장음표시 사용
81쪽
In Dperbola quadrata femisydinatarum ad axim magis trescunι in recessu a vertice, quam augeamur eorrespondentes abscissa. 213. Videlicet quadratum semiordinatae DC in hyperbola CAB magis superat quadratum semio dinatae ab , quam abscissa ΑD excedat abscissam Ra. Cum enim quadratum semiordinatu DC sit aequale rectangulo ADPe,3e quadratum semiordinatae ab rectangulo Aati, excessus quadrati semioris dinatae DC supra quadratum semiordinatae ab erit aequalis exeessui rectanguli ADPe supra rectangulum A ad x. Rectangulum autem ADPe magis superat rectangulum A ad x, qua in rectangulum ADOF excedat rectangulum Rab F. Ergo quadratum quoque se ordinatae DC magis superabit quadra. tum semiordinatae ab , quam rectangulum ADOF excedat rectangulum AabF. Constat autem, abscissam AD ita excedere abscissam A a, quemadmoclum rectangulum ADOF excedit rectangulum RabFι cum abscissa AD sit ad abscissam Aa, ut rectangulum ADOF ad rectangulum ΑabF Lib. IX. I. 99. . Ergo quadratum semiordinatae DC imgis quoque superabit quadratum s mi ordinatae ab , quam abscissa AD abscissam Ras adeoque &e.
figuram planam curva linea in se minιme redeunte eomprehensam , in qua semiordinatarum ad axim quadrata magis crescunt in recesu a υertice, quam augeantur correspondentes abscissa.
In Dperbola quaevis femiordinata ad axim est media pνoportionalis inter abscissam , σ rectam sibi correspondentem, contentam inter axιm, ct rectam hyperbolae directricem. 1 f. Semi ordinata nimirum ab ad axim AD in hyperbola CAB est media proportionalis inter abscissam Aa, &. rectam a d. Cum enim quadratum rectae ab sit aequale rectangulo ex Aa in ad fg. 2 7. 3 erit -Aa. ab . ad c Lib. IX. s. II S. . THEO.
82쪽
In hyperbola cta B, euius axis su recta AD, parameter AG subdirectrix M, si produeatiar semiordinata ba usque ad subdirectricem , quadratum ipsius ba erit duplum trapezii V y a A. 6. Producta usque ad directricem EH ipsa semiordinatR irae, ex veristice Λ ad extremum V agatur recta AU.
C. ncidit eum ea, qua β. 9 I. ostensum est, quadratum semiordinatae bain ellipsi ABCD csg. i 8. Tab. XIII. duplum esse trapeZli AbTN. Eodem quippe ratioe inici demonstrabitur traperium NyaΑ in hyperbola CAB aequa. le triangulo UAa, adeoque subduplum rectanguli ex Α a in aV, cui quadratum semiordinatae ab est aequale I. xi . , quo in ellipsi ABCD d monstratum suit, trapezium AbtN aequire triangulum bAe. Itaque in h3, Perbola die. quod erat ostendendum.
Si is Dperbola BAc, erius axis transversus sit recta EA , para. meter recta AG , subdirectrix recta semiordinata ad axim ecta ab , fiat, ut recta ea ad femiordinatam ab , ita ipsa semi, ordinata ab rectam aF eompositam ex abscissa a , ct ex segmento AF axis transversi, recta Fb ducta ex puncto F ad extremum b ipsius semiordinata, erit tangens huerbolam in ipso puncto b. 22 . In recta Fb sumatur quodvis punctum d diversum a puncto b, ex quo ad axim AP agatur recta semiordinata dn, quae occurrat subdirectrici Μὶ in puncto R, & jungantur puncta F , e recta Fe .
