장음표시 사용
61쪽
vero fracti numeri habeant diuersum denominatorem, tunc prilla per
problema 3. capitis 6. reducendi sunt ad alios numeros, prioribus aequi ualentes, qui habeant eumdem, siue communem denominatorem ; haec reductio ad communem denomiratorem necessaria est, ut haberi possit simplex numerus , aequi ualens datis duobus numeris e simplex enim numerus non nisi unius speciei unitates indi cat , de per unius speciei unitates, Exempli Gratia in moneta Romana, in qua unum scutum, aequi ualet io Iuliis γ per Iuli Tum unitates , exprimi non potest numerus, qui indicet aggregatum ex quatuor scutis & s ivlijs et nisi prius scuta reducantur adtulios: quandoquidem scuta plus , tuli Is . non constituant summam aequi ualentem se ivliis ; quia tamen ψ scuta , aequi ualent Oiuliis: adeoque scuta reducta ad iulios constituunt o tutiosa etiam 4 scuta plus 1'iuliis , producunt 4s ivlios: eritque verum , quod aggregatum ex 4 scutis & s tuli is , aequetur,sive aequi ualeat,
que ivliis: & simplex numerus 4s ivliorum , indicabit aliquid aequi- ualens aggregato ex scutis di 3 iuliis. De Subtractione numerorum fractorum vulgarium. VT inueniatur productum quod oritur ex Subtractione, in qua
minor numerus, aufertur ex maiori numero, quando uterque vulgaris est . atque unus ex illis duobus numeris est fractus. Primo , si singuli dati numeri non habeant communem denominatorem, prius per problema 3. capitis 6. reducantur ad alios numeros, habentes communem denominatorem. Quo facto, numerator noui inferioris numeri, subtractus ex numeratore noui superioris num ri , dabit nouum numeratorem et qui cum communi denominatore constituet productum propositae subtractionis . Exempli Gratia, numerus 't subtrahendus sit ex numero te hos numeros reducendo ad alios, qui communem denominatorem haheant: pro dato superiori numero φ, habebitur nouus superior numerus ἰζ: & pro dato inferiori numero ε , habebitur nouus inferior
numerus'. Deinde noui atque inferioris numeri, numerator a subtractus , ex noui atque superioris numeri numeratore 2I, pr ducit it quare numerus productus ex proposita subtractione , eriti: adeoqi e verum erit, quod ' minu, h, producant . Similiter,si ex integro numero η , subtrahi debeat fractus numerus 3; hos numeros reducendo ad alios, qui communem denominatorem habeant 2 pro dato superiori numero ,habebitur nouus superior numerus di pro dato inseriori numero et, habebitur idem numerus
62쪽
Caput VII. De fractis numeris sy
inferior, nimirum numerus 3. Deinde noui, atque inferioris numeri, numerator 3 et subtractus ex noui , atque superioris numeri numeratore zot producit II; quare, numerus productus ex Pr posita subtractione, erit . Quemadmodum paulo ante cirea additionem, ita hie circa se tractionem utile erit resectere: quod pro subtractione numerorum integrorum valgarium, praecise requiratur, atque itisticiat subtractio numeratorum , manente eodem.siue communi denominatore,
aut in omnibus integris numeris est unitas ; de similiter pro subtra-ione numerorum fractorum vulgarium , praecise requiritur, Sc su Aficit, subtractio numeratorum, manente communi denominatore zquoties dati . numeri fracti habent communem denominatorems .
Quoties vero dati fracti numeri non habent denominatorem communem , prius per problema r cap. 6 reducendi sunt ad alios numeros prioribus aequivalentes,qui habeant denominatorem commu nem : quandoquidem vulgaris Arithmetica non tradat praxim in qua immediate subtrahatur numerus aliquis unius speciei ex alterius speciei numero.
