장음표시 사용
51쪽
eum ερ9 2LΜ curvatura ra. tionem obtaneas, circa punctam
Z is meisti congruens, tu cum illa tineis e repens atqua ...tervalla Ll in ite parvo, des
cripto areis IM, occπrrente tan.
52쪽
a. Sit primb curva D A V , tuis ius ordinatae A B infimis proxima fieri concipiatur alia C V , & axi DB parallela EA extendatur ultra curvam in F ad aliquam data longitudine AH ducaturque FH ipsi AB Parallela, occurrens in Hrectet ORIIangenti Curva propositam in Α,&Concurrenti cum C V in I; tum di. visa FH ad punctum G in quavis ratione assignabili m ad a, jungatur G A, quae producta omnino intra turvam cadet salasti ipsa tangeret, quod est absurdum, nec enim ovata rectae ad idem unius continuae curvae punctum illam tangerta possunt lices post aliquod determinabile intervallum, illam krtasse sit secatura , & ideb ipsam C V, quae ad iii.
53쪽
tervallum minus quolibet dato ipsi R B accedit, omnino secabit inter E MV, velut in Re eritque ratio EI ad I Umaior ratione eiasdem Et ad I R; sed haec , ob similitudinem triangulorum, eadem est, ac FH ad HG, quae potest esse quaevis assignabilis m ad n , ergo EI ad i V, adeoqueti diuidendo E V ad VI, rationem habet maiorem quali het assignabili, unde ex desint s. 9 6. Illa infimiles major est, uuim ista, & ordinis, ad hanc superioris; Quod &c. 2: Rursus trilineum ipsum V A Ierit infinities minus trilineo E A U,
vel E A I ob basim V I infinithminorem ipsa UE , vel EI nec
non ipsorum utrumque adhuc ita finities minus est quadrilineo infi.
nith parvo ABCI, vel ABCV, aut A BC E f quia lineae E V , E ls,nt ipsa AB infinities minores unde & hinc patet, varios ordines resultare infinith parvorum 1.Quin etiam si circa cindi natam B A omnes illae areae rotarentur , foret solidum. a ita linco V Al infinite mmus solidori triangulo E AI, vel a trilinco E A V: hoc autem rursus infinith minus solido a quadrilineis AB CI, A BC U, A BC E genito, nam quaelibet saperficies cylindricae , ab UI UE E C productae-, serent eodem ordine aliae aliis infinities minores; Quare constat propositum , COROLL. Ι. Cum ostensa sit xum. a. recta VI minor it finities ipsa E V, hinc est quod juxta coroll. 2 prop. III. potest EV considerari ut aequalis ipsi EI, qua disseri differentia infinith minori . COROLL. IL Unde amplius demonstratur methodus in. finite parvorum in ducenda cujusvis curvae tangente; cum enim.Ob similitudinem triangulorum,sit I E, sive illi, ex dictis, aequalis VE, ad AE, ut AB ad Bo, ergo sub.
54쪽
tangens Bo est semper quarta proportionalis post differentiam infinith parvam ordinatarum V E ,&differentiam abscissarum A E sere BC : quare, si ordinata vocetur M& abscissa x, adeoque differentiae earundem sint O, dx, erit semper subtangens BO ' Et ex curvae natur data, ceim innotescat ratio O ad dae rei mox in subiuniacto Scholio docebimus etiam nota fiet ratio B A ad Bo,& expeditissimh tangens O A determinabitur: ita ut 1 suisismet principiis mysteria calculi differentialis hoc modo
geometrich demonstrata habeantur . .
