장음표시 사용
71쪽
proportionalium tetriinor P FE primuri': ternimum,' 'erit ex prop. r. FB aequalis omnium simul prudistia traminis. Quod erat Sc.
riorum maisum ex ordiis succedensium.
Dico, Darium Hyperbolicum AM FB aquari parallelogram-- ΜAEF, em triauuis AEG , σ trilineis parabolieis AE RAE I, esuri se Aiso per easdem ordinatam abscissis. LIneae siquidem FE, EG,EH, EI M. erunt continu proportionales , nempe correspondentes potestatibus abscissarum D A , A E ordinatim crescentibus, ergo pro p. pracod. erit aggregatum ex ipsis equale toti F B similiter ducta quavis alia parallela fb, ostendetur, hanc aequ*lem esse aggregato linearum correspondentium se,re,ibe, se&c. ergo omnes lineae spatii hyperboliet M A BF aequa Ies sunt omnibus lineis parallelcgrammi M A EF, necnon omnibus Trianguli G A E, Eriri lineorum HAE,l A E&c. ade ite ex methodo indivisibilium quam in praesenti negotio. & in plerisque antecedentium Propositionum facit. ad Veterum exhaustionem reduces, loco linearum aD sumptis aeqvh altis parallelogrammulis figuras circumscri. G be
72쪽
hentibus spatium. Hyperbolicum AM FB aequatur parallelogrammo, & Triangulo, Tri lineisque paradolicis supra descriotis. Quod erat &c. COROLL. I. Hinc habetur, idem Hyperbolicum spatium A M F B vel huic aeq le A D L DJ aequari parallel ram-- EF, cum semisse subseque,tis AEG,& triente alterius
quentium parallelogrammorum eontinuis proportionalium, quorum summa aequatur
e'im , cum ex aliis, tura eiunobis, Ristin
triangulum GE A esse circimile rapti, siri parae x lalogramisi semissem, sed trilineum paraboli Qu . dra ticae esse triente4 Cu bicae verd quadrantem, atque ita deinceps, suorum respecti vh parallelogrammorum 'COROLL. II. Unde sequi ur, complamentum parali latram mi MFBN , scilicet residuum spatium Ab BN, aeqliari reliquo semissi parallelogrammi AEG, & duobus residis trientibus parallelogrammi A EH , cum tribus qua-
drantibus sequentis AEI,& &c. subsequentium C OLL. III. Hinc obvium est, arithmeticam seriem iexibere dictis hyperbolicis spatiis aequalem, adeoque aream hyperbolicam numeris quam proximε exprimere, ad ipsius valorem cum noto rectilineo spatio comparandum, si vitidet cet, determinato, ut prius, inscripto parallelogrammo A D C M pro unitate, & M A E F pro quavis. ejus pom 'tione Dissilired by GOmli
73쪽
E J &c. Vel si mavis parallel natur semissis ipsius A D,spatium ABFM iam terminatum ordiis natis rationis duplae erit α
EAati a Quadraturam analytica sensisυ cooismare , ejusdemque cam Lo ιι -- consensam aperire ID non melius assequar, quam si doctissimam Epistolam hoc loco rescripserim, qua id,pro sua in me humanitate, praestate aggressus est Geometriae, & Analyticae rei consultissmus Adolescens,& de quo magna sperare liceat, Gabriel, Manstedius, Eustachii Clarissimi Mathematici, atq. Astrono.. mi Praestantissimi cujus Tractatum de Curvis Planetariis Cassinianis, cui dudum incumbebat, expectamus , Otium que ejus persectioni necessarium ipsi apprecamur I in Patrio Bononiensi Archigymnasio Mathesim publich Pr stentis,i Dignissimus Frater, quum illi meum hoc inven-G a tum Diqitigod by GOrale
74쪽
tum de more communicassein, eaque utrumque nostrunus sollicitudo teneret, annon cum Lobnitaiana Sectoris Co
nici Quadratura, sectorum t6 r. mxse Aprilis propo, ita , consonum esset, Neutro scilicet nostrum in Cl. Mercatoris oper bus tale quid de Hyperbolae Quadratura jain dici propositum esse luspicante, quod postmodun animadvertimiis, ut in Praefatione iam dictum esti osten.dit enim , ex iisdem Leibnitaiani Calculi principiis, Aream Hyperbolae, tum ad nostram, tum ad Lei Miletianam seriem reduci posse. Ne vero Tyronibus Geometricis sal biosior ejus ostenso videatur, abi paulo pressius arguit, asterismos apponam parenthes incluta, iisque ex ordine respondebunt Notae ad calcem Epistolae subnectendae, quia bus omnem deductionis vim in aperto Iosuisseine arbitror.
