장음표시 사용
71쪽
, A ad quadratum lateris Σ 1 Lib. IX. g. ago. γ, ex eo nimirum , quod illa triangula, utpote aequiangula, sint similia. Igitur etiam quadratum rectae r R erit ad quadratum rectae et M , ut est abscista ar ad abscissam ae Lib. I. s. 7. . Itaque in Parabola &e. quod erat ostendendum. s c H o L I O N. Is . Sicuti parameter axis parabolae est recta ducta ex illius vertice GDdinatis parallela, illius quidem longitudinis, ut refrangulum sub illa, &sub ab illa contentum sit aequale quadrato correspondentis semiordinatae, ita parameter eujuslibet secundaria diametνi parabola est recta ducti ex illius vertice ordinatis ad ipsam diametrum parallela, adeoque ipsam parabolam tam Iens , euius longitudo tanta est, ut rectangulum , quod sab illa, o sub quavis abscissa eomprehenditur , sit aquale quadrato semiordicata, qua illi abscissa correspondet. Hinc LI 8 1. In parabola quadratum euiuslibet semiordinata ad quameumque diam tram fecundariam adaquat rectangulum eontentam sub parametro, oe sub cor respondente abscissa Vide DemoGr. g. I 62. 3 ac proinde
I36. Parameter c umis fecundaria diametνi parabola est tertia proportis aesis post abscissam , ct correspondentem semisrdinatam 'de Demonstr. g. 16D .
Si ex quovis puncto curva parabutea ducantur dua rectae linea imparabola , quarum altera sit axi purallela, alteνa ipsi axi occur rat in puncto, cujus distantia a veνtice sit aquaIis quarea parti parametri ,. dua hv;timodi recta linea eum recta tangenteda Ll per illud punctum duos aequales angulos e sciunt. 87. Ex quovis puncto Κ eurvae parabolicae BAC dueantur in ipsa parabola duae rectae lineae KL, Ka, quarum altora KL st parallela axi AD, i altera vero occurrat ipsi axi in puncto a , cujus distantia a fi a vertice A se aequalis quartae parti Aa parametri ΛE ipsius axis , dc per punctum Κ ducatur tangens FM occurrens axi in puncto F. Dico, angulos aΚF,LΚM , quos in puncto Κ efficiunt rectae Κa, KL cum, tangente FM ,. esse inter se aequaleS.
72쪽
Ex puncto Κ dueatur ad axim semiordinata Κb, Ac ex vertice A tam gens AH, quae semiordinatae Κb erit parallela fg. 12. . Quoniam igitur recta b Κ est dupla rectae AH A. I . , quadratum semiordinatae b Kerit quadruplum quadrati sectae ΑΗ Lib. IX. β. I72. . in adratum autem rectae b K adaequat rhet angulum Edb A contentum sub parametro AE& sub abscissa Ab s. i52.). Ergo etiam rectangulum EdbΛ erit quadruplum quadrati rectae AH Lib. I. g. ior . . Manifestum porro est, rectangulum Edb A quadruplum esse rectanguli Geb A eontenti sub eadem ab seisia Ab, 8e sub quarta parte AG Para metri Lib. IX. 9s. J. Ergo rectangulum Geb A erit aequale quadrato rectae AH, Lib. I. g. I 1 . , α quoniam rectangulum NGAF adaequat rectangulum G bA Lib. IX. g. 88. , propterea quod recta FA rectae Ab st aequalis g. 376. 3 rectangulum quoque NGAF erit aequale quadrato rectae AH g. g. 262. ι ac proinde
recta AH est media proportionalis inter rectas FA, Aa Lib. IX. II 8. 3cumque recta AH ad perpendiculum rectae Fa incumbat, angulus FHa erit rectus Lib. VII. 6. s. , utpote in semicirculo, qui circa rectam Fa, veluti diametrum, deseribi potest, consistens. Igitur etiam angulus aΗΚ erit rectus Lib. IIL g. 6o. . Latera autem FH , HK triangulorum ab F, ab Κ l
tus commune habentium aH, sunt aequalia cum propter parallelisimum re
a F erit aequalis rectae a K Lib. q. g. 3. , & ideo etiam angulus a KF angulo a FK s. 6o. . Manifestum porro est, angulum LΚΜ aequare angulum aFK Lib. IV. g. I . , cum duae Fa, KL positae sint parallelae. Ergo angulus LΚMangulum quoque a KF aequabit Dn. Au. s. Itaque ex quovis punct deci quod erat Ostendendum.
