M. Meibomii ... De proportionibus dialogus. ..

181쪽

compensentur quadrupla&tripla,residuaest earundemd entialis ratio. pertinia. Caeterum rationis Pantecedentem' multiplicando per 3, addorationi Prati nem triplam, sic ai. 7. q. at ejusdem rationis consequentem multiplicando per . , aufero et ratione

ratiotaem quadruplam, in his terminiS,2I. 7. l. I6. Quo

niam autem ablatae quadruplae rationis supra additam triplam excessus , nempe ratio non est tanta, quanta est primitiva ratio ideo residua eit ratio excessiva. c. Rursus, rationis rantecedentem 1 multiplicando item pertiad rationi orationem triplam,in his terminis, I . . : sed consequentem multiplicando per ausima rationes' rationem quadruplam quae conjunctim his terminis exponuntur, is s. i6. goniam autem a latae quadruplaerationis supra additam triplamexcessus, nempe rati majores quam primitiva ratio: igitur ambabus compensatis ratio exurgit defectiva, nempe Seu ratio ablata adscendit supra rationem additam .

ideoque ex primitiva ratione excessiva, saeta est, per malorem ablationem quam additionem, defeetiva b

Certissimum ergo est, majorem esse rasonema quam

stratio. quoniam, dum utrique eaden addita est, uec

eadem ab utraque ablata, majorem residuam reliquitrario 'uam raso illa, rationem I, haecine quidem nihil rationem, sed desectivam Uerum enimvero hinc colligi nequit fad . a 'rem rationem habere quam 4sq. quandoquidemsi tripla utrique addatur,. rursus quintupla ab utraque auseratur, residuae suntinuones z quarum haec di in genere desectivo

182쪽

D PROPORTIONIBUS .rmajor est quam illa, in genere excetam Ex his a tem omnibus illud primum constat, octavam propositionem, dum per septimam desinitionem, hoc est, per iniuripta, pronatiaridemonstrari per rationum additi nemin sibimetionem. Quod quidem idem est, ac si

quis probaturus numerum 8 majorem esse numero 7, addat utrique eundum numerum, ut unde consurgunt iactu rursusaut eundem numerum ab iis au serat, nempe io unde a priore residuus est et, a posteriore

autemi denique hinc colligat, majorem este quam 7. Quem certe demonstrandi modum,si quid divinillam inis vobis superest, ineptum judicabitis quandoquidem, qui absque demonstrationcinax in lumine, non com- P ehendit numerum 8 majorem innumero, totum nempe sua parte, nec absque demonstratione credet binarium esse majorem unitate. Omnesautem homines totum quavis sua parte majus esse, communi notione

percipiunt seu, majus esse, quod longius ab initio suo, hoc est,a nihilo distat id quod Euthymius principii loco adsumit. Deinde, nisi residuae ratio sutraeque sint excessivae,filsum illud octavum diuorem hinc enascitur. uti enim , si a tr&io auseram i, residui sunt idc qui inter se aequales existunt, sed alter excessivus, alter deiectivus: Sic si a rationibus inrauseramrationem Gresiduae sunt rationes in inter se aequales; sed una excessiva est,altera desectiva. pota ulti haec in mii doctrinam valdeconfirmanti attamen noniatisad sequor, cur non Euclidis quoque considerandi modus

inerim t. Si enim mistum nihili , omni desectivo,

183쪽

O MI DIALOGur adeoque mist, ,Sisinum, aliis,etiamo thymusententii pagina n. sertius adeoque majus est certe

pronunciare possumus,4 ad φ malorem rationem habere quam 3 ad . Rursuri quia mimam majus est mi. Mali dicem 4 ad. maiorem ratione in habere quam

et ad . Ita enim Sm excesilvis, dc defeetivis, ut Eutlaymius Vocat, rationibus, eodem modo, sine ulla mentis turbasticuirinuijorem terminorum liue rationem,ex majore ratione dest, ex ea, quae minus ab excessivamvlore ratione dictat,ubi rue definiemus. Ideoque subtuitates merae potius mihi visuntur,quae hicdisseruithleta molimus, quam ut utilia censeti polsint, nedum ut neces sario in Geometriam sint recipienda. ARCHI M. Certe non satis adfinitus es, o Apolloni,cui Euthymi ratio nes considerandi rhodus rutvlimentum in natim ha beat, Euclidis autem illo destituatur. Primum enim, quoniam ratio , exe,pli causa, aeque distat a ratione nihil an ab haera ne nihili distat riuio uti anuhilo aeque distant i admodum concinne, rerum naturae convenienter, dicemus, illi duas rati nes, iisdem strinitas comprehensas, aequalis existem;

