장음표시 사용
81쪽
exfin complexum g tb , quod si totum cels multiplicandum fuisset pergib, scripsissem I celsi, Uemultiplicetur verois in factum ex et e duiuo in radicem. scribetur M , semper ad ad indicandum factum ex piaribus quantitatibus invicem' multiplicatis, commate inter sit gula membra posito me pedietur: excipio numeros, in quibus multiplicatio dein more indicabitur insertis punctis , ut a. 3. 4. significat Etum ex his tribus invicem ductis, nempe r o Tandem uia oecurrent series plurium Damonum. aut tu rumore sesito interpositis lineis indicabo , nec enim spatiα typorum vatidh tultabunt, si extra textum litterarum in una serie t tam aliquam lineam occupante disponantvrs vel si ipsas , , Leiuniis nomodo consignaretibuerit,pun-cum nun .stinis oriam singulis . ad eas distinguentas. et τοι-- p .ficabit frassionem, ex lis diuia 'so per e, Cum alia framone ex a e diviso pexu , cumaliae rursus in qua af divistur per ρ &c. . l.
propinior 3 Sint eadem ν, quae in primo g. Ingenios simae Epistolat Q. perius adductae,
nendus est C A sectioni saxis 'c, AL vero, aut AI
tangentis mitio vertici & asymptotis interposta quae &H. 2 aequam Diuili od by Corale
82쪽
loco b substituto in quantitate ab ἐκ: a XJ designante, ex dictis, spatiolla elementare inm, evadet hoc spatioisi α e : ra -xκ ,& multiplicando tam numeratorε, quam denominatorem per 2 , mox denominatori addendo xx - xx quod non variat valore, citim sim o fiet aaedx: 4aa- qax κ)κω κκJ seu 2 aedx: 2 -κ ωκὶ radicto spatiolo. Com si autem Κ L parallela G A ,re 4 . 3. Come. ut L A ad ΑΟ, ita ad Go, vel Id ad QO, & summa antecedentium L At I Q, summam consequentium Aia, seu ob parallelas, LM t CH ad HM nempe a a - κ ad x ::LA, idest i , ad AO κ:s et a -κJ quam vocemus t , ergo ipsius t differentia -κJ ejusque qua .
G HV, quod resolvendo de more in seriem infinitam,
83쪽
prodit d te ιβ de Zec. cujus integrale iam: &c. prorsus ut Clarissimus LeibtinZius determinavit , aequale spatio A MEI G , sivG sectora hyperbolico AC G , cui illud aequatur, ob triangula C Η G, C M A aequalia ,& commune ablatum H RC, ac utrique additum spatium Α R G. Patet igitur nostrarum speculationum consensus cum profundimmis Summi illius, & Incomparabilis Geometrae cogitatis, quamquam haud putarim per tot ambages ipsum processisse, sed lo o simpliciori demonstratione s illi sorth assini, quam pro Circulari, & Elliptico sectore prep. 9. jam dedimus 3 i Veritatis hujus cognitionem venisse.
νον πιι in diatriba de causa gravitatis; sup
84쪽
MONITUM. a Bistatam vides , Mi Lector, Hyperbolae per infinitas parabolas .adraturam . & extra cuiu 'i' dubii
Uiscrimen iam postam,ostenso ejus cum Leibnitetiani, sp eulationibus consensu , Ad methia, tamen confirmationem subdere placet aliquot aliunde nota ad Hyperbolae mensuram pertinentia, quae ex nostris hisce Propositionibus sponte sua profluunt. Exempli causa.