COROLLARIUM L1ἔ8. Omnes idcirco luminis radii incideates in euνυam parabοIieam BACaxi AD paralleli , post reflexionem in puncto a ipsiuι axis simul uniuntur. Neque enim ex illa curva ita reflecti possunt , ut angulus reflexionis sit aequalis angulo incidentiae , prout lex naturae post ut i , quin omnes occurrant axi AD in puncto a. Punctum igitur a est focus , sive umb: litus par
bolae BACCOROLLAR tuM ILx89. Hinc focus , sue ambuleus parabolae est punctam sumtum tu illius
axe, cuius distantia a vertice est aqualis quarta parti e1 dem parametri.
73쪽
Semiordinata ad axim in parabola ducta ex e us socoada ruat semiparamereum ipsius axis. 9o. Foeus parabolae BAC si punctum a , ex quo dneatur semiordinata ab ad ipsum axim . Dico, rectam ab aequare dimidiam partem Ata para- metri AE.
Cum quadratum ad semiordinatae ab sit aequale rectangulo Ea I. ε I. , de abscissa Aa sit quarta pars parametri AE . t 89. , simit rectangulum p . . Ea est quarta pars quadrati EFHΑ ipsius parametri AE Lib. IX. g. icio. , τ*xv ita ejusdem quadrati TFHA erit quarta pars quadratum ad c LibT LIo 2. . Quadratum autem Ae semipara metri AG est itidem in ratione fa uadrupla ad quadratum EF HA Lib. IX. g. I I. . Ergo quadratum ad semiordinatae ab erit aequale quadrato Ae semiparametri AG Lib. I. s. Io 3. ι adeoque etiam semiordinata ab semiparametro AG erit aequalis g. I 87. . Igitur semiordinata ad axim die. quod erat ostendendum.
Summa rectarum LΚ , Κa , quae cum tangente FM in parabola BACaequales angulos LXM, a K constituunt, es aequalis recta DA una eam recta , seu cum distantia Dei a a vertice Is . Ex puncto eontactus K ducatur ad axim ΑD semiordinata Κb.
Quoniim recta Ab est aequalis rectae AF s. t 6. , erit Ab - Aa m FaF g., Syn.Ast. s. 261. . Ostensum est autem, rectam aΚ aequare rectam aF f. i 87. . T.XV. Constat autem in parallelogrammo KbDL rectam KL esse aequalem rectae bD Lib. VI. g. ΣΟ. . Igitur duae recti LX, Κa smul sumtae aequabunt re ctam AD una eum recta Aa S . Ast. g. 163. . Itaque summa &c. quod erat ostendendum.CA
74쪽
I 2. Oni ad verticem oppositi dieuntur illi, qui emergunt ex eo ista ν volutione recta linea eirca unum sui punctum ab illius extremit ui. versum plane immobile. Ut si ei rea punctiim R omnino quiesrens ita mo. 7 veri concipiatur recta BP, ut suis extremis punctis B, P peripherias duo. Γην' rum circulorum BDC, NSP deseritat, eoni BAC, NAP ex hae revolutio. De emergentes, ad verticem oppositi nuncupantur. COROLLARIUM. ex ς 3. Πabent ergo eoni ad verticem oppositi eundem verticem, re partes usdem recta linea pro axe, atque insuper eadem recta ιinea latus atria aecoxi ymal determinat.
DEFINITIO II. Is . inperbola dicitur illa sectio eoni , qua determinatur plano ea rationaeonum steante, ut ejus quoque basim dispescat, quin apposito lateri ipsius eonise parallelumi ae proinde sectio ista bujusmodi est, ut illius axis oecurrat Ia. nseri opposito ultra vertιcem dιrecte producto. Talis itaque est sectio DEF eo. T xv nt recti BAC . Quandoquidem planum ipsam determinans , basim secat BDCF, ejusque axis GE opposto lateri CA ultra verticem Α producto oe. currit, atque in puncto Z ei copulatur. DEFINITIO III. I9F. Opposita hyperbola vocantur illa, qua in eonis ad vertitem oppositis eodem plano secante determinantur. Hujusmodi sunt in conis oppositis BAC. NAP sectiones DEF , SER
COROLLARIUM. 96. Eadem recta linea determinat in seperbolis oppositis earum axis, O vertieem. Sic recta TG determinat in oppositis hyperbolis DEF. STV axes EG, ZT,& vertices E, Z. Est enim recta TG communis sectio plani, quo fiunt sectiones ipsae hyperbolicae, di plani, quo determinantur triangula BAC, NAP per axim ι atque adeo quo utriusque itidem hyperbolicae axis determinatur c=. II. . DE
75쪽
Is . Axis tranDersus byperbolarum oppositarum est recta linea utrique im aram vertici interiecta. Sic recta TZ dicitur axis transversus hyperbolarum Oppositarum DEF, MU. DEFINITIO R198. centrum isper Iarum Oppositarum est punctum medium tranHers axis Huiusi di est punctum R in hyperbolis oppostis DEF, SLv.