De Maltiplicatu ne numerorum fractorum Uulgarium. VT inueniatur prodii ct uia, quod oritur ex multiplicatione dii
rum numerorum , quando uterque ex illis numeris vulgaris est, atque ex duobus , saltem unus est fractus. Primo numerat res datorum numerorum multiplicati, dant nouum numeratorem ἔ& etiam denominatores multiplicati dant nouum denominatorem Idenique nouus numerator cum nouo denominatore, constituit productum ex proposita mu tiplicatione. Exen pli Gratia, numerus ducendus sit in numerum 3; numerator ductus in numeratorem 3 , dabit nouum numeratorem Izz& etiam denominator 7, ductus in denominatorem s , dabit nouum denominatorem 33; quare numerus erit producium propositae multiplicationis , adeoque verum erit, quod numerus ε ductus innume rum :, producat : . Similiter, si integer numerus 4 ducendus sit in integrum numerum I , numerator integri numeri propositi, qui est A, ductus in numeratorem fracti numeri qui est 3 , dabit novum numeratorem Ia z de propositi integri numeri denominator,
qui est i , ductus in propositi fracti numeri denominatorem, qui est I , dabit nouum denominatorem adeoque productum ex propo-
63쪽
sita multiplicatione, erit numerus ue quare verum erit , quod numerus 4 ductus in numerum , producat .
Ad pleniorem propositae multiplicationis intelligentiam , utilo
erit reflectere ad definitionem multiplicationis omnibus vulgaribus numeris communem, quam definitionem habes capite q. ubi etiam monuimus; pro multiplicatione nihil referre , an dati numeri sint
eiusdem , vel diuersae speciei; quae causa est , quod pro tradita hic multiplicatione, non requiratur problema I. capitis 6. additioni atque subtractioni inseruiens. De Diuisione numerorum fractorum Uulgarium. VT inueniatur productum ex diuisione duorum numerorum
vulgarium , quorum aliquis sit fractus numerus . Primo absumatur nouus numerus , qui pro numeratore habeat denominatorem diuisoris dati, atque pro denominatore habeat numeratorem diuisoris dati et siue, quod idem est , diuisor in uertatur. De Indo inueniatur productum ex numero diuidendo ducto in nouum atque
assumptum numerum; sic enim habebis productum propositae diuisionis .
Exempli Gratia, numerus diuidendus sit, per numerum 3. Primo numerus assumendus eriti; deinde quia productum ex numero ducto in i, est numerus 'οῦ etiam productum propositae diuisionis, erita: atque adeo verum erit, quod numerus; diuisus per numerum I, producat Similiter, si integer numerus diuiden.dus sit per: et numerus assumendus erit I; deinde quia productum ex numero q ducto in t est numerus ': etiam productu in propostae diuisionis, erit ut adeoque verum erit, quod diuisum per 3, producat φ. Pari modo si numerus : diuidendus sit per numerum qrnumerus assumendus erit :: Ae productum ex numero i ducto in I, producit a ; quare numerus Τ diuisus per numerum in , producit Praecedentes praxes additionis, subtractionis, & multiplicationis, numerorum vulgarium fractorum , satis immediatὰ patent ex ipsis definitionibus: praxis hic allata pro diuisione , non immediate patet ex diuisionis definitione 3 inanio satis disticilis est, sed tamen non dissiculter deducitur ex ijs, quae idea Logisticae demonstrata sunt, ex quibus breuiter, sed Logiitico discursu demonst ratam exhibeo praedictam praxim . Qua
64쪽
Cap. VII. De fractis numeris s
Qualescunque numeros repraesentent litterae Λ, B, C, D. Dico I D sinc '
Coastructio. Littera E,repraesentet productum ex A C demonstratio. Per constructionem v per a m E;
ergo , per axioma 3 partis 4. Ideae Logisticη, , is sed, per theor. a. partis 4. Ideae Logisticae, E in m Erergo Em et atqui per eonstructionem, etiam - ρον
Ei ergo peν--ἰη ς . Quod erae demonstrandum.
R Q se q*m bis proponimur, ab expositoribus practica, atque
vulgaris inithmetica , appellatur aurea οῦ propter eximios, ermaxim8 utiles usus quos habet 3 aliter etiam appellatuν regula trium; vel regula proportionum; quia ea tribus datis numeris, doces in uenire quartum proponionalem.
Exempli gratia, supposito quod dati, siue propositi sint tres numeri s
uorum primus sit A, secundus B, tertius C, docet regula aurea inuenire Darιum numerum o , ita ut numerus tertim C. ad quartam umerum
65쪽
D, habeat eam 4 proportionem , quam babet primus numerus Α, ad secundum numerνm B . Vbi aduertendum, quods productum ex primo numero A, ducto in quartum numerum D, sit aequale producto ex fecuudo namero S , ducto in terti m numerum C ; etiam tertias nAmerus C, ad uartum numerum D , habebis eamdem proporticnem quam primus num rus A, habet ad secundum nhmeram S. Verum si productum ex primo numero A, ducto in quartum numerum D , non sit aequale producto ex secundo numero B , dacto in tertiam numerum C; tunc tertius numerus C,
ad quartum namertim D , non habebit eamdem proportionem quam primvs numerus A, habet ad secundam numerum B, quod bie notasse satis erit, pro sincienti intelligentia, o vis regula aurea quam proponimus; sequidem ex allata productorsem aequalitate ιGallibiliter inseratur propo tionum identitas, siue aequalitas, quae per regulam auream inquiritur .
