장음표시 사용
101쪽
quadrangulum quod fiet ex AB in D G da/ arcus medietas subtenditur data erit,& itatum,ergo reliquum etiam quod est ex AD per hoc theorema etiam aliae multae per me in BG datum est, semidiametor quoq; AD diationem propositarum dabuntur,oc me data est, data ergo etiam linea BG. Hinc ma dietatis duodecim partium chorda quae G.
nifestum est si duo arcus,di lineae quae illis subtendit,ec quae tres , 5 quae unam eum di subtenduntur dabuntur, dabitur etiam li/ midio,& quae dimidiu unius partis,ic quarnea qua duorum illorum arcuum excessus tam Est autem nobis per computationem subtenditur:ex hoc theoremate patet quod inuentum unius partis eum dimidio chor alias quom lineas nec paucas adatis exces dam talium esse proximae i.3 .is. qualium sibus inscribemus,& illam etiam qua duo/ est diameter Wo.ec medietatis quartaecstadecim gradus subtendJtur,cum habeamus mul,earundem O. 4ris. O .gradum arcus chorda di etiam quae γλ.
Sit rursus propositum,data in circulo lunea medii substensi arcus chordam inueni. re. Sitq; semicirculus ABG super diametruAG,8c data linea sit G B, arcus uero Gu in duo aequalia per punctum D diuidatur, Ac
ducantur lineae. AB, ad BD,DG, ex D autem
ad A G perpendicularis DF ducatur, dico FG medietatem esse excessus AB & AG lineaseru, ponatur enim AE linea,lineae AB aequa/lis oc protrahatur DE,8c quoniam A B Itanea aequalis est ipsi A F,si A D communis accipiatur, erunt duae liner AB Zc AD duabus, A E dc A D alcera alteri aequalis,est autem etiam angulus B AD angulo EA D aequalis,quare balis quom B D aequalis erit basi Dε, est autem ipta B D ipsi D G etiam aequalis, erit ergo D G ipsi DE aequalis,quoniam igitur auertice DEG trianguli, duorum aequalium laterum ad basim eiusdem DF perpendicularis deducta est,erit E F linea ipsi FG aequalis sed EG tota linearum A B N A G excessus est,ec FG, igitur excessus ipsarum medie/tas est, quare quum BG arcus chorda da/ta sit, A B similiter quum ad semicirculum residua si,dabitur etiam FG quae A G, oc AB linearum excessus medietas est . Uerum quoniam in orthogbnio triangulo AGD deducta perpendiculari DF.duo trianguli ADG5c o GF aequalium angulorum efficiantur, esibi sicut AG ad GD sic GD ad GF.
Erit etiam quod sub AG 5c G F rectangu/lum continetur aequale quadrato lines DG,
quare longitudo quoq; ipsius DG, qua BG
Sit rursum circulus A B G D E super diametrum AD, oc in cetro F circumductus,&de puncto A,duo deinceps dati arcus accipiantur qui sint AB, ec BG θί protrahant ΑΗ re
B G lineae, ipsae quoq; similiter datae, dico si
AG coniuncta fuerit ipsam quoque haberi. Ducatur enim ex B diameter circuli, qus sit B FE,oc protrahantur lineae BD, DG,GE, DE patet erilo ex seipsis,quia propter linea BG dabitur linea GE, Sc propter AB dabi/tur BD. N DE, ec quoniam ut in superiori bus dictum est, BG DE quadrangulum in circulo constituitur, o BD,GE,dus lines ab angulis ad angulos eius deductae sunt, reactangulum,q, sub iliis continetur aequale est utris insimul quae expositis lateribus etificiuntur, quare quoniam rectangulum lilanearum B D, ec G E, datum est, oc similiter quo dest ex BG, N DE,dabitur etiam quod ex B E,N G D cdstituit ur,sed diameter quo que B E data est, reliqua ergo etia GD data erit Sc propter haec etia GA quae ad semicirculu residua st,quare si duo arcs et chords
102쪽