. S c Η O L I O N. 1sq. Cum nulla sit hyperbola, quam alia opposita comitari nequeat, axi, Fig. g. transversus, δέ centrum hyperbolarum opPositarum dieitur etiam axis trisas T. Xv. versus, & centrum hyperbolae, quae solitarie , nempe nulla plane ratione habita oppostae hyperbolae, spectatur. Sic recta EA dicitur axis tranJer Ius hyperbolae CΑΒ, ejusque centrum Punctum illius medium Μ.
xoo. mperbola similes, ct aquales dicuntur illa , in quibus ordinata, adeo quo etiam semiordinata ad axim, κqualiter respective a suo vertire distaηter Fig. 7. sunt aquales. Hujusmodi erunt hyperbola: DFE, SEU, si polita aequalitate' d. XV. abstitarum Ea, D, ordinatae M, X sicuti eti m semiordinatae ba, xa fuerint aequales.
ra Dperbola quadrata femi ordinatarum ad axim sunt, ut rectangula contenta sub eorrespondentibus abscissis, re sub recta composita ex iisdem abscissis, oe ex axe transiserso. et o I. In eono recto BAC spectetur sectio hyperbolica DEF , euius axis sit recta EG , axis transversus ZE , & semiordinatae ad axim rectae ba, me. T. xv. Dico, quadratum semiordinatae ba esse ad quadratum semiordinatae me, ut est rectangulum ex La in ra ad rectangulum ex Ee in Ze.
Triangulum per axim ita secet planum hyperbolieum DEF, ut rectam ad perpendiculum insiliat diametro BC circuli baseos. Tum per puncta a, educantur rectae HK, LM in plano ipsius trianguli per axim parallelae dia metro BC, & cum rectae ba, me sint itidem parallelae rectae DG s. II. ,
76쪽
Pl num, in quo sint rectae HK, ba, erit parallelum basi BDC, sicuti etiam
Planum , in quo sint rectae LM, me. Igitur sectiones Hb Κd, Ι m Mn runt circuli Lib. XI. g. s I. , quorum diametri erunt rectae HK, LM , ipsisque ad perpendiculum incumbent rectae ba, me, quemadmodum recta DG est perpendicularis diametro BC . Quadratum ergo semiordinatae baerit aequale rectangulo ex Ha in aK, Si quadratum semiordinatae me rectangulo ex Le in eM Lib. IX. g. II 3. 3 ac proinde quadratum semiordinatarba erit ad rectangulum ex Ha in aΚ , ut quadratum semiordinatae me ad rectangulum ex Le in eM . & alternando , ratio quadrati semiordinatae baad quadratum semiordinatae me diversa non erit a ratione rectanguli ex Ha in aK ad rectangulum ex Le in e M Lib. I. s. I 21. . Ratio autem rectanguli Ha aK ad rectangulum Le em componitur ex ratione rectae Ηἔad rectam Le,& ex ratione rectar aΚ ad rectam era , scilicet basium,& alti-itudinum s Lib. IX. s. ros . Ergo etiam quadratum semiordinatae ba erit ad quadratum semiordinatae me in ratione composita ex ratione rectae Hi ad rectam Le, & ratione rectae aK ad rectam e M. Miniscitum est autem pro P er parallelisimum rectarum Ha , Le in triangulo LEe , esse Ea. et Ha Le, & in triangulo em haud dissimili ratione esse a K. eM - Za. Ze g. 19J. Ergo ratio quadrati semiordinatae ba ad quadratum semiordina-xae Me spectari itidem potest veluti composita ex ratione rectae Ea ad Le, di ex ratione rectae Za ad rectam Ze. Conllat porro, rectangulum quoquo ex Ea in Za esse ad rectangulum ex Le in Ze in ratione composita ex ra- ione rectar Ea ad rectam Ee, & ex ratione , quam habet recta ra ad rectam Ze s. Ios . . Ergo ratio quadrati semiordinatae ba ad quadratum semiordinate me diversa non erit a ratione rectanguli ex Ea in Za ad
rectangulum ex L e in Ze Lib. I. s. 6 P. Igitur in hyperbola &ci quoaerat ostendendum. COROLLARIUM.H Dperbola quadrata semiordinatarum ad axim habent omnia eandem rationem ad suum respective rectangulum
