장음표시 사용
171쪽
Euthymiui; sed dcrevertendo quod ejusdem propossi
tionis secundo membro volo ad ue majorem rati nem habere quam ad . ius enim mortalium, 'ceptis Euthymio Hermotimo, dubitat, vel unquam dubitavit, aut venientibus seculis dubitaturus est, quin, uti verum est, septem partes quartas malores esse quimque partibus qualetis, sic immotae veritatis si , quatuor partes quinta majores esse quam quatuor partes septimas. THEO. Sic optime, o Euclide hoc quoque, in recensendis tuis elementis hujus propositionis principium sum secutus. Αρ. Ego quoque in tot insignium mathematicorum propositionibus colligendis in tuis, o Apolloni, lemmatis demonstrandis Apola Certe
di ipse huius propositionis veritatem ab illo undamemto arcessendam putavi. Eu To C. Nemo mathematicus absio censeret. ARCHi M. Fateor&me hac sententia
olim suisse imbutum; sed ex iis, quae principiorum loco
ante retulit Hermotimus, lam aliter video haec esse concipienda. HERMO T. Te unum, tanto ingenio math
maticum, tantasolertia mechanicum, hisEuthy id gmatis adsensum praebere, o Archimede hoc vero est quod me confidentiorem redditi recensendo pergens vicim, ero, ut is in hac sententia, quam adeo seli . citer concepisti, confirmeris,& caeteri deinde unaninai consensu tibi accedant Euthymius itaque, cum men rein lapius in id intendisset, ut in rerum tiatura principium, quo si veteres hoc adseruissent, indagaret, nullum aliud reperire potuit, quam quod sana ab Euclide proposiluis est, ct caeterorum calculo confirmatum ,
172쪽
nempe minutias inspexisse Arithmeticas Eudoxum, Euclidem, S luotquot veterum aut hos Draecessissent, aut, octavam usuipando, essent sectui. Nam ocis mi nutiis, uno integro majoribus, quarum termini excessivas rationes constituunt,manifestam videre veritatem; di in minutii uno integro minoribus, quarum termini rationes desectivas saciunt, certitudinem non minus, ut putarunt,eVidentem. Cum igitur minutis major sit
ruam minutia , quod numerus majorispatio anihilo
iste quam numerus Q contra autem minutia is
lor lit quam minuties , quod cum utraque a me multas habeat partes, illa majores habeat, haec minores; nempe illa quintas, haec septima. hinc adeo ad majorem rationem habere concluserunt, quam ueta Piscontra, ad ue majorem habere rationem quam ad 'Similiter de aliis minutiis argumentando,cum satile C perent, minutiam : majorem esse minutia 4 contra amtem minutiam majorem esse minutia v. definivere, ad 6 majorem rationem habere quam ad 6, sed re-Vertendo, majorem este rationem ' ratione Sic minutiam majorem cum perspicerent minutia , contra autem, minutiam : majorem minutian statuebant ad 3 majorem rationem habere quam et ad 33 sed revertendo, 3 ad et in majori ratione esse quam 3 ad φCum igitur in omnibus tribus casibus istud verum, ex
minutiis Arithmeticis, se deprehendisse putarent, generalem inde propositionem, hanc octavam, fibricarunt,o: ex alio fuso principio, ex septima nempe ejusdem l bri definitione, demonstrarunti Idistantemui clarius
173쪽
ιO ME IBO MI DIALOG usini,ciantur, accurate hie e nam,in quibus minutile cum rationibus paria sicianti cin quibus inter se dio
strepent. Nam Geometrica considerationis sunt Lnusae, quatenus ex duobus terminis,ut rationes, com stanes; qui quoeunque numero multiplicati, eandem minutiam , eandemque rationem exhibent quippe ut
ratio beadem est quae ratio bis P, sic minutii tanta est, quanta minutia: vel vel Unde locii
num est, minutiae quantitatem quatenus alia minutia