suae datae fuerint dabitur etia per hoc theo/rema chorda qua duo arcus illi per compositionem subtenduntur. Perspicuuna autem est quia si ad praepositas omnes eam semper componamus quς unum gradum cum dimidio subtendit,&compositas computemus, omnes simpli/ces inscribemus,quae duplicatae tertia partem habebunt,& solae relinquentur quae inter spatia unius gradus cum dimidio sunt, duae in singulis quoniam per medietatem gradus incrementa facimus futurs.Quare ii medii gradus chordam inueniemus, ipsa
tum per compositionem datarum linearu . quibus spatia continentur, tum per exces sum uniuersas nobis quae inter duas sunt facile replebit. CVerum quonia data chorda. qua unius ac mediae partis arcus subten-d cur,quae tertiam eiusdem arcus parte substendit non datur per lineas. Nam si possibile id ei Iet medii gradus chordam hinc ha/beremus. Idcirco prius chordam unius gradus a chorda unius di dimidii gradus es a
chorda medri,aim quarti grad' unius, inueniemus proposito uno theoremate, quodae si non uniuersaliter quantitates possit
determinare,attamen in tam minimis nul lam ad determinatas habeat mutationem,
dico igitur quia si dus ins quales lineae in circulo perducantur,maior ad minorem, mi norem proportionem habebit quam arcus msi uis ad arcum minoris. F Sit em circu lus Aa GD N producantur in eo duae inae quales lineae quaru minor sit AB, maior ue m BG dico S B lineam minore proportio nem habere ad B A lineam quam BG arcum ad arcum B A. Diuidatur enim A B G anagulus in duo aequalia per lineam B D, & coiungam Ur AES,RADNGD lineae. quoniaigitur A B G angulus in duo aequalia PBED lineam diuisus est, linea quidem GD aequa lis est tmeae AD,linea uero UE, maiores cylinea E A,deducatur igitur a puncto D,ad AE G lineam D F perpendicularis, ec quoniaεD maior est quam ED, NED qua EF.Ciraculus qui centro D, di spatio D E, circum scribitur, A D quidem lineam diuidet DF uero lineam super excedet. Designetur ergo circulus i E T'producat D F ad T,quoniam igitur DET sector DE F triangulo maior est, triangulus autem DEA, sectore DEs maior,habebit DEF triangulus minorem proportionem ad triangulum DEA. quam DET sector ad D Ei sectorem, sed sicut se habet triat ulus D EF ad triangula DEA,sese habet E p linea ad lineam EA, mcut etiam DET sector ad sectorem DEi se habet,sic se habet angulus FDE ad angu/lum EDA, quare linea FE minoris est pro/portionis ad EA lineam,quam FDE angu Ius ad angulum EDA,quare colunctim quoque linea F a, minoris est proportinis adli/neam E A,quam angulus F D A ad angulum A DE.Antecedentium quom dupla G AIinea minorem habet proportionem, ad lianeam E A, quam angulus GDA ad angula EDA, disiunctim etiam linea GE, ad lineam E A, minorem habet Proportionem qclara angulus G DE,ad angulum EDA, sed sicut se habet linea GE adsineam EA sic se habet linea GB ad lineam BA,5 sicut se habet angulus GDB, ad angulum BDA. Rese habet arcus G B, ad arcum B A,linea initur Ga minorem habet proportionem ad lineam B A, quam arcus a B ad arcum B A. Hoc ita praeposito, describatur circulus ABG,5 perducantur in eo duae inaequales lineae AB, ec AG, supponaturin dimidiam partem gradus unius a quartam una sub/tendi per lineam AB , per lineam uero AG, gradus unus subtendatur, Sc quoniam A alinea minorem proportionem habet adllaneam A B , quam A G arcus ad arcum A B. Esto A G arcus in sesquitertia proportione ad arcum AB , erit GA linea ad lineam B Aminor quam sesquitertia. Demonstrata autem est AB linea o. ε . s. talium parcium, quales diameter habet Go. linea igitur GA minor est quam 1.grad. . minuta so. secud. earundem haec enim in sesquitertia proportione sunt O. T. s.