contentum sub abscissa, oe sub recta eomposita
ex abscissa, ct ex an tνansverso. raor. Videt ieet in hyperbola DEF quadratum semiordinatae ba est ad res
Ctwgulum ex Ea in G, ut quadratum alterius eujuslibet semiordinatae m ad rectangulum ex E e in Ze. Cum enim quadratum rectar ba sit ad quadratum rectae me, ut reetangulum Ea Hra ad rectangulum Ee D, alternando, quadratum rectae ba erit ad rectangulum Ea La, ut quadratum πα
77쪽
2os. Parameter transversi axis Dperbola est 'recta linea ducta ex illius vertiee, ordinatis ad axim parallela, eu)us ratio ad ipsum axim transversum eadem est cum illa , quam habet quadratum e uslibet semiordis ita ad rectam Fig. 8. gulum contentum sub correisondente abscissi, ct sub recta remposita ex ipsa T. XV. abscisa, ct ex axe transverso . Ut si in hyperbola CAB, eujus axis transversus sit recta EA ducatur ex vertice A recta AF seiniordinatis ba, CD pa rallela, cuius ratio ad axim transversum ΕΑ ab ea non se diversa , quam habet quadratum unius semiordinatae ba ad rectangulum ex Αa ita Ea , re cta AF erit paνameter hyperbolae CAR. Recta AF dieitur etiam latus rectum ipsius hyperbolae, ae axis EA latas eiusdem. transversum. COROLLARIU M. 2o . Hinc parameter eransversi axis hyperbola ad peνpendiculum ipsi axi incumbit , ipsamque hyperbolam in vertice tangit , ut etiam diximus de parametro axis ellipseos, & parabolae.
xos. Quemadmodum in ellipsi, ita in hyperbola CAR rectangullam RFAE contentum sub parametro AF,& sub axe transverso EA dieitue figura tranDes axis ΚΑ. DEFINITIO IX. xos. Si parameter AF transvetsi axis EA fuerit ipsi axi aequalis,. hyper.
la CΑΒ vocatur aquilatera. DEFINITIO X. xo . In Dperbola axis steri eon Masus dieitar rem transiens peν illiuseentrum, atque bifariam in illo divisa, tanta longitudinis, ut sit media pra-Tixv' portionatis inter axιπν ipsum transversum , eiusque parametνum. Ud si in hyperbola BAC , cujus axis transversus sit recta EA, parameter recta AK, Per centrum O transead recta GH, quae in illo bifariam, atque ad rectos amgulos dividatus , sitque media proportionalis inter axim transversum ER , Ac illius parametrum AK, recta HG. vocatur alter axis ipsus hyperbolae BAC priori EA coniugatus, quatenus nempe hujusmodI, est axis conjugatus
78쪽
ros. Quadratam axis e iugati is seperbola adaquat rectangulum eonte tum fab axe transverso . fasque parametro, nempe rectangulam figura axis tr mers Lib. IX. s. m. . a
COROLLARIUM II. 2 9. In hyperbola quadratum semiaxis coniugati est quarta pars rectanguli figura axis transversi. Ostenditur eodem modo, quo s. 83. idipsum demonstravimus de quadrato semiaxis conjugati in ellipsi. DEFINITIO XI. Mo. Hyperbolae KGL, MUN, quarum axis transversius GH est eoniu gatus transverso axi EΛ hyperbolarum BAC, DEF, conjugatae vocantur. S c Η O L I O N. III. Quemadmodum axis coniugatus GH est media proportionalis inter axim transversium ΓΑ hyperbolarum BAC, DEF, ejusque Para metrum s. 2O7. ita axis ΕΛ est media proportionalis inter axim sibi conjugatum GH, de illius parametrum. Propterea, ut in ellipsi, ita in hyperbola
2I2. Axes eofugati sunt duae media continuo proportionales inter suos pa-
axj. Si axes coniugati Derint aquales , eoram quoque parametri erant aquales tum inter se, tum ipsis axibus. Erunt vero inaquales tum inter se, sum ius axibus, s axes fuerint inaqaate1. III. 2I . Ex coniugatis axibus, qui maJor est, babet parametrum tam seipso ἰquam altero axe minorem. Qui autem est minor, babet parametrum altero axe, seque ipso majorem. DEM