COROLL. III. Hinc pariter colligitur, ipsamet quadriis linea ABCI, ABCV, AB CE s nec non & solida, quae
ab ipsis circa axem positione datum rotatis gignerentur Iutpoth infinith parvis differentiis discrepantia , posse pro
aequalibus rith computari , iuxta idem coroll. a prop Π . cui fundamento nititur calculus in egra lis; ex ejus enim praescripto, summa ex rectangulis ordinatarum B A in qua libet sibi correspondentes differentias infinith parvax axis BC, aequatur ipsimet areae curvilineae CDAU: nec non summa cylindrorum , quorum bases sint circuli ab Ordinatis descripti , & altitudines, sint eaedem infinith parvae differentiae axis, aequatur rotundo solido, ab ipsa figurae, curvilinea generatoc quippe differentia omnis , per inde, finitam axis sectionem, multiplicatoaeorum rectangulorum, aut cylindrorum numero , & diminuta in infinitumi qua titate singulorum , fit infinith exigua, i adeoque evanescit. COROLL. IV. Sed et hinc constat, ipsum mest arcum A V infinit. parvum , tam rectae lineae A sibi subtensae, quam tangentis portioni R I aequalem esse . si enim AG tam proph accedere concipiatur ad rectam A Ho, ut punctis Gi, H sibimet invicem fermh congruentibus, utriusque ipsaruAG. AH differentia minor fiat quavis assignabili magni
55쪽
Prop. III. fiet altera alteri aequalis , quare aet AR aequalis evadet ipsi A1 tangenti, multoque mag- Cinva δε V utrI-que interposita squae mediae inter utramque longitudinia est , itam quamdiu finita fuerit, major quidem Git a tur subtensa recta A V, ade ino
Culo est propior, at minor . , tangente A I, obtusum anώ in .. O. . Fgulum A UI subtendente . I fiet aequalis tum ipsi tangeti-Q ti AI, tum suae subtensae H '-.
alia tuto usurpaIi P terit, . . . 'A
v eparticula A V infinite ear Al , t In
gua, tamquam recta conside ' πω rari poterit, citra villum err tist periculum I nam errordum fit infiniis parvus, tandem ae ariesiat, az nullus eva dit J quod si cant recemiores Geometrae, dum curvas Omnes sub ratione cujusdam polygoni infinitorum laterum spectare nos docent, & curvaru tangentem quamvis pro uniis an, ex ejusmodi lateribus infinite parvis, productione aestim iam praescribunt. . . a QCOROLL. V. Eodem iure areas curvilineas quandoque licebit, in- Ω Λtriangula rectilinea im rfinith parva resolvere , ad 1ρ rum dimensio.
ti si proponatur curva hΑaa, esecto ubilitat , 6- Ova Intra, sive intra curvae perimetram, quovis puncto N, atque
56쪽
atque inde ad singula curvae puncta ductis ramis in iis
proximis N , , poterit se Me Nm pro istantulo rectis lineo censeri, quia Ox coroll. rreed. arcus at infinith pa vus pro recta assum potest: & quoniam , exleuia Na ad tangentem in d, portio ad aduc infinities mimor evadae recta Ns adeoque triangulum a ad est qua itas infiniis parva secundi ordinis, quippe in finali in mimaa. triangulo Naa iam infinite eaiguo, poterit indiscriminatim et a MN ad sumi pro lis N as, & alterutrum i eum conside,
rari velut elemsto uin areae N Aa, staut eiusmodi tria gularum sumu- det mens am integram talis areae, Et si talia alia curva QON exhibeatur, tui . ranu. No sint Perin ivd paralleli ad Corae pondentem pIioris curvae tangem tem sis, constat, in o Meam utrique curvae interpositan o ooΑas duplam semper sectoris eorrespondentis RasN, propter singula parallelogramma da ab c quae non differunt ab areolis infinite exiguis Oaso, ni si per trilinea infinities. adhuc minora odo , ἐν a. ob se ab , da infinities m1nores ipsia AEO, 3b, dc ideb aequalia invicem censeri debent Me corall. et 'ap. III. sape eiraro pHa triangulo.
rum Ad, in eadem hasi a , iisdemque parallelis da, Noexistentium , ut.υς p. 8. Hugenia rum d-Ostravimus. iter autem animadvertere placet, huius methodi su damentam , etsi mVum vadeatur, nec absque scrupulo hplerisque admitti consueverit. nimiisum: magi undanas , α νώ .d eremaa m. o. avarit qualibet assignabala d germeia diserer pagoat aenistaae iisdem msectio mae fama ga libri recte Harpari: vetustisilinum rei Ha esse, ae ueterum methodo, quae per inscriptiones, Meircumscriptiones,lonis glori circuitu, figurarum. AEqaaluatem, vel aliam propor.
