam dexterituinto sibi cunciliaverunt. coulmodissima, consistit in eo. ut Mnut genurritus multiplum quodcunque ipsius II quomo cunque in duas partes do omi nauir kM - α - - b Isive utraque sit positiva sive altera positiva nitem nega tuu . quarum proditotum igno mutato orit residuum ipsius u) erit ollini - ab a a b b m. d. III. adeoque - ab It M. Numeri s. b ita accipiendi sunt. ut productum per quadratum magnum divisibile quotiensque vel parvus vel sal- . tem in factores non nimis . magnos resolubilis evadat. quod somper Mon dissicile emei poterit. Impriniis commendandum est. ut pro a aecipiatur vel quadratum. vch quadratum duplox. xvi triplax xim. a: numero M numeri, vet. par o vel msacim es commodos resolubi E discopans, Ita s. y. inreuitur u 9733l - s 993-2.5.57- 994 ψ6. l. 13 2. 70ί- - β.i7. 33 - ,3 57b Φll. 3i.4 - 3. 577 - T. 12.4 μ 3. 57S -7.ls. a T. IhI99 H- . 3 5. 20.4 ,- l l .30ly Φ 5 1s est. Hinc ha
II. Meuiodua si unda et tertia inde petuntur. quod . . si duae sermae binarim A. D. O .. C. B . C) eiusdem e torminantis M. aut M. aut gener*lius RII. ud idem renus pertinent. numeri A A . AC . XC Runt residua. ipsius kM: huc nullo negotio indo perspicitur, quosl numerus quivis characte licus
unius sermhe. liuin m. etiam est numerus char. ulterius. adeoque m s. m
416쪽
DUAE METHODI NUMERORUM FACTOREA INVESTIGANDI.
mA'. m ' omnes residua ipεius kM. Si itaqu a. b. α' ost forma reduetrudet r- minantis positivi M aut generalius k M. utque M. ν, a ). μ . N. OCC etc. formaeox ipsius Periodo. redeoque ipsi nequivalentes et a liotiori sub eodon genore cotiditentae: numori a a'. aa rear etc. Omnes erunt residua ipsius M. Computus multitudinis magnae formarum talis periodi facillimo adiumento algorni, mi art. lST instituitur: residua simplicissima plerumque prodeunt statuendo a l.; ea quae suetores nimis magnos implicant. erunt reiicienda. Ecce initia periodorum formarum l. 998 l 32 7 et l. 1432. -9l8ὶ . quarum determinantos sunt
III. Si C est classis quaecunque formarum dot. neg. -M Sive generatius - k II. a principali diversa, ipsiusque periodus hace 2 C. a C etc. art. 307ὶ :. classes 2C, 4 C etc. ad genus principale pertinebunt: hac vero 3c. 5V etc. ad idem genus ut C. Si ita tuo a. b. H ost sortu simplicissim ex C liique e forma ex aliqua classe illius Poriodi puta ex nC. orit vel vel sta residitum ipsius M. Prout n par vob linpar. in casu priori manifesto otium c. ni Posterioriac. ca' et ccὶ- Evolatio Permiti. i. e. ω arum simplicissimarym. in ipsius Cla4- .sibus, . mira facilitato podicitur . quando a. est valde. parvus, PraeSertina quando est 3 . quod sculper ossicoro licet . quando de Mis 2 modi a . Ecce initium iviriodi cla sis. in qua est Arma a. i. 332444
417쪽
Ilinc promanant residua inutilibus reiectis) a. 476 1 027.' 10 85. 125 sivo Ptollendosa'OrPs quadratost π.7 17. 13.70. 5. T. 3 l T. e quorum obmbinutione apta clini octo residuis in II involitis lacile eruuntur duodecim sinuentia' - 2.3. 13. - 2 7,l7. 37. . 53, -5 li . 794 - S3. - 2.59. - 5. 3l; 2.5.6T; SOX Priora sunt eadem. quibus in art. 3al usi strenus. Adiici potuissent residua l9 et - 29. si ea quoque in uSum V. Cum volui sumus. quae in I reporta sunt: reliqua illic eruta ab iis quae hic ovolvimus iam sunt doPendentia.
METRODUS RECUNDA . numerum datum M in tactores resolvondi. Potitur ocon,id ratione valorum talis lixpr. V ID mod Mὶ, observationibusque se ludiatibus innititur. l. Quando M ost immorias primus qui potestas numeri primi impuris ipsi im iur D non muttontis . .'crit - D residuum ubi non- residuum ipsi ux M. prout M vel in forma divisorum vel in forma non, livisorum ipsins XX - D contioetiir, et in casu priori inpressio v-29 mod. v j duos tantummodo valores divolsos hab ic qui oppositi erunt. H. Quand' vero II est. comi situs. Puta. ppp etc., dusignantibus P. P .P .etc. numeros primos dixersos impares ipsum iu D non mutionis' aut tutium numerorum potestatus: - D tunc itintummodo residunm ipsius II erit. 'quando est residuum singulorum p. p'. I, etc., i. e. quando si numeri Omnos in sortitis divisorum ipsius XX - D continoi itur D signando nurum Valores OXPr.