Diversa non est ab illa, qua g. s . demonstravimus, rectam LF tangere ellipsim ABCD in puncto F sfig. r. Tab. XIV. si fuerit - MN. NF. NLωUt enim in ellipsi ABCD quadeatum rectar NF est duplum trianguli MLN, ita in hyperbola BAC quadratum rectae ab erit duplum trianguli e Fas
Cumque quadratum rectae ab , si etiam duplum trapeati NeaA cs. 226. , triangulum e Fa aequabit trapezium NeaA; N ideo sublato eommuni tra-Pezlo exAa, reliquum triangulum xFΑ erit aequale reliquo triangulo Nexιες proinde scuti triangulum Nex est maius trapetio ita eodem
83쪽
trapezio maius erit triangulum xFA,&si utrique adjiciatur trapeZium Tyn A, triangulum I Fn majus erit traperio Naen Α. Quadratum autem semior. dinatae nm est duplum trapeati Nin Α,& quadratum rectae nd est duplum trianguli 3Fn 3 eum sit aequale rectangulo ex Iu in nF propter analogiam In . ud mend. ηF β. 93.), ex eo quod positum fuerit ea. a b ab . a P. Ergo quadratum semiordinatae nm erit ad trapezium Naen Α, ut est quadratum rectae n d ad triangulum Fn, atque adeo sicuti trapezium Naen Adeseit a triangulo IFn, ita quadratum rectae um deficiet a quadrato rectae ud ι Ac ideo recta um erit minor recta n d, seu punctum d erit extra curvam hyperbolicam BAC, eademque ratione extra eandem curvam erunt
reliqua omnla puncta rectar Fb a puncto b diversa. Itaque recta Fb tangit hyperbolam in puncto b c s. I9. . Si ergo in hyperbola &e. quod erat &cia CD OLLAR BM I. Recta tangens hyperbolam , in uno tantum puncto ipsam tangit. 128. Id enim necessario. sequitur ex eo, quod punctum , dumtaxat sierecta Fb L & curvae hyperbolicae BAC commune. COROLLARIuM II. xx s. Si fiat Padimae, & dueatur recta Pb, haec erit tangenti Fb perpem dieularis. Quippe, eum stante hypothesi habeatur Pa. ab . aF, angulusPbF erit rectus, sive triangulum PbF erit rectangulum Lib. IX. s. 7 . .
DEFINITro XII L, 3 o. Quemadmodbm in ellipsi, & in parabola, ita in hyperbola BAC
recta P b dicitur normalis tangenti Fb, recta a P subnormalis, re recta a Ffubtangens.
3 i. In hyperbola BAC semipara meter NA est ad subnormalem aP, ut est semiaxis transversus M A ad rectam Μa compositam ex semiaxe MA, R ex abscissa Aa. Cum enim rectae Na, . ea sint parallelae s. 21. , erit NΑ. ea - MA. Ma Lib. IX. g. 39. ι adeoque NA. aBz ΜΛ. , propter aequalitatem scilicet duarum N, es.
ba, usque ad directricem ΕΗ directe producatur, subtangens Fa erit ad abscissam Aa, ut est recta aH ad rectam ae . Etenim, ex eo quod sit ea. ab . a F, rectangulum ea a F erit aequale quadrato mediae ab cst M. Ei
84쪽
233. Hinc rectae FH, Ae erunt inter se parallelae i. g. recta FHhisariam dividet parametrum G Α, seu transibit per punctum N, in quo parameter secatur a subdirectrice M . Rectae namque GN , NΑ sunt m quales inter se, utpote aequales eidem He t. Lib. ι Cum utrumque quadra laterum GHeN , NHeΑ, ut in ellipsi demonstravimus , sit paratim logrammum. COROLLARIUM VI. 236. Erit ergo , ut in ellipsi , ita in hyperbola semiaxis transversus NA media proportionalis inter rectas Ma , MF Quandoquidem ob parat. letismum rectarum NF,eΑ in triangulo eMA habetur Me. MN - ΜΑ. MF Lib. IX. s 1 , & in triangulo eria haud dissimili ratione Ma. MA- Me. ΜN. Ergo erit Ma. ΜΛ - ΜΑ. MF Lib. L s. 76. .
23s. Punctum F propterea, in quo axis transversus ΕΑ hyperbolae seeatur a angente, infra centrum M perpetuo reperitur. Enimvero, cum sit. Na. MA ΣΜΑ. MF, scuti recta Ma semper excedit rectam MA, ita recta MΑ maior semper erit recta MF s. 6 . .