PROPOSIT IO XVII. Omilibet Hyper, eum spatiam LCMAb B, Hyperisti,
su idem parallel grammum Μ A D C circumscribitur, &trianguisio CAD, & trilineispar bolicis CHADGIA &c. iuxta mp. 24. sp tium Hyperbolicum i titulo designatum aequale inscriptoe paralleIograminmci semel interrhaccepto, una cum I: a 4 r: g οῦ 1 24 3 et: s , I: 6 ' I , ε . . Musdem Veiam omnes hae fractiones, quibus unitas per singulos numeros. denominatur, aequales sunt infinitis.un talibus nam tres primae superant unitatem, & nov- s quentes adhuc aliam unitatem excedunt, & 2 . deinceraltera unitate rursus sunt majores, &8 a. succedente milis
85쪽
ter plusquam aliam unitatem conficiunt, atque ita porro sumptae juxt altiores potestates ternarii, ut observat V. Cl. Petrus Mengolus Bononienss libri de inadrat Arisb. ergo Sillud spatium Hyperbolicum Ioneitudine infinitum aeqvi valebit infinitis numero parallelogrammis inscriptis,aci eoque absolute magnitudinis erit infinitae, ut dudumsalii demonstrarunt , & nos ipsi ostendimus in Hugenianis
COROLL Spatia infinita eiusdem gradus, quantumlibet finita quantitate differant, έunt invicem aequalia: puth, ip tivm LCMAB, S spatium L B, utraque ad patres Blai finita , sunt exactissime aequalia, licet primum videatur suis perare secundum spatio M Α Β F. Hoc quidem satis per se notum est intelligentibus quid sit Infinitum , neque id ululani apud Geometras dubitationis umbram suscipere potest , quum sciant, finiti ad infinitum nullam esse rati
nem, proindeque non crescere posse infinitum ex solius additione finiti , quemadmodum neque crescit linea ad unius puncti incrementum I & generaliter, quantitates, quarum differentia infiniin exigua est, semper a Geomet. tris, & Analystis aequales censeri, ut praesertina videre est apud Thomam Cevam in eleganti opusculo de Parab. ad mod. ellus confid & apud Hospitalium de Quia tamen Philosophorum nonnulli id in dubium vocatare ausi sunt, ex suis dumtaxat praejudiciis , crassaque imquendi, & aestimandi modo rem metientes, non gravabos id exacta demonstratione in hunc modum stabilire.
Ostensum est bae propos infinitum spatium LCM AB aequari parallelogrammo MACD, ejusdemque semissi,&trienti, & quadranti, caeterisque partibus per singulos
meros denominatis; eodem autem tali inio oonstat, ἐκ
spatium infinitum L CF B aequari parenelogrammo F B L C, cum ejus semisse, triente, quadrante , satilibusque partiubus deinceps assignabilibus ; sumque integra parallelogram
86쪽
ma M ADC, FBL C per ra. a. conis. invicem aequalis, ad que etiam utriusque semisses , trientes, quadrantra,"libet similes partes perpetuo aequantar; ergo & ipsa infinita spatia praedicta , licet finita magnitudine M A B Fdifferre invicem videantur , exacth aequalia nifulominus erunt. Quod fuerat demonstrandum. Sc HOLIO N. Im , nedum is si ita magnitudines aquales censenda sunt, iam ita quaσtitate benisi excedunt, sed quandoque etiamsi erieris. absolutὸ ια ito se invicem superent, possunt nibilominus aquales manere , ei ne scilicet integra magniturines , qua comparantur , non fuerant in eodem genere Infinitatis euis sua differentia , sed in ordine auiori , ut patere potest ex alias ditiis in Tract. de Infinit. Infinitor. prop. I. Coroll. 1.
PROPOSITIO XVIII. S ratis Ust M AE , AHB, ordiuatis proportio radibus A PF siue eo tinuis Isis discretis interiecta duaer
vini autem tum integra parallelogramma, tum integra
87쪽
triangula VSC, ADC inter se aequalia per II. 1. Coutc. ergo & eorum portiones similes V QM Κ,& A EF M, ne non V X P, & A E G invicem sunt aequales: similiter ostenis deretur, reliqua tit linea parabolica, quae utrique segmenisto corresponderent, facta utrobique descriptione , quam prop. t q. neri imperavimus , esse pariter invicem aequalia, quippe eadem pars integrorum ejusdem nominis . trilineorum, parallelogrammis VSC., ADC M instriptorum , quae, non minus ac ipsa parallelogramma, invicem aequanis tur; aequalis igitur semper erit infinita series exprimens, iuxta. prop. 3 4. usque corollaria, Valorem , seu quantitatem
utriusvis segmenti hyperbolici V QMA, A MFB , quae proptereri hae etiam methodo aequalia ostenduntur , non minus quam id geometricε factum fuerit, tum , Gregor io, S. Vine. aliisque, tum 1 nobis ipsis in Hugenianis cap. s. n. a. O in Epist. Gram. Traei. δε ι uir. k-m. 3. 4. mod erat &c. COROLL. I. Hinc facile fuerit datum quodvis Hype
holicum spatium in data ratione secare, puta in ratione, quam habet m ad x , sumptis inter extremas ordinatas da istum spatium claudentes tot mediis proportionalibus, quot exprimit m - r ; erit quippe ratio primae ordinatarum ad primam mediarum assumptarum tam submultiplicata rationis extrema Ium ordinatarum , quam multiplex fuerit munitatis, adeoque prima ordinatarum cum prima mediarum intercipient hyperbolicum spatium zz I: m totius proinpositi, ut ostendimus in Hugenianis cap. 6. m. 3.
COROLL. II. Undh etiam constat, quomodo spatia eadem Hyperbolica sint velut Logarithmi rationis ordiis natarum , sive distantiarum , centro, ut idem Gregorius S. Vincentio primus animadvertit , & ex iis, quae deis Hyperbolae ad Logisticam , seu Logarithmicam relatione
demonstravimus in Hugenio. ea . 6. n. 4. O cap. I 3. .. 8. COLligi potest, necnon Ioe. eis. de Infinit. kmm. 6. Ostensum in.
88쪽
Ηratione usus sum, illu/Datκnem, or confirmorionem lata arbitra . Nune qsia sub finem Capitis et 3. Hugenian rum aIiam meilanieε expedit am Hyperbeila Quadrata via ex fim lita Tractoria deductam propos se me memini. ram ct Dianirrius a se dudum iuventam rectataes est in Dimilis ad me daris , a quibηrsura pag. is,& s8, sui r veritatem Me Deo demonstrare M. σπωπgruum fuerit, μὴ ad Arhaementi , quia
89쪽
tus ad transversum ex ar. r. Coxis. sive ut seeundae semidiametri DK, vel DE quadratum ad quadratum D A, ergo permutando, DC quadratum ad quadratum DE, ut retiangulum M L A ad quadratum D A , & gomponendo, quadratum EC ad quadratum E D, ut quadratum L Dad quadratum D A : sed , ob similitudinem uiangulorumis
E C D, DI A , ita est eriam quadratum D I ad idem quadratum D A , ergo D L, aut CB aquatur DI. Quod
queam C B Iacans sn P, O D I in F , iungasume G R. Dico hanc fore saetentem Hyperbola: ia ps o B. RAdio DA circulus AN describatur , qui transbit omnino per punctum F, cum sit, ob Conchoidem , CH aequalis D A , in parallelogrammo autem DCHF ipsi CH sit rursus aequalis DF, erit ergo ID ad DF nempe L Dex pro'. praeced. ipsi aequalis ad D A ut D A ad D GreMngulum L D G aequabitur quadrato DA, & per
Coroia prop. 37. I. conici linea BG erit tangens. Quia erat demonstrandum Sc. COROLL. I. Hinc omnis ordinata hypetbolae L B aequalis est portioni oldinatae Conchoidis F H , inter Contam adem ipsam AH, & aicum A F inscii i quadrantisinte jectae , modo haec , producta ad axem in C , incidat inis Occurium tangentis BG eum eodem axe , quippe in Merallelogrammo DCHF est H F aequalis DC, adeoque &ipsi BL.
COROLL. II. Puncta autem P, quibus eaedem Conch idis ordinatae occurrunt avi parallelis BC, sunt ad cum. 3R APp Hyperbolaeeortelatam, juxta descriptionem d I a tam
90쪽
tam su Hugenianis cap. 8. n. a. eum sit B P aequalis su tangenti LG.
PROPOSITIO XXI. STaηtibus p missis: Diso , spatium coneMidale F AH, Meu F ,eama AH, ct ordinata portione FH cireumscriptum, duplam esse inlinei H erisbe. G B A , per tangentem G R ,earvam A B , ω axis segmentum A G isterminata. CVm linea FH sit ubique aequalis B L, seu GP , erit
spatium Conchoidale Α F H aequale portioni Corre. Iatae G P A ; sed, ex dictis ad finem num. 2. Capitis 8. Het uianianorum, portio illa correlatae dupla est trilinei G B A, ergo & spatium A F H ejusdem trilinei est duplum. Quod erat demonstrandum &c.
PROPOSITIO XXII. Derbolam simplicis ope Tra
Sit Hyperbolae portio V A Bquadranda , vel quod eodem redit , trilineum G U A B, dua-hus tangentibus, & hyperbolae'. curva U AB comprehensum, sit oin rectilineum spatium expedia commutandit . Concipiantur omnia in horizontali plano iacere,& sumpto funiculo D A, pondere in extremo A apposito, quod i subjectum planum premae, alte- i ihlo 'i a. rum extremum D secus axem secundum D R d trahatur,