Exponere quid sit duas proportiones esse easdem, siue aequales di ei se est, o legitime exponi non potest : nis praemissa legitima definitione propo rionis ; quandoquidem intelligi non pest , quid sit duas proportiones inter se aequari: nisi intelligatur , quid sit proportio ; iam ver) ne quidem apud eos qui tractant de speculatiua Arithmetica, subsicienter declar rum inuenio quid sit illud , quod per vocem proportio intelligendum Mapud Arithmeticost atque adeo, saltem ego non percipio, quomodo dici ρο t legitime exponere, quid si enua proportiones esse easdem, vel aquales . Hac de re, qui plura desiderat, consilere poteris partem quartam
Ideae Legistica Vt ex datis tribus numeris, quorum primus sit A , secundus B .
tertius C , inueniatur quartus proportionalis numerus D et atque ita absoluatur regula aurea, de qua hic agitur. Primo, secundus numerus B, ducatur in tertium numerum C . Deinde ex hac multiplica.tione inum tum productum , diuisum per Primum numerum Λ, d bit quartum numerum D, quaesitum.
Exempli gratia, supposito quod primus numerus A sit et, secundus numerus B sit 3 , tertius numerus C sit 6: secundum numerum 3 ducendo in tertium numerum 6: habebitur productum 3o: quod productum diuidendo per primum numerum 2, habebitar numerus Is et qui erit quartus proportionalis quaesitus, siue inueniendus per
regulam auream; eritque verum: quod tertius numerus 6, ad in-Nentum quartum numerum I , habeat eamdem Proportionem , quam primus numerus a, habet ad secundum numerum set quod verum esse, legitime inferes ex eo quod primus numerus a , ductus in quartum numerum is, producat 3o . & etiam secundus numerus 3 , ductus in tertium numerum 6, producat 3 O.
Prasertim pro quaestionibus practicis, quae mediante regula aurea
66쪽
Cap. VIII. De Regula aurea. S9
rea soluuntur, aduertendum est et suo inde non satis apparere quis ex datis , siue propositis tribus numeris , dici debeat primus, secun .dus, aut tertius: qΗod tamen necesse est , pro usu regulae aureae. Vt igitur hoc cogno catur, ex ipsa quaestione Piactica quae proponi. tur, iuuabunt subsequentes reflexiones. Reflexio prima. In quatris practica quaestione quae mediante regula aurea soluitur, proponuntur tres numeri; ex quibus duo sunt . eiusdem speciei, reliquus specie conuenit cum numero inueniendo. Deinde , ex datis duobus numeris qui sunt eiusdem speciei unus habet annexam quaestionem, alter non habet annexam quaestionem.
Exempli gratia, semper aequali velocitate ambulando, 3 horis conficio et milliaria; ir horis quot milliariaria conficiam ' in proposita quaestione agitur de quatuor numeris, ex quibus tres numeri cogniti sunt, atque proponuntur in ipsa quaestione; quartus inue. niendus est: atque de illo quaeritur in quaestione . Praeterea , ex tribus numeris datis, siue propositis in quaestione: duo indicant horas quibus iter conficitur: & sunt numeri eiusdem speciei; re. liquus indicat milliaria consecta, & specie conuenit cum numero, de quo quaeritur. Iam vero, ex duobus eiusdem speciei numeris: propositis, ac datis, unus, Ia , horas indicans , habet annexami quaestionem: quaeritur enim de milliaribus conficiendis ii horis ;. alter, 3 horas indicans, non habet annexam quaestionem: quia i non quaeritur de milliaribus conficiendis 3 horis ; quare in proposita quaestione, numerus 3 horarum , & numerus I a horarum, sunt' numeri dati siue propositi atque eiusdem speciei: & numerus 7 mili liariorum , specie conuenit cum numero de quo quaeritur. Denique . numerus It horarum , habet annexam quaestionem: & numerus. 3 horarum , non habet annexam quaestionem. Idem accidit in re- . liquis quaestionibus quae soluuntur mediante regula aurea. . Reflexio secunda . In quaestionibus practicis quae soluuntur me- . diante regula aurea, possunt occurrere duo casus inter se diuersi. i Primus casus est, quando incrementum numeri habentis annexam quaestionem, requirit incrementum numeri quaesiti. Secundus ca. sus est . quando incrementum numeri habentis annexam quaestionem requirit decrementum numeri quaesiti. Aa quem ex his duobus casibus pertineat quaevis proposita quaestio per regulam auream soluenda , ex ipsius quaestionis consideratione satis commode insertur. Exempli gratia propositae sint duae quaestiones; prima se illa quae in praecedenti reflexione , pro exemplo proposita est . Secunda quaestio sit, 3 homines 7 diebus consumunt au nonam, I a I, homines quot diebus annonam consument i In prima quaellioni,