236. Rursus etiam in hyperbola erit Ea. Aa - ΕF. FΑ. Perspicuum squidem est, esse G. LM-Fa, FΑ ι eum utraque liuiusmodi ratio sit aequalis rationi, quam habet recta H.r ad rectam He propter parallelismum rectarum HE, eΜ in triangulo Hasi , & rectarum H F, e A in triangulo Ha F. Haud dissi initi quoque ratione habetur EM . EF m Aa . Fa , quod nempe utraque illa ratio adaequet rationem rectae H N ad rectam H F, stan te parallelismo rectarum HE,NΜ in triangulo H FE , ' recta, im Ha,NA in triangulo HFa Igitur constitui possunt duae series magnitudinum perturbatam Proportionem habentium , n mirum L a. LM . EFA a . Pa . F ΑErgo erit G. EF - Αa. FΑ cf. I 8i sic ideo La. A mrL F. FΛ ras. λ
85쪽
ierali bR, erit Rb. Tb RF. FT. Similia siquidem sunt triangula R E, FAT, utpote aequi angula, ratione parallelismi rectarum tangentium RE , AT Igitur erit RF. FT EF .FA s Lib.IX. g. 67. . Producta autem iecta AT in V, habetur Rb. T- . g 18 , quod in triangulo RbE rectae RE , TU sint parallelae. Eandem autem ob causam constat, in triangulo a Lb esse Eb. bV- .a A. Ergo erit Kb Tl Ea .aA Lib. I. g. 76 J. Demonstravimus autem , esse RF. FT EF. FA,scuti etiam Ea. a A EF. FA sy 236. . Tr.
go erit quoque Rb . G RF. FT Lib. I. s. 76. . THEO REM A UL
Si ex centro Dperbolarum oppositarum aqualium, o si lium ad extrema ex adverso posita aquatium sentiordinatarum ad axim dueantur duarecta lιnea, ista aequalet erant inter se, σ in directum posita. Sint duae hyperbolae oppostae BAC, DLF libi mutuo smiles,& aequales, Fig. io. in Parum Cenim o ad extrema e X ad vel so posita d, e semiordinatarum T. XV aequalium ad , eb ad axim ab ducantur rectae od, o e.
238. Di eo primo, rectas od, Oe eue inter se aequules.
Cum enim semiordinatae ad , b e Positae sint aequales, eorrespondentes ea tum abscisiae Ea, Ab erunt quoque Inter se aequales cs. χoo . . AEquales sunt autem etiam duae EO, AO g. r98. . Ergo tota Oa aequabit totam ob Srn. Au g. 26D . Duo porro anguli dao. ebo sunt aequales inter se. utpote recti si a. . igitur duo triangula dao,beo habent duo latera duo. bus lateribus aequalia , alterum alteri, & angulos , qui aequalibus lateribus eontinentur, inter se aequales. Quamobrem aequales erunt inter se etiam
eorum bases O d, Oe Lib. V. s. 73. . II. 1sq. Dieo r. lineas od, oe esse in directum positas,' leu unam rectam
lineam ed constituerς. .. 7 .,
Enimvero eum latera oa, Ob ,sieuti etiam Od . Oe triangulorum a d, eo, sint aequalia inter se, quemadmodum & eorum bases ad , eb, aequales quoque erunt inter se verti eates ipsorum anguli aOd.eOb g. 82. . Sunt autem adverticem oppositi. Ergo rectae Od, Oe sunt in directum postae, seu unam rectam
86쪽
ctam e d eonstituunt Si ergo ex eentro M. quod erat Osten. dendum COROLLARIUM Lo υis recta linea transiens peν centrum M perbolarum oppositerum aequalium ,σ semilium, atque ad ipsas eurvas utrinque terminata, bi fariam in illo dividitur. 2 o. Ut si per eentrum o hyperbolarum oppositarum BAC, DEF aequalium , & similium dueatur recta ed, quae utrinque curvis ipsis hyperbolieis oe. currat , divisa erit bifariam in ipso centro O. Non enim potest duc, ex puncto e per ipsum centrum recta linea , quae occurrat curvae hyperbolicae DEF, quin illa transeat per punctum d . Quandoquidem, eum duae rectae eo, Odint in directum positae, si seeus res contingeret, duae rectae lineae commune segmentum haberent, quod repugnat Lιώ. III. g. .