tionem uenabatur, necessimo fuisse praesuppostum, Vin enim demonstrationum ejusmodi apua Eucti m. & Ar. chimedem in eo celtheoulistit, quod, nisi verae scirent ipsciis
tum propositi es , as uari posset differentia figurarum,
57쪽
inempe excessus, aut desectus ab asserta mensurae facta autem tala assignatione, cum per Inscriptionem , & circumscriptionem ostendantur aliet figurae minus excedere, aut deficere figuris propositis, quam pro differentia assignata, & tamen assertam mensurae rationem constanter obse Mare, concluditur ab absurdo, differentiam ab adversario assignatam mullam esse, Utpoth minorem qualibet assignahili: atqui hoc ipsum, majori compendio , & nos dicimus, dum magnitudines, differentia infinities minori discrepanistes, pro aequalibus habemus: si non sunt habendae pro aequalibus , assignabilis erit eorum differentia; assignetur ergo:.non igitur ipsarum differentia minor evadet qualibet assignabili, quod est contra hypothesim; salsum est etigo, non esse habendas pro aequalibus: Quod est propositum.
nodam saperessi, toti a. hujus Prop. pendere Axιmus, Ac pro eodis. Quantitater determinara , ct ejusdem semper mensura, primis alphanti litteris a, b, c, e ως. deustentur: indeter Auata merὸ, qua subriae erescuηt, styx decrescant, per psremas X , y , Σ, u Oc. de more exprimantur , us habeatis aquatis euma propriae fecis parabolis , A latur rectum vocetur a , ω ab se a x, orianata verὸ y, patet, 'ustrioaeem carma propriam θω yy ta ax , propter orismata quadratum semper aquale reis es angula obsessa in latus rectae r atque ita is aliis magis eam. possis. Tum sun Mur alci , verbigratis X , augera portio. ne sui infinite parma dx sic enim illam exprimere docuit Leibis ist mr , ut disserentiam olfius y vocat dy, ct 'fius et appellar da, atque sta is abir aura ut e das abscissa xldx; σtuis Ais c renoudere ἀprehenduar yidy, vet y - dy pro σφήrna non videlices applicata crescant, aut decrescant ad
58쪽
sta consequenser exsupradict3s coroll. a. hujus propositionis, ordinata y ad subtaVeMem, qua νdeo dupla iuvenietur alis scissa X , utpor.' a X. Aliud exemplum so in eam , cuius natura E sinitur aquati
qars dydy, ac d xdA , eritque 2My Illux, adeoque dy adox erit, ut X ad y, unde ut abscisa X ad ordiuatam y , ita erit ipsa eadem arrinata ' ad seMangentem quassam , qua erit tertia proponιonalis ab sa , ct ordinata. Expeditius autemsumitur disserentia caiusvis aquationis propositς , si in alia abique termina ab rndetermanatas affecta mulitia
59쪽
I. intra quadratum A FHO, cuius diameter AH, de Dcriptae sint, eodem latere recto A O, infinitae paIabolae Uariorum graduum,nempe Λ ΕΗ quadratica , sive Apolli
60쪽
niana, ADH cubica , ACH biquadratica, &c. adeo ut ducta ubivis recta BCDE PG axi parallela, secante has curvas, & rectam AH, ut in figura , sit semper HO ad B P in eadem ratione ipsarum OA , AB, sed HOad B E in earundem ratione duplicata, & ad B Din triplicata, ad B Cautem an quadruplicata, atque ita deinceps. Patet ergo,
rectas H O , seu G B, & r liquas ejus interceptas B P, BE, BD, BC dic. inre
semper continuh pKOP. tionales , quare si iam PI xima fieri concipiatur Boax AF, ut intercepta BP evadat infinitd parva , C M
st ratio G B ad B P eadem rationi BP ad BE, & hujus ad BD, & huius rursus ad B C , prima autem ratio sit major qualibet assignabili
ex def. 4. 9 eoam errevia , etiam reliquae majores erunt quo
libet assignabili , & ideo quantitatum P B, BE, BD, BC,
quaelibet Iespectu antecedentis erit, per def. s. ω o. Infinith parva, atque infixioris ad ipsam ordinis quare inter u in gnitudines absoluth infinith parvas datur haec diser sitas ΟΡdinis: quod erat &c. a. Angulus contingentiae B AE est infinities minor angulo recti lineo B A P, & antulus BAD rursus infinities minor est angulo BAE, angulus autem BAC infinities adhuc minor est angulo BAD, atque ita porro in infinitum, ob subtensas PB , E B , D B, CB, eadem Iatione majori quavis assignabili in infinitum decrescentes , datur ergo& in angulis infinith parvis haec ordinis diversitas: quod erat demonstrandum. F 2 3. Area