uti numeri 1 Si inter se sunt aequales unam autem tamv

is spatio supra nihili rationem adscendere,quanto instanihili rationem descendit altera plane uti excessiva

nitas tanto intervallo nihilum superat, quanto defeetiva unitas a nihilo deficit. inre sicut duae excessivae Minnim,' &: compositae, utravis inponentium in mrem excessivam rationem faciunt, nempe Lita compositae duae desecti , ἰδοῦ, utravis componentium ma

184쪽

rem desectivam rationem, , exhibent. Nee illud te turbare potuisset, quod demitarum viribus concinne

proposuit Hermotimus, si vim totius ratiocinationis pro lance inspexisses. Omnium enim rationii , excesi1-varum S des rarum, ininiuia est ratio nihili. Cuni ergo ratio nihili somni alia excessiva ratione minor sit, etiam ex Euclidis sententia, conflat excessivarum rationum nullam propiorem esse finibus defectivarum Deionum , ideoque mistum omni excessivo isto esse tibilius Rurius cum ratio nihili romni alia desectiva ratione tuoque minor sit, quoniam minime est de in Va, magis autem desectiva est ratio hac magis dese-etiva ratio P sicut a major defectivus nunierus est

quam &-; adhuc major defeetivus numerus quam, et, sc deinceps planum est, dese Pisarum

rationum nullam propiorem esse finibus excessivarum

rationum ideo tu mistum omni defectivo misto esse sertius. Quis cluidesti, si quid de his percipio,

Geometi iam in rationum contemplatione faciliorem

reddunt, Arithmeticam quoque in doctrina deis nutiis. silenim, go vos, o eximii mathematici, clarius docetur, quid concinnius, quam quod rationum omnium quasi centrum sit ratio nihili, supra quam in numerae rationes, inagnat parvae, tanduam diversomni hirculorum radii, adsurgunt , sicut in ista illam, ejusdem magnitudinis,quasi radii,siae deprimuntur Cum amexcesiva ratio sit, cujus antecedens consequent majorest, quanto spatio haec supra, quasi centrum suum, inuonem nihili, elevatur, tanto inua hanc deprimitur

185쪽

cognominifriari desectiva, cujusantecedens consequem te est minori adeoque una cognita, nota quoque est abstra,& simul spatium inter utramque interceptum; seu, illarum disserentia. Namque ratio sesquialtera a ratione subsesquialtera distat, ratione bis sesquialtera quia

nempe tanto spatio insta nihili rationem descendi ratio subsesquialtera , quanto supra illam adscendit ratio seu quialterata. Quod significanter admodum, S toti doctrinae suae concinne Euthymius enuntiat, rationem nempe sesquialteram excessivam, superare rationem sesquialteram desectivam,ratione bis sesquialtera. Quanto igitur excessiva quaedam ratio major est, hoc est, tius supra nihili rationem adscendit, tanto quoque major est cognominis defeetiva, hoc cst, altius infra nihili rationem descenditi sare cum continua serie octies ratio faufertur a ratione excessiva postquam quater

ablata est, ventum est ad rationem nihili, quarto graduinta rationem Isitam ; postquam rursus quater a ra tione nihil ablata est ratio: , deventum est quarto gradu, nostri respeehu, infra rationem nihili, ad rationem :desectivam. Atque hinc Euthymianaeadsertionis ver tas deducitur, rationem scilicet : majoremesseratione is adeoque ad malorem rationem habere quam 5 ad 9; quod hae duae rationes, o ,ab excessiva, ut aratione'. ablatae, , tanquam major,minorem residuam rationem exhibeat, nempe quam minora, quae residuam acies . Sicut in mere excesilvis rationibus,ratio : maior est,

tione . quia si utraque a ratione auferatur, illa min iem relinquit,haecmajorem. Idem quoque exadditi