Recta eoniuvens extrema ex adveUa posita aqualium semiordinat rum ad axim in Dperbolis oppositis aqualibus, ct similibus, transit per illarum eeatrum .
24 I. Recta nimirum eoniungens evirema d, e aequalium semiordinatarum ad , be ad axim in hyper Iis oppositis, aequalibus,&similibus DEF, BAC. transi per illarum centrum O. Etenim , si secus, cum duae Od, Oe unam rectam constituant, duae rectae spatium eon eluderent, secus ae fieri queat Lib.IU. s. . .
Si ex puncta E, in quo euνυa Dperbolica BAc secatur a recta Huducta ex illius centro H, ducatAr tangens EG oecurrens aritra υνδε NA in puncto G, ct ex puncto verticalι A agaturta gens AF occurreas ipsi recta HΜ in puscto F , . triangula H- , HGE ermi aqualia. I. Ex puncto contactus E ducatur ad axim semiordinata LD-
Quoniam rectae AF, DE sunt paralleIae si et r. , triangula DHE, Am . erunt similis stib.IX 3.61. ι ae proinde triangulum DHE erit ad triangulum Fig. 2. AHF in ratione duplicata lateris HD ad latus sibi homologum ΗΑ I. I 68.x Ratio autem rectae H D ad rectam HG est duplicata illius. quam habet recta H D ad rectam HA Liba r. ι cum sit u H D. HA. HG g IN Ergo triangulum DHE erit ad triangulum ΑΗF, ut recta m ad rectam HG
87쪽
ctib I. g. 8 . Constat autem, trian ultim DHF esse itidem ad triangulum GEH eiusdem altitudinis ED, ut recta H D ad rectam HG Lab. IX. β. 96. . Igitur eadem est ratio triangulI DHE ad utrumque irrangulum AHF , GEH Lib. I. s. );&ideo duo ista triangula AH F, GEH sunt aequalia g. II 3. Si ergo ex puncto dcc. quod erat ostendendum . Co R. OLLARIUM I. 3 3. Cum duo triangula AH F, GEH sint aequalia, si utrique dem stue eommune trapeχium HGbF, reliquum triangulum GbΛ reliquo triangulo FbH erit aequale SIn. .Ast. β. 266. . COROLLARIUM IL2 . Triangulum DGE adaequat trapeZium FADE . Quandoquidem, spiriangulis aequalibus GbΑ, FbE addatur trapeZium Ab En , triangulum DGEaequabit trapezium FADE ss. 16y. . I
x s. Ducta ex vertice A recta AM parallela tangenti EG, atque seeanti H M oecurrens in puncto Μ, triangulum MFA erit aequale trapeZio EG ΑΜ . Hxe enim emergunt ex additione trapetit MEbA triangulis aequalibus bΑ, FbE, ut est manifestum. L E M M A ISi νecta linea secetκν bifariam, eique recta quaedam aflatatum, rectangulam eontentum sub tota, ct sub parte afecta, una cum quadrato partis dimidia est aquale quadrato recta compositae ex parte dimidia, oe ex parte adjectx. Fig. 4: AB bifariam secetur ire C , eique recta quintim adileiatur T. XVI. DB. Dico, rectangulis ΑΕ compostum ex tota AD , εc ex adjecta BD se una eum quadrato CP partis dimidiae AC, esse aequale quadrato Ca rectae CD compositae ex parte dimidia CB, & ex adjecta BD.