79쪽
at s. Regulatνix . si e directrix hyperbola est recta linea ducta ex puncto, extremo axis transversi per extremum pQametri ejusdem axis . Subdirectrix vero, sue fabregulatrix est recta ducta ex eentro h perbola per medium D rametri. Ut si recta EA suerit axis transversus hyperbolae CAB, recta AGj v illius parameter, & punctum Μ ejusdem centrum, recta EH erit regulatrix' sue directrix ipsius hyperbolae CAB. Subdirectrix autem, seu subregulatrix recta ΜQ. 'COROLLARIUM.1IS. Subregulatrix Dperbola est parallela eiusdem regulatrici. Patet ex di
In Dperbola quadratum euiuslibet semiordinata ad axim adaequat rectangulum ex abscissa, ct ex ipsa femiOrdinata usque ad directricem producta. et i . In hyperbola CAB, cuius axis transversus sit recta TA , parameter Fig. 8. recta AF, & regulatrix recta EP, sumatur semiordinata DC. Die o, huius T.XV. quadratum aequare rectangulum ADPe contentum sub abscilla AD, & subrecta DP.
Cum enim quadratum rectar DC st ad rectangulum ex DA in DE, ut parameter AF ad axim transversum EΑ s. ao 3. , sitque A F. AE P. DE Lib. IX. s. 6o. , quadratum semiordinatae DC erit ad rectangulum ex DA in DE, ut est recta DP ad rectam DE c Lib. Ut autem recta DP ad rectam DE, ita est rectangulum ex DP in DA ad rectangulum ex DL in eandem DΑ Lib. IX. s. 9s . . Ergo quadratum rectae DC erit ad rectangulum ex DA in DE, ut est rectangulum ex DP in DA, scilicet ADPe, ad idem rectangulum ex DA in DE Lib. I. g. 76. . Igitur quadratum semi- ordinatae DC adaequat rectangulum ADPe cI. Ios. 3 ac proinde in hyper bola &α quod erat ostendendum.
80쪽
Co DLLA IUM I. Semiordinata ad axim in baperbola eo minores sunt, quo vertici sunt propiores. II 3. Sie in hyperbola CAB semiordinata ab proximior vertiet Λ est minor remotiore DC. Etenim, cum quadratum semiordinatae ab sit aequa. te rectangulo Α ad x, de quadratum semiordinatae DC rectangulo ADPe, sicuti rectangulum Rad x deficit a rectangulo ADPe, ita quadratum semiordinatae ab deficiet a quadrato semiordinatae Maadeoque etiam recta ab minor erit recta DC.
Etiam ordinatae ad axim in hyperbola eo ma ores Iant, quo magis a vertice recedunt.1 Is. Ordinatae namque sunt inter se, ut semiordinatae s. Ia . .
In Dperbola quadratum eujuslibet semiordinata ad axim exeuit remum lum contentum sab parametro, ct abscissa ε atque huimmodi exeessus est rectangulum smile rectangulo figura axis transversi. 11 o. Nimirum in hyperbola CAB quadratum semiordinatae ab exeedit rectangulum Rab F contentum sub parametro AF, & sub abscissa Αa. Ma. isellum quippe est ἰ quadratum semiordinatae ab aequare rectangulum Raci g. 2IT. , quod superat rectangulum AabF quantitate rectanguli Fbo. Constat quoque, rectangulum dx esse simile rectangulo LAFR. Lib. IX. s. I 6., quod est figura transversi axis ΑΕ t . 1 f. .
x M. Propter hunc excessum propterea ista coni sectio brperbola, nempe
222. Hinc spectando hyperbolam extra eonum, definiri potes t Figura plana, eurva linea in se minime redeunte comprehensa, in qxa femiordinatarum ad axim quadrata maiora sunt rectangulis eontentis sub parametra , σ sub eorrespondentibus abscιlsis , σ quidem ea constanti lege, ut hujusemodi excessus sint rectangata omnino smilia rectangulo figura axis tra versi. Elem.3Iatb.T.IU. F C