75쪽
76쪽
Debet litis ueressaria tua ingeniosa iumentio cum eu, qsa D. Leianit ius ostendit, coincidere, nec mibi amplias dubiam erit, quin mestrum utriusque montem assequutus , qras in Veritatem ananimiser conspirare tandem de ebenis. Te Visci. cte.
NOTAE IN PRAECEDENTEM EPISTOLAM.
NE iterum cogamur fractiones repetere cum nimio Typographi incommodo , illas subinde significabimus per asterilinos adnexos, ita ut quilibet asterismus cum nu
77쪽
mero coniuncto denotet, vel seriem, vel simplicem fractionem, quae immediath praecedit similem asterismum in Epistolae textu. 'i Quoniam videlicet series haee ducta in I. producit seipsam , ducta vero in - x dat -- -- ab x ab κε δε &c. ubi omnes termini elidunt singulos prioris seriei, integro selum remanente ab aedae numeratore fracti nis illius, cui haec series in Epistola aequalis asseritur. Via
de Mina ingeniana Theoremata cap I . n. s.
Differentiae enim cujusvis potestatis indeterminatae aeest eadem potestas ducta in suum exponentem, & una ejus dimensione differentiata, quantitatibus constantibus, quia bus assiditur, invariatis, quippe quarum nulla est disserenistia ut ostensum est in Trinatu δε-I finitis. in Sebia. op. V. imaue differentiando hanc seriem prodit illa praeis cedens ab aedae t abo, i abae &e. si Sit enim integra diameter transversa ACH, &tangens G D producta occurrat H L tangenti oppositae Hyperbolae in L; erit ter42. 3. CoumTAin HL quartae paristi figurae, seu quadrato secundae semidiametri CF, nempei, unde cum AT sit x, eris H Leta et divisae per x 3 itaque t - xx erit HL in AT minus AT quadrato, seu HL AT in AT; & x lxx erit HLin AT AT quadrato , seo HLt AT in AT; quam x -- xx. x t xx : ΣHL - AT. HL 'AT:: HD-D A . H D t DR :: Aut CD-D A. H A C . a CA: GD . CA: CR . GEs 3 . r. C-is. J a . CE aequalem fractionis propositae. ' 4 JQuia proportionalium EC, AC, DC etiam differentiae sunt proportionales , erit EA . OR :: EC . AC, vel CH et componendo, ac convertendo, A D. DEI: CH . H E :: a. at ' 3J, quod instituta divisione perti multiplicatione per I xx dae I xx. I tot Iz: I -- xx. 2, cum ergo in eadem ratione A D. DE si ΑT
seu x ad EG , erit haec ποῦ fractioni propositae.