88쪽
Descripto eirea rectam BA semieireulo ΚΗΑ, atque ex puncto D ducta
angente DH', nec non ex Antro C ad punctum eontactus H rectum, ma. mkinim est, rectangulum AE esse aequale quad fato tangentis DH Lib In F. I) di quoniam quadratum CF rectae est aequale quadrato rectae CH l Lib I. s. i 87. , rectangulum. RE una, cum quadrato CF erit aequale quadratis rectarum DH, H C simul sumtis sum est. ι 16so. Hisce autem duobus quadratis elh aequale etiam quadratum CG rectae DC Lib.VI. 9 37. ιgum angulus CF D in triangulo CH sit rectus Lo ML g. 3o. . Ergo reactangulum AE una eum quadrato CF erit aequale quadrato CG Dir, At s. Id 1. - Itaque si recta linea dce. quod erat ostendendum ..
In hyperbola quavis recta linea ducta ex illius rentroi dividit bifariam omnes rectas parallelas tangenti dacta per punctum, in quo curυa Dpeνbolua ab illa recta secatur. 2 . In hyperbola BAC, euiux axis transversus sit recta Ea, ducatur illius centro D recta quaevis Do secans ipsam curvam hyperbolicam BAC, . VI, in Pincto Α, ex quo ducatur tangens Ad occurrens lateri transverso in punis cto d. Dieci . rectam Do bifariam secare in hypsrbola omnes rectas lineas parallelas tangenti Ad.
spectetur primo recta eH. Hae itaqhie directe producta in b , ducatur tangens verticalis aF, nee non per punctum e ordinata Te ad axim , & expuncto A semiordinata ΑΚ, sicuti etiam ex plincto H lemi dinata HL . Quoniam igitur rectae uF, ΚΑ, ita in triangulo LDν sint parallelae, tria gula D, F, DKA, DLν erunt filia' ob IX. 3 ac proande triangula DLr, DKΑ , DuF erunt inter se, ut quadrata storum laterum homologorum DL, DK, Da. s. i66. , videlicet triangulum DLr erit ad mangulum D .F ut quadratum lateris DL a A quadrarum lateris Da , re triangulum DKΑ ad triangulum DuF , ut quadratum lateris DK ad quadraturin lateris Da. Igitur etiam excessus trianguli DLr supra trivngulum DaF, nempe trapezium FaLe , erit ad excessum trianguli DK A supra idem riangulam DaF, stitieet ad trapeElum FaKA , ut excessus qtradrati rectae DL supra quadratum rectae Da ad excessum quadrati rectae DK supra qua-
89쪽
dratum ejusdem rectae Da cs Io 9. , nimirum ut rectangulum ex L L in La ad rectangulum ex ΕΚ s. 166. . Ut autem rectangulum ex ELin La ad rectangulum ex ΕΚ in Κa, ita est quadratum semiordinatae L Had quadratum semiordinatae. NA & ut quadratum,rectae L H ad quadratum rectae ΚΑ . ita est triangulum Lin ad triangulum ΚΑd Lib. Ixq. 66. cum huiusmodi triangula, utpote aequi angula, sint similia t9.66. 3 Ergo trapezium FaLr erit ad traperium FaΚΑ, ut triangulum L Hb ad tria angulum ΚΑd Lιb I. g 6. . Trapezium autem FaΚA ad aequat triangulum ΚΑd 9. 2 q. . Igitur etiam trapeZium FaLν aequabit triangulum L H b c Db. f. s. I 18. . Eodem modo demonstrabitur , triangulum xeb , & trapezium OG Fesse aequalia. Quamobrem, si triangulo LHb dematur triangulum xeb , BEtrapeZio FaLH trapezium a F, trapezium residuum HexL erit aequale reis siduo trapezio LyGx 156. iae proinde, si hisce auseratur eo minmune spatium L rhex, reliquum triangulum ebG erit aequale reliquo triangulo rhH Ibid. . Duo autem hujusmodi triangula sunt similia Lib. IX. . 66 3 Cum sint aequi angula, prout rem attente cons deranti planum set. Igitur duo ipsorum homologa latera eb, bH sunt aequalia cf. tio. θι & ideo rectae Ha recta DO bifariam dividitur
II. Sit modo recta aN parallela tangenti Ad . Per spieuum est , triangulum MNa aequare trapezium FaMS. Quandoquidem eodem ratiocinio, quo numero praeedentι demonstravimus, triangulum L Hb esse aequale trapezio FaLr, nunc quoque ostendemus , triangulum MNa aequare trapezium Pa MS . Igitur, si triangulo MNa ,& trapeZio FaMS auferatur commune spatium Sma M. reliquum triangulum SmN reliquo triangulo amF erit aequale Srn. Alg-s. 266 ι eumque duo ista triangula, utpote aequi angula, sint similia, aequalia erunt latera ipsorum homologa Nm, ma cf. IIo. I & ideo etiam recta Na bifariam divisa erit a tecta Do .