ejusdem generis, aut excessivi aut desectivi, malo est, aut minor, aut illi aequalis , aeque ac rationis quantit tem, qua alia ratione ejusdem generis, aut excessivi aut defeetivi, major est,aut minor, aut illi aequalis 3 ex eodem principio esse definiendam, ex majore nimirum,
aut minore aut etiam aequali terminorum inter se distantia, si utraque comparatarum aut rationum,autis nutiarum, quidem generis existens, aut excessivi, aut desectivi, ad eundem prius vel antecedentem,vel conse quentem fuerit reducta. Quod si una Comparatarum rationum, aut minutiarum, excessiva sit, altera desedibis; in principiis supramonstratum est, dc posteamplius monstrabitur, illam in suo genere majorem esse, quae longius ambili ratione, aut milautia, disiit adeoque duas rationes , aut minutias, iisdem terminis comprehensas, hoc est, excessivam& cognominem desectivam,
tanquam a que a nihili ratione,sed in diversas partes,distantes, aequales existeret minutias quidem, quatenus
Geometrice earum termini considerantur quom
174쪽
item excessiva , cognomini desectivae excessiva inaequalis cognomini defectivae Rursus in eo rationes S minutiae inter se discrepant, quod rationis duo cim, ni ui am duntaxat notionem ingerant, spatium nempe interutrumque terminum interjectum, quod plurium,
aut pauciorum minorum rationum capax est, prout major, minorve ratio fuerit. Minutiae autem duo te mini duas notiones includunt numeratoris a denomi
natore distantiana, parti uni denominatoris numer
tionem. Quamobrem fecundum Geometriam ratio aequalis est duabus rationibus in Latminus, secundum Aritia meticam, aequalis est duabus minutiis Acquae, quod eundem denominatorem ortitae sunt, eam inter se rationem habent, quam numeratores, nempe quintuplam. Atque hinc quoque est, quod omnes m nutiae inter se sint commensurabile. cum contra diversi sundi rationes,nullam communem mensuram aes mittant, ideoque nec ratiotidini inter se habeant effabi lem. Unde porro liquet, rationum ac minutiarum diversam esse additionem, S consequenter subtractio
nem praeterea minutias, ob deno natoris illam numerationem, per numeros multiplicari posse, ac dividi, rationes Vero nequaquam. Cum igitur duae sint mi nutiarum considerationes,Geometrica&Arithmetica;
ex priore, lectra VetelIDUS non animadversa,veram pro
serimus propositionem inaram, cum ex posteriore an liqui ininxerint falsam. Ve rum enim est, Geometri oeconsideratis minutiarum terminis,secundum distantiam antecedentis, seu numeratoris, a consequente, seu Ll
175쪽
ranquini ini ruin, sanx spatio Geometrico Miscend re, quanto spatim infra , tanquam integrum descendi Ambaemini rationes, quae aequalibus terminis sun is comprehenduntur, a nihil inu ne, in diversas partes, equidistant, nempe per rationemn, quae
nihili rationi : addita, excessivam resficii; ab eodem nihili rationen ablata,desessivam quod ex iisdem Milonibus, ad eundem consequentem reductis, sic adparet: a. : lare' ad φ eandent rationem habet quam ad 7 rursus ad . eandem intrinem habet quam ad, quod excessiva ration, seu : aequalis sit cognomini desectivae , seu :: ratio excessiva ,se. ζ, aequalis ci gnomini dese lavae: seu Ideoque, si ratio: majorest ason seu,quod id est,si ratio a minor est ratione 2 etiam revertendo, raso minor est rationes: Quod inravae propositioni Euclidis advers turi qui ex Arithmetica minutiarum considerasone, quat nus partes integri numerantur, falsum istud theoremasibricavit , nempe rationem . majorem quidem esse rationea alcontrarationem : majorem esse ratione Gob causim Arithmeticam ante relatam Ex priore igitur minutiarum vera consideratione, nempe Geom