418쪽
maximus numeri M cum I - R erit M. et i div. comm max. ipsius M cuni RH-R: sed valores duo nec idontici noc oppositi ut R et Γ' necessario unum PluresVe numerorum P, si, P etc., neque Vero Secundum Omnes, Congrui Drunt et secundum reliquos R --R'; hinc illorum productum erit divisor communis maximus numerorum M et . R -R', productumquq horum d. c. m. ipsorum Met RH-R'. Hinc facile sequitur, si omnes divisores communes maximi ipsius Meum differentiis inter singulos valores expr. V-D mod. IIJ atque aliquom uni rem datum computentur horum complexum Continere numeros l. p, P . ρ' etc. atque omnia producta ct binis, ternis etc. horum numerorum. Hoc intriue modo eratoribus illius expressionis numeros p. H p etc. eruere licebit. Ceterum quum methodus art. 327 singulos hosce vulores ad valores expressionum huius formae linod. Mi reduclat. ita ut denominator n ad II primussit: ad institutum praesens ne necessarium quidem est. lius ipsus computare. Nam div. comm. min. numeri II cum differentia inter R et R'. qui cum '. conveniunt, manifesto otium Erit cliv. comm. min. ipsorum II ct nn' R R l. sivo ipsorum II et mn - mn, quippe cui nn Ie- R J secundum modulum Mest congruus. ' . 334. Applicatio observationum praece . ad problema. de quo agimus, duplici modo institui potest: prior non solum decidet, utrum numerus propositus II primus sit an compositus. sed in hoc casu etiam factores ipsos suppeditat; posterior autem Datenus praestati quod plerumque calculum expeditiorem permittit. Sed factores ipsos numerorum compositorum . quos quoque a Primis protinus distinguit, interdum non proseri, nisi Pluries repetatur. I. Investigetur numerus negativus - D. qui sit residuum quadraticum ipsius M. ad quom finem methodi in art. 332 sub I et ΙΙ traditae adhiberi pol runt. Per se quidem arbitrarium est, quidnam residuum eligatur, neque hic ut in methodo praec. opus est . ut D sit numerus parvus: Sed calculus co brovior erit. quo minor est multitudo classium formarum binariarum in singulis genoribus Pr. Pr. dui. - D contentarum: quamobrem imprimis talia residua, quae inter 65 numeros stri. 303 continentur, si quae se offerunt. opportuna erunt. Ita pro M - 99733l ex omnibus residuis negativis supra erutis hoc - 102 maxime 52
419쪽
vARIAE DISQUISITIONl N PRAECEDENTHm APPLICATIONE .
idoneum esset. Eruantur omnes valores divorsi cxpr. V-D mod. M); quodsiduo tantum proveniunt oppositi . II certo erit vel numerus primus vol numeri primi potestas; si plures, puta 2 II compositus erit eX μ numeris primis, aut
primorum potestatibus, diversis, qui factores Per methodum art. Pr C. Erui Pot runt. Utrum v ro hi factoxes numeri primi sint m primorum potestates . tum per se facillimum erit dignoscere: tum otiam Via ipsa. Per quam Valores eXPr. - D inVeniuntur, omnes numeros primos, quorum potestas aliqua ipsum Mmetitur. sponto indicat; scilicet si II divisibilis est per quadratum numeri primieti. ille calculus certo etiam unam pluresve repraesentationes tales numeri M. M amm - 2bmn -F- en n. produxerit, in quibus divisor Comm. in . numer
rum m. n est at et quidem ideo. quod in hoc casu - D etiam est residuum lysius - . Quando vero nulla repracssentatio Prodiit, in qua m et n divisorem communem habent, hoc certum indicium est. M per nullum quadratum divisibi-lom esse adeoque Omnes p. p. p ore. numeros Primos. M. Per mothodum supra traditam inveniuntur quatuor vul Ores EXPr.
v - 40S nod. 997331ὶ cum valoribus harum H---- convenientes: divisores communes maximi 99733i cum his a. 166 1 - 113. 2824 ot 3.1664 in i l 3. 28 24 sivo cum al4120 et 324l04 eruuntur hi 7853 et 127. undo 99733l- l27.7853. ut Suma. II. Accipiatur aliquis numerus negativus - D talis. ut II contentus sit in forma divisorum ipsius xx FD; per se arbitrarium est, quis huiusmodi numerus eligatur, sed stommoditatis caussa imprimis ridendum est. ut multitudo classium in generibus det. - D sit quam maximo par ra. Cotorum inventio talis nu- mori nulli difficultati obnoxia est, si tentando adeatur: nam plerumque inter multitudinom considerabilem numerorum tentatorum pro totidem sere M in forma divisorum continetur, ac in forma non divisorum. Quare maxime e re erit, inutamen a 65 numeris art. 303 inchoaro et quidem a maximis . et si eveniret. ut nullus idoneus esset riuod tamen generaliter loquendo inter 16384 casus semel tantum accidit . ad alios progredi. ubi classes binae in singulis generibus conti-DEutur. Tunc investigentur valores Oxpr. ψ-D mod. IV. et si qui inveniuntur. iactores ipsius M prorsus eodem modo inde deducantur ut supra; si vero nulli valores prodeunt, adcoquo - D est non-residuum ipsius M. certo M neque numeruS Primus neque numeri primi potestas esse poterit. Quodsi in hoc
420쪽
DUAE METHODI NUMERORUM FACTORES INvESTIGANDI. 411
casu factores ipsi desiderantur. vel eandem operationem repeterP Oportet, alios V loros pro D accipiendo. vol ad methodum alium confugere. Ita e. s. tentamine facto 99733l contentus invenitur in forma non-divis rum ipsorum XX -- 184S, XXH- 1365. XX- - l320. sed in forma divisorum ipsius inae Sio; pro valoribus cxpr. ψ-S40 mod. 997331 in prodeunt ex Pr. -- --7'. in unde iidem sectoros deducuntur ut anto. - Si quis plura exempla desiderat . uri. 328 consulat. ubi primum docet esse 54286Sl - 307. 17683: Secundum. 4272943 esse numerum primum: .tortium. 99733l certe e pluribus primis
torum limites huius operis praecipua tantum momenta utriusque methodilactores investigandi hic exsequi permiserunt: disquisitioncm uberiorem una cum pluribus tabulis auxiliaribus aliisque subsidiis alii occasioni reservamus 5 et a