Tangenti demum Ad sit parallela recta CT, quae hyperbolae axim secet in Puncto I . Superiori rati 'einio adhibito, palam fiet, triangulum GP eL se aequale trapealo maP. Ducta vero ex puncto T ordinata Te, eaque producta in G, sumatur in axe segmentum ab aequale segmento D ,εc iungantur puncta e , b recta eb. Cum igitur anguli Tu, bxe snt aequales Lib. III. s. l. , sicuti etiam rectae Tae, xe g. I x. , & bx , D duo triangula TXI, bxe erunt aequalia stib. V g. 7 . ι & eum aequales itidem snt anguli alterni xe b , xTI g. 8a. , rectae be, o erunt parallelae e Lib. IV. s. I 2.1 , dc ideo scuti recta D , ita recta be erit parallela tangenti Ad s. I 8. ac
Proinde triangulum bre aequabit trapeatum axGF, ut ex superius traditis manifestum essicitur 3 & ideo etiam triangulum Tax erit trape Zio axGF aequale. Quamobrem trapezium POGx una eum triangulo 1xΤ aequabit tra
90쪽
perium POPar atque adeo etiam triangulum P SIn Alis. 26 I. . Hinc, demto communi trapeχio o P , reliquum triangulum On C erit aequale reliquo triangulo TnG g. 266.) eumque duo ista triangula sint aequiangu- γla, adeoque smilia , habebunt latera homologa Tu, vi inter se aequalia A. Ii o. . Igitur etiam recta TC bifariam dividitur a recta Do. Quamob. rem in hyperbola Fee. quod erat ostendendum. COROLLARIUM I. Omnis recta in Dperbola transiens per illius eratrum dιυepsa ab axe est diameter secundaria. 2 8. Dividit enim bifariam omnes rectas tangenti parallelas.
uaυis recta in brperbola ducta ex illius renno diυidie bifariam segmentum quodcunque h'perbolicum deter. minatum a recta ad illam ordinata. x 9. Me recta GM in hyperbola BAC ducta ex illius emtro G dividit bifariam segmentum hyperculeum dand determinatum a recta d n ipsi Fig. T. GH ordinatim applicata. Quandoquidem ductis tot ordinatis, quot sunt T. XVI. puncta in abscissa Ax, eum omnes bifariam a recta a m dividantur, toterunt elementa spatii hyperbolici dax, quot sunt elementa spatii hyperbolici nax. Sunt autem elementa unius aequalia elementis alterius, si in eadem a vertice distantia utrobique sumantur. Ergo spatia dax, nax sunt aequalia L:b.IX σ3. .
DEFINITIO XIV. 2so. Si recta AD ultra centrum D producta, fiat Dia DA, recta Aiaci vidicitur diameter secundaria traηmersa hyperbolae, quemadmodum recta Latransversus ejusdem axis nuncupatur. COROLLAR xuM III. In seperbola omnis diameter feeundaria transversa est major axe transverso. Is I. Nimirum diameter quaecunque secundaria transversa de hyperbolae BAC est major axe transverto EA. Etenim ductis ad axim semiordinatis da,et si v e, , cum in triangulo dao angulus data sit rectus si . . atque propterea maior angulo ado tra. U. s. η ν. Eadem ratione recta eo erit major recta Ob. Witur tota de excedet rectam ab ι ac proinde etiam rectam ΕΛ. THEois