186쪽

:D PROPORTIONIBUI σse mantinum. Omnium autem consonantissimahuic cloeti inae exempla Harmonice suppeditati Homopho

num enim aeu unilonum,duae chordae, in ratione nihili

tentae, sonant. Aod si harum chordarum a tera in sescupla ratione tentis sit alterutra quae unis uin eadunt, excessivam rationem, adeoque consonantiam audiemus, diapente intensum sin illarum chordarum abstra in sesquialtera ratione remissior sit alterutra quae uni sonum edunt, desectivam rationem, adeoque consonantiam,audiemus,diapente remissum. Quanto igitur spatio excessiva consonantia diapente supra nihili consonantiam, seu unisenum,adscendit, tanto spatio de sectiva conlanantia dia pente insin nihili consonantiam descendit. Utraeque autem dis dia pente intervallo in ter se distant. Deminutiis similiterratiocinamur quipape minutia , tanta ratione integrum,nilaili ratione conbprehensum superat, quanta rationei nutii 4b int grodeficit,hoc est, quanta ratione integrum superatnai -

nutiam Qualita autem ratione nun ulla i malo est quam minutia , tanta ratione minor est cognominis

deis tisad quam defectiva cognominis qui major

deseetiva, malo em ab integro distantiam infert. Porro excelsiva minutia , superat nainutiam defectivam , a tione quadrupla, excessiva auteni minutia superat cognominem desectivam , ratione bis supertertia, seu , ratione dupla, minuta ratione super octava Haec coi templatio iis rerum natura dundata est, cum terum. adeoque clidis,dcq ndam nostra, ni fisendamem to,si verum fateri velim careat. Minutiarum autem

187쪽

14 EIE OMI DIALOGUS considoratione deceptos suisse antiquos, inranios vidit Euthymius quippe in ea cessivis rationibus, Sisin

His,e deni veritas omnibus seculis constitit. Caeterum. facile quoque existis colligitur, diversi genetis Iationes, ς ivam4 desectivam, inter se, quatenus una altera major est,aut minor,comparari non posse quod in paratio ejusdem generis nomina requirat quippe eodem circo, eandem versus metam decertant, quorum

celeritatis inter ipse expendituri, divites cum divit

bus comparantur, debitores cum debitoribus. Quare

Lucius, qui triaminia in bonis habet, comparari nequit cum Titio , qui quatuor millia debet; quod hic plura debeat, quam ille posiideri sed bene Lucius cum Maevio, qui duo millia possidet, comparabitur , dc Titius

eum drimulis mihi debet. Similiter, si hi quatuor,

Lucius,Maevius Titius, Sejus, in centro terrae consist rent sulaepto autem itinere Lucius adscendendo tria milliaria emetiretur, dum Maevius dues quoduterque adscendat, & ad easdem superas auras evadere conetur, hi bini inter se comparari polliunt, ita ut Lucius MaeVI m sesquialtera ratione celerius adscendere dicatur. R 'sus autem Titius, si descendendo tria milliaria emeti tur, dum Seius duo quod uterque descendat,adeoque ad eundem tendat scopum,hi bini quoque inter se comparabuntur. Sed Lucius qui adscendit, non respicitTitium qui descendit, etiamsi sciat, se adscendendo non suisse Glariorem quam illesuerit descendendo , quodviavilla ni parationem cum ipso veniat. At vero si uterqueadscendisset, Lucius omitem habuisset Titium,

188쪽

ideoque ob parem celeritatem, nihili rationis compar tionem incurrissent. Excessus igiturin desectus inter se secundum quantitatem,li est,ssitantiam comparantur; quod non ab una eadem parte nihili processerint. Porro ut excessus desectui aequalis esse potest,aut eo major,aut etiam minor; vicitam finitia ter de rationibus definiemus Excesilva enim ratio tanta est in suo genere, quanta in suo genere desectiva ratio . Nee fietio hic cuiquam potest, de qua min pagai3. Hermotimus Fingatur enim nihiliesse ratio, ratior, quam supertertia ratione Vincat ratio , unitatis loco ponendi hane rursus stertia ratione superet

ratio , quae propterea est praecedentis Hupla nona men magnitudines, aut termini, qui rationes compr hendunt,&mutuo respectu liciunt,li fictione tam tu Haec omnia cum considero, non possum non in Euthymi sententiam ire, qui octavam propositionem

sciam censet inod in tribus casibus praecipuis, oblatis,puto, causit,ante piobavitΗermotimus. Sunia tem in universum casus quinqueta Aut enim tertia Dutrique reliquarum aequalis ea, aut inaequalis. Si qualis,aut majori aequalis est, aut minori: sin inaequalis,

aut utraque minor est, aut majori, aut majore quidem minor, nore autem mmn Quos casus si Hermoti