78쪽
's Cujusvis enim fractionis differentia est factum ea denominatore in differentiam numeratoris, minus facto ex numeratore in differentiam denominatoris, utroquo dis per denominatoris quadratli: put, differentia ipsius itaque differentia ipsius t 4 4 α aggregato 2ώ- a xx dx' 4 xx dx nempe a dae t a xxo diviso Per quadratum residui ex x - - , ut denotat fractio hic assignata: quemadmodum & supra ipsius a differe tiale postum est quod resultat ex divisione 4xdx per xl κε - γην , quia a axdx-- aax dxt aa H d α ' a ax di
CA idest ad CD, quae proptere, erit, ut his notatur. ' 8 Nam CG est radix quadratorum CE,& GE,idest 'a , & ergo CG aequalis radici polynomii a ax ia a taaa κα et κη divisae per 3 -κη,est ad GE '4 , ut CDi r Jad DX aequalem fractioni propositae. 'ς Etenim DA CΑ- CD a - a xxta ata xx divisis per hinomium x xl a a a xx per idem binomium diviso , est autem CD m I ad C Ama, iit ipsa DA ad Α Ε, quae ideo prodit i a xx divi. sum per x - xx, undh tota DE sit summa ex a a xx divi. so per araet i, & ex eodem divisis per I--xx ; quod re linquit Aa κου divisum per i ς Jam, ut disserentia CE
79쪽
α aedae diviso per quadratum ipsius a DE, α fractioni nuper inventae, ad DG VJ, ut proponitu ro ob proportionales G D. Jad aaκ- χax divisos per factum ex binomici l lxx an radicε polynomus ax' t aata xxl ut aedae divisus perquadra
cem polynomii a ain t a at aaa xx 'Α x x, quae fractio evadit tandem α. ' io dividendo numeratorem Pen
' rr Quippe ex dictis nam. 8. CGra radici polynomii oax t aat zaax xl xx divisae per i xx, quκdu inridat pro rectangulo duplum propositae fractionis, cuius adeo dimidium triangulum Elementare C Og eidem
Bactioni adqquatur. ra e reductio in infinitam seriem trianguli es mentaris , ejusque integratio pro valore Sectoris Hyperbolici, patet ex iam notatis in simit, ad -- t. σ x. Qua hmanifesta sunt omnia Viri Clarissimi, Pronunciata: Quntamen nolim pro Viris in Geometriae adyta iam admissi. sed pro Tyronibus tantum notata esse ε it que. ζαι satis Ma vomis, ne sibi dicta putet: Quamquam adhue Iono pluribus. dicendum esse vereor: istut neqxesic eviano, itan Abi dicta puent.
DUm nuper Florentia transirem,Pisas rediturus, apud Celeberrimum Maelia chium Acta Eruditorum Liapsiae anni iro8. cursim videre licuit, in quibus novam H Analy-
80쪽
Analyticarum erationarin expressionem , typographis m eis commodam, ab Illustri Lemnitrio propositam, usu
pati ammadverti, cum voto, ut Geometrae omnes in ea.dem signa conseruire velim. Idem di mihi propos ratipse Leibnisaius, doctMmis litteris s datis Hanouerae xi. Julii a o s. quibusopusculum hoe nostrum tetri nis
micum comme bat , ted non ausus sum ad praetim deducere , ne tam frequens signorum mutatio confusionem pareret, nunc autem, clim eadem Leibnitetiana signa recepta apud Germanos videam , nihil vetabit , quominus eorum usum & apud Halos primus ipse promoveam. Itaque pro vinculo contui en te ali auod polyncimium, parenthesim deinceps νpponam ὲ pro Iigno divisionis, duo puncta adhibebo, quibus diistinguetur numerator 1 denominatore flamonis; pro multiplicationis indice, inter duo
distincta mei ibra cin crumiae, unum comma lapponetur,
nisi simplax illorum iuxtapositio idi satis expresserit Eisivssi denotabit a divisum per b ; iando etiam e: e αf:g indicabit fractionem ex ediviso pera aequari, minioni ex f dimis pes e, five etiam s quod aequalitas tactionum Dicit J effer ad σ, in farie; unde Ape non
alio-mgebimus signoseoportionalitatis, cum idem inse possie ad aequalitati,inratianoen indicandam,quod arus arvin quamditatutum litutem reserie jam solet. Ru sus ubi invenerisi xx , inrelliges se divisum pre quadratum totius complexi ata'; items xa -κν--xxJ:
1a -κ ' significa,ticomplexsi exquiarato ipsius
N ex - xx dividendum per quadratiam eomplexi ex 2 a - πιSimiliterque x r denotabit ipsius M talem potestatem, quam indicat unitas, divisa per F ; eademque ratione , calx exprimet complexi ab talem potestatem , quas m rarur 1 m clivisami per m. Pariter v aat ex stabit pro radines eruenda eo binomio a atxx . Quoties occurret ad quantitatem e o addi debere tactum Diuitiam by Cooste