67쪽
numerus Ia horarum, est ille, qui annexam habet quaestionem: &numerus milliariorum conficiendorum est ille de quo quaeritur;quo niam vero caeteris paribus manifestum est, pluribus horis plura milliaria confici: etiam patet, quod crescente numero Iahorarum, debeat crescere numerus milliariorum conficiendorum : adeoqu primam quaestionem pertinere ad primum casu in . In secunda quaesione , numerus ia hominum, habet annexam quaestionem: & nu merus dierum quibus annona consumitur, est numerus de quo quἴ-ritur; quoniam vero, caeteris paribus naanifestum est, a pluribus hominibus, paucioribus diebus annonam contini: etiam patet , quod crescente numero ra hominum , debeat decrescere numeruS dierum quibus annona consumitur; adeoque secuta dam quaestionem pertinere ad secundum casum . . 1 e sexto tertia. Vt sciatur , quis ex tribus numeris datis in a' i. qua practica quaestione , quae mediante regula aurea soluitur, de-heat dici primus, vel secundus , vel tertius. Primo aduertendia aest , ad quem ex duobus casibus in secunda reflexione propositis pertineat quaestio; etenim si quillio pertineat ad primum casum , prImus numerus erit ille ex datis duobus eiusdem speciei numeris, qui non habet annexam quaestionem : verum si quaestio pertineat ad
secundum casum , primus numerus erit ille ex uatis duobus numeris eiusdem speciei, qui annexam habet quaestionem . Deinde cognitoqiiis ex datis tribus numeris primus appelletur , liberum est , ex reliquis duobus unum pro libitu secundum, & alterum tertium
appellare. Exempli gratia, quaestio prima paulo ante proposita , pertinet ad primum casum: duo numeri eiusdem speciei, in ista quaestione propositi, sunt 3 horae, & Ia horae : atque ex li s duobus numeris eiusdem speciei, numerus 3 horarum, non habet annexam quaestionem, qui propterea primus erit; reliqui numeri in quaestione propositi sunt 7 milliatia ,& Ia horae: eritque liberum, numerum 7 milliariorum secundum dicere , & numerum Ia horarum tertium appellare; vel certe numerum i 2 horarum vocare secundum di numerum 7 hominuta licere tertium. Similiter quia secunda quς-nio paulo ante proposita pertinet ad secundum casum: ex datis duobus numeris eius lem speciei,quoru unus, homines,alter la L mines indicat: numerus ia homi unm annexam habens quaestionem: primus erit: & liberum est numerum 7dierum dicere secundum,atque
numerum 3 hominum vocare tertium: vel certe numerum 3 hominum secundum , ct numerum 7 dierum tertium appellare . Non ignoto apud scriptores Arithmeticae practicae usu receptam esse, regulae aurae distinctionem; in directam , Ac euersam : hanc di
68쪽
Cap. VIII. De regula aurea 6 I
stinctionem negl xi, ut inutilem pro nos ira methodo ; in qua regu la aurea debcret dici directa, quando primus numerus hoc est numerus per quem multiplicationis productum diuidendum est,non habet annexam quaestionem I euersa clici deberet , quando primus numerus , sue numerus per quem multiplicationis productum di. uidendum est , habet annexam quaestionem , verum commodius vi, detur , in diuersis casibus diuersum ex tribus datis numeris primum appellando,praescribere,ut semper productum ex multiplicatione secundi , & tertiJ numeri, per primum diuidatur : quam pro diuersis illis casibus, subdiuidere regulam auream,m directam, & euersam, atque pro singulis veluti diuersam solutionem asserre .