IV. . . . Horum duo,primus 'quintus, ad octa-Vae propositionis primmn membrum expensi, veri sunt; sed adlecundum quoque, revertendo, ML Duo au'tem,secundus Aquartus,contraia primum membrum

189쪽

examinati, falsi sunt 3 sed revertendo, vera Tertius cibi sus spurius est, nec comparationem admittit. Nullo, itaquo casu tota octava propositio vera invenitur. D cima autem propositio cum Oetava, cui, ut sundamento, superstructa est, corruit. Quod demonstrare instituit inrinolimus. Porro novam propositionem,Stachiudea generaliorem, quatuor istis casibus convenientem, ex Euthymi principiis hanc efformamus. Duaram imaqu-- magnis--- uti, ade--, trauqueasum-rem,inu minorem, auriserum aquaum majorem Orionem

habet, tu oritin ab hac dis, γ' vici m. Atque haec breviter ad Euthymii, ni fallori mentem hic disserui,ut quae mea de his novis inventis sententia sit, omnes c gnosceretis. Eu CL Et judicii tui perspicacitate, ct do- strinae ipsius,undecunque confirmatae, evidentia addi, immut in haccinis victi circinum&rmulam Euthy mio tradamus. HERMO T. Gloriosa vero victolita, ingeniosissimis advertarus extorta. Tuo autem, 5 divine Archimedes, judicio adprobatam esse hanc doctrinam, tua voce defensam, hoc ve o est, aeternae veritatis monumentis a summo geometra illam esse interianae Nunc ad ea pelgam, quae in Schesiaste, dc in vestris propositionibus, notavit Euthymius. ARCAt M. Superfluus iste labor erit, quod nunc ipsi illa corrigere sciam Η1RMO T. Illa quoqucis pateris, reseram, ut Scaeteri magis ac magis in Dac nova doeirina confirmenturi Scholiastes igitur in quintae ct septimae definitionis explicatione, quam pag. 28 retuli, clidea probandi me

thodo relicta, in t aliam confinxit. Euclides enim

190쪽

si manifestum. Omnium autem consonantissima huic do Minae exempla Harmonice suppedita Homophonum enim,seu unisenum,duae chordae,in ratione nihili tentae, sonant. Quod si harum chordarum altera in sescupla ratione tentior sit alterutra quae unisonum dunt,excelavam rationem, adeoque consenantiam au diemus, diapente intensum sin illarum chordarum abstra in sesquialtera ratione remissior sit alterut a quae mnisenum edunt, desectivam rationem, adeoque cons nantiam, audiemus, diapente remissum. Quanto igitur spatio excelsiva consonat uia dia pente supra nihili consonantiam, seu unisenum, adscendit, tanto patio de sectiva consenantia dia pente infra nihili eonsenantiam

descendit. Utraeque autet dis illa pente intervallo linter se distant. De minutiissimiliter ratioCinamur quis pe minutiar tanta ratione integrum,nihiliratione comprehensum superat, quanta ratione minutia bab instagro deficit,hoc est, quanta ratione integrum superat mi nutiam . Quanta autem ratione minuti major est quam minutia , tanta ratione minor est cognqminis

desectiva. quani deiectiva cognominis qui major desectiva,majorem ab antegro distantiam inserti Porro

excessiva minutia , superat minutiamdesectivam ratione quaesupia . excessiva autem minutia superat mominem deseruvam . atione bis supertertia, serui, ratione dupla, minuta ratione superoctava. Haec comtemplatio in rerum natura fundata est, cum Veterum, ,siverint, fiteri velimus, carea Minutiarum autem