inica, qua ex numerat'ris a denominatore distanti is, quantitas ipsarum, aeque ac rationum, definitur, Mimis propositio suisset Engenda ; non autem ex posteriore minutiarum consi seratione, nempe Arithmeti, o, salsuas in Geometriam invehenda, proposition
Geometricam ex principio Arithmeti rubri ido,
176쪽
DE PROPORTIONIBUS inine novum illud Euthymi dieminia, non milius
in Arithmetica locum habebit, quam in GeometriR ,. Etenim scite hic contemplabimur, minutiam exces Vam tanta ratione superare minutiam nihil , seu inimgram, quanta ratione eadem haec minuti nihili superat excessivae cognominem desectivam Tres enim partes minutiae excessivis superant duas partes minusaelate grae, ratione sesquialtera, seu superdimidiaci tres autem partes minutiae integrae superantduas partes minutiad
sectivae, ratione item sesquialtera unde minutiae resilva superat minutiam desectivam , ratione bilissiquialtera, seu dupla supero, hava, in his terminis:
les nummi, seu i solidi Ludecenses, superiint sui tertia parte integrum imperialem, seu solicios, uti integErimperialis, seu solidi, fui tertia parte superant duos imperialis trientes,seu solidos et smiliterminutumo cessiva ' quanto spatio superat minutiam nihili, tanto spatio minutia nihili supera cognominemdeselaevamat adeoque excessiva superat detorivam' ratione dupla
minus supero clava, in his terminis, '. seu, in imperialis minutiis, Porro uti major est minutia ex silva te quam minutia excessiva seu li ob maiorem minoremoue numeratorum &6 , supra integrum48 adscensum sic major est minutia defeet, vac seu.: quam minutia desectiva bis hoc est,mbnutian majus mimas est tam minutiat, quia hareminus distat ab integro quam illa ζ. Ex quibus omnibus planum est, si duae des Vae, Vel rationes,
177쪽
ra ME IBO MI DIALOGUS ves inuritiae, inier se secundum quantitatem comparennur, eandem hanc esse comparationem, quae inter illas cognomines duas excessivas. Caeterum onanes haec ratiocinati, qua Euclidei theorematis salsiitatem d monstramus, paucis verbis includi potest. Quoniam enim ration major est quam ratio , quod in ista 7 supra majori spatio adscendat quam supra eundem idcirco latio: major est quam ratio , quod . insta 'm
gis descendat quam intra . Nunc ad alterum veniemus Euclideae demonstrationis undamentum, cui, ut
firmissimo, hanc propositionem superstruendam ce fuit, nempe addefinitionem quinti sies septimam, quae paginais v. q. est relata, dc a Scholiaste explicata pagina G,ad ejusdem libri definitionem quintam. Hancveris definitionem Euclidis diagrammati, quod pagina a pomstum est, xpaulo ante ita numeris adductum, adcommodabimus. Sunt autem in omni casu octavae propositionis, potentia quatuor magnitudines quandoquidem duae rationes inter se secundum quantitatem ipsarum comparantur quod brecte monitum a Scholi ste paginari v. 3o. Caeterum in numeris istis primus terminus esto secundus, . tertius, . quartus iterum
Si jam sumamus primi tertii aeque multiplos, in adducto di grammate, triplos, aio is rursus secundi quarti aeque multiplos, nic quadruplos, vide mus primi multiplum, at, superaret multiplum secundi, 16; at tertii multiplum is, non siperare multiplum quarti,46. Ex qua verissima conclusione Euclides fil- silaniam, uti Eudiymius, set, deduxit, nempe' u
178쪽
ob causam primum terminum ad secundum m jorem rationem habere quam tertium terminum , ad quartum . EuCL. Hoc certe immotum octavae prinpositionis undamentum statuo, quod non nisi cum mmnium tuorum principiorum ruina movebis. Videa
mus ero quam demonstrationem contra adferre possis.