Demoliratio regulae aureae, immediate patet ex theoremate I .par - .
tis A. ideae logi ilics , ex quo theoremate ctiam constat duplex alius modus instituendi regulam auream : primus est, secundum numerum prius diuidere per primum , atque huius diuisionis productum
ducere in tertium numerum. Secundus modus est , tertium numerum prius diuidere per primum , atque huius diuisionis productu inducere in secundum numerum . Verum hi duo modi subinde minus commodi sunt pro praxi; utriusque tamen modi breue exemplum propono, supponendo ex datis tribus numeris primum esse ψ : secundum esse g: tertium esse I 2:hoc posito, iuxta expositam prius regulam auream,s ducendo in Ia producitur95:qui numerus diuisus pero producit et : adeoque quartus numerus inuentus erit 2 . Iuxta primum modum hic insim ratum, numerum 8 diuidendo per 4 producitur numerus 2 . qui ductus in i 2 producit a adeoque iterum numerus inuentus erit aq. Iuxta secundum modum hic insinuatum numerum Ir diuidcndo per ψ , producitur numerus 3 r qui ductus in numerum 8 , producit a 2 quare rursus, ut prius numerus inuentus erit a . Ex proposito exemplo apparet: semper eumdem num e rum produci, siue modo prius proposito, siue aliquo ex duobus modis hic insinuatis instituatur regula aurea: idem verum esse in quibusvis aliis numeris, praxis docere podest; quare veru sit,docet supra citat ii theorema: in quouniuersaliter demostratur, de quibuslibet numeris veru esse,quod hic in uno exuplo verum esse declarauimus . Noa erit inutile hic notare circa tres numeros datos pro regula aurea tres casus diuellas posse occurrere; ptimus est quando ex da tis tribus numeri, primus est unitas si riplex; secundus est quando ex datis tribus numeris secundus,vel tertius est unitas simplex t tertius casus est quando nullus ex datis tribus numeris est unitas simplex ,
In primo casu pro regula aurea nihil requiritur praeter multiplica.tionem. In secundo casu nihil requiritur praeter diuisionem . In tartio
69쪽
tertio casu requiritur multiplicatio, &diuisito. Hinc, quam verum est, regulam auream insiluere, aut adhibere, nihil aliud esse, quam datis tribus nutrieris quartum proportialem inuenire: tam vere dici posset, unum numerum in alterum ducere , nihil aliud esse, quam datis tribus numeris quorum primus sit unitas reliqui duo sint qui proponuntur pro multiplicatione) inuenire quartum proporti natem . Similiter cici posset, unum numerum per alterum diuidere,
nihil aliud esse . quam datis tribus numeris quorum secundus , vel tertius est unitas, & reliqui duo sint illi qui proponuntur pro diuisone inuenire quartum proportionalem, Ex quo tandem licebit inferre nullam praxim esse possibilem, quae issiciat, ut datis quibuslibet tribus numeris, inueniatur quartus proportionalis: &tamen non lassiciat ad inueniendum pioduehim, quod per multiplicationem , aut diuisioncm, oritur ex quibuslibet duobus nurne.
70쪽
N superioribus eapitibus expoisimus eam partem practicae, atque vulgaris Arithmetica, quam in scribenda Logistica aliunde eognitam supposuimus; quare transeo ad alteram prasentis opusculi parteminin qua nobis Henradum es, quo- . N πο exposta vulgaris O pra Hea Arithmetica, eonueniatem Arithmetiea practica extin is in primo libro nostrae Logifica οῦ vel certe ab illa differar: quod te claritio atque intelligibitius propoηam, pra forem materiam diuido in varias reflexiones ; ut sie commodius , atque per portes ostendam et Logistica nostra rameam Arithmeticam, nihil aliud se, quam Arithmetieam vulgarem quodammodo ampliatam, atque re ductam ad maiorem υniuersalitatem : ct propemodum singula, qua practiaca ηοstra cogisstea propria sunt , deri nari ab ijs, qua usu recepta seu muntur in vulgari, practica Arithmetica, superius declarata.
Quema modum vulgaris Arithmetica, ita etiam Logistica
Practica, quatuor operationibus innititur: di tota consistit in vario usu istarum operationum. Praeterea, fere eadem sunt,praecipua capita,quibus continetur, tum vulgatis, tum Logisticae nostrae Arithmetica practica. Non nego,radicum extractionem ita eonsiderari posse,uteonsti uiuat operationemArithmeti 1 diuersam a diuisione immo quia hoc