p Rursum in eadem descriptione suppo
namus unum gradum BA,&unum atq; di midium A G, lineas subtendere. Similiter ergo quonia A. circumseremis pars sesqui/altera
103쪽
altera est ab AB arcum,erit igitur GA linea Hoc igit modo ut diximus reliqua spa/minor quam sesquialtera ad lineam B A, sed tia replebutur. Nam uerbi gratia primum AG linea demonstrata est talium esse l. l. spacium, chordam arcus duorum gradinis. qualium diameter est Ἀο.linea igitur AB inuenimus per compositionem medii gra. maior est quam i. gradusa.minuta, re o. se dus ad unum,di dimidium demonstratam cundae,ad has enim sesquialteram habent per excessum autem qui est ad tres gradus, proportione i. 3 is particulae,quare quo- duorum cum dimidio graduum chorda daniam A G linea unum gradum subtendit.et hitur & similiter in caeteris: sed negotium maior ec minor eisde monstratur,ipsa quo derectis in circulo lineis sicut putoiacili, que habebit de talibus partibus i. . o. pro me pertractatum est,ueru ut paratas line xime qualium est diameter ino. Itaque quae rum quantitates cum opus fuerit) habeaa medium gradum subtendit ex istis, habe/ mus, tabulas qs. uersuum csimoditatis cautur inuenitur. habere proxime de sa subiicimus, quarum primae partes arcuuquantitates,mediae graduum ad auctorum continebunt. Secunda chordarum quanti lates arcubus accomodatas prout diame rer No. partium supponitur. Tertiae trigesimam chordarum in singulis semigraduum incrementis partem,ut unius quocpsexagesimi choi da latius habita facile pertinentes
usin ad 3 o. quantitates computemus.
Hic etiamsi error in scribedis tabulis accideret. facilis ei inquisitio Sc emendatio fiet, uel ex dupli arcus ad eum quem quaerimus chorda, uel ab excellu aliarum qias da
tae sint, uela residui ad semicirculum arcus
choida. Est aut tabularii descriptio haec. diametri partibus.
104쪽
108쪽
arcu quiest inter tropicor. cap. I i.
exposita, primo demonstrandu est, ut diximus,quantum obliquus circulus qui per medium signorum intel/ligitur ab squinoctiali declinat,id est,quam circulus, qui per utros dictorum circulo/rum Polos, maximus describis, proportio
nem habet ad eum arcum, qui est eius por/tio inter utrosque interiacens. Cui aequali
spatio equinoctiale punctum ab utroc, solstitiali distare perspicuu est. Hoc aut nobis organice huiusmodi simplici fabricatione
instrumeti comprehendet. Circulueiae reum magoitudine mediocre,exquisite tornatu oc superficie quadratii faciemus, quo pro meridiano utemur. Sed prius ipsum in 3σο. maximi circuli suppositas portioes di uidemus harum in singulas in quotcunque
partes possibile sit. V Deinde alterum sub/ristiorem circulum sic sub praedicto coapta/him ait eorum latera in una superficie maneant, circunducii sine impedimento mi hor circulus sub maiore ad septentrionempique meridiem in eadem superlicie possit. Redemus in duabus quibusvis diametraliter oppositis in minori circulo portioni
bus in altero laterum aequ3les paruasi re gulas,quae tum ad seipsas tum ad circulorucentru exquisite declinetur, apponemus bin medio latitudinis ipsorum tenues linguulas siue regulas quae maioris diui I iin circumii latus attingant. Quem tuto ad singulos usus coaptabimus, statuetesmin sereno sua per mediocre sustentaculiam in pauimento equali ad horizontis planiciem sustentacuit basim obseruabimus, ut circulorum pla nicies ad horizontis quidem planiciem re cta sit ad meridiani uero arquidis iam: quoarum primum perpendiculo inuenitur a puncto suturo in uertice suspenso, obseruat omdonec ex directione suppositorum adop/positum diametraliter punctum faciat de/clinationem. Alterum meridiana linea quae sub planitie sustentaculi est certo signo notata, circulis* obliquum circiisductis do. nec planities eorum aequi stare lineae perspiciatur. Ita igitur posito ad septentrione ecmeridie Solis accessum obseruabimus , i teriorem circula in meridiebus transferen tes quouset tota inferior regula a tota su/periori fuerit inumbrata quo facto extremitates linguarum nobis significabunt quot portionibus Solis centrum in meridiano auertice indies distabit. USed illa etiam cs
modiore obseruatione usi sumus. f Late/rem, pro circulis lapideum uel ligneu qua/dratum 5c inuolubilem in mediocri latituis dine atque altitudine, ut firmius manea fa/bricati sumus, qui alterum latus planu exa/cte ac extensum habet, in quo centrum ad unum angulorum coepimus, quartanalis circuli partem signauimus, conitinxinibis i lineas omnes a centro ad descriptum arcum, quae sub quarta circuli parte rectui angua Ium continet, ipsum se arcum in o o. simili/ter gradus divisimus. Post haec in unali γnea recta quae ad horizontis planitiem re. cta sutura erat, ec situm ad meridiem habi/tura duos rectos ec aequales undi* cylin/dros paruulos, similiter in tornatos coaptauimus. Alterum in ipso cetro in ipso medio exquisitissime alterum ad inferiorem lineae terminum. Erigentes descriptu hoe latus laterculi iuxta meridianam lineam in subiecta planitie ita protractum ut ipsam quoq; ad planitiem meridiani aequidistan/tem habeat situm 5c perpendiculo per cyalindrulos indeclinata rectat per ipsos ad horizontis planitiem lineam diligenter coprehendentes, suppositis quibusdam subfltilibus, quibus directio ut oportet fiebat factam a cylindrulo qui ad centrum est. Umγbra in meridiebus similiter obseruabamus, nonnihil ad descriptam circumserentia ut
cereius locus ipsius teneretur apponentes.
Hui'umbrae medio signato portione aresin ipsa cir uti parte coepim', quae portio Solis progressum secundum latitudine in meridiano significauit, his obseruationib' ae maxime illis quas in multis annis in ipsis solstitialibus diebus examinavimus. Cum designatio sempera puncto uerticis inter cipiat aequales, eas deni in meridiani circuli partes tam in hyemalibus quam in aestiuis solstit is comprehendimus arcum,qui est a boreali extremo termino ad australem si militer ultimu inter tropicos graduum senuper esse r.5c portionis maioris qtadd duabus tertiis, minotis uero quam medietate smul Sc quarta, unde eadem ferme portio nobis collecta est ei, quam Eratosthenes reperit, quam Hiparchus etiam usus est . Nam circunterentia quae inter solstitialia puncta est ii .proxime talium portionum fit qualium est me
109쪽
portio ergo si A lineae ad A E composita est exproportionibus linearum G D ad D FecF v ad B E quod erat demonstrandum. α
Ab hac praeposita obseruatione habita
rima quom declinationes in quibuscunq; obseruationes fiant facile inueniunt.Si coeperimus tum punctum quod inter duos terminos in ipso aequinoctiali necetiario sit, tum arcum qui inter hoc oc punctum uer/ticis est,cui arcus scilicet est ille quo poli distant ab horizonte. Theoremata sis asstheris demonstrationes praemittit araei ipsis rasectoris fl)haericvi cap. tali., Unc tam sequatur ut particula' l res magnitudines eorum arcitat ut demonstremus, qui inter aequino 1 ctialem & circulum, qui perme
cium signorum est interiacent, circulorum illorum, qui maximi per polos aequino ctialis designantur, pauca breuiter utili assitheoremata prsponemus, quibus plurimas pene demonstrationes eorum quae sphaeriis in considerant, quam simplicis lime at* artificiosissime faciemus. Protrahamus ergo duas lineas AB dc A G. duae 3 lines u E 5c
G Dprotracts altera alteram in puncto F secent. Dico quod G A lineae ad D E linea proportio componitur ex proportionibus GDMD F&F Bad B E. protrahat enim a puncto E linea A I aequi distans lineae G D . Clim ergo aequidistantes G D5 Ei lineae sint,proportio G A lineae ad E A lineam, eademestproportioni G Dad E t. Desoris autem F D. Proportio igitur G Dad E I linea composita est ex proportione G D ad D FecD F ad E i. Quare proportio etiam lis nes G A ad A E composita inobroportionibus linearum G D ad D F ec D p ad i E.
Est autem etiam proportio lineae D F ad i
v Eodem modo demonstrabitur. Quia tiam diuidendo proportio G E lineae ad E alineam componitur ex proportionibus cir ad F D & D B ad B 'ductae puncto A is quidistante ad lineam Elo producta paci
ipsam linea GDI. Rursum enim quom am A i ec E F aequid istantes sunt, erit sicut G E ad E A. sie G F ad F I, sed FD assumpta deforis, erit GF iineae proportio ad F I, mposita ex proportionibus linearu G F ad so*D F ad F l.Est autem proportio D F ad I F eadem proportioni D B ad B A, quoniain A i re F s aequidistantes lineas a A re Et lines inciderunt. Quare proportio linis GF ad F l ex proportionibus linearum GH ad D p & D E ad B A composita est. Sed proportioni G F Iineae ad F i eadem est proportio lineaeG E ad E A, erit ergo proportio iones G Ead E R,composita ex proportioniabus linearum G Fad F Dec o B ad a A,quoaerat demonstrandum.
110쪽
Sit rursum circulus ABGeuius centrum D, Ac accipiantur quaevis tria puncta in ciracuniarentia eius, sintq; ipsa A B G, ita tameut utero arcus AB oc B G minor semicirculo sit Quod in accipiendis etiam deinceps arcubus similiter erit intelligendum, pro trahanturq; A G 5c D E B lineae, dico quod sicut se habet quae duplum arcus A B subtedit ad eam quae subtendit duplu arcus A B G, sic se habet A E linea ad E G lineam. Desu cantur ei A F dc G I perpendiculares a puctis A N G ad D B lineam. uoniam ergo
A F oc a I aequidi states sunt,oc in ipsas AEGiinea incidit, sic est A F ad Gi sicut A E ad E G.Sed proportio A F ad G I eadem est proportioni lineae quae est sub arcu duplo A uPartis circunferen tae,ad ea quae est sub dum plo B G.Dimidia enim est utra in utriusque, uare proportio etiam A E Iineae ad E G ea
em est proportioni eius quae est sub dupi oipsius arcus A B ad eandem quae est sub du/plo B G,quod erat demonstrandum.
Hine sequitur si A G totus arcus 8c pro portio chordae quae est subduplo ipsius A Bad eam quae est sub duplo arcus B G dabuntur, uter arcus etiam AB&BG dabitur.
Eadem enim descriptione proposita, con iungatur A D eca putristo D perpendiculas in D F ad A E G lineam deducatur. Quod ergo AG arcu dato angulus eorum A D F,
quo medietas eius subtenditur datus erit,
5 ipse totus triangulus A n F manifestus est. Quoniam A G tota linea data,supposiatum est,proportionem A E ad E G eandem esse proportioni duplicis chordae arcus AB ad duplicem chordam arcus B G. Quapropter data etiam D F, angulus quoq; E DForthogonii trianguli E D F elabitur, totus e tia angulas A D B similiter, quare AB quoque arcus dabitur,oc reliquus B G similiter. i Sit rursum circulus ABG super centrum D, accipianturq; in circunferentia eius puncta tria quae sint A,B, G, ita ut uterin arcus AB A G minor sit semicirculo, quod similiter o de arcubus deinceps accipiendis intelligendum est, postea DASG B ducite. protrahantur quo usq; coincidant in puncto E. Dico quia sicut se sabet chorda quae subintendit dupla arcus: G A ad eam quae est subduplo arcus AB, sic se habet linea G E ad E B. Nam si ut in praecedentia punctis B ct G perpendiculares B F 8c G i ad lineam DA deduxerimus qui aequidistantes simi,erit sicuti G i ad B p si e G E ad E B. Quare sicut se habet quae est sub duplo arcus G A ad ea quae duplum A B arcus subtendit, sic se la bet E G ad G E. H:ne etiam sequitur quia si solus G B araciis dabitur, proportio cli ordae, quae du/plum arcus G A subtendit ad eam quae subtendit duplum arcus A B data fuerit, dabiγtur etiam A B arcus. in simili enim descriptione si D B coniungatur,& D F perpen
diculariter ad G B lineam deducatur, erit uD F angulus, quo medietas B G arcus subatenditur datus, quare totus quoque triam gulus orthogonius B D F.Et quonia proportio etia lineae G E ad E B data est, ii super G B linea,dabitur etiam E B,&tota insuper E B F, quare cuhi D F etiam data sit dabuntur similiter tam angulus E D F eiusdem orthogoni j,qua reliquus angulus E DB, quare arcus etiam A B datus erit. His
praemisi is describantur in spliaerica supersi .cie maximorum arcus circulorum, ita ut in