Ηε Mo T. Olli praecedentis probationis falsitatem, inquiebatEuin ymius, perspexit, lanilius definitionis fit, laciam ex principio demons latam habet. Attamen ut maiori certitudine omnia clareaeant,novum adhuc quoddam nostrum de rationibus Geometricis inuem tum tibi non invidebo, ex quo si quid tamen certi a mortalibus comprehendituri evidentissimam doctrinam derationum magnitudinibus explorandis hauries. Cum igitur ratio nihili sit rationum omnium, excesi Varum S desectivarum,sundamentum S principium , uti siphra, seu numerus nullus, quem ita signamus, o, principium est omnium numerorum absolutorum, ex silvorum S desectivorum , si rationis nihil antec dentem terminum multiplicem,exempli gratia,per Diadorationi nihili rationem quadruplam adeoutratio
ex ratione nihili, Ac addita latione quadrupla composita,sit ratio quadrupla, in his terminis. . I. i. Sin comsequentem nihili rationis terminum multiplicem per
eundem numerum ., auseroa nihili ratione rationem
quadruplam , adeo ut ratio ex nihili ratione, dc ablata ratione quadrupla composita,sit sui cluadrupli stant igitur aequali spatio a ratione nihili ratio quadrupla, ct iram subquaarupla, seu excessiva quadrupla
179쪽
υθ ME IBO MI DIALOGus x Moeninis desectiva, in diversas tamen partes. Plane urusi nihilo addam iasia nihilo inseram,uterque numerus aeque anihilo distat, sed in partes diversas. Similiter si vel in orientem ab urbe quatuor milliarium iter saciam, vel quatuor milliarium iter in occidentem, aequali itinere uti ovis loco consistendo, ab urbe absum.
Praeterea tanto spatio ad dextram ab aliquo distare pos sum, quanto alius G sinistram. sero autem nostri
respectit, qui excessivas illas rationes facimus, quarum antecedentes consequentibus sunt malores adderem
autem illorum respeetu, quia nihil ratione nobis qui
dem deficiunt, sibi autem contra majore item antec
dentisvi consequentis distantia, excrescunt,& majores fiunt. Certissimis his, ipsarerum natura petitis primcipiis , omnis nostra ratiocinatio adverses silia Euclidis principia, di non satis considerate adsumta,ssatumin iuri Addo igitur, nostri respectu, cujusvis generis,a
tionis, aut excelavi, aut deseetivi, antecedentem per quemVis numerum multiplicandes consequentem au-ιem cujuseis generis rationis, aut excessivi, aut desectivi, per quemvis numerum multiplicando, nostri respeetii ausero inare si per eundem numerum, antecedens ct consequens culaevis rationis multiplicentur, eadem ratio manet; quod,quantum addo, tantum Sauseram &, dum primus terminus permultiplicationem adicendit, adscendendo quoque per multiplicationem sequatur terminus secundia; Porro uti excesilvae rationes per antecedentium terminorum majorem multiplica-xionem quam consequentium, a nituli ratione ad sicen
180쪽
derunt; sic desectivae rationes per in o meo uen sum terminorum multiplicationem quis antecedemtium, infra nihili rationem descenderunt. Ratio igitur sesquialtera, bHratio tripla, minuta ratione dupla. Multiplicando enim nihilirationis: antecesiqnwm per 3, addorationi nihili rationem triplam Pat consequentem nihili rationis multiplicando pera, aufero a tripla ratione rationem duplam. Quod si jam compensetur tripla ratio,addita, cum dupla ratione, ablata, residua est triplae&duplae distere iit salis ratio, nempe sescupla. Rursus rati lublupertertia, est ratio tripla, minuta ratione quadrupla. Quoniam enim multiplicandonihili rati nnis anteeedentem per l, addo nil uli rationi rationem triplam , conlequentem autem nihili rationis pqr multi'
plicando. tripla rasone aufero quadruplam, planum
est, quandoquidem plus aufero quam addidi, infra nil illi rationem sere quae compensata utraque relinquitur, rationem nempe subsupertertiani, qua subtriplaevi sub quadruplae differentialis ratio existit. Atque hinc se
tractionis doctrina claram luCem accipit. Si enim aer Hones auferre velim rationem , antecedentes inter se multiplicandovi coninuentes, prius invertendi sunt rationus auserendae, , termini, hoc modo, Multiplicam do deinde rationis . ante dentem per addo ipsi r itonem duplam admusicumanteaquoque adesseti tio dupla, jam inde saeta sit ratio quadrupla, in iis termini φ2.1: at rationis i consequentem multiplicando
per Mero a ratione quadrupla triplam : quae comuentam hi terminis exponimus, φῖ